우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

2 기말시험 Review 5-1-2. 합성함수의 미분 (Chain Rule) 

𝑦 = 𝑓(𝑥)

가 복잡한 형태, (즉

𝑦 = (2𝑥 + 1)

10

,

𝑦 = 𝑥

2

_{+ 2,}

_{…), 로 표시 될 때, 체인룰을} 이용하여 도함수를 구함. 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑑𝑦 𝑑𝑢

·

𝑑𝑢 𝑑𝑥 예제) 다음함수의 도함수를 구하라 1)

𝑦 = 𝑥

2

+ 2 = (𝑥

2

+ 2)

12

 𝑢 = 𝑥

2

_{+ 2}

_{로 놓으면}

_{𝑦 = 𝑢}

1₂



Chain Rule:

𝑦

를

𝑢

로 미분하고

,

𝑢

를

𝑥

로 미분하면 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑑𝑦 𝑑𝑢

·

𝑑𝑢 𝑑𝑥

∴

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑑 𝑑𝑥

(𝑢)

1 2

=

𝑑 𝑑𝑢

(𝑢)

1 2

·

𝑑𝑢 𝑑𝑥

=

1 2

𝑢

(1₂−1)

_·

𝑑 𝑑𝑥

𝑥

2

_{+ 2 =}

1 2

(𝑢)

−1₂

_·

_2𝑥

=

1₂

𝑥

2

+ 2

−12

·

2𝑥 =

𝑥 𝑥2₊₂

1)

바로 미분이 어려움으로 주어진 식을 변형:

𝑦 =

𝑡 𝑡2₊₁

= 𝑡 · (𝑡

2

+ 1)

−1



𝑑𝑦 𝑑𝑡

=

𝑑 𝑑𝑡

𝑡 · (𝑡

2

_{+ 1)}

−1

₌

𝑑 𝑑𝑡

𝑡 ·(𝑡

2

_{+ 1)}

−1

_{+ 𝑡 ·}

𝑑 𝑑𝑡

(𝑡

2

_{+ 1)}

−1

_{곱의 미분}

∴

𝑑𝑦 𝑑𝑡

=

𝑑 𝑑𝑡

𝑡 · (𝑡

2

_{+ 1)}

−1

_{= (𝑡}

2

_{+ 1)}

−1

_{+ 𝑡 ·}

𝑑 𝑑𝑡

(𝑡

2

_{+ 1)}

−1

2)

_𝑑𝑡𝑑

(𝑡

2

+ 1)

−1 를 구하기 위해,

𝑢 = 𝑡

2

+ 1

로 놓으면 𝑑 𝑑𝑡

(𝑢)

−1

_치환적분



Chain Rule:

𝑦

를

𝑢

로 미분하고

,

𝑢

를

𝑡

로 미분하면 𝑑𝑦 𝑑𝑡

=

𝑑𝑦 𝑑𝑢

·

𝑑𝑢 𝑑𝑡

∴

_𝑑𝑡𝑑

(𝑢)

−1

₌

𝑑 𝑑𝑢

(𝑢)

−1

·

𝑑𝑢 𝑑𝑡

= −𝑢

−1−1

·

𝑑 𝑑𝑡

𝑡

2

+ 1

= − 𝑢

−2

_·

_{2𝑡 = − 𝑡}

2

_{+ 1}

−2

_·

_2𝑡

𝐹𝑟𝑜𝑚 1) & 2) ,

4 5-1-3. 음함수의 미분  음함수  독립변수 𝑥 와 종속변수 𝑦 의 관계가 한 변에 표시된

𝑓 𝑥, 𝑦 = 0

의 형태로 주어졌을 때,

𝑦

를

𝑥

의 음함수 라함.  음함수의 미분은 양함수

𝑦 = 𝑓(𝑥)

형태로 변환하지 않고 합성함수의 미분으로 직접구함. 예제)

𝑥

2

+ 1 = 𝑦

2

+ 𝑦

3 의 도함수 𝑑𝑦 𝑑𝑥 를 구하라

1)

