기하와 벡터 내신·모의고사 대비 TEST 해설(2쇄)

Ⅰ. 평면 곡선

Ⅱ. 평면벡터

Ⅲ. 공간도형과 공간벡터

®

[기하와벡터]

대비

_T

_E

_S

_T

[정답 및 해설]

Ⅰ. 평면 곡선

SU M MA CU M L AU D E 내신・모의고사 대비 TEST

0

1

원 x¤ +(y-4)¤ =4에 외접하고, x축에 접하는 원의 중심을 P(X, Y)라 하자. 원 x¤ +(y-4)¤ =4의 중심을 A, 점 P(X, Y)를 중심 으로 하는 원이 x축과 접하는 점을 B라 하면 P’AÚ-2=P’B’이므로 "√X¤ √+(√Y-ç4)Ω¤ -2=Y "√X¤ √+(√Y-ç4)Ω¤ =Y+2 이 식을 정리하면 X¤ -12Y+12=0, 즉 x¤ -12y+12=0 ∴ a=0, b=0, c=-12, d=12 ∴ a+b+c+d=0 ③ A B P x@+{y-4}@=4 O x y 2

0

2

기울기가 =tan30˘이므로 초점을 지나는 직선이 x 축과 이루는 각은 30˘이다. 위의 그림과 같이 P’F’=x라 하면 P’QÚ=P’F’이므로 2+ x=x _{∴ x=4(2+'ß3 )} 이때, PQ”는 x축과 평행하므로 ∠QPF=30˘이다. △FPQ= P’F’”¥P’QÚsin30˘ = _{{4(2+'ß3 )}¤ ¥} =28+16'ß3 ∴ a+b=28+16=44 44 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 'ß3 12₂ Q P F x 30æ 2 2 x 2x Â3 1 12 'ß3 O x y@=4x y 1 30æ P F Q

02

정답 및 해설

기하와 벡터

Ⅰ-1. 이차곡선 본문 366~373쪽 01③ 02 44 03② 04② 05③ 06② 07③ 08 48 09① 10② 11 8 12⑤ 13① 14 19 15③ 16 2 17 18 18③ 19② 20 60˘ 21② 22② 23 20 24 25 25 120'ß2 m 26 132 27 A<-28② 29③ 30② 31② 1 1₅

0

3

위의 그림과 같이 준선 x=-1 위에 세 점 C, D, G를 잡고 AF”=2a, B’F’=3a라 하면 AC”=AF”=2a, BD”=B’F’=3a 또한, FG”=2이다. 오른쪽 그림과 같이 BC”를 그으면 △CBDª△CPG, △BCAª△BPF이고, 닮음비가 각각 5 : 2, 5 : 3이므로 GP”= BD”= a, F’P’= AC”= a 이때, GF”=GP”+F’P’= a=2 ∴ a= ∴ AB”=5a=5_ = ②

0

4

오른쪽 그림과 같 이 점 P를 (x, y)로 놓으면 OC”=OP”+P’C’ =OP”+P’DÚ r="√x¤ +≈yΩ¤ +y (단, OC”=r) r-y="√x¤ +≈yΩ¤ 의 양변을 제곱하여 정리하면 x¤ =r¤ -2ry 따라서 점 P의 자취는 포물선의 일부분이다. ② A D C B P O x y 25 1 15555₆ 5 1₆ 5 1₆ 12 155₅ 6 1₅ 3 1₅ 6 1₅ 2 1₅ D G C A F B P O D G C A F B x l 2a 3a y y@=4x x=-1

0

5

다음 그림과 같이 두 포물선 p¡, p™의 준선 l¡, l™를 그리고, 점 C에서 각 준선에 내린 수선의 발을 E, F 라 하자.

O’AÚ=a, OB”=b, OC”=c라 하면

a+b=4 yy ㉠ 한편, 포물선의 정의에 의해 B’C’=C’E’이므로 "√b¤ +≈cΩ¤ =a+4 yy ㉡ OC”=C’F’이므로 c=2b yy ㉢ ㉠, ㉢을 ㉡에 대입하여 b에 대하여 풀면 "√b¤ +√(2b)Ω¤ =(4-b)+4, "ç5bΩ¤ =8-b 5b¤ =64-16b+b¤ , b¤ +4b-16=0 ∴ b=-2+2'ß5 (∵ 0<b<4) b=-2+2'ß5를 ㉠, ㉢에 각각 대입하면 a=6-2'ß5, c=4(-1+'ß5 ) 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 _AB”_OC”= _{_4_4(-1+'ß5 )} =8(-1+'ß5 ) [다른 풀이] 점 B의 좌표를 B(b, 0)(b>0)으로 놓으면 점 A의 좌표는 A(b-4, 0)으로 놓을 수 있다. 이때, 포물선 p¡은 꼭짓점과 초점 사이의 거리가 4인 포물 선을 x축의 방향으로 b-4만큼 평행이동한 것이므로 그 1 1₂ 1 1₂ O C _F E A B D x y p™ p¡ l™ l¡ a+b a b b c

방정식은 y¤ =4¥4¥(x-b+4) ∴ y¤ =16(x-b+4) yy ㉣ 또한, 포물선 p™는 꼭짓점과 초점 사이의 거리가 b인 포물 선을 x축의 방향으로 b만큼 평행이동한 것이므로 그 방 정식은 y¤ =-4¥b¥(x-b) ∴ y¤ =-4b(x-b) yy ㉤ 점 C의 좌표를 C(0, c)(c>0)라 할 때, 점 C는 두 포물 선의 교점이므로 ㉣, ㉤에 각각 대입하면 c¤ =-16b+64 yy ㉥ c¤ =4b¤ Δ c=2b (∵ b>0, c>0) Δ b= c yy ㉦ ㉦을 ㉥에 대입하여 풀면 c¤ =-8c+64, c¤ +8c-64=0 ∴ c=-4+'ƒ16+∂64=-4+4'ß5 (∵ c>0) 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 _AB”_O’C’= _{_4_(-4+4'ß5 )=8('ß5-1)} ③

0

6

y¤ =16x HjK y¤ =4¥4¥x이므로 포물선의 초점 F의 좌표는 F(4, 0)이고 준선 l의 방정식 은 x=-4이다. 이때, AC”=5이므로 점 A의 x좌표는 1이다. x=1을 y¤ =16x에 대입하면 y¤ =16 ∴ y=4 (∵ 점 A는 제1사분면 위의 점) ∴ A(1, 4) 따라서 두 점 A, F를 지나는 직선의 방정식은 y=1250-4_{(x-4)=-;3$;(x-4)} 4-1 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 이므로 점 B의 x좌표는 [-;3$;(x-4)]¤ =16x (x-4)¤ =9x x¤ -8x+16=9x x¤ -17x+16=0 (x-1)(x-16)=0 ∴ x=16 (∵ x>1) ∴ BD”=16-(-4)=20 [다른 풀이] 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 x축에 내 린 수선의 발을 H, 선분 BD에 내린 수선의 발을 I 라 하면 포물선의 정의에 의하여 AC”=AF”, BD”=BF” 이때, BD”=x라 하면 BI’=BD”-AC”=x-5이고, 삼각형 AIB에서 HF”∥IB’이므로

AF” : AB”=HF” : IB’ 5 : (5+x)=3 : (x-5) 5x-25=15+3x, 2x=40 ∴ x=20 ②

0

7

두 점 A, B에서 포 물선의 준선 x=-1에 내린 수선의 발을 A', B'이라 하자. AF”=4k, B’F’=k로 놓으면 AF”=A’A'”이고 B’F’=BB'” 이므로 BC”=AF”-B’F’=3k A C A' B' -1 F B O x l y@=4x y y l I y¤ =16x x O -4 A H F C D B

또한, △ABC에서 피타고라스 정리에 의해 AC”=4k 이때, 직선 l의 기울기는 = 이므로 직선 l의 방정 식은 y= (x-1) 포물선 y¤ =4x, 즉 x= 과 직선 y= (x-1)을 연립하여 풀면 y¤ -3y-4=0 따라서 근과 계수의 관계에 의해 교점의 y좌표의 값들의 합은 3이다. ③

0

8

오른쪽 그림에서 OP”=OB”+P’B’ =OB”+AP” 이므로 점 P를 (x, y)라 하면 "√x¤ +≈yΩ¤ =2+(x+4) 양변을 제곱하여 식을 정리하 면 y¤ =12x+36이므로 a=12, b=36 ∴ a+b=48 48

0

9

오른쪽 그림과 같 이 점 P에서 준선 x=-1에 내린 수선의 발을 H라 하면 PF”=PH”= y¤ +1 즉, f(y)=₁1y¤ +1 4 1 1₄ y@=4x y@ f{y} P{x,`y} -1 O H x y F 4 -1 2 A B P -2 -2 2 -4 O x y 4 1₃ y¤ 15₄ 4 1₃ 4 1₃ 4k 144_3k ∴:_2@ f(y)dy ∴=2:)2 { y¤ +1} dy ∴=2[ y‹ +y]2)= ①

10

OAPB를 △OPA와 △OPB로 나누어 생각 한다. 이때, 점 P는 타원 x¤ +4y¤ =4 위의 점이므로 오른쪽 그림과 같이 x=2cosh, y=sinh 로 놓을 수 있다. OAPB=△OPA+△OPB = _2_sinh+ _1_2cosh =sinh+cosh='ß2 sin(h+a) (단, tana=1) 따라서 OAPB의 넓이의 최댓값은 'ß2이다. ②

