Chapter 6. 확률변수
Chapter 6. 확률변수
6. 2 확률변수(Random Variable)
확률변수
Ex) 아이를 셋 낳는 확률적 실험
표본공간에 정의된 실수값을 갖는 함수 확률적 실험의 결과에 관심있는 수치를 대응시킴
BBB BBG BGB BGG GGG
S , , , , ,
Chapter 6. 확률변수
아이를 셋 낳는 확률적 실험
관심1 : 아들수
관심2 : 아들이 있는지 여부
관심3 : 딸이 있는지 여부
즉,
, 도 모두 확률 변수임.
한 표본 공간내에 여러 개의 확률 변수 정의 가능.
6. 2 확률변수
Y Z
,
2 )
( ,
3 )
( BBB X BGB X
RD S
X : 0,1, 2, 3
아들이 있으면 1 아들이 없으면 0
Y
딸이 있으면 1 딸이 없으면 0
Z X는 아들수
Chapter 6. 확률변수
확률적 실험
Ex) 충남대 남학생의 키를 관찰하는 확률적 실험
6. 2 확률변수
100 250
x x
S
x x
X ( ) X
는 항등함수(identity function)175 )
175 (
X X(160) 160 X (182) 182
Chapter 6. 확률변수
확률적 실험
아이 셋 낳는 실험에서 가 가질수 있는 값과 그 확률을 보면
확률 변수 의 가능한 값과 그 가능한 값을 가질 확률이 어떻게 분포되어 있는지를 나타낸 것을
의 라 한다
6. 2 확률변수
X
x 0
) (X x P
1 2 3 1/8 3/8 3/8 1/8
X
X
확률분포
단, 의 모든 원소가 등확률S (즉, 아들과 딸의 확률이 같다)
Chapter 6. 확률변수
확 률 변 수
확률변수(random variable)
고정변수(fixed variable)
Ex)
이 경우 를 인
확률분포를 가지는 확률변수로 취급 가능하다 3
, 5
2
X
X
x 3
) (X x
P 1
X
6. 2 확률변수
Chapter 6. 확률변수
확률변수의 종류
이산확률 변수
가 셀 수 있을만큼의 가능한 값을 가짐
Ex) 학급당 학생수, 운전면허 시험응시 횟수
연속확률 변수
가 어떤 범위내의 모든 값을 취할 수 있음
Ex) 사람의 키, 공부한 시간
X
X
6. 2 확률변수
Chapter 6. 확률변수
6. 3 이산확률 변수
가 이산형일 경우, 0이 아닌 가
존재하고 이 된다
이 때 로 나타내어지는 를
가 갖는 확률함수(probability function)라 한다
) (X x P X
) ( )
(X x p x P
x
x X
P( ) 1
) (x p X 확률함수(probability function)
Chapter 6. 확률변수
확 률 실 험
Ex) 정상동전을 앞면이 나올 때까지 던지는 실험
를 시행 횟수라고 하면
H, TH, TTH,
S
X
, 2 , 1 2 ,
) 1 (
)
(
P X x x
x p
x 는
와 같이 함수형태 로 혹은 표형태 로 나타낼 수
있다
) (x p
, 2 , 1 2 ,
1
x
x
6. 3 이산확률 변수
x ) (X x P
1 2 / 1
2 )2
2 / 1 (
3 )3
2 / 1
(
Chapter 6. 확률변수
확률분포의 특성치(평균)
확률분포의 특성을 나타내는 특성치 중 분포의 중심을 나타내주는 것이 평균 이다
어느 노동자의 하루 수입 (단위 : 원)
0×0.3 + 20,000×0.2 + 40,000×0.4 + 100,000×0.1 30,000
이 노동자가 위의 확률 분포에 따라 계속 일한다면 평균 하루에 30,000원을 번다
6. 3 이산확률 변수
x 0
) (x p
20,000 40,000 100,000 0.3 0.2 0.4 0.1
x p(x)
English Greek )
(ean
m
Chapter 6. 확률변수
확률분포의 특성치(평균)
확률변수 를 이 노동자의 하루 수입이라 하면,
확률변수
확률분포
6. 3 이산확률 변수
X
X의 기대값 E( X ) 30,000
확률변수의 입장 확률분포의 입장
기대값(옳은 표현)
평균(정확하지 않지만 널리 인정)
기대값(틀린 표현)
평균(옳은 표현)
Chapter 6. 확률변수
확률분포의 특성치(분산)
확률분포(혹은 확률변수)의 두 번째 특성치로 표준편차가 있으며 그 제곱을 분산이라 한다
분산 :
표준편차 :
Note. => 평균으로부터 떨어진 거리의 기대값
Ex)노동자 수입의 분산과 표준편차
= (0-30,000)×0.3 + (20,000-30,000)×0.2
+ (40,000-30,000)×0.4 + (100,000-30,000)×0.1
= 820×1000
= 28,635.6 28,636
6. 3 이산확률 변수
n
i
i
i p x
x X
E
1
2 2
2 ( ) ( ) ( )
2
X E
2
~~
2 2
2 2
2
Chapter 6. 확률변수
확률분포의 특성치(분산)
Ex) 파출부(가사도우미)의 하루 수입(단위 : 원)
분산을 구하는 다른 공식
6. 3 이산확률 변수
y ) ( y p
20,000 40,000 0.5 0.5
(20,000-30,000)×0.5 + (40,000-30,000) ×0.5
E(Y)
Y
2
Y
10,000
30,000
2 2
2
Y 10,000 ※파출부의 수입이 더 안정적이다.