양변을

𝑥

에 대해 미분하면 𝑑 𝑑𝑥

𝑥

2

+ 1 =

𝑑 𝑑𝑥

𝑦

2

+ 𝑦

3

2𝑥 =

𝑑 𝑑𝑥

𝑦

2

+ 𝑦

3

2)

양Chain Rule을 이용하여 𝑑 𝑑𝑥

𝑦

2

_{+ 𝑦}

3 _{를 구하면,}



𝑑 𝑑𝑥

𝑦

2

_{+ 𝑦}

3

₌

𝑑 𝑑𝑦

𝑦

2

_{+ 𝑦}

3

_·

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 2𝑦 + 3𝑦

2

_·

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝐹𝑟𝑜𝑚 1) & 2), 2𝑥 = 2𝑦 + 3𝑦

2

·

𝑑𝑦_𝑑𝑥

∴

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

2𝑥 (2𝑦+3𝑦2₎

5-1-5. 매개변수함수의 미분  매개변수 함수 미분  함수

𝑥, 𝑦

매개변수 𝑡 의 함수, 즉

𝑥 = 𝑓(𝑡) , 𝑦 = 𝑔(𝑡)

일 때, 다음과 같이 매개변수로 표현된 함수의 미분법을 이용함. 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑑𝑦 𝑑𝑡

·

𝑑𝑡 𝑑𝑥

=

𝑑𝑦/𝑑𝑡 𝑑𝑥/𝑑𝑡

=

𝑔′(𝑡) 𝑓′(𝑡) (단,

𝑓

′

𝑡 ≠ 0)

예제) 다음 주어진 함수의 𝑑𝑦 𝑑𝑥 를 구하라.

𝑥 = 2𝑡 − 2 & 𝑦 = 𝑡

3

+ 2



𝑑𝑥 𝑑𝑡

=

𝑑 𝑑𝑡

2𝑡 − 2 = 2



𝑑𝑦 𝑑𝑡

=

𝑑 𝑑𝑡

𝑡

3

_{+ 2 = 3𝑡}

2

∴

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑑𝑦 𝑑𝑡

·

𝑑𝑡 𝑑𝑥

=

𝑑𝑦/𝑑𝑡 𝑑𝑥/𝑑𝑡

=

3𝑡2 2

=

3 2 𝑥+2 2 2

𝑡 를 𝑥 로 환원

6 5-2-1. 삼각함수의 미분  삼각함수의 도함수 

𝑦 = sin 𝑥 𝑦′ = cos 𝑥

 𝑦 = cos 𝑥 𝑦

′

= − sin 𝑥

 𝑦 = tan 𝑥 𝑦′ = sec

2

𝑥

 𝑦 = cot 𝑥 𝑦

′

_{= − csc}

2

_𝑥

 𝑦 = sec 𝑥 𝑦′ = sec 𝑥 tan 𝑥

 𝑦 = csc 𝑥 𝑦

′

= − csc 𝑥 cot 𝑥

예제) 다음 함수를 미분하라

1)

𝑦 = tan 3𝑥·sin 𝑥

곱의 미분

𝑦

′

₌

𝑑 𝑑𝑥

tan 3𝑥 · sin 𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥

tan 3𝑥 · sin 𝑥 + tan 3𝑥 ·

𝑑

𝑑𝑥

sin 𝑥

=

_𝑑𝑢𝑑

tan 𝑢 ·

𝑑𝑢_𝑑𝑥

· sin 𝑥 + tan 3𝑥 · cos 𝑥 = sec

2

_{𝑢 ·}

𝑑(3𝑥)

𝑑𝑥

· sin 𝑥 + tan 3𝑥 · cos 𝑥

= 3 sec

2

_{3𝑥 · sin 𝑥 + tan 3𝑥 · cos 𝑥}

5-2-2. 지수함수와 로그함수의 미분  지수함수의 도함수 

𝑦 = 𝑒

𝑥

𝑦′ = 𝑒

𝑥

 𝑦 = 𝑎

𝑥

_𝑦

′

_{= 𝑎}

𝑥

_ln𝑎

 로그함수의 도함수 

𝑦 = ln𝑥 𝑦′ =

1 𝑥

 𝑦 = log

_𝑎

𝑥 𝑦

′

=

_𝑥·ln𝑎1 예제) 다음 함수를 미분하라 1)

