Chapter 6 대류의 기초
본 자료의 모든 그림, 표, 예제 등은 다음의 문헌을 참고하였습니다.
참고문헌 : Yunus A. Cengel and Afshin J. Ghajar, "Heat and mass transfer (Fundamentals and applications)" , 4th ed., McGraw-Hill Korea, 2011
<학습목표>
1. 강제대류의 물리적 메커니즘과 그것의 분류를 이해한다.
2, 표면을 흐르는 속도 경계층과 열경계층을 시각화한다.
3. 무차원 Reynolds 수, Prandtl 수, 그리고 Nusselt 수에 대한 지식을 얻는다.
4. 층류유동과 난류유동을 구별하고 난류유동에서의 운동량전달과 열전달 메커니즘을 이해한 다.
5. 질량보존, 운동량보존 및 에너지보존을 기본으로 하여 대류를 지배하는 미분방정식을 유도 하고 평판 위에서의 층류유동과 같은 간단한 경우에 대하여 방정식의 해를 구한다.
6. 대류 방정식을 무차원화하고 마찰계수와 열전달계수의 함수형태를 구한다.
7. 운동량전달과 열전달의 상사를 사용하여 마찰계수로부터 열전달계수를 구한다.
6.1 강제대류의 물리적 메커니즘
대류는 유체덩어리의 운동과 전도를 포함하는 열전달의 형태.
외부유동에서 대류 열전달률은 Newton의 냉각법칙으로부터 다음과 같다.
∞ (6-1)
∞ (6-2)
여기서 h=대류열전달계수, · A=열전달 표면적,
= 표면의 온도, ℃
∞ = 표면으로부터 충분히 떨어진 유체의 온도 ℃ ,
점착조건(no slip condition) : 표면에 위치하는 매우 얇은 유체층은 속도가 0 이라고 가정하는 현상. 순전히 전도에 의해서만 일어난다는 것.
│ ( ) (6-3)
식 6-1 과 6-3을 열유속에 대하여 같게 놓으면,
∞
․ (6-4)
열전달 계수 h는 항상 무차원 형태인 Nu수로 표현.
(6-5) 여기서 k= 유체의 열전도도 , = 특성길이
[예제 6-1] 온도분포로부터 열전달 계산
∞ ℃인 공기가 ℃로 일정한 평판 위를 유동할 때, 공기의 층의 무차원 온도분포가 아래와 같다.
∞
∞
여기에서 이고 y는 평판 표면으로부터의 수직거리(m).
평판 표면에서의 열 플럭스와 대류열전달계수를 구하라.
풀이 : 평판 위의 공기유동은 주어진 온도분포를 갖음.
평판 표면에서의 열유속과 대류열전달계수를 구함.
가정 : 1. 주어진 무차원화된 온도분포는 평판 전체에서 온도변화를 나타냄.
2. 복사로 인한 열전달은 무시
물성치 : 막온도, ∞ ℃ ℃ ℃에서의 공기의 열전도도는 ·
해석 : 전도에 의해 평판에서부터 표면에 인접한 공기까지 열전달이 이루어지므로, 고체 표면에서 표면에 인접한 유체 층까지의 열플럭스는 아래의 식으로 구해진다.
여기에서 평판에서의 온도구배는
∞ ∞
℃ ℃ × ℃
이를 대입하면 열 플럭스는
· × ℃ × 열전달계수는
∞
℃ ℃
· × ℃
·
6-2 유체유동의 분류
점성유동 :점성의 여향의 중요한 유동
비점성유동 :점성력이 관성력이나 압력힘에 비해 무시할 만큼 작은 유동
내부유동 : 평판,와이어,파이프와 같은 표면 위를 지나는 자유로운 유체유동
외부유동 : 파이프 또는 덕트 내의 유동에서 유체가 고체 표면들로 완전히 구속된 유동 압축성유동 : 유체의 밀도가 변화하는 유동
비압축성유동 : 밀도가 전체적으로 거의 일정한 유동
층류유동 : 부드러운 유선이 특징인 매우 정연한 유체 운동 난류유동 : 빠른 속도에서 발생하고 속도의 섭동이 특징인
매우 불규칙적인 유체운동
자연유동 : 유체내부의 온도차가 밀도변화를 일으켜 부력이 발생한 유체운동
강제유동 : 외부요인에 의하여 유체가 강제로 흐르는 유체운동 정상유동 : 시간에 따라 변하지 않는 유체운동
비정상 유동 : 시간에 따라 변하는 유체운동
유동의 속도변화가 r과 z방향으로 변하기 때문에 파이프의 입구영역에서 2차원.