11

점 P를 (x, y)라 하자. 점 P에서 직선 x=4에 내린 수 선의 발을 A라 하면 P’F’ : P’A”=1 : 2 "√(x-√1)¤ ç+≈yΩ¤ : |4-x|=1 : 2 |4-x|=2"√(x-√1)¤ ç+≈yΩ¤ P{x, y} A F{1, 0} O x y x=4 1 1₂ 1 1₂ sin`Ω 2`cos`Ω P(x, y) 1 2 A B O x y 16 1 14455₃ 1 155₁₂ 1 1₄

양변을 제곱하여 정리하면 3x¤ +4y¤ -12=0 ∴ |a+b+c+d|=|0+4+0-12|=8 8

12

ㄱ. △PFM과 △PQM은 합동이다. ∴ ∠FPM=∠QPM (참) ㄴ. △PFM과 △PQM은 합동이므로 P’F’=PQ”이다. ∴ F’'P”+PQ”=F'P”+PF”=2a yy ㉠ (∵ 타원의 정의) 그런데 FQ”의 수직이등분선 위의 점 P 이외의 임의의 한 점 A에 대하여 F’'A”+AQ”=F’'A”+AF”>2a yy ㉡ ㉠, ㉡에 의해 점 P는 점 F'과 점 Q를 잇는 최단거리 인 직선 위에 있다. (참) ㄷ. ㄴ에 의해 ∠NPF'=∠QPM이고, ㄱ에 의해 ∠FPM=∠QPM이므로 ∠NPF'=∠MPF이다. (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤

13

점 P의 y좌표를 배 축소한 점의 좌표를 (X, Y)로 놓으면 X=x, Y=11₃y이므로 1 1₃ O A x y N M Q P F' F a@+ =1 x@ b@ y@ x=X, y=3Y를 x¤ +y¤ =9에 대입하면 X¤ +9Y¤ =9, 즉 x¤ +9y¤ -9=0 ∴ a+b+c+d=9-9=0 ①

14

a>1이므로 타원 x¤ + =1의 두 초점의 좌 표는 (0, "√a¤ -1), (0, -"√a¤ -1) 또한, 쌍곡선 x¤ -y¤ =1의 두 초점의 좌표는 ('ƒ1+1, 0), (-'ƒ1+1, 0), 즉 ('2, 0), (-'2, 0) 이때, 타원의 두 초점과 쌍곡선의 두 초점을 꼭짓점으로 하는 사각형은 마름모이고 그 넓이가 12이므로 ;2!;¥2'2¥2"√a¤ -1=12 "√a¤ -1=3'2, a¤ -1=18 ∴ a¤ =19 19

15

타원의 초점의 좌표는 "√2¤ -≈1Ω¤ ='ß3에서 ('ß3, 0), (-'ß3, 0)이므로 타원의 대칭성에 의해 r¡+r∞=4, r™+r§=4, r£+r¶=4, r¢+r•=4 ∴ r˚=4_4=16 ③

16

점 F를 지나고 직선 l에 평행한 직선을 긋고, 이 직선과 F’'P”의 교 점을 B라 하자. ∠PBF=∠PFB이므로 P’B’=P’F’ 또한, △F'AO와 △F'BF는 닮은 도형이고, 닮음비는 F' -2 2 ´3 F P AB O x y l m 8 ¡ k=1

y¤

13

_a¤

1 : 2이므로 F’'A”=AB”이다. ∴ P’A”=P’B’+B’A”= (P’F'”+P’F’) 따라서 P’A”는 타원 + =1의 장축의 길이의 이 므로 P’A”= ¥4=2 [참고] 초점이 F, F'인 타원 위의 한 점 P에서의 접선을 l이라 하면 ∠APF'=∠BPF 가 성립한다. [다른 풀이] 접선의 방정식을 이용해서 풀 수도 있다. 타원 위의 한 점 P{1, }에서의 접선의 방정식은 + ¥ =1 ∴ y=- x+2 따라서 직선 m의 방정식은 y=- x yy`㉠ 한편, 직선 F'P”의 방정식은 y=- (x+1) ∴ y= x+ yy`㉡ 두 직선 ㉠, ㉡이 만나는 점의 좌표 A는 A{- , } ∴ PA”=æ≠{1+ }¤ +≠{ - }¤ =2 2 3 15₁₀ 3 1₂ 3 1₅ 3 15₁₀ 3 1₅ 3 1₄ 3 1₄ ;2#;-0 111₁₊₁ 1 1₂ 1 1₂ y 1₃ 3 1₂ x 1₄ 3 1₂ F' F P A B 1 1₂ 1 1₂ y¤ 15₃ x¤ 14₄ 1 1₂

17

점 A는 타원의 초점이므로 타원의 또 다른 초점 B(-'ß5, 0)에서 P(x, y)까지의 거리를 g(x)로 놓으면 :_-33f(x)dx=_: -3 3 g(x)dx yy ㉠ 또한, 타원의 정의에 의해 f(x)+g(x)=6이므로 :_-33{ f(x)+g(x)} dx=6_6=36 ∴: -3 3 f(x)dx= _36=18(∵ ㉠) 18

18

위의 그림에서 두 초점 F, F'의 좌표는 각각 (2'ß3, 0), (-2'ß3, 0)이다. P’F'”=a, P’F’=b라 하면 타원의 정의에 의해 a+b=8이 고, △FPF'에서 피타고라스 정리에 의해 P’F'”¤ +P’F’¤ =F’'F”¤ 이므로 a¤ +b¤ =(4'ß3 )¤ =48 ∴ △FPF'= ab= (2ab) ∴ △FPF'= {(a+b)¤ -(a¤ +b¤ )} ∴ △FPF'=4 ③

19

원 (x-4)¤ +y¤ =r¤ 과 쌍곡선 x¤ -2y¤ =1이 서로 다른 세 점에서 만나는 경우는, 다음 그림과 같이 원 이 쌍곡선의 꼭짓점인 (1, 0)이나 (-1, 0)을 지나는 1 1₄ 1 1₄ 1 1₂ P F F' O x y 4 -2 2 -4 a b 16+ =1 x@ 4 y@ 1 1₂

경우이다. 이 중 원의 중심 (4, 0)에서 멀리 떨어져 있는 점 (-1, 0) 을 지날 때, 원의 반지름의 길이 r가 최대이므로 (r의 최댓값)=4+1=5 ②

20

쌍곡선 -y¤ =1의 점근선의 방정식은 y=— x tan30˘= 이므로 오른쪽 그림에서 두 점근 선이 이루는 예각의 크기 는 2_30˘=60˘ 60˘

21

두 초점 F, F'의 좌표는 각각 (5, 0), (-5, 0) 이므로 P’F'”=a, P’F’=b로 놓으면 쌍곡선의 정의에 의해 a-b=8 또한, △PFF'에서 피타고라스 정리에 의해 a¤ +b¤ =100

∴ △PFF'= ab= {a¤ +b¤ -(a-b)¤ }=9

따라서 △PFF'의 넓이는 9이다. ② 1 1₄ 1 1₂ 1 12 'ß3 O 30æ 30æ x y y=-´31 x y= ´31 x 1 12 'ß3 x¤ 15₃ x y O 1 -1 4 x™-2y™=1

22

ㄱ. 쌍곡선 - =1의 점근선의 방정식 ㄴ. 은 y=—x이므로 쌍곡선 - =1과 직선 ㄴ. y=x+10의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다. ∴ f(10)=1 (참) ㄴ. 쌍곡선 - =1의 점근선의 방정식의 기울기가 ㄴ. 직선 y=x+n의 기울기보다 큰 경우, 즉 1< 일 ㄴ. 때, 그래프를 그리면 다음 그림과 같다. ㄴ. 따라서 n>10일 때, f(n)=2이다. (참) ㄷ. 쌍곡선 - =1의 점근선의 방정식의 기울기가 ㄴ. 직선 y=x+n의 기울기보다 작은 경우, 즉 1> 일 ㄴ. 때, 그래프를 그리면 다음 그림과 같다. n 155₁₀ y¤ 14_n¤ x¤ 1455_10¤ -10 -10 -n n 10 10 y=x+n _{- =1} 10@ x@ n@ y@ O x y n 155₁₀ y¤ 14_n¤ x¤ 1455_10¤ -10 10 10 O x y y=x+10 10@- =1 x@ 10@ y@ y¤ 1455_10¤ x¤ 1455_10¤ y¤ 1455_10¤ x¤ 1455_10¤

ㄴ. 따라서 n<10일 때, f(n)=0이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ②

23

x= 에서 = yy ㉠ y= 에서 = yy ㉡ ㉠-㉡을 하면 = -∴ - =1 따라서 점 (x, y)가 나타내는 이차곡선은 쌍곡선이고, 두 초점의 좌표가 (10, 0), (-10, 0)이므로 두 초점 사이 의 거리는 20이다. 20

24

P’AÚ= , P’B’= 이므로 P’A”¥P’B’= =20 즉, 점 P(a, b)의 자취는 |a¤ -4b¤ |=100 이때, a¤ +b¤ =r¤ 으로 놓으면 r는 두 쌍곡선 a¤ -4b¤ =100, 4b¤ -a¤ =100 과원점을 중심으로 하는 원이 만나게 하는 반지름의 길이 를 의미한다. 따라서 r의 최솟값은 5이므로 a¤ +b¤ 의 최솟값은 5¤ =25이다. |a¤ -4b¤ | 111233₅ |a+2b| 11134 'ß5 |a-2b| 11134 'ß5 y¤ 155₃₆ x¤ 155₆₄ y¤ 155₃₆ x¤ 155₆₄ 1-sin¤ h 11115_{cos¤ h} y¤ 155₃₆ sin¤ h 11345_{cos¤ h} 6sinh 111_cosh x¤ 155₆₄ 1 11345_{cos¤ h} 8 1135_cosh O x y -10 -10 10 n -n 10 y=x+n - =1 10@ x@ n@ y@ 25