𝑦 = 𝑒

𝑥

· ln 2𝑥

곱의 미분

𝑑𝑦_𝑑𝑥

=

_𝑑𝑥𝑑

𝑒

𝑥

_{· ln2𝑥 =}

𝑑 𝑑𝑥

𝑒

𝑥

· ln2𝑥 + 𝑒

𝑥

·

𝑑 𝑑𝑥

ln2𝑥 = 𝑒

𝑥

· ln2𝑥 + 𝑒

𝑥

·

𝑑 𝑑𝑢

ln𝑢 ·

𝑑𝑢 𝑑𝑥

= 𝑒

𝑥

_{· ln2𝑥 + 𝑒}

𝑥

_·

1 𝑢

·

𝑑(2𝑥) 𝑑𝑥

= 𝑒

𝑥

_{· ln2𝑥 + 𝑒}

𝑥

_·

1 𝑥

= 𝑒

𝑥

_{ln2𝑥 +}

1 𝑥

8 5-3. 도함수의 응용 5-3-1. 곡선의 접선과 법선  곡선의 접선  미분 계수 𝑓′(𝑥1): 함수 𝑓(𝑥) 의 한 점 (𝑥1, 𝑦1) 에서의 접선의 기울기  점 (𝑥₁, 𝑦₁) 에서의 접선의 방정식: 𝑦 − 𝑦₁ = 𝑓′(𝑥₁) 𝑥 − 𝑥₁  곡선의 법선  점 (𝑥₁, 𝑦₁) 에서의 접선에 직교하는 법선의 기울기: −_𝑓′1_𝑥 1  점 (𝑥₁, 𝑦₁) 에서의 법선의 방정식: 𝑦 − 𝑦₁ = −_𝑓′1_𝑥 1 𝑥 − 𝑥1 예제1) 곡선 𝑦 = 2𝑥2 _{위의 한 점 𝑝(1, 2)에서 접선과 법선의 방정식을 구하라.}  함수 𝑦 = 2𝑥2_{의 도함수: 𝑓}′ _{𝑥 = 4𝑥}  점 𝑝(1, 2)에서의 미분계수: 𝑓′ _{1 = 4}  접선의 방정식: 𝑦 − 𝑦₁ = 𝑓′(𝑥) 𝑥 − 𝑥₁ 𝑦 − 2 = 𝑓′(1) 𝑥 − 1 ∴ 𝑦 = 4 𝑥 − 1 + 2 𝑦 = 4𝑥 − 2  법선의 방정식: 𝑦 − 𝑦1 = −_𝑓′1_𝑥1 𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 2 = − 1 4 𝑥 − 1 ∴ 𝑦 = −1₄ 𝑥 − 1 + 2 𝑦 = −𝑥₄+9₄

5-3-2. 함수의 극값  함수의 증감과 도함수와의 관계  함수 𝑓(𝑥) 가 구간 [𝑎, 𝑏] 에서 증가함수 이면, 𝑓′ 𝑥 > 0  함수 𝑓(𝑥) 가 구간 [𝑎, 𝑏] 에서 감소함수 이면, 𝑓′ 𝑥 < 0  극대값 𝑜𝑟 극소값: 𝑓′ _{𝑥 = 0} 𝑎

𝑓

′

𝑥 > 0

𝑓(𝑥)

𝑓

′

𝑥 < 0

(함수의 증가) (함수의 감소)

𝑓(𝑥)

𝑏 𝑎 𝑏

1 0 예제) 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥3_{− 3𝑥}2_{− 9𝑥 + 5 의 극값을 구하라.}  주어진 함수의 미분: 𝑓′_{(𝑥) = 3𝑥}2_{− 6𝑥 − 9 = 3(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)}  극값: 𝑓′ _{𝑥 = 0 일 때, 𝑥 = −1 & 3}  도함수 𝑓′ 𝑥 의 부호 조사 (증감표)  𝑥 = −1 에서 극대, 𝑥 = 3 에서 극소 ∴ 극대값: 𝑥 = −1 에서 𝑓 −1 = (−1)3_{−3 ∙ −1} 2_{− 9 ∙ −1 + 5 = 10} 극소값: 𝑥 = 3 에서 𝑓 3 = (3)3_{−3 ∙ 3} 2 _{− 9 ∙ 3 + 5 = −22} (도함수 𝑓 ′ _{𝑥 그래프)} 𝑓′ _{−1 = 0}