입구영영이 지나면 1차원.
6-3 속도경계층
그림 6-6에 보면 경계층을 설명하기 위하여 우리는 유체가 각각의 상당에 쌓아 올린인접층으로 구성되어있음.
점성 전단력이 작용하는 평판 위에서 δv로 제한되는 유동 영역은 속도경계층 또는 간단히 경계층(boundary layer).
의 선은 점성 효과의 속도 변화가 현저한 경계층 영역과 마찰의 효과를 무시 가능하고, 속도가 일정하게 유지되는
비점성 유동 영역으로 나눔.
표면 전단응력
│
(N / m
2) (6-9)는 점성계수 ·
전단응력과 속도를 이용하면,
τ
w= C
fρυ 2
2( N / m
2)
(6-10)여기서 는 마찰계수
전체 표면에 대한 마찰력은,
F
f= C
fA
Sρυ 2
2 ( ) (6-11)6-4 열경계층
열경계층 :표면의 법선방향으로 온도변화가 현저한 유동영역.
열경계층의 바깥쪽 끝의 온도는 .
Prandtl 수는 아래와 같이 정의.
Pr 의분자확산율
운동량의분자확산률
6-5 층류와 난류
① 층류 : 매끄러운 유선과 잘 정돈된 유동 특성을 나타내는 유동 형태
② 난류 : 두 번째 경우의 속도의 섭동(velocity fluctuation)과잘 정돈되 지 않은 유동 특성을 나타내는 유동형태
③ 천이 : 층류에서 난류로 천천히 변화
난류경계층은 세 개의 층으로 이루어져 있다고 생각할 수 있다.
① 층류저층 : 점성효과가 지배적인 벽에 이웃한 매우 얇은 층
② 버퍼층 : 난류현상이 현저하지만 확산효과가 지배적이지 않은 층류
③ 난류층 : 난류의 영향이 지배적인 버퍼층에 이웃한 다음에 나타나는 층 Reynolds 수
Re= 관성력점성력 = υν∞δ (6-13)
여기에서
υ∞= 자유흐름 속도, m/s
δ = 기하학적 특성길이, m
ν = μ/ρ = 유체의 동점성계수, m2/s
Reynolds수가 클 때 유체의 밀도와 속도에 비례하는 관성력은 점성력보 다 크게 되고, 그래서 점성력은 임의적이고 빠른 유체의 섭동을 막아낼수 없다. 그러나 Reynoldsyn수가 작을 때, 점성력은 관성력을 극복할 수 있
을 만큼 크고 유체를 “in line"으로 유지한다. 그러므로 앞의 경우 유체는 난류이고 뒤의 경우는 층류이다.
유동이 난류가 될 때의 Reynolds수를 임계 Reynolds수(critical Reynolds number)라한다.
Re cr itical,flatplate= 5×105
6-6 난류유동에서의 열 및 운동전달
난류유동 : 유동 전반에 걸친 소용돌이치는 영역에서의 무질서하 고 빠른 섭동[와(eddy)]이 특징 => 마찰계수, 에너지전달계수 및 물질전달계수가 훨씬 큰 값을 갖는다.
평균 유동이 정상(steady)일 때, 와의 운동은 속도, 온도, 압력 그 리고 밀도(압축성유동에서)의 값에 대해 상당한 섭동을 야기
′ (6-14)
평균값과 섭동치의 합
(특정 위치에서의 시간에 대한 순간적인 속도성분 u의 변동)
어떤 위치에서의 한 특성치의 평균값은 섭동의 총 효과가 0이되 게 하는 큰 시간간격에 대해 평균함으로 결정
즉, ′=0
유체입자들의 혼란스러운 섭동은 압력강하에 지배적인 영향, 이런 무작위한 움직임은 평균속도와 더불어 고려.
