13 오른쪽 그림과 같이 - 기하와 벡터 내신·모의고사 대비 TEST 해설(2쇄)

점 A를 평면 a에 정사영한 점을 A', 점 B를 평면 a에 정사영한 점을 B'이라 하면

A’A'”=

B’B'Ú= =8

AB”="√2¤ +√(-3√)¤ +√(-1≈)Ω¤ ='1ß4

이때, 점 A에서 B’B'Ú에 내린 수선의 발을 H라 하면 A’H”=A’'B'”이므로 정사영한 도형의 길이를 구하면

A’'B'”=A’H”=øπAB”¤ π-B’∑H”¥¤ ='ß5 ④

14

평면의 법선벡터를 n≤, 두 직선 l¡과 l™의 방향 벡터를 각각 d’Æ¡≤, d’Æ™≤라 하면

n≤=(p, q, 3), d’Æ¡≤=(3, 1, -2), d’Æ™≤=(-3, 2, -1)

n≤⊥d’’Æ¡≤, n≤⊥d’Æ™≤이므로

n≤ • d’’Æ¡≤=3p+q-6=0 yy ㉠ n≤ • d’Æ™≤=-3p+2q-3=0 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 p=1, q=3

그런데 직선 l¡ 위의 점 (-2, 0, 0)은 평면 위의 점이므 로 평면의 방정식에 대입하면

-2+r=0 ∴ r=2

∴ p+q+r=6 6

|14+6+10-6|

11111111155

"√2¤ +√(-1√)¤ +√(-2≈)Ω¤

|10+3+8-6|

11111111155

"√2¤ +√(-1√)¤ +√(-2≈)Ω¤

A' H

B' å Â1°4·

5 8 155177

157

167

15

두 직선 l, m이 서로 평행하므로 직선 m의 방

향벡터를 d≤라 하면 d≤=(3k, 4k, 5k) (k는 실수) 직선 l 위의 점 (0, 1, -3)을 점 A에 대하여 대칭이동 한 점의 좌표는 (2, -3, 7)이므로

m : = =

따라서 직선 m 위의 점은 (5, 1, 12)이다. ④

16

두 평면 a, b의 교선이 평면 c에 수직이려면 평 면 a와 평면 c, 평면 b와 평면 c가 각각 수직이므로

(2, 3, -1) • (1, b, c)=2+3b-c=0 yy㉠

(1, -2, -1) • (1, b, c)=1-2b-c=0 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

b=- , c= ∴ 5(b+c)=6 6

17

구가 xy평면, yz평면, zx평면과 평면 a에 모두 접하므로 양수 a에 대하여 구의 중심을 (a, a, -a)로 놓을 수 있다.

이때, (구의 중심에서 평면 a까지의 거리)

=(구의 반지름의 길이)이므로

=a에서 |5a-6|=3a

5a-6=—3a ∴ a=3 또는 a=

따라서 두 구의 중심은 각각 (3, 3, -3), { , , - }이다.

∴ (중심 사이의 거리)=Æ{3…-… }2 ¬_˚3=

① 19'ß3 12233334 134

134 134 134

134

|5a-6|

111111155

"√2¤ +√1¤ +√(-2≈)Ω¤

175 115

112z-75 112y+34 112x-23

18

점 P의 자취는 AB≥를 법선벡터로 하며 AB”의 중점 M{ , , }를 지나는 평면이다.

이때, AB≥=(-2, -2, -1)이고, 점 M{1, 2, }를 지나는 평면의 방정식을 구하면

2(x-1)+2(y-2)+{z- }=0

즉, 점 P의 자취는 2x+2y+z- =0이다.

∴ (O’P’의 최솟값)= =

②

19

위의 그림에서 직선의 방향벡터 d≤=(4, 5, -3)과 평면 의 법선벡터 h¯=(1, 2, 2)가 이루는 각의 크기를 a라 하면

cosa=

그런데, h= -a이므로

sinh=sin { -a}=cosa= 8 11455

15'ß2 1p2

1p2 1145515'ß28

4+10-6

11111111111114

"√1¤ +√2¤ +≈2Ω¤ _"√4¤ +√5¤ +√(-3≈)Ω¤

h¯ • d≤

11145

|h¯||d≤|

å h ={1,`2,`2}

d={4,`5,`-3}

117 144556

|- 155|172 1111145

"√2¤ +√2¤ +≈1Ω¤

155172 152

152 1123+22

1123+12 1122+02

∴ sin¤ h= ②

20

세 구의 단면의 넓이가 최대가 되려면 평면 a가 세 구의 중심을 지나야 한다.