𝑥

𝑥 < −1

𝑥 = −1

−1 < 𝑥 < 𝟑

𝑥 = 3

𝑥 > 3

𝑓′(𝑥)

+

0

-

0

+

𝑓(𝑥)

극대 극소 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -1 0 1 2 3 4

+

−

+

𝑓′_{(3) = 0}

𝑓

′

𝑥

-24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -30 3 6 9 12 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 (함수 𝑓 𝑥 그래프)

𝑓 𝑥

극대값: 𝑓(−1) = 10 극소값: 𝑓 3 = 1 − 22

6. 편도함수  1계 편도함수 (1차 편미분)  2변수 함수

𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

에서 독립변수

𝑥 𝑜𝑟 𝑦

에 관해 미분하면, 𝜕𝑢 𝜕𝑥

=

𝜕 𝜕𝑥

𝑓 𝑥, 𝑦 = lim

∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 ∆𝑥

𝑜𝑟

𝜕𝑢 𝜕𝑦

=

𝜕 𝜕𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = lim

∆𝑦→0 𝑓 𝑦+∆𝑦 −𝑓(𝑦) ∆𝑦  2계 편도함수 (2차 편미분)  함수

𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

의

𝑥

또는

𝑦

에 관한 편도함수 𝜕𝑢 𝜕𝑥

,

𝜕𝑢 𝜕𝑦 를

𝑥

또는

𝑦

에 관해 다시 미분하면, 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥

=

𝜕2𝑢 𝜕𝑥2

,

𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦

=

𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦

=

𝜕2𝑢 𝜕𝑦2

,

𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥

=

𝜕2𝑢 𝜕𝑦𝜕𝑥 예제) 함수

𝑢 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥

3

+ 2𝑥

2

𝑦 − 𝑦

3 의 편도함수를 구하라.

𝜕𝑢 𝜕𝑥

=

𝜕 𝜕𝑥

𝑥

3

_{+ 2𝑥}

2

_{𝑦 − 𝑦}

3

_{= 3𝑥}

2

_{+ 4𝑥𝑦}

𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥

=

𝜕 𝜕𝑥

3𝑥

2

_{+ 4𝑥𝑦 = 6𝑥 + 4𝑦 =}

𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 2

12 7-1. 부정적분 및 정적분의 계산  치환 적분법  부분 적분법  부분분수 분해법 (1) 치환 적분법 case 1)

𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)

형:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡 𝑎𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 =

𝑑𝑡 𝑎 case 2)

𝑓 𝑔 𝑥 𝑔

′

𝑥

형:

𝑔 𝑥 = 𝑡 𝑔

′

(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

case 3) 함수 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형:

𝑓 𝑥 = 𝑡 𝑓

′

_{𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡}

 부정적분

1 적분 후 반드시 적분상수

𝐶 추가

2 적분 후 반드시

𝑡 를 𝑥 로 환원

 정적분

1 𝑥

의 함수를

𝑡

로 치환 후 반드시 적분구간을 변경해야 함 !!!

2

정적분에서는 적분구간을 이미 변경하였으므로,

𝑡

를

𝑥

의 함수로 다시 환원할 필요가 없음.