난류에서의 전단응력
⓵ 층류 성분은 유동방향으로 층들 간의 마찰을 설명 ( 로 표현됨)
⓶ 난류 성분은 섭동하는 유체 입자들과 유체 사이의 마찰을
설명( 로 표시되며 속도의 섭동요소와 관계가 있다.)
속도의 섭동 ′의 결과로, 낮은속도 층에서 이에 인접하는 좀 더 빠른 속도 층으로의 유체 입자들의 위쪽을 향한 와 운동
미소영역 를 통과하여 위로 향하는 유체 입자들의 질량 흐름율은 ′이고, 미소영역 의 위층 에서는 더 작은 평균 유동 속도를 갖는 유체 입자에 운동량이 전달되므로 미소영역 위층의 평균속 도는 감소한다. 이러한 운동량전달로 인하여 유체 입자는 ′만큼 수평 성분 속도가 증가되며 따라서 수평 성분의 운동량은(′′의 비율로 증가한다. 즉, 이만큼 의 위층의 운동량이 감소.(그림 6-25)
난류전단응력 : ′′
′′는 섭동하는 속도 성분 ′,′의 곱의 시간 평균값
레이놀즈응력 : ′′, 난류응력 : ′
입자 덩어리들의 불규칙한 와 운동은 일정 거리를 움직인 후 서로 충돌하고 그 과정에서 운동량 과 열을 교환하는 기체 분자들의 불규칙한 운동과 유사하다
난류전단응력과 난류열전달은 다음과 같이 표현
′′
∂
∂
∂
: 난류 점성계수, : 난류 열전도도 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
: 와 동점계수
: 와 열확산계수
6-7 미분형 대류방정식의 유도
질량보존법칙
과정 중에 질량은 생성되거나 소멸될 수 없다
(
Rate of mass flowinto the control volume
)=(
Rate of mass flowout of the control volume
)
질량유동률은 밀도, 평균속도 그리고 유동에 수직한 단면적의 곱과 같다
따라서
∂
∂ · (6-19)
와 같이 된다.
이 식을 6-18에 대입하면
· ·
·
· (6-20)
정리하면
∂
∂
∂ (6-21)
질량보존 관계씩
운동량보존방정식
뉴턴 제 2법칙: 운동량 평형에 대한 표현, 제어체적에 가해지는 순 힘은 제어체적 내의 유체 요소의 질량과 가속도의 곱과 같다.
제어체적에 대한 뉴턴 제 2 운동법칙은 다음과 같이 표현된다.
(Mass) ( Acceleration
in a specified direction
)=(
Net force (body and surface) acting in that direction)
즉, · (6-23) 유체요소 질량은 · · (6-24)
유동이 정상 2차원이므로 임에 유의하면 전미분은
∂
∂ ∂
∂ (6-25)
따라서 x방향의 유체요소의 가속도는 다음과 같다.
∂
∂
∂
∂ ∂
∂ (6-26)
유량이 일정한 정상상태의 유동에서조차도 물은 노즐을 통과할 때 가속될 것이다.
(그림 6-28)
노즐의 경우에 특정 위치에서는 물의 속도가 일정하나 입구에서부 터 출구까지 이동할 때 속도는 변한다.
x방향으로 작용하는 x방향의 표면력들은 그림 6-29와 같이 나타낼 수 있다.
따라서 x방향으로 작용하는 순 표면력(net surface force)은 다음과 같이 된다.
·
·
· ·
∂
∂ · ·
(6-27)
6-24, 6-26, 6-27을 식 6-23에 대입하고 · · 로 나누면
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
∂ (6-28)
운동량 평형 관계이며 이는 x방향 운동량 방정식으로 알려져 있다.
표면에 직각인 방향의 속도구배와 온도구배는 표면에 따른 방향의 속도, 온도구배보다 훨씬 더 크다.