세 구의 중심은 각각 (0, 0, 4) (0, 2, 0) (3, 0, 0)이고 이 세 점은 각각 평면과 z축의 교점, y축의 교점, x축의 교점이므로 평면 a의 방정식은

+ + =1 ∴ a : 4x+6y+3z=12 따라서 원점에서 평면 a : 4x+6y+3z=12까지의 거리 를 구하면

= ④

21

점 P에서 구에 그은 접선과 구의 교점 중 임의 의 세 점을 A(x¡, y¡, z¡), B(x™, y™, z™), C(x£, y£, z£) 이라 하자.

세 점 A, B, C에서 구에 접하는 평면의 방정식을 구하면 x¡x+y¡y+z¡z=1 yy ㉠

x™x+y™y+z™z=1 yy ㉡ x£x+y£y+z£z=1 yy ㉢

㉠, ㉡, ㉢이 모두 점 P를 지나므로 2x¡+y¡-2z¡=1, 2x™+y™-2z™=1, 2x£+y£-2z£=1

이 성립한다.

세 점을 지나는 평면은 오직 하나이므로 세 점 A, B, C 를 지나는 평면 a는 2x+y-2z=1이다.

따라서 점 (0, 0, 1)에서 평면 a까지의 거리는

=1 1

111111155|-3|

"√2¤ +√1¤ +√(-2≈)Ω¤

12'6ß1 1 11116115555

|-12|

1111155

"√4¤ +√6¤ +≈≈3Ω¤

14z 1y2 1x3

132 1224455225

22

위의 그림과 같이 AB≥=x¯, A’D≥=y¯, AE≥=z¯라 하면 a¯=x¯+z¯, b¯=x¯+y¯, c¯=y¯+z¯

∴ a¯+b¯+c¯=2(x¯+y¯+z¯) (a¯+b¯+c¯)=x¯+y¯+z¯

x¯= (a¯+b¯+c¯)-(y¯+z¯)

= (a¯+b¯+c¯)-c¯= (a¯+b¯-c¯)

∴ HB≥=AB≥-A’H≥=x¯-c¯= a¯+ b¯- c¯

∴ p+q+r= + -

=-②

23

위의 그림과 같이 점 A에서 평면에 내린 수선의 발을 H 라 하고 직선 PH와 원이 만나는 두 점을 각각 B, C라 할 때, 원 위의 점과 점 A 사이의 거리 중 최댓값은 AC”의 길이이고 최솟값은 AB”의 길이이다.

AH”= =1

AP”="√(-3√-2)√¤ +(√2-2√)¤ +√(1-ç2)Ω¤ ='2ß6이므로

|3+4+2-6|

111111155

"√(-1√)¤ +√2¤ +≈2Ω¤

C B H

P{2,`2,`2}

1 11 12 132 112 112

132 112 112 112 112

112 112

D C

E F

H G

a b z

x y

PH”='2ƒ6-1=5에서

BH”=5-2=3, CH”=5+2=7 M¤ =AC”¤ =CH”¤ +A’H”¤ =49+1=50 m¤ =AB”¤ =BH”¤ +A’H”¤ =9+1=10

∴ M¤ -m¤ =40 40

24

서로 다른 평면이 공간을 서로 다른 9개의 부분 으로 나누기 위해서는 다음 그림과 같이 두 쌍씩 서로 평 행해야 한다.

평면 a와 평면 b의 x와 z의 계수를 비교하면 서로 평행 할 수 없다는 것을 알 수 있다. 또한, 평면 a와 평면 c가 평행하다고 가정하면 x의 계수와 상수항의 비율이 같아 두 평면이 서로 일치할 수밖에 없으므로 서로 다른 평면이 라는 조건에 모순된다.