예제) 다음을 치환적분으로 구하라 (1)

(2𝑥 − 1)

2

𝑑𝑥

부정적분  치환:

2𝑥 − 1 = 𝑡

𝑑 𝑑𝑥

2𝑥 − 1 =

𝑑𝑡 𝑑𝑥

2 =

𝑑𝑡 𝑑𝑥

(2𝑥 − 1)

2

𝑑𝑥 = 𝑡

2

∙

1 2

𝑑𝑡 =

1 2

∙

𝑡3 3

+ 𝐶 =

(2𝑥−1)3 6

+ 𝐶

(2) 𝑥 𝑥2₊₁ 1 0

𝑑𝑥

정작분  치환:

𝑥

2

+ 1 = 𝑡

𝑑 𝑑𝑥

𝑥

2

+ 1 =

𝑑𝑡 𝑑𝑥

2𝑥 =

𝑑𝑡 𝑑𝑥  구간 확인:

𝑥 = 0 𝑡 = 1 & 𝑥 = 1 𝑡 = 2

𝑥 𝑥2₊₁ 1 0

𝑑𝑥 =

1 𝑡 2 1

∙

1 2

𝑑𝑡 =

1 2

∙ ln 𝑡

1 2

₌

1 2

∙ ln 2 − ln 1 =

1 2

ln 2

14 (2) 부분 적분법

𝑓

_𝑎𝑏 ′

𝑥 𝑔(𝑥)

𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)

_𝑎𝑏

− 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)

_𝑎𝑏

𝑑𝑥

 case 1: 대수함수와 지수함수의 곱  case 2: 대수함수와 삼각함수의 곱  case 3: 대수함수와 로그함수의 곱  case 4: 지수함수와 삼각함수의 곱  부정적분: 적분 후 반드시 적분상수 𝐶 추가  정적분

:

치환적분과 달리 적분구간 변경이 필요 없음 !!! 예시)

𝑥𝑒

₁2 𝑥

𝑑𝑥

를 구하라.

 𝑓

′

𝑥 = 𝑒

𝑥

& 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒

𝑥

& 𝑔

′

𝑥 = 1

∴

_𝑥𝑒

₁2 𝑥

𝑑𝑥 = 𝑥𝑒

𝑥 ₁2

− 𝑒

₁2 𝑥

𝑑𝑥 = 2𝑒

2

− 𝑒 − 𝑒

𝑥 ₁2

= 2𝑒

2

_{− 𝑒 − 𝑒}

2

_{− 𝑒 = 𝑒}

2 case 1: 대수함수와 지수함수의 곱

(3) 부분분수(partial fraction) 분해  유리함수: 분모와 분자가 다항함수로 구성되어 있는 분수 식  부분분수 분해: 여러 개의 분수 식의 합과 차로 변환하여 간단한 분수 식으로 표현 예제) 2 𝑥2−1

𝑑𝑥

를 구하라  피적분 함수를 부분분수로 분해 2 𝑥2−1

=

2 (𝑥−1)(𝑥+1)

=

𝐴 (𝑥−1)

+

𝐵 (𝑥+1)

=

𝐴 𝑥+1 +𝐵(𝑥−1) (𝑥−1)(𝑥+1)

=

𝐴+𝐵 𝑥+(𝐴−𝐵) (𝑥−1)(𝑥+1)  항등식의 미정계수 법에 의해 A와 B를 구하면,

𝐴 + 𝐵 = 0

𝐴 − 𝐵 = 2

 그러므로, 2 𝑥2−1

=

𝐴 (𝑥−1)

+

𝐵 (𝑥+1)

=

1 (𝑥−1)

−

1 (𝑥+1)

2 𝑥2₋₁

𝑑𝑥 =

1 𝑥−1

𝑑𝑥 −

1 𝑥+1

𝑑𝑥 = ln 𝑥 − 1 − ln 𝑥 + 1 + 𝐶 = ln

𝑥−1 𝑥+1

+ 𝐶

𝐴 = 1, 𝐵 = −1

16 7-3-1. 구분구적법  원과 같이 곡선이 포함된 도형은 삼각형 또는 사각형의 기본도형으로 세분하여 구할 수 없음.  그러나, 곡선이 포함된 부분을 기본도형으로 세분화하여 근사값을 구하고, 근사값의 극한을 이용하면, 원의 면적을 구할 수 있음.  그림과 같이 원에 내접하는 다각형면적의 합은 다각형이 많을 수록 원의 면적에 근접.  다각형면적의 합을