이러한 단순화는 경계층 근사로 알려져 있다.
이러한 근사들은 대체로 정확도에 큰 문제없이 해석을 단순화하고, 특정 형태의 유동문제에 대해 해석 해를 구할 수 있게 한다(그림 6-30)
중력 효과와 다른 체적력들을 무시할 수 있고 경계층 근사가 유효할 때, 체적요소에 y방향으로 뉴턴 제2운동법칙을 적용하면 y방향 운동량방정식은 다음과 같이 된다.
∂
∂
(6-29)
에너지보존방정식
정상유동에서 제어체적에 대한 에너지 균형은 다음과 같다.
(6-30)
단위 질량당 흐르는 유채의 총 에너지는 이다.
(h는 엔탈피, 는 포텐셜에너지, 그리고 )는 단위 질량당 유체운동에너지) 유체의 밀도 , 비열 , 점도 , 열전도도 가 일정하다고 가정하면 이다.
그림 6-31로부터 x방향의 질량 흐름에 의해 제어체적에 가해지는 에너지 전달률은 다음과 같 다.
·
∂
(6-31)
y방향에 대해 이것을 반복하고 이 결과들을 더하면, 질량 흐름에 의해 제어체적에 가해지는 총 에너지전달률은 다음과 같이 결정된다.
(6-32) 체적요소에 가해지는 방향으로 총 열 전도율
∂
∂ · ∂
∂
∂
(6-33) y방향에 대해 이것을 반복하고 결과를 더하면
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(6-34)
물성치가 일정하고 전단응력을 무시할 수 있는 유체의 정상 2차원 유동에 대한 에너지방정식은 식 6-32와 6-34를 6-30에 대입시켜 다음과 같이 표현할 수 있다.
∂
∂
∂
∂
(6-35)
점성 전단응력을 무시할 수 없을 때, 다음과 같이 에너지방정식을 나타냄으로서 그들의 효과가 설명된 다.
∂
∂
∂
∂
(6-36)
여기서 점성소산항 는 복잡한 해석을 통해 다음과 같이 된다.
∂
∂∂
∂∂ ∂
∂
(6-37)정지된 유채의 경우에 있어서 이고 에너지방정식은, 기대한 바와 같이, 정상 2차원 열전도방 정식으로 단순화된다.
∂
∂
∂
∂
(6-38)
[예제 6-2] 저널 베어링에서 오일의 온도상승
저널베어링에서 오일의 유동은 한 평판은 움직이고 다른 한 평판은 정지해 있는 2개의 커다란 평판 사이의 평행 유동으로 근사될 수 있다. 이러한 유동들은 Couette flow로 알려져 있다.
2mm 두께의 오일 막(film)에 의해 분리된 2개의 커다란 등온 평판을 고려하자. 위쪽 평판은 12m/s의 일정한 속도로 움직이고, 아래 평판은 정지해있다. 두 평판은 모두 20℃로 유지된다.
(a) 오일의 속도 분포 및 온도분포에 대한 관계식을 구하라. (b) 오일의 최고 온도 및 오일로부 터 각 평편으로 저달되는 열플럭스를 구하라(그림 6-32)
가정 : 1. 운전조건은 정상상태이다. 2. 오일은 일정한 물성치를 갖는 비압축성 물질이다.
3. 중력과 같은 체적력은 무시될 수 있다. 4. 평판들은 매우 커서 z방향 으로 변동이 없다.
물성치 : 20℃에서 오일의 물성치는 다음과 같다.
· and · ·
해석 :
(a)x축이 유동방향이고, 이에 직각인 방향이 y방향이라 하자. 이것은 두 평
판 사이의 평행 유동이므로 v=0이다. 그러므로 연속방정식(식 6-21)은 다음과 같이 간단해진다.
continuity :
∂
∂ ∂
∂ ->
∂
∂ ->
따라서 속도의 x성분은 유동방향으로 변하지 않는다(즉, 속도 분포는 변하지 않는다).