따라서 평면 a와 평면 d가 평행하고 평면 b와 평면 c가 평행하며 평면 a와 평면 b는 수직이다.

a//d에서 k(2, 1, -1)=(d, 2, e)

∴ k=2, d=4, e=-2

a⊥b에서 (2, 1, -1) • (1, a, 4)=0 2+a-4=0 ∴ a=2

b//c에서 k'(1, 2, 4)=(3, b, c)

∴ k'=3, b=6, c=12

∴ a+b+c+d+e=22 22

∂

∫ ç

25

구의 중심인 원점에서 평면까지 이르는 거리 d는

d= =|2k|

구의 반지름의 길이를 R라 하면 ㄱ. R="√5k¤ √+2kç+≈2이므로

ㄱ. R¤ =5k¤ +2k+2>|2k|¤ =4k¤

ㄱ. ∴ R>d (참) ㄴ.

ㄱ. 위의 그림과 같이 구와 평면이 이루는 교선은 원이고, 이 원의 반지름의 길이를 r라 하면

ㄱ. r¤ =R¤ -d¤ =5k¤ +2k+2-4k¤

=k¤ +2k+2

ㄱ. 교선의 길이는 r에 비례하고, r="√(k+√1)¤ ç+≈1이므 로 kæ-1일 때, k가 증가함에 따라 r가 증가하고 k<-1일 때, k가 증가함에 따라 r는 감소한다. (거짓) ㄷ. k=-1일 때, r는 최소이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. ①

26

주어진 식에서 x, y, z가 각각 양수일 때와 음수 일 때로 나누어 그려 보면 다음과 같은 팔면체가 된다.

y z

-4

-2 6

-6

O R

d r

|-14k|

111113

"√2¤ +√3¤ +≈6Ω¤

이때, 점 A에서 도형 H까지의 거리 중 가장 가까운 것은 평면 2x+3y+6z=12까지의 거리이므로

m= =

점 A에서 도형 H까지의 거리 중 가장 먼 것은 점 (-6, 0, 0)까지의 거리이므로

M="√7¤ +√1+1='5ß1

∴ M¤ -7m=51-1=50 50

27

조건 ㈎에서 | |…4이므로

△ABC의 무게중심을 G라 하면 |PG≥|…4

따라서 점 P는 점 G를 중심으로 하고 반지름의 길이가 4 인 구의 내부와 구면에 있는 점이다.

조건 ㈏에서 D’P≤=O’P≤-OD≥=(x-1, y, z) D’P≤ • h¯=(x-1)+2y-2z=0

따라서 점 P는 평면 x+2y-2z=1 위의 점이다.

조건 ㈎와 ㈏를 동시에 만족하는 점 P의 자취는 다음 그 림과 같이 구와 평면이 만나는 원의 내부와 둘레가 된다.

이때,

G{ , , }=G(0, 1, -1)

이므로 점 G에서 평면 x+2y-2z=1까지의 거리 GE”를 구하면

GE”= 3 =1

111111155

"√1¤ +√2¤ +√(-2≈)Ω¤

0-1-2 11113 1+2+0

11113 3+0-3

11113

G E F

4 1

AP≥+B’P≤+C’P≤

1111112553 117

1111155|-1|

"√2¤ +√3¤ +≈6Ω¤

∴ E’F’='ƒ16-ß1='1ß5

따라서 점 P의 자취가 그리는 도형의 넓이는 15p이다.

④

28

세 점 A, B, C를 지나는 평면 p의 방정식은

+ + =1

평면 p : 6x+3y+2z=6의법선벡터는 h¯=(6, 3, 2)이다.

이때, xy평면의 법선벡터 hÆ¡≤=(0, 0, 1), 이때, yz평면의 법선벡터 hÆ™≤=(1, 0, 0), 이때, zx평면의 법선벡터 hÆ£≤=(0, 1, 0)이므로

cosa= =

같은 방법으로 cosb= , cosc=

∴ cos¤ a+cos¤ b+cos¤ c=1

∴ sin¤ a+sin¤ b+sin¤ c

=(1-cos¤ a)+(1-cos¤ b)+(1-cos¤ c)

=3-(cos¤ a+cos¤ b+cos¤ c)

=3-1=2

⑤

29

평면과 구를 yz평면으로 자른 단면은 다음과 같다.