𝑆

_𝑛 , 다각형 밑변의 합을

𝑙

_𝑛이라 하면,

𝑆

_𝑛

= ∆𝑂𝐴𝐵 × 𝑛 =

1 2

∙ 𝐴𝐵 ∙ ℎ ∙ 𝑛 =

1 2

ℎ(𝑛 ∙ 𝐴𝐵)

𝑙

_𝑛

= 𝑛 ∙ 𝐴𝐵

∴ 𝑆

_𝑛

=

1 2

ℎ ∙ 𝑙

𝑛  여기서,

𝑛 → ∞

이면,

𝑙

_𝑛

→ 2𝜋𝑟, ℎ → 𝑟

∴ lim

𝑛→∞

𝑆

𝑛

= lim

𝑛→∞ 1 2

ℎ ∙ 𝑙

𝑛

=

1 2

𝑟 ∙ 2𝜋𝑟 = 𝜋𝑟

2

_{= 𝑆}

 이와 같이 평면도형의 면적이나 입체도형의 체적을 구할 때, 주어진 도형을 충분히 작은 𝑛 개의 도형으로 세분화하여 그 도형에 근사 시키고,  세분된 기본 도형들의 면적을 합한 근사값의 극한을 취하여 면적 또는 체적을 구하는 방법을 구분구적법이라 함. 𝑜 𝑟 𝐴 𝐵 ℎ

7-5-1. 도형의 면적 (1)

𝑥

축과 곡선의 면적:

𝑥

축과 곡선이 만드는 면적은 다음의 3 case 로 분류. case 1)

𝑓 𝑥 ≥ 0

인 경우:

𝑆 = 𝑓(𝑥)

𝑏 𝑎

𝑑𝑥

case 2)

𝑓 𝑥 ≤ 0

인 경우:

𝑆 = − 𝑓(𝑥)

_𝑎𝑏

𝑑𝑥

case 3) 일반적인 경우:

𝑆 = 𝑆

₁

+ 𝑆

₂

= 𝑓(𝑥)

𝑐 𝑎

𝑑𝑥 − 𝑓(𝑥)

𝑏 𝑐

𝑑𝑥

(2) 두 곡선 사이의 면적  그림 (A)와 같이 구간

𝑎, 𝑏

에서 두 곡선

𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔 𝑥

로 둘러싸인 면적 S 는 위 그래프에서 아래 그래프를 뺀

𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)

를 구간

𝑎, 𝑏

로 적분한 값.  두 곡선이 모두

𝑥

축 위 또는 아래에 있거나,

𝑥

축을 사이에 두고 있는 경우 모두 위의 공식이 성립. ∴ 구간 𝑎, 𝑏 에서 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) 일 때, 두 곡선 사이의 면적은:

_{𝑆 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)}

𝑏

𝑑𝑥

그림 (A)

𝑆

𝑔(𝑥)

𝑦

𝑓(𝑥)

18 7-5-2. 회전체의 체적 (1) 입체도형의 체적  오른쪽 원통의 체적을

𝑛

등분 한 후,

𝑘

번째 절단면의 면적을

𝑆(𝑥

_𝑘

)

라하고, 높이를

∆𝑥

라 하면, 이 부분의 미소 체적

∆𝑉

_𝑘 는

∆𝑉

_𝑘

≈ 𝑆(𝑥

_𝑘

) ∙ ∆𝑥

 이 미소체적을 모두 합하면 입체도형의 체적에 대한 근사값 ∴

𝑉 ≈

𝑛_𝑘=1

𝑆(𝑥

_𝑘

)

∙ ∆𝑥

 여기서 𝑛 → ∞ 일 때:

𝑉 = lim

𝑛→∞

𝑆(𝑥

𝑘

) · ∆𝑥

𝑛 𝑘=1

= 𝑆 𝑥

_𝑎𝑏

𝑑𝑥

(2) 입체도형의 체적에 대한 정의  구간

[𝑎, 𝑏]

에서

𝑥

축에 수직인 평면으로 자른 절단면의 면적이

𝑆 𝑥

일 때, 입체도형의 체적은

𝑉 = 𝑆 𝑥

_𝑎𝑏

𝑑𝑥

(단, 여기서

𝑆 𝑥

는 연속함수) 예제) 어떤 입체를

𝑥

축에 수직인 평면으로 자른 단면적이

𝑆 𝑥 = 2𝑥 + 1

일 때,

𝑥

축에 수직인 두 평면

𝑥 = 0 & 1

에 의해 잘린 입체도형의 체적

𝑉

를 구하라.