, v=0 및 ∂∂ (유동은 압력구배가 아닌 상부 평판의 운동에 의해 유지된다)임에 유의
하면, x방향 운동량방정식(식 6-28)은 다음과 같이 간단해진다.
x-momentum :
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ->
∂
∂
이것은 2개의 상미분방정식이므로 2번 적분하면 다음 식과 같이 된다.
평판 표면에서 유체속도는 점착조건 때문에 평판의 속도와 같아야 한다. 따라서 경계조건은
과 이므로, 이를 적용하면 속도 분포는 다음 식과 같이 된다.
이 문제에서 오일의 높은 점도와 큰 평판 속도 때문에 점성 소산에 의한 마찰열은 중요하다. 평판들 은 등온이고 유동 방향으로 변화가 없으므로, 온도는 단지 y에만 의존하여 이다. 또한,
이고 v=0이다. 그러면 점성소산항을 포함하는 에너지방정식(식 6-36과 6-37)은 다음과 같이 간단해진다.
Energy :
∂
∂
∂
∂
->
이는 ∂∂ 이기 때문이다. 양변을 k로 나누고 두 번 적분하면 다음과 같다.
경계조건 와 를 적용하면, 온도분포는 다음과 같이 된다.
(b)온도구배는 를 y에 대해 미분하여 구한다.
따라서 최고온도는 중간 평면에서 나타날 것이다. 이것은 두 평판이 똑같은 온도로 유지되고 있기 때 문에 당연한 것이다. 최고온도는 에서의 온도이다.
m ax
·
·
124℃
·
·
그러므로 두 평판에서의 열유속은 크기가 같고 부호가(즉, 방향이)반대이다.
6-8 평판에 대한 대류방정식들의 해법
그림 6-33과 같이 평판위를 지나는 층류유동을 고려한다.
연속 :
(6-39)
운동량 :
(6-40)
에너지 :
(6-41) 경계조건은 다음과 같다
x=0 : ∞
y=0 : (6-42) y→∞ : ∞ ∞ ∞
Blasus는 평판위의 유동에서 속도분포의 일반적인 형태는 평판을 따라 동일하다는 것을 깨닫고, 무차 원 거리에 따른 무차원 속도분포 는 일정할 것이라는 추론을 하였다
임의의 좌표에서의 속도 와가 모두 에 따라 변하더라도, 일정한에서의 속도 는 일정하다.
가 에 비례하는 것에 착안하여 무차원 상사변수 를 아래와 같이 정의하였다.
, 그리고 유동함수 를 아래와 같이 정의하였다.
and
(6-44)
연속방정식이 만족되면, 종속변수 를 다음과 같이 나타내었다.
, 그러면 속도성분들은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
와 의 관계식을 미분하면, 속도성분의 도함수들은 다음과 같이 표현된다.
(6-48) 이 식을 운동량방정식에 대입하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
, 이것은 3차 비선형미분방정식이다.
경계조건은 다음과 같이 상사변수로 표현할 수 있다.
and
∞
표 6-3은 위의 3차 미분방정식을 수치해석적으로 구한 값들이다.
예를들어, 표면에서 인 위치까지의 거리로 정의한 경계층의 두께를 다시 고려하면, 표 6-3에서 에서 를 알 수 있다. 를 상사변수에 대입하면
이 된다. 따라서
전단응력 정의와 식 6-48로부터 벽면에서의 전단응력은
표 6-3에서 에서의 의 2계 도함수를 찾아 대입하면,
그러면 국소 마찰계수는 다음과 같다
에너지 방정식
무차원 온도
∞
이 식을 식6-41에 대입하면 다음과 같다
그리고, 식 6-46과 47에 대하여 대입하여 전개하면 다음과 같다
이 식을 정리하고 Pr 를 대입하면 다음과 같다
Pr
(6-58)
식 6-58은 수만은 Pr수에 대해서 계산된다. Pr>0.6일 때 표면에서의 무차원 온도구배는 Pr에 비 례하는 것으로 밝혀졌고 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Pr
표면온도의 온도구배는 다음과 같다.
∞
∞
Pr∞
그러면 국소 대류열전달계수와 Nusselt수는 다음과 같이 된다.