25

우진이의 집으로부터 우체국과 학교까지의 거리 의 차는, 혜민이의 집으로부터 우체국과 학교까지의 거리 의 차와 같으므로 우진이와 혜민이의 집은 우체국과 학교 를 두 초점으로 하는 쌍곡선 위에 있다고 볼 수 있다. 우체국과 학교의 위치를 각각 (100, 0), (-100, 0)이 라 하고, 쌍곡선의 방정식을 - =1(a>0, b>0) 이라 하면 2a=120, c=100 이므로 b="√c¤ -≈aΩ¤ =80 쌍곡선 - =1 위의 점 중에서 y좌표가 -80인 두 점의 좌표는 (60'ß2, -80), (-60'ß2, -80) 이므로 우진이와 혜민이의 집 사이의 거리는 120'ß2 m이다. 120'2 m y¤ 1544_80¤ x¤ 1544_60¤ O -60 -80 60 100 -100 x y 학교 우체국 혜민이의 집 우진이의 집 x@ -60@ y@₌₁ 80@ y¤ 15_b¤ x¤ 15_a¤ 5 -5 -10 O 10 a b

10

정답 및 해설

26

위의 그림과 같이 F('1ß3, 0) 이외에 쌍곡선의 또 다른 초점을 F'(-'1ß3, 0)이라 하면 △QPF'™△PQF이므 로 Q’F’=P’F'”이다. 또한, 쌍곡선의 정의에 의해 f(x)=Q’F’-P’F’=P’F'”-P’F’=6 ∴:#2 5 f(x)dx=:#2 5 6dx=132 132

27

Ax¤ +y¤ +2x-4y+5A=0에서 A{x+ }¤ +(y-2)¤ =-5A+ +4

위의 식이 y축에 평행한 주축을 갖는 쌍곡선이 되기 위해 서는

A<0 yy ㉠

-5A+ +4>0 yy ㉡

㉡의 양변에 -A를 곱하면

5A¤ -4A-1>0, (5A+1)(A-1)>0

∴ A<- 또는 A>1 yy ㉢ ㉠, ㉢에서 A<-A<-11 5 1 1 1₅ 1 1₅ 1 15_A 1 15_A 1 15_A F' P Q F O x y Â13· -Â13· 9- =1 x@ 4 y@

28

내심의 정의에 의해 초점 F는 ∠AOB의 이등분선 위에 있어야 한다. 포물선 y¤ =4x는 x축에 대하 여 대칭이고, ∠AOF=∠BOF이므로 두 점 A, B는 x축에 대하여 대칭이다. 즉, AF”=B’F’ 또한, 점 F는 ∠OAB의 이등분선 위의 점이기도 하므로 △AOH에서 각의 이등분선의 정리를 적용하면 OA” : AH”=OF” : FH”가 성립한다.

즉, 점 A의 좌표를 (a¤ , 2a)로 놓으면 a"√a¤ +≈4 : 2a=1 : (a¤ -1) ∴ 2=(a¤ -1)"√a¤ +≈4 이제 a¤ =T(T>0)로 놓고 식을 제곱하여 정리하면 T(T¤ +2T-7)=0에서 T¤ +2T-7=0 근의 공식에 의해 T=-1+2'2 포물선의 정의에 의해 A’F’=BF”=A’A'”=1+a¤ =2'ß2 ∴ A’F’+B’F’=4'ß2 ②

29

타원의 제1사분면 위의 한 점을 P(a, b)라 하 고, 직사각형의 넓이를 S라 하면 S=4ab이다. a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 1= + æ2æ≠ ≠¥ — =2¥ , ab… ∴ S=4ab…30 따라서 S의 최댓값은 30이다. [다른 풀이] 타원 + =1 위의 한 점의 좌표를 (5cosh, 3sinh)라 할 수 있으므로 주어진 점을 제1사분 면 위의 점이라 하면 직사각형의 넓이 S는 y¤ 15₉ x¤ 155₂₅ 15 145₂ ab 145₁₅ b¤ 15₉ a¤ 155₂₅ b¤ 15₉ a¤ 155₂₅ y@=4x A A' B' B O x y F H

기하와 벡터

Ⅰ-1. 이차곡선

내신・모의고사 대비 TEST

S=60sinh cosh=30sin2h 이때, -1…sin2h…1이므로 S의 최댓값은 30이다. ③

30

타원 + =1에서 타원의 정의에 의해 FP”+P’F'”=2'4å9=14 이고, FP”=9이므로 P’F'”=14-9=5 직각삼각형 PHF에서 FP”=9, FH”=6'2이므로 PH”="√9¤ -(6'2)¤ ='9=3 ∴ HF'”=PF'”-PH”=5-3=2 따라서 직각삼각형 FHF'에서 F’F'”="√2¤ +√(6'2 )¤ ='7å6 …… ㉠ 한편, 타원 + =1의 초점의 좌표는 F('4ƒ9-a, 0), F'(-'4ƒ9-a, 0) 이므로 F’F'”=2'4ƒ9-a …… ㉡ ㉠`, ㉡`에서 2'4ƒ9-a='7å6 196-4a=76, 4a=120 ∴ a=30 ②

31

쌍곡선의 방정식을 - =1 (a>0, b>0) 이라 하면 점근선의 방정식이

y=—;aB;x, 즉 y=—2x

이므로 ;aB;=2 ∴ b=2a yy ㉠ y¤ 14_b¤ x¤ 14_a¤ y¤ 13_a x¤ 13₄₉ y¤ 13_a x¤ 13₄₉ 쌍곡선의 또 다른 초점을 F'이라 하면_{PF”=2MF”, F'F”=F'O”+OF”=2OF”} 이므로 삼각형의 중점연결정리에 의해 PF'”=2OM”=12 이때, 쌍곡선의 정의에 의하여

|

PF'”-PF”

|

=2a이므로 2a=12-6=6 ∴ a=3, b=6 (∵ ㉠) 쌍곡선의 방정식은 - =1이므로 F'(-"√3¤ +6¤ , 0), F("√3¤ +6¤ , 0) ∴ F'(-3'5, 0), F(3'5, 0) 따라서 선분 OF의 길이는 3'5이다. ② y¤ 14_6¤ x¤ 14_3¤ x y O F F' M P

∴ = =

0

3

=3에서 h 1⁄ 1일 때, (분모)1⁄ 0이므로 (분자) 1⁄ 0이어야 한다. 즉, f(1)=1이므로 =f'(1)=3 점 (1, a)가 곡선 yf(x)-2=0 위의 점이므로 af(1)-2=0 ∴ a=2 음함수 yf(x)-2=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 (yf(x))+ (-2)=0 yf'(x)+ (yf(x))¥ =0 yf'(x)+f(x) =0 ∴ =- y 점 (1, a)에서의 접선의 기울기가 b이므로

- a=b, -3a=b ∴ b=-6(∵ a=2)

-6

0

4

=2t+ , =1+ 이므로 = = = ∴ = 11333t‹ +2 =1 1 2t› +t lim t⁄1 dy 125_dx lim t⁄1 t‹ +2 11333_{2t› +t} 2 1+13 t‹ 1 2t+13 t¤ dy 123_dt dx 123_dt dy 125_dx 2 13_t‹ dy 125_dt 1 13_t¤ dx 125_dt f'(1) 1251_f(1) f'(x) 1251_f(x) dy 125_dx dy 125_dx dy 125_dx d 125_dy d 125_dx d 125_dx f(h)-f(1) 111112_h-1 lim h⁄1 f(h)-1 111144_h-1 lim h⁄1 1 11111233 12‹"√(t¤ +2t)¤ dy 125_dx 1 1 11111111122333333 12‹ "√(t¤ +2t)¤ `

0

1

y를 x의 함수로 보고, 양변을 x에 대하여 미분 하면 (xy¤ )+ _(2'x)- (8)=0 y¤ + (xy¤ )¥ + =0 y¤ +2xy + =0 ∴ = _{{-y¤ - }} 따라서 점 (4, 1)에서의 접선의 기울기는 - 이다. ③

0

2

x=(2t+2)¤ 에서 =2(2t+2)¥(2t+2)'=8t+8 y=‹"√t¤ +2t에서 = (t¤ +2t)-;3@;_{¥(t¤ +2t)'} = (t¤ +2t)-;3@;_¥(2t+2) ∴ = = 1 1`(t¤ +2t)-;3@;_¥(2t+2) 3 1111111111_8t+8 dy 123_dt dx 123_dt dy 1 12255_dx 1 1₃ 1 1₃ dy 125_dt dx 125_dt 3 1 122₁₆ 1 133 'x 1 1323_2xy dy 125_dx 1 133 'x dy 125_dx 1 133 'x dy 125_dx d 125_dy d 125_dx d 125_dx d 125_dx Ⅰ-2. 평면 곡선의 접선 본문 374~377쪽 01③ 02 = 03 -6 04 1 05② 06③ 07③ 08④ 09② 10④ 11④ 12 52 13① 14③ 15 12 16④ 17 15 18⑤ 19 55 1 11111233 12‹"√(t¤ +2t)¤ dy 125_dx