𝑉 = 𝑆 𝑥

₀1

𝑑𝑥 = (2𝑥 + 1)

₀1

𝑑𝑥 = 𝑥

2

_{+ 𝑥}

0 1

_{= 2}

𝑦 𝑥 𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

𝑘 번째

(3) 회전체의 체적  구간

[𝑎, 𝑏]

에서 함수

𝑦 = 𝑓(𝑥)

와

𝑥

축으로 둘러싸인 부분을

𝑥

축을 중심으로 회전 시켰을 때 생기는 입체도형을 회전체(solid revolution) 라 함.  이 회전체의 절단면은 원판이 되고, 이 원판의 면적을

𝑆 𝑥

라 하면, 구간

[𝑎, 𝑏]

에서 이 회전체의 체적

𝑉 = 𝑆 𝑥

𝑏 𝑎

𝑑𝑥

 이 때,

𝑆 𝑥

의 반지름은

𝑓 𝑥

이므로,

𝑆 𝑥 = 𝜋 𝑓(𝑥)

2

∴ 𝑉 = 𝑆 𝑥

_𝑎𝑏

𝑑𝑥 = 𝜋 𝑓(𝑥)

_𝑎𝑏 2

𝑑𝑥

예제) 구간

[0, 1]

에서 곡선

𝑦 = 𝑥

를

𝑥

축 중심으로 회전 시킬 때 생기는 회전체의 체적을 구하라.  회전체의 단면적

𝑆 𝑥

의 반지름은

𝑦 = 𝑥

∴

𝑆 𝑥 = 𝜋 𝑥

2

= 𝜋𝑥

 구간

[0, 1]

에서 이 회전체의 체적

𝑉

는 단면적

𝑆 𝑥

의 정적분 𝑦 𝑥 𝑧 𝑦 𝑥 𝑧 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 의 회전체

20 예제) 두 곡선

𝑦 = 𝑥

2 과

𝑦 = 𝑥

로 둘러싸인 영역에 대해 다음을 구하라 (1) 두 곡선으로 둘려싸인 도형의 면적

𝑆

 적분 구간을 구하기 위해 두 곡선의 교점을 먼저 구하면,

𝑥 = 𝑥

2

𝑥

2

− 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 = 0 ∴ 𝑥 = 0 𝑜𝑟 1

 구한 구간에서 적분

𝑆 = 𝑥 − 𝑥

₀1 2

𝑑𝑥 =

1 2

𝑥

2

−

1 3

𝑥

3 ₀ 1

=

1₂

−

1₃

=

1₆ (2) 두 곡선으로 둘러싸인 영역을 𝑥 축을 중심으로 회전 시켰을 때 생기는 회전체의 체적

𝑉

 구간

[0, 1]

에서 직선

𝑦 = 𝑥

와 𝑥 축으로 둘러싸인 도형을

𝑥

축을 중심으로 회전시킨 회전체의 체적

𝑉

₁ 이라 하면,

𝑉

₁

= 𝜋 𝑥

₀1 2

𝑑𝑥

 구간

[0, 1]

에서 곡선

𝑦 = 𝑥

2 과 𝑥 축으로 둘러싸인 도형을

𝑥

축을 중심으로 회전시킨 회전체의 체적을

𝑉

₂ 라 하면,

𝑉

₂

= 𝜋 𝑥

₀1 2 2

𝑑𝑥

 문제에서 구하고자 하는 체적

𝑉 = 𝑉

₁

− 𝑉

₂

_{∴ 𝑉 = 𝜋 𝑥}

₀1 2

_{𝑑𝑥 − 𝜋 𝑥}

₀1 4

_{𝑑𝑥 = 𝜋 𝑥}

1 2

− 𝑥

4 0

𝑑𝑥 = 𝜋

1 3

𝑥

3

₋

1 5

𝑥

5 0 1

=

2 15

𝜋