2 2 2 2
2 ( ) ( )
E X x p x
Chapter 6. 확률변수
확률분포의 특성치(왜도)
왜도(skewness)
대칭성을 측정
6. 3 이산확률 변수
3
)3
(
E X
0
0 0
오른쪽으로 기울어짐 왼쪽으로 기울어짐 에 대해 대칭
Chapter 6. 확률변수
확률분포의 특성치(첨도)
첨도(kurtosis)
뾰족한정도
6. 3 이산확률 변수
4
)4
(
E X
급첨 완첨
정규분포
3
3
3) 0
( 임
Chapter 6. 확률변수
6. 4 연속 확률 변수
Ex) 0과 2 사이의 수중 하나를 임의로 선택해 라 하자
연속 확률 변수가 특정한 값을 가질 확률은 0이고, 단지 어떤 구간에 속할 확률만 존재한다
X
앞의 예에서
0 2
x x
S
2
, 0
0 ) (
0 ) 1 (
x x
X P
X P
S
x x S
x X
P( ) 0
)
(X x P
0 2
바늘( )X
이면
12
) 1 0
(
X P
만약
Chapter 6. 확률변수
연속확률변수의 정의
가 연속형 확률 변수 일때
가 되는 를 의
확률밀도함수(probability density function)라 한다
6. 4 연속확률 변수
X
b
a f x dx b
X a
P( ) ( ) f (x) X
바늘 예 :
) (
) 1 0
(
b X
a P
X P
2 1
2
1 b
a dx
2
1 1
0 dx
Chapter 6. 확률변수
확 률 분 포
확률이 0과 2사이에 균등하게 퍼져있다.
혹은 0과 2 사이에서 확률밀도가 동일하다.
이와 같은 분포를 균등분포(uniform distribution)
라 한다
6. 4 연속확률 변수
02 f (x) dx
f (x) dx 1S
2 0
2 , ) 1
(
f x x
0 2
1/2
Chapter 6. 확률변수
확률밀도 함수
X 가 연속형이면
0 )
( )
(
) (
) (
b X
P a
X P
b X
a P b
X a
P
0 )
( )
( )
(
. P X a P a X a
f x dx Note a
a
6. 4 연속확률 변수
Chapter 6. 확률변수
확률밀도 함수
Ex) 어느 양궁 선수가 과녁을 향해 쏜 화살이 꽂힌 곳에서 과녁의 중심까지의 거리를
라 하자 (단위 : m)
의 확률밀도 함수
X
X
2
1
면적 = 1
6. 4 연속확률 변수
Chapter 6. 확률변수
1.82
양궁선수의 확률
정중앙부터 10cm 까지 10점이라 한다.
이 선수가 10점을 맞출 확률은?
0
1 0
, 2 ) 2
( x x
x
f 그 밖
) 1 . 0 0
( X
P
0.1
0
1 . 0 0 2 2 )
2 2
( x dx x x
19 . 0 2
. 0 01
.
0
19 . 0
1 . 2 0
) 8 . 1 2 (
면적
6. 4 연속확률 변수
Chapter 6. 확률변수
양궁선수와 교수님의 확률비교
6. 4 연속확률 변수
1 4
0.5 1
4
2
더 유능한 양궁선수 교수님