0

5

접점의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 접선의 방정 식은 yy¡=4(x+x¡) 이 직선이 점 (-2, 1)을 지나므로 y¡=-8+4x¡ yy ㉠ 또한, 점 (x¡, y¡)이 곡선 위의 점이므로 y¡¤ =8x¡ yy ㉡ ㉠`에서 x¡= (y¡+8)을 ㉡`에 대입하면 y¡¤ =2(y¡+8) y¡¤ -2y¡-16=0 위 이차방정식의 두 근을 각각 a, b라 하면 a+b=2, ab=-16 이고 접선의 기울기는 , 이다. 따라서 기울기의 합은 + = = + =-[다른 풀이] 기울기가 m이고, 포물선 y¤ =8x에 접하는 직 선의 방정식은 y=mx+ 이다. 이 접선이 점 (-2, 1)을 지나므로 1=-2m+ 양변에 m을 곱하고 식을 정리하면 2m¤ +m-2=0 yy ㉠ 이때, ㉠에서 판별식 D=1¤ -4_2_(-2)>0이므로 ㉠은 서로 다른 두 실근을 가진다. 따라서 근과 계수의 관계에 의해 기울기의 합은 - 이다. ② 1 1 1₂ 2 13_m 2 13_m 1 1 1₂ 8 114_-16 4(a+b) 1111_ab 4 1_b 4 1_a 4 1_b 4 1_a 1 1₄

0

6

위의 그림과 같이 포물선 y¤ =16x와 직선 y=x+7 사이 의 최단거리는 기울기가 1이고 포물선 y¤ =16x에 접하는 직선의 접점에서 직선 y=x+7 사이의 거리와 같다. 접점의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 접선의 방정식은 yy¡=8(x+x¡) ∴ y= x+ 기울기가 1이므로 =1 ∴ y¡=8, x¡=4 따라서 접점 (4, 8)에서 직선 y=x+7까지의 거리 d가 구하는 최단거리이므로 d= = ③

0

7

접선 l의 방정식은 8y=4(x+8)이므로 직선 l과 평행한 직선의 기울기는 이고, F(2, 0)이므로 직 선 m의 방정식은 y= (x-2) 이때, 직선 m과 직선 y=8의 교점의 좌표를 구하면 8= (x-2)에서 x=18이므로 Q(18, 8) ∴ FQ”="√(18√-2)√¤ +8Ω¤ ='3∂20=8'ß5 ③ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 3'ß2 1 1223333₂ |4-8+7| 111134 'ß2 8 14_y¡ 8x¡ 142_y¡ 8 14_y¡ O x y y=x+7 y@=16x (4, 8) 7

0

8

접점의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 접선의 방정 식은 3x¡x+4y¡y=16 yy ㉠ 이 직선이 점 (4, 2)를 지나므로 12x¡+8y¡=16 yy ㉡ 또한, 점 (x¡, y¡)은 타원 위의 점이므로 3x¡¤ +4y¡¤ =16 yy ㉢ ㉡에서 2y¡=4-3x¡을 ㉢에 대입하면 3x¡¤ +(4-3x¡)¤ =16 x¡¤ -2x¡=0, x¡(x¡-2)=0 ∴ x¡=0, y¡=2 또는 x¡=2, y¡=-1 이것을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은 y=2 또는 3x-2y=8 따라서 접선들의 기울기의 합은 이다. ④

0

9

기울기가 m이고, 타원 + =1에 접하는 직선의 방정식은 y=mx—"√9m¤ √+16이다. y=mx—"√9m¤ √+1Ω6, y-mx=—"√9m¤ √+16 양변을 제곱하고 m에 대하여 정리하면 (x¤ -9)m¤ -2xym+y¤ -16=0 yy ㉠ ㉠의 두 근을må, m∫라 하면 두 접선이 서로 수직이므로 må_m∫=-1 그런데 ㉠에서 근과 계수의 관계에 의해 =-1 ∴ x¤ +y¤ =25 따라서 점 P의 자취의 길이는 2_p_5=10p ② y¤ -16 11233_{x¤ -9} y¤ 155₁₆ x¤ 15₉ 3 1 1₂

10

타원 x¤ +3y¤ =3과 직선 y=x+7 사이의 최단 거리는 기울기가 1이고 타원 x¤ +3y¤ =3에 접하는 접선 의 접점에서 직선 y=x+7까지의 거리와 같다. 접점의 좌표를 (x¡, y¡)(x¡<0, y¡>0)이라 하면 접선의 방정식은 x¡x+3y¡y=3 기울기가 1이므로 =1 ∴ x¡=-3y¡ yy`㉠ 접점 (x¡, y¡)은 타원 위의 점이므로 x¡¤ +3y¡¤ =3 yy`㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 12y¡¤ =3 y¡¤ =;4!; ∴ y¡=;2!;, x¡=-;2#; 따라서 점 {-;2#;, ;2!;}에서 직선 x-y+7=0까지의 거리는 = ④

11

△ABC의 넓이는 오른쪽 그림과 같이 두 점 A, B를 지 나는 직선에 평행한 직선 l과 타원의 접점 이 C가 될 때 최대가 된다. 두 점 A(2, 0), B(0, 1)을 지나는 직선의 방정식은 y={ }x+1, 즉 y=- x+1 접점 C의 좌표를 (x¡, y¡)(x¡<0, y¡<0)이라 하면 접선 의 방정식은 x¡x+4y¡y=4 이 접선의 기울기가 - 이므로 - =-11 2 x¡ 12_4y¡ 1 1₂ 1 1₂ 0-1 1155_2-0 -2 2 1 -1 O x x@+4y@=4 y A C B l 5'ß2 1 1223333₂ |-;2#;-;2!;+7| 1111341345 'ß2 -x¡ 1522_3y¡

∴ x¡=2y¡ yy`㉠ 접점 (x¡, y¡)은 타원 위의 점이므로 x¡¤ +4y¡¤ =4 yy`㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 y¡¤ = ∴ y¡=- , x¡=-'2 이때 점 C{-'2, - }에서 직선 x+2y-2=0 까지의 거리가 △ABC의 높이이므로 높이는 = 따라서 △ABC의 넓이의 최댓값은 _'ß5_ ='ß2+1 ④

12

쌍곡선 - =1 위의 점 (a, b)에서의 접 선의 방정식은 - =1 이때, 이 접선이 타원 +y¤ =1의 넓이를 이등 분하므로, 이 접선은 타원의 중심(2, 0)을 지난다. 즉, -0=1, 2a=12 ∴ a=6 한편, 점(a, b)는 쌍곡선 - =1 위의 점이므로 - =1 a=6을 위의 식에 대입하면 - =1, =2 ∴ b¤ =16 ∴ a¤ +b¤ =36+16=52 52 b¤ 1₈ b¤ 1₈ 36 155₁₂ b¤ 1₈ a¤ 155₁₂ y¤ 1₈ x¤ 15₁₂ 2a 155₁₂ (x-2)¤ 11125₄ by 155₈ ax 155₁₂ y¤ 1₈ x¤ 15₁₂ 2+2'ß2 511153 'ß5 1 1₂ 2+2'ß2 511153 'ß5 |-'ß2-'ß2-2| 51115351115 'ß5 '2 12₂ '2 12₂ 1 1₂

13

쌍곡선 x¤ - =1 위의 점 (2, 3)에서의 접 선의 방정식은 2x- =1 ∴ y=2x-1 따라서 이 접선이 y축과 만나는 점의 y좌표는 -1이다. ①

14

점 B의 좌표를 (x¡, y¡),점 C의 좌표를 (x™, y™)라 하면 타원 위의 점 B에서의 접선의 방정식은 + =1 yy ㉠ 타원 위의 점 C에서의 접선의 방정식은 + =1 yy ㉡ ㉠, ㉡은 모두 점 (4, 3)을 지나므로 x¡+y¡=1, x™+y™=1 yy ㉢ 즉, 두 점 B와 C를 지나는 직선의 방정식은 x+y=1이 므로 점 A(4, 3)에서 직선 x+y=1까지의 거리를 d라 하면 d= _=3'ß2 또한, x+y=1과 + =1을 연립하여 y를 소거하면 7x¤ -8x-8=0 이 방정식의 두 실근을 a, b라 하면 a+b= ,

ab=-∴ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab

∴ (a-b)¤= ∴ |a-b|=1155512'ß2₇ 288 1255₄₉ 8 1₇ 8 1₇ y¤ 15₃ x¤ 14₄ |4+3-1| 13441344255 '2 y™y 1344₃ x™x 1344₄ y¡y 1344₃ x¡x 1344₄ 3y 144₃ y¤ 15₃

오른쪽 그림에서 직선 BC 의 기울기는 -1이므로 BC”='ß2|a-b| BC”= 따라서 △ABC의 넓이 S는 S= _BC”_d S= _ _{_3'ß2=} ③

15

y¤ =nx=4¥ ¥x이므로 이 포물선의 초점의 좌표는 { , 0} 이 포물선 위의 한 점 (n, n)에서의 접선의 방정식은 ny= (x+n), nx-2ny+n¤ =0 ∴ x-2y+n=0 (∵ n은 자연수) 따라서 초점과 접선 사이의 거리 d는 d= = = n 이때, d¤ =;1∞6;n¤ æ40이려면 n¤ æ128이어야 한다. 11¤ =121, 12¤ =144이므로 구하는 자연수 n의 최솟값은 12이다. 12