137 167

127 h¯ • hÆ¡≤

1113|h¯||h¡≤|

1z3 1y2 1x1

y z

A{1,`0,`0}

B{0,`2,`0}

C{0,`0,`3} 평면 a가 xy평면과 이루는 각의 크기를 x«이라 하면

cosh«=cos { +x«}=-sinx«

=- =- ¥{ }n - 1

∴ cosh«= [- ¥{ }n - 1 ]

=- ¥ =- ①

30

정삼각형 ABC의 무게중심을 G(1, 1, 3)이라 할때, 평면 2x-y+z=4와 수직이고 점 G를 지나는 직선 l이 평면 x+y+z=3과 만나는 점이 정사면체 ABCD의 나머지 한 꼭짓점 D이므로

점 D의 좌표를 구하면 정사면체의 높이 GD”를 구할 수 있다.

먼저 직선 l의 방정식을 구해 보자.

평면 2x-y+z=4의 법선벡터를 v¯=(2, -1, 1)이라 할 때, v¯에 평행하고 점 G를 지나는 직선의 방정식은

= =

∴ =1-y=z-3

이때, 점 D는 이 직선 위의 점이므로 그 좌표를 매개변수 t를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

113x-12

113z-31 113y-1-1 113x-12

12 13 1123311

1-12 113

112 113

¡¶ n=1

112 113 {1}n - 112 11143

1p2

O y

{ }

2¹ ^n-1 å

x Ωn

{0,`3,`0}

=1-y=z-3=t (단, t는 실수)

∴ D(2t+1, 1-t, t+3) yy ㉠

점 D는 평면 x+y+z=3 위의 점이기도 하므로, 대입 하면

(2t+1)+(1-t)+(t+3)=3 2t=-2 ∴ t=-1 t=-1을 ㉠에 대입하면

D(-1, 2, 2)

이때, 정사면체 ABCD의 높이 GD”는 GD”="√(-1-1)¤ √+(2-1)¤ √+(2-3)¤

GD”="√4+1+1='6

따라서 정사면체 ABCD의 한 모서리의 길이를 a라 하면

높이는 a이므로

a='6 ∴ a=3

②

31

|AB≥|¤ =AB≥ • AB≥이므로 AP≥ • AB≥=|AB≥|¤

HjK AP≥ • AB≥=AB≥ • AB≥

HjK AP≥ • AB≥-AB≥ • AB≥=0 HjK (AP≥-AB≥) • AB≥=0 HjK BP≥ • AB≥=0

따라서 구 위를 움직이는 점 P에 대하여 두 벡터 BP≥, AB≥가 서로 수직이므로, 점 P가 나타내는 도형은 다음 그 림과 같이 점 B를 지나고 직선 AB에 수직인 평면과 구의 교선인 원 C이다.

125'63 125'63 113x-12

이때, 원 C의 반지름의 길이는 구의 중심 O와 직선 AB 사이의 거리인 OH”와 같다.

직선의 방정식에서 x+1=2-y=z=t로 놓으면 H(t-1, 2-t, t) (단, t는 실수)

로 나타낼 수 있으므로, 벡터 OH≥와 직선 AB의 방향벡터 가 서로 수직임을 이용하면

(t-1, 2-t, t)• (1, -1, 1)=0 t-1-2+t+t=0, 3t-3=0

∴ t=1 ∴ H(0, 1, 1)

따라서 OH”="√0¤ +1¤ +1¤ ='2이므로 원 C의 둘레의 길 이는

2p_'2=2'2p

[다른 풀이] 두 벡터 AP≥, AB≥가 이루는 각의 크기를 h라 하면 AP≥ • AB≥=|AP≥||AB≥|cosh이므로

AP≥ • AB≥=|AB≥|¤

HjK |AP≥||AB≥|cosh=|AB≥|¤

HjK |AP≥|cosh=|AB≥|

가 성립한다. 즉, 구 위를 움직이는 점 P에 대하여 세 점 A, B, P를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABP가 ∠B=90˘

인 직각삼각형이므로, 점 P가 나타내는 도형은 위의 그림 과 같이 점 B를 지나고 직선 AB에 수직인 평면과 구의 교선인 원 C이다.

③ A

B H

P O C

문서에서 기하와 벡터 내신·모의고사 대비 TEST 해설(2쇄) (페이지 45-50)