Pr
Pr Pr>0.6
식6-58을 풀어 온도분포를 구하고 열경계층의 정의를 사용하면 ≅ Pr을 얻는다.
Pr
Pr
6-9 무차원화된 대류 방정식들과 상사
독립변수와 종속변수들은 아래와 같이 무차원화 할 수 있다.
∞
이 변수를 6-39, 40, 41 식에 대입하면 다음과 같다 연속 :
(6-64)
운동량 :
(6-65)
에너지 :
Pr
(6-66) 경계조건은 다음과 같다.
∞
∞
6-10 마찰계수와 대류열전달계수의 함수형태
을 이용하여 표면에서의 전단응력은 다음과 같다
위 식을 이용하여 국소 마찰 계수를 구하면,
그리고
Pr
위 식을 이용하여 대류 열전달계수는 다음과 같다.
∞
∞
이것을 Nu수의 관계에 대입하면 다음과 같다.
Pr
Nu 수는 표면에서의 무차원 온도구배에 해당하며 따라서 무차원 열전달 계수로 여길 수 있다.(그림 6-37)
주어진 물체의 표면에서 터 까지 와 를 적분하면 평균 마찰계수와 평균 열전 달계수를 구할 수 있다. 평균 마찰계수와 평균Nu수는 다음과 같이 표현된다.
Pr
어떤 주어진 형상에서 마찰계수를 Re수만의 함수로, Nu수를 Re,Pr로 나타낼 수 있다.
열전달 실험으로 도출된 데이터는 다음과 같이 간단한 멱승의 관계로 나타낼 수 있다.
Pr
6-11 운동량과 열전달의 상사
정상상태, 비압축성, 층류운동에서 물성치 일정하고 점성소산을 무시할 수 있는 경우에 대해 무차원 화된 운동량방정식과 에너지방정식을 고려해보자.
Pr=1(가스의 경우)이고, 평판 위의 유동과 같이 자유흐름속도 인경우 이면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
운동량 :
에너지 :
위 식을 이용하면 다음과 같이 된다.
Pr
이것은 Reynolds상사로 알려져 있다. Reynolds상사를 이용하면 Pr수가 1에 가까운 유체에서 측정이 비교적 쉬운 마찰계수에 관한 정보로부터 유체의 열전달계수를 구할 수 있으므로, Reynolds상사는 매 우 중요한 의미를 갖는다.
또한 Reynolds상사는 다음과 같이 나타내기도 한다.
Pr
여기서 St는 Stanton Number로 무차원 열전달계수이다.
Pr
Reynolds상사는 Pr=1이고 에서만 사용할 수 있는 제한이 있으므로 넓은 범위의 Pr수 의 범위에서 사용될 수 있는 상사가 필요하다. 이것은 Pr수 보정을 고려하여 해결할 수 있다.
and Pr
이 두식을 사용하여 정리하면 수정된 Reynolds상사 또는 Chilton-Colburn상사로 알려진 다음 관계 식을 얻을 수 있다.
Pr or
Pr
위 식은 0.6 < Pr < 60에서 유효하고 는 Colburn j-factor라고 한다.
[예제 6-3] 측정된 항력을 사용한 대류열전달계수의 계산
실내에 매달려 있는 길이 3m, 너비 2m의 평판이 길이 방향으로 평행하게 흐르는 공기에
노출되어있다. 자유흐름 공기의 온도는 20℃, 속도는 7m/s이고, 평판에 작용하는 전체 항력은 0.86N 으로 측정되었다. 평균 대류열전달계수를 계산하여라.
가정 : 1.정상상태 2.모서리효과 무시 3.대기압은 1기압
물성치 : 20℃, 1기압에서의 공기의 물성치
· Pr
해석 : 길이 방향으로 공기가 흐르므로 특성길이는 3m.(다음장 그림 6-42참고) 따라서 특성표면적
이므로
·
수정된 레이놀즈상사식(Chilton-Colburn상사식)이용하여 평균 대류 열전달계수 구한다.
Pr
·
·