16

쌍곡선 x¤ -y¤ =2 밖의 한 점 (-1, 0)에서 이 쌍곡선에 그은 접선의 접점을 (a, b)라 하면 접선의 방정 식은 ax-by=2이고, 이때 점 (-1, 0)이 이 접선 위의 '5 12₄ 5 1n₄ 52315 '5 n |1+n|₄ 511125 'ƒ1+4 n 1₂ n 1₄ n 1₄ 36'ß2 1 111553344₇ 24 155₇ 1 1₂ 1 1₂ 24 155₇ x B C 7 12Â2 k k x+y=1 Â2k 점이므로 -a=2 ∴ a=-2 점 (a, b)는 쌍곡선 x¤ -y¤ =2 위의 점이므로 a¤ -b¤ =2, 4-b¤ =2, b¤ =2 _{∴ b=—'2} 따라서 구하는 접선의 방정식은 ‡ _HjK ‡ 이므로 m=—'2, n=—'2 (복부호동순) ∴ m¤ +n¤ =2+2=4 ④

17

점 P(4, k)가 쌍곡선 - =1 위의 점이 므로 - =1 yy ㉠ 또한, 쌍곡선 - =1 위의 점 P(4, k)에서의 접 선의 방정식은 - =1 이때, 선분 F'F를 2 : 1로 내분하는 점(1, 0)이 이 접선 위의 점이므로 =1 ∴ a¤ =4 yy ㉡ 초점의 좌표가(—3, 0)이므로 a¤ +b¤ =3¤ ∴ b¤ =5 yy ㉢ ㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면 :¡4§:- =1, =3 ∴ k¤ =15 15 k¤ 12₅ k¤ 12₅ 4 15_a¤ ky 12_b¤ 4x 12_a¤ y¤ 12_b¤ x¤ 12_a¤ k¤ 12_b¤ 16 12_a¤ y¤ 12_b¤ x¤ 12_a¤ y='2x+'2 y=-'2x-'2 -2x+'2y=2 -2x-'2y=2

18

ㄱ. P’R’=x¡+p이고, 점 P(x¡, y¡)을 지나는 접선의 방 정식은 y¡y=2p(x+x¡)이므로 이 식에 y=0을 대입 하면 x=-x¡ ∴ Q(-x¡, 0) ∴ FQ”=x¡+p=P’R’ (참) ㄴ. ㄱ에 의해 PR”=FQ”, 포물선의 정의에 의해 P’F’=P’R’ 이므로 PRQF는 마름모이다. 이때, 직선 l은 마름 모 PRQF의 대각선이므로 ∠FPR를 이등분한다. (참) ㄷ. ㄴ에 의해 PRQF는 마름모이고, 점 R는 준선 x=-p 위의 점이므로 점 R의 좌표는 (-p, y¡)이다. 따라서 FR”의 중점의 좌표는 {0, }이다. (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤

19

포물선 y¤ =4x 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선의 방정식은 y¡y=2(x+x¡) 이 직선이 점 (-n, 0)을 지나므로 0=2(-n+x¡) ∴ x¡=n` yy`㉠ 한편, 점 (x¡, y¡)은 포물선 위의 점이므로

y¡¤ =4x¡, y¡=2'∂x¡ ∴ y¡=2'n`(∵ ㉠)

따라서 이 직선은 두 점 (-n, 0), (n, 2'n)을 지나므로 기울기 a«은 a«= = ∴ { }¤ = n=112310¥11₂ =55 10

¡

n=1 1 13_a« 10

¡

n=1 'n 132_n 2'n 1313131_n-(-n) y¡ 15₂ F Q P R O x x=-p y y@=4px l [다른 풀이] 포물선 y¤ =4x에 접하고 기울기가 a«인 직선 의 방정식은 y=a«x+ 이다. 이 접선이 점 (-n, 0)을 지나므로 0=a«_(-n)+ ∴ a«¤ = 따라서 { }¤ =n이므로 { }¤ = n= =55 55 10¥11 1123₂ 10

¡

n=1 1 13_a« 10

¡

n=1 1 13_a« 1 1_n 1 13_a« 1 13_a«

Ⅱ- 1. 벡터와 그 연산 본문 378~380쪽 01④ 02④ 03ㄹ 04④ 05② 06③ 07 2 08 -1 09 10 10 32 11 12④ 13⑤ 14 6 15 16 4'3 4 1₃ 1 1₅ SU M MA CU M L AU D E

0

1

ㄱ. AB≥=O’C≤=E’D≥=FO≥ (참) ㄴ. -O’A≥=AO≥=O’D≥ (참) ㄷ. |B’E≤|=B’E’=2 (참) ㄹ. AE”와 OF”의 교점을 H라 하면 ㄹ.직각삼각형 AOH에서 ∠AOH=60˘이므로

ㄹ.AO” : AH”=2 : '3 ∴ AH”= , AE”='3

ㄹ. ∴ |AE≥|=AE”='ß3 (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ④

0

2

2(a¯-b¯)+3b¯=2a¯+b¯ 2(a¯-b¯)+3b¯=2(-2, 3)+(2, -1) 2(a¯-b¯)+3b¯=(-2, 5) ∴ |2(a¯-b¯)+3b¯|="√(-2)¤ +5¤ ='∂29 ④

0

3

벡터 AB≥와 보기에 주어진 네 벡터 C’D≥, EF≥, G’H≥, IÆJ≤를 좌표평면 위에 나타내면 다음과 같다. '3 155₂ 따라서 벡터 AB≥와 같은 벡터는 ㄹ. IÆJ≤뿐이다. ㄹ

0

4

3x¯+4y¯=a¯ yy ㉠ 4x¯-y¯=b¯ yy ㉡ ㉠+㉡_4에서 19x¯=a¯+4b¯ ∴ x¯= a¯+ b¯ x¯를 ㉡에 대입하면

y¯=4{ a¯+ _b¯}-b¯= a¯- b¯

따라서

x¯+y¯={ a¯+ _b¯}+{ a¯- _b¯}

= a¯+ b¯ 이므로 k-l= - = ④

0

5

두 벡터 4a¯+mb¯, 12a¯-3b¯가 서로 평행하므로 0이 아닌 실수 k에 대하여 4 1 14455₁₉ 1 155₁₉ 5 155₁₉ 1 155₁₉ 5 155₁₉ 3 155₁₉ 4 155₁₉ 4 155₁₉ 1 155₁₉ 3 155₁₉ 4 155₁₉ 4 155₁₉ 1 155₁₉ 4 155₁₉ 1 155₁₉ O A B H 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 -1 -2 -3 2 3 4 D C G I J E F x y

12a¯-3b¯=k(4a¯+mb¯) 가 성립하고, 두 벡터 a¯, b¯는 서로 평행하지 않으므로 4k=12, mk=-3 ∴ k=3, m=-1 ②

0

6

주어진 사다리꼴을 그려 보면 다음과 같다. C’A≥=C’B≤+B’A≥=b¯+(-a¯) DB≥=DC≥+CB≥= _{a¯+b¯ {∵ DC≥= AB≥}} ∴ C’A≥+DB≥=b¯+(-a¯)+ a¯+b¯ ∴ C’A≥+DB≥= a¯+2b¯ ③

0

7

(x¤ +2x)a¯+(x+4y)b¯ =(8+2x+y¤ )a¯+(2+3y)b¯에서 g , 즉g ㉡을 ㉠에 대입하면 x¤ =8+(2-x)¤ , 4x=12 ∴ x=3, y=-1 ∴ x+y=2 2

0

8

세 점 A, B, C가 일직선 위에 있으므로 AC≥=kAB≥ (단, k+0) AC≥=OC≥-O’A≥=(ma¯+2b¯)-a¯ x¤ =8+y¤ yy ㉠ y=2-x yy ㉡ x¤ +2x=8+2x+y¤ x+4y=2+3y 1 1 1₂ 3 1₂ 3 1₂ 3 1₂ A B C D a b =(m-1)a¯+2b¯ AB≥=OB≥-O’A≥=b¯-a¯ ∴ (m-1)a¯+2b¯=k(b¯-a¯)=-ka¯+kb¯ a¯, b¯는 서로 평행하지 않으므로 m-1=-k, 2=k ∴ k=2, m=-1 -1

0

9

위의 그림과 같이 정십각형에 외접하는 원을 그렸을 때, ∠AEF=∠EAJ= 이므로 사각형 AEFJ는 직사각 형이다. ∴ AE≥+A’J¯=AF≥ 같은 방법으로 AB≥+AG≥=AF≥, AC≥+A’H≥=AF≥, AD≥+A’I¯=AF≥ 또한, |D’H≥+DC≥|=|D’I¯|=2 ∴ |AB≥+AC≥+A’D≥+AE≥+AF≥ +AG≥+A’H≥+A’I¯+A’J¯| ∴=|(AE≥+A’J¯)+(AB≥+AG≥)+(AC≥+A’H≥) +(A’D≥+A’I¯)+AF≥| ∴=5|AF≥|=5|D’I≤|=10 10

10

2a¯-b¯=b¯+c¯에서 2a¯-2b¯-c¯=0¯이므로 a¯=(2, 3), b¯=(x, -1), c¯=(-4, y)일 때, 2a¯-2b¯-c¯=2(2, 3)-2(x, -1)-(-4, y) p 1₂ A B C D E F G H I J

2a¯-2b¯-c¯=(8-2x, 8-y)=(0, 0) 8-2x=0, 8-y=0이므로 x=4, y=8 ∴ xy=32 32

11

오른쪽 그림과 같이 벡터 a¯, b¯를 정하면 AB≥=2a¯-b¯, AC≥=a¯+2b¯, AD≥=4a¯+b¯ AD≥=pAB≥+qAC≥에서 4a¯+b¯=p(2a¯-b¯)+q(a¯+2b¯) 4a¯+b¯=(2p+q)a¯+(-p+2q)b¯ 따라서 2p+q=4, -p+2q=1이므로 연립하여 풀면 p= , q= ∴ p-q=

12

-a¯+b¯+c¯=-AB≥+BC≥+CD≥ =BA≥+BC≥+CD≥ =CD≥+CD≥ =2CD≥=BE≥ ④

13

△BCD에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 BD”∥MN”, MN”= BD” ∴ BD≥=2MN≥=2(AN≥-AM≥) =-2AM≥+2AN≥ 따라서 x=-2, y=-2이므로 xy=4 ⑤ 1 1₂ 1 1₅ 1 1 1₅ 6 1₅ 7 1₅ C A B D a b

14

OF≥=F'O≥이므로 |OP≥+OF≥|=|OP≥+F'O≥| =|F'O≥+OP≥|=|F'P≥| ∴ |F'P≥|=4 타원의 정의에 의하여 PF”+PF'”=2¥5=10이므로0 |PF≥|+|PF'≥|=10 ∴ |PF≥|=10-|PF'≥|=10-|F'P≥| =10-4=6 따라서 선분 PF의 길이는 6이다. 6

15

AB≥=a¯, AC≥=b¯라 하면 AP≥= a¯

AQ≥=kQC≥에서 |AQ≥| : |QC≥|=k : 1이므로 AQ≥= b¯¯

한편 BC≥=AC≥-AB≥=b¯-a¯이므로 BM≥= BC≥= b¯¯- a¯¯

∴ AM≥=AB≥+BM≥=a¯+ b¯¯- a¯¯= a¯¯+ b¯¯

점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AG≥= AM≥= _{ a¯¯+ _b¯¯}

AG≥= a¯¯+ b¯¯

이때, 세 점 P, G, Q가 한 직선 위에 있으므로 PQ≥=tPG≥ (t+0)

AQ≥-AP≥=t(AG≥-AP≥)

∴ b¯¯- _{a¯=t{ a¯¯+ b¯¯- a¯}}

∴ b¯¯= a¯=- a¯¯+ b¯¯ a¯, b¯가 서로 평행하지 않으므로 t 1₃ 7t 13₁₅ 4 1₅ 1 1₃ 1 1₃ 4 1₅ k 112_1+k 1 1₃ 1 1₃ 1 1₂ 1 1₂ 2 1₃ 2 1₃ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ k 112_1+k 4 1₅

- =- , = ∴ t= , k=

16

a¯+b¯+c¯=0이므로 4a¯+6b¯+2c¯=2(a¯+b¯+c¯)+2a¯+4b¯ =2a¯+4b¯ 오른쪽 그림과 같이 △ABC에서 BC”의 연 장선 위에 BC”=CD”가 되도록 점 D를 잡으면 △ABD는 BD”=4, ∠A=90˘인 직각삼각형이다. a¯+2b¯=AB≥+BD≥=AD≥이므로 |4a¯+6b¯+c¯|=|2a¯+4b¯|=2|a¯+2b¯|=2|AD≥| |4a¯+6b¯+c¯|_{=2"√4¤ -2¤ =2'∂12=4'3} 4'3 A 60˘ 30˘ B _C D c a b 2 4 1₃ 4 1 1₃ 12 13₇ t 1₃ k 112_1+k 7t 13₁₅ 4 1₅

0

1

+ =1에 y=3.2를 대입하면 x=—3 그런데 + =1의 초점은 (—3, 0)이므로 x=—3은 초점을 지나는 직선이며 이를 그림으로 나타내 면 다음과 같다. 이때, ∠F'FP가 직각이므로 cos(∠PF'F)= ∴ F’'P≥ • F’'F≥=|F’'P≥||F’'F≥|cos(∠PF'F) =|F’'F≥|¤ =36 36

0

2

O’P≤= , OQ≥=2b¯-a¯ ∴ OR≥= 3b¯+2a¯ 1_(2b¯-a¯)+5_11145 5 12111111112134₆ 3b¯+2a¯ 11135₅ 4 -3 -5 -4 3 5 F' F P _y=3.2 O x y 25+ =1 x@ 16 y@ F’'FÚ 1234_F’'PÚ y¤ 155₁₆ x¤ 155₂₅ y¤ 155₁₆ x¤ 155₂₅ ∴ OR≥= a¯+ b¯ ⑤

0

3

A’IÆ는 ∠A의 이등분선이므로 BD” : CD”=AB” : AC” =3 : 2 ∴ AD≥= a¯+ b¯

∴ BD≥=A’D≥-AB≥= a¯+ b¯-a¯

=- a¯+ b¯ ①

0

4

O’P’=O’F’이므로, 점 P는 쌍곡선 - =1 과 원 x¤ +y¤ =64의 교점 중 제1사분면 위의 점이다. 원의 지름에 대한 원주각은 항상 90˘이므로 ∠F'PF=90˘이다. 즉, cos(∠PF'F)= 이므로 øπF’'F≥π • F’∑'P≥=æ|≠F’'F≥≠|_≠|F’'≠P≥|≠_≠ — =øπ|F’'Pμ≥|¥¤ =|F’'P≥| 타원의 정의에 의해 PF'”+PF”=12 F’'P” 12545_F’'F” F’'P” 12545_F’'F” F' F P O x y 36- =1 x@ 28 y@ y¤ 155₂₈ x¤ 155₃₆ 3 1 1₅ 3 1 1₅ 3 1₅ 2 1₅ 3 1₅ 2 1₅ A B I C 4 2 3 a b D 5 1 1₆ 1 1 1₆ Ⅱ- 2. 평면벡터의 성분과 내적 본문 381~384쪽 01 36 02⑤ 03① 04 98 05③ 06④ 07③ 08② 09 4 10 2 11② 12⑤ 13 19 14⑤ 15③ 16 4

P’F'”=x라 하면, P’F’=12-x, F’F'”=16이고 △F'PF에서 피타고라스 정리를 이용하면 x¤ +(12-x)¤ =16¤ , x¤ -12x-56=0 ∴ x=6+'9ß2 (∵ x>0) ∴ a+b=6+92=98 98

0

5

△ABC= _BC”_2 = |AB≥||AC≥|sinh=1 ∴ |AB≥||AC≥|= ∴ AB≥ • AC≥=|AB≥||AC≥|cosh

∴ AB≥ • AC≥= _cosh

∴ AB≥ • AC≥=2 cot h ③

0

6

점 O에서 AC”와 B’C’에 내린 수선의 발을 각각 H, I라 하 면 AO”=A’IÆ_ =3_ _ _='ß3 OH”= AO”= 한편, cos(∠DOH)=12'ß3₂ 에서 ∠DOH=30˘이고, 'ß3 12₂ 1 1₂ 2 1₃ 'ß3 12₂ 2 1₃ A 3 ₁ H 30æ D C B I O 2 1155_sinh 2 1155_sinh 1 1₂ 1 1₂ ∠AOH=60˘이므로 ∠AOD=30˘ ∴ O’A≥ • OD≥=|O’A≥||OD≥|cos(∠AOD) ='ß3¥1¥ = ④

0

7

AE”=2이므로 AC”=4 평행사변형의 넓이는 _AC”_BD”_sin60˘ 이므로 2= _4_BD”_ ∴ B’DÚ= , ED”= ∴ E’A≥ • E’D≥=|E’A≥||E’D≥|cos60˘ =2¥ ¥ = ③

0

8

ㄱ, ㄴ은 벡터의 사잇각이 예각이고, ㄷ은 둔각, ㄹ은 90˘이다.

ㄱ, ㄴ을 비교할 때에는 A’D≥가 공통이므로 AE≥와 AF≥를 각각 A’D≥에 정사영하여 길이가 긴 쪽의 내적이 더 크다. 즉, ㄱ이 ㄴ보다 크고, ㄷ은 음수, ㄹ은 0이다. 따라서 크기가 큰 순서대로 나열하면 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㄷ이다. ②

0

9

DGÍ가 AC≥와 만나는 점을 E라 하자. 'ß3 1 13344₃ 1 1₂ 'ß3 12₃ '3 12₃ 2'ß3 1234₃ '3 12₂ 1 1₂ 1 1₂ A B C D E 2 60æ 3 1 1₂ 'ß3 12₂

AG≥= AB≥+ AC≥, AD≥= AB≥

이때, 세 점 A, E, C가 일직선 위에 있으므로 0이 아닌 실 수 k에 대하여 AE≥=kAC≥라 할 수 있다. 또, 세 점 D, G, E는 동일 직선 위에 있으므로

AG≥=mAE≥+(1-m)AD≥라 할 수 있다. AB≥+ AC≥=mkAC≥+ (1-m)AB≥

= (1-m), =mk

∴ m= , k=

따라서 AE≥= AC≥이므로 a=3, b=1 ∴ a+b=3+1=4 4

10

O’A≥ • O’B≤ =(x+1)¥3x+(2x-1)(x-1) =5x¤ +1 f(x)=5x¤ +1이라 하면 x=0일 때, f(x)가 최솟값을 가지므로 O’A≥=(1, -1), O’B≤=(0, -1) cos(∠AOB)= cos(∠AOB)= cos(∠AOB)= ∴ sin(∠AOB)= ∴ =2 2 1 1331111534_{sin¤ (∠AOB)} 1 12 'ß2 1 12 'ß2 1¥0+(-1)¥(-1) 111111111 "√1¤ +(-1)¤ "√(-1)¤ O’A≥ • O’B≤ 111114_{|O’A≥||O’B≤|} 3 1₄ 3 1₄ 4 1₉ 1 1₃ 3 1₅ 1 1₃ 3 1₅ 1 1₃ 1 1₃ 3 1₅ 1 1₃ 1 1₃

11

벡터 O’P≤와 벡터 OQ≥가 이루는 각을 h라 할 때 …h…p이므로 -1…cosh…0 이때, |O’P≤||OQ≥|cosh…0이므로 cosh=0일 때 내적의 값이 최대이다. 즉, h= 일 때, 두 점 P, Q의 순서쌍 (P, Q)는 ((0, 3), (2, 0)), ((-3, 0), (0, -2))로 2개이다. ②

12

점 P의 좌표를 {t, }로 놓으면 AP≥=O’P≤-O’A≥={t-1, }, B’P≤=O’P≤-OB≥={t, -1} AP≥ • B’P≤=t¤ -t+ - =t¤ + _{-{t+ }} 이때, t+ =x라 하면 t¤ + =x¤ -8이므로 AP≥ • B’P≤=x¤ x8={x }¤ -그런데 t+ …-4 또는 t+ æ4 즉, x…-4 또는 xæ4이므로 AP≥ • B’P≤는 x=4일 때, 최솟값 4를 갖는다. ⑤ 4 1_t 4 1_t 33 155₄ 1 1₂ 16 155_t¤ 4 1_t 4 1_t 16 155_t¤ 4 1_t 16 155_t¤ 4 1_t 4 1_t 4 1_t p 1₂ O x y 2 -2 -3 3 Q P p 1₂

13

도형 F는 두 정점 (-4, 0)과 (4, 0)에 이르는 거리의 합이 10으로 일정한 점의 자취이므로 타원이다. 즉, 도형 F의 방정식은 + =1이다. 또한, 도형 G는 두 정점 (-4, 0)와 (4, 0)에 이르는 거 리의 차가 2'1ß0으로 일정한 점의 자취이므로 쌍곡선이 다. 즉, 도형 G의 방정식은 - =1이다. 이때, 타원 F와 쌍곡선 G의 교점을 지나는 도형의 방정식 을 구하면 { + -1}+k{ - -1}=0 yy ㉠ ㉠을 x와 y에 관한 내림차순으로 정리하면 { + } x¤ +{ - } y¤ =k+1 yy ㉡ ㉡이 원의 방정식이 되기 위해서는 x¤ 의 계수와 y¤ 의 계수 가 같아야 하므로 + = - ∴ k= k= 를 ㉡에 대입하면 x¤ +y¤ =19 ∴ m+n+k=0+0+19=19 19

14

벡터 x¯=(x, y)가 만족하는 방정식의 의미는 좌표평면 위의 두 정점 (1, 0)과 (-1, 0)까지의 거리의 합이 2'ß3으로 일정한 점의 자취이므로 타원이다. 4 155₁₅ 4 155₁₅ k 1₆ 1 1₉ 1 155₂₅ k 155₁₀ k 1₆ 1 1₉ 1 155₂₅ k 155₁₀ y¤ 233₆ x¤ 155₁₀ y¤ 233₉ x¤ 155₂₅ -5 -3 3 5 O x y G F y¤ 233₆ x¤ 155₁₀ y¤ 233₉ x¤ 155₂₅ 즉, + =1이다. 이때, 코시-슈바르츠 부등식에 의해 [{ }¤ +{ }¤]{('ß3)¤ +('ß2)¤ }æ(x+y)¤ 이므로 (x+y)¤ …5 ∴ -'ß5…x+y…'ß5 따라서 x+y의 최댓값은 'ß5이다. ⑤

15

방정식 ||x¯-a¯|-|x¯-b¯||=10은 좌표평면 위의 두 정점 A(7, 0)와 B(-7, 0)에 이르는 거리의 차 가 10인 점의 자취이다. 위의 그림과 같이 점 P의 자취의 방정식은 - =1 이므로 P’AÚ=a, P’B’=b라 하면 쌍곡선의 정의에 의해 |a-b|=10이다. 또한, ∠BPA=90˘이므로 a¤ +b¤ =196

∴ △BPA= ab= (2ab) = {(a¤ +b¤ )-(a-b)¤ } = (196-10¤ )=24 ③ 1 1₄ 1 1₄ 1 1₄ 1 1₂ y¤ 155₂₄ x¤ 155₂₅ -2Â6 2Â6 O 5 7 -7 -5 x y P B A b a 25- =1 x@ 24 y@ y 135 'ß2 x 135 'ß3 y¤ 233₂ x¤ 15₃

16

|a¯|=|b¯|=1, a¯ • b¯=cosh이므로 |a¯+2xb¯|¤ =|a¯|¤ +4x¥a¯ • b¯+4x¤ |b¯|¤

=1+4xcosh+4x¤ ∴ |a¯+2xb¯|="√4x¤ √+4√xco√sh+≈1 f(x)= = = = = =2cosh 0…h…p이므로 -2…2cosh…2 ∴ -2… f(x)…2 ∴ b-a=2-(-2)=4 4 lim x⁄0 4cosh 112455₂ 4x+4cosh 111111111355 "√4x¤ √+4√x co√s h+≈1+1 lim x⁄0 (4x¤ +4xcosh+1)-1 111111111113 x("√4x¤ √+4√xco√sh+≈1+1) lim x⁄0 "√4x¤ √+4√x co√s h+≈1-1 111111111355_x lim x⁄0 |a¯+2xb¯|-|a¯| 13111112_x lim x⁄0 lim x⁄0

0

1

속도를 v¯라고 하면 =6, =4t 이므로 점 P의 시각` t에서의 속도는 v¯=(6, 4t) 따라서 t=2에서의 속도는 v¯=(6, 8)이므로 t=2에서의 속력은 |v¯|="√6¤ +8¤ =10 10

0

2

속도를 v¯, 가속도를 a¯라고 하면 v¯=(1-sin t, 2-2cos t), a¯=(-cos t, 2sint) 따라서 t= 에서의 가속도는 a¯={-cos , 2sin }={- , 1} 이므로 t= 에서의 가속도의 크기는 |a¯|=æ≠{- }¤ +1¤ = '7 12₂ '7 1 122₂ '3 12₂ p 1₆ '3 12₂ p 1₆ p 1₆ p 1₆ dy 123_dt dx 123_dt

0

3

점 P가 시각 t=1에서 시각 t=3까지 움직인 거 리는 :!3 |v¯|dt=:!3 "√1¤ +2¤ dt :!3 |v¯|dt=['5t]3!=2'5 _2'5

0

4

점 P의 시각 t에서의 속도를 v¯라고 하면 v¯=(-2sin t, -2cos t) 따라서 점 P가 시각 t=0에서 시각 t=3까지 움직인 거리 는 :)3 |v¯|dt=:)3 "√(-2sin t)¤ +(√-2cos t)¤ dt :)3 |v¯|dt=:)3 2dt=[2t]3)=6 6

0

5

점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면 v(t)=f'(t)=-pasin{pt- } v(2)=2'3이므로 -pasin{2p- }=2'3 p_{a=2'3 ∴ a=} 따라서 t=2에서의 점 P의 위치는 f(2)= _{cos{2p- }} f(2)= ¥ =

0

6

=6, =6-6t 이므로 점 P의 시각 t에서의 속도를 v¯라 하면 dy 125_dt dx 125_dt 2 1_p 2 1 1_p 1 1₂ 4 1_p p 1₃ 4 1_p 4 1_p '3 12₂ p 1₃ p 1₃ Ⅱ- 3. 평면 운동 본문 385~387쪽 01 10 02 03 2'5 04 6 05 06 3 07③ 08 9 09⑤ 10 3+ ln2 11 12 12 13 P의 위치`(ap, 2a), 최대 속도 2a 14 -8p 15 16 +ln2 17 18 2 '2+'6 11133₂ 1 1₂ p 1₂ '6 12₃ 1 1₈ 2 1_p '7 12₂

v¯=(6, 6-6t)

따라서 점 P의 속력은 "√6¤ +(6-6t)¤ =6"√t¤ -2t+2

t=a일 때, 점 P의 속력을 6'5라 하면 6"√a¤ -2a+2=6'5, a¤ -2a+2=5 a¤ -2a-3=0, (a+1)(a-3)=0

∴ a=3 (∵ a>0) 3

0

7

='∂21, =3t¤ -5 이므로 점 P의 시각 t에서의 속도를 v¯라 하면 v¯=('∂21, 3t¤ -5) 속력이 11이므로 "√21+(3t¤ -5)¤ =11, (3t¤ -5)¤ =100 3t¤ -5=—10, t¤ =5 ∴ t='5 (∵ t>0) 또한, =0, =6t이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도를 a¯라 하면 a¯=(0, 6t) 따라서 시각 t='5에서의 가속도는 (0, 6'5)이므로 구하 는 가속도의 크기는 "√0+(6'5 )¤ =6'5 ③

0

8

t=0에서의 위치가 0이므로 t=a(0<a…2p) 일 때, 점 P의 위치는

0=:)a 2cosptdt=[ sinpt]a)

0=:)a 2cosptdt= sinpa

따라서 점 P가 원점을 지나면 sinpa=0, sinpa=0 2 1_p 2 1_p 2 1_p d¤ y 1255_dt¤ d¤ x 1255_dt¤ dy 125_dt dx 125_dt ∴ a=1, 2, y, 8, 9 (∵ 0<a…3p) 따라서 점 P는 원점을 9번 지난다. 9

0

9

=cost-2sint, =-sint-2cost 이므로 t=0에서 t=p까지 점 P가 움직인 거리는 :)p"√(cos t-2 sin t)¤ +√(-sin t-2 cos t)¤ dt

=:)p_{"√5(sin ¤ t+cos¤ t)dt} =:)p_{'5 dt=}['5t] p ) ='5p ⑤

10

y'=-2x+ 이므로 구하는 곡선의 길이는 :!2 æ≠1+{-2x+ }¤ dx =:!2 æ≠4x¤ + + dx =:!2 æ≠{2x+ _}¤ dx =:!2 {2x+ _}dx =[x¤ + lnx]2! =3+ ln 2 3+ ln2

11

속도를 v¯라고 하면 v¯=(-sin t, 1-2cos t)이므로 |v¯|="√(-sin t)¤ +√(1-2cos t)¤ |v¯|_{="√3cos¤ t-4cos t+2} 이때 f(t)=3cos¤ t-4cos t+2라 하고, 1 525₈ 1 552255₈ 1 525₈ 1 125_8x 1 125_8x 1 1252_64x¤ 1 525₂ 1 125_8x 1 125_8x dy 125_dt dx 125_dt

x=cos t (-1…x…1)로 놓으면 f(x)=3x¤ -4x+2=3{x- }¤ + 따라서 f(x)는 x= 일 때, 최솟값 를 가지므로 점 P의 속력의 최솟값은 æ =

12

=2_ =2f'(x) 이므로 2f'(x)=-2"√x¤ +2x에서 f'(x)=-"√x¤ +2x 따라서 0…x…4에서의 곡선 y=f(x)의 길이는 :)4 øπ1+(-"√x¤ +2x)¤ dx =:)4 "√(1+x)¤ dx=:)4 `(1+x)dx =[x+ x¤ ]4)=12 12

13

=a(1-cost), =asint (a>0)

이므로 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면 |v¯|="√v¤Æ+v¤Ú=æ≠{ }¤ +{ }¤

|v¯|_{="√a¤ (1-cost)¤ √+a¤ sin¤ t=a'ƒ2-2cos t}

따라서 cos t=-1, 즉 t=p일 때 |v¯|는 최댓값 2a를 갖 고 이때의 점 P의 위치``(ap, 2a)이다. P의 위치`(ap, 2a), 최대 속도 2a dy 123_dt dx 123_dt dy 123_dt dx 123_dt 1 1₂ f(x+2h)-f(x) 11111111_2h lim h⁄0 f(x+2h)-f(x) 11111111_h lim h⁄0 '6 12₃ '6 1 122₃ 2 1₃ 2 1₃ 2 1₃ 2 1₃ 2 1₃

14

점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면 v(t)=f'(t)=8cost+2cos2t-2 v(t)=8cost+2(2cos¤ t-1)-2 v(t)=4cos¤ t+8cost-4 v(t)=4(cost+1)¤ -8 따라서 v(t)는 cost=-1, 즉 t=p일 때 최솟값 -8을 가지므로 a=p, b=-8 ∴ ab=-8p -8p

15

=-h sinht, =h cosht 이므로 점 P의 시각 t에서의 속도 v¯는 v¯=(-h sinht, h cosht) =-h¤ cosht, =-h¤ sinht 이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도 a¯는

a¯=(-h¤ cosht, -h¤ sinht)

∴ v¯ • a¯

=(-h sinht, h cosht) • (-h¤ cosht, -h¤ sinht) =h‹ sinhtcosht-h‹ coshtsinht =0 따라서 점 P의 속도 v¯와 가속도 a¯가 이루는 각의 크기는 이다.

16

=2'2, =t- 이므로 점 P의 시각 t에서 속도를 v¯라 하면 v¯={2'2, t- } 따라서 점 P의 시각 t에서의 속력은 2 525_t 2 525_t dy 125_dt dx 125_dt p 1₂ p 1 1₂ d¤ y 1225_dt¤ d¤ x 1225_dt¤ dy 125_dt dx 125_dt

æ≠(2'2)¤ +{t- }¤ =æ≠t¤ +4+ æ≠(2'2)¤ +{t- }¤=æ≠{t+ }¤ =t+ t>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 t+ æ_{2æ≠t¥ =2'2} 이때 등호는 t= 일 때 성립하므로 t¤ =2에서 t='2일 때 점 P의 속력이 최소가 된다. ∴ a='2 따라서 t=1에서 t='2까지 점 P가 움직인 거리는 :!'2 {t+ }dt=[ t¤ +2lnt] '2 ! :!'2 {t+ }dt= +ln 2 +ln2

17

='3 cos t-sin t, =2 cos 2t 이므로 점 P의 시각 t에서의 속도를 v¯라 하면

v¯=('3 cos t-sin t, 2 cos 2t)

한편 x='3 sin t+cos t=2sin{t+ }이고,

0…t<p에서 …t+ < p이므로

x는 t+ = , 즉 t= 일 때 최대이다. ∴ a=æ≠{'3 cos -sin _≠}¤ +_{{2 cos }}¤ =1

또한 y=sin 2t+1이고, 0…t<p에서 0…2t<2p이므로

y는 2t= p일 때, 즉 t= p일 때 최소이다. ∴ b=æ≠{'3 cos p_{-sin≠ p}}¤ +_{{2 cos}13_p}¤

2 3 1₄ 3 1₄ 3 1₄ 3 1₂ 2p 21₃ p 1₃ p 1₃ p 1₃ p 1₂ p 1₆ 7 1₆ p 1₆ p 1₆ p 1₆ dy 123_dt dx 123_dt 1 525₂ 1 552255₂ 1 525₂ 2 525_t 2 525_t 2 525_t 2 525_t 2 525_t 2 525_t 4 15_t¤ 2 525_t ∴ b=æ≠{- - _}¤ = ∴ ab=

18

점 P는 매초 2라디안의 속도로 이동하므로 시각 t에서 y축의 양의 방향과 직선 OP가 이루는 각의 크기가 2t라디안이다. 즉 직선 OP가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 -2t이므로 P{cos{ -2t}, sin{ -2t}} 즉, P(sin 2t, cos 2t) 또한 점 P의 이동거리가 2t이므로 점 Q의 좌표를 (x, y) 라 하면 x=sin 2t+2t, y=cos 2t 따라서 =2 cos 2t+2, =-2 sin 2t이므로 t=0에서 t= 까지 점 Q가 움직인 거리는 :)`;6“; "√(2 cos 2t+2)¤ +√(-2 sin 2t)¤ dt =<sub>:)`</sub>;6“;<sub>"√8+8 cos 2t dt=:)`</sub>;6“;<sub>"√16 cos¤ t</sub> =:)`;6“;4 cos t dt=[4 sin t]`) ;6“; =4 sin =4_11=2 2 2 p 1₆ p 1₆ dy 123_dt dx 123_dt p 1₂ p 1₂ p 1₂ '2+'6 11133₂ '2+'6 1 1111₂13333 '2+'6 11133₂ '2 12₂ '6 12₂

S UM M A C UM L A UD E Ⅲ- 1. 공간도형 본문 388~392쪽 01④ 02 7 03③ 04② 05② 06 108 07③ 08④ 09③ 10④ 11① 12 13③ 14① 15 7 16① 17 11 18③ 'ß3 12₄

0

1

G’D”='ß5, D’HÚ=2'ß2, G’H”='ß5이므로 △GHD는 이등변삼각형이다. 점 G에서 D’HÚÚ에 내린 수선의 발을 I라 하면 HÚIÆ='ß2이므로 G’IÆ="√('ß5 √)¤ -√('ß2 ≈)Ω¤ ='3 △GHD= _D’H”_G’IÆ △GHD= _{_2'ß2_'ß3='ß6} △ABC= ¥_{2¤ ='ß3} ∴ cosh= = = = ④

0

2

위의 그림과 같이 △OAB와 △OBC를 OB”를 기준으로 전개하면 A’M”이 구하는 최솟값 p이다. O A _B P M C 2 1 'ß2 1 13344₂ 1 12 'ß2 'ß3 12 'ß6 △ABC 111255_△GHD 'ß3 12₄ 1 1₂ 1 1₂

이때, OM”을 그으면 OM”은 정삼각형 OBC의 높이이므로

OM”= _{_2='3}

또한, ∠AOB=60˘+30˘=90˘이므로 직각삼각형 AOM 에서

p¤ =A’M”¤ =OA” ¤ +OM” ¤ =2¤ +('3)¤ =7

7

0

3

두 직선 사이의 거리는 수직 거리이다. 다음 그림에서 D’H”⊥E’GÚ이고 HF”⊥E’GÚ이므로

(평면 DHF)⊥E’GÚ

△DHF와 E’GÚ의 교점은 E’GÚ의 중점이고, 이 점을 I라 하 자. DF” 위의 모든 점에서 I를 연결한 선분은 평면 DHF 위에 있는 선분이므로 E’GÚ와 수직이다. 이때, 점 I에서 DF”에 내린 수선의 발을 J라 하면 IJ’가 직 선 DF와 직선 EG 사이의 거리가 된다. 오른쪽 그림과 같이 △FIJª△FDH이므로 F’IÆ`:`IÆJ’=F’D”`:`D’H” 2'ß2 : x=6 : 2 ∴ x= ③ 2'ß2 1 1223333₃ D H x I J F 6 2 4Â2 A D C B F E J I H _G '3 12₂