확률 및 통계
1 성격
본과정은 과학기술 특성화 대학의 “확률 및 통계” (또는“기초통계 학”) 과목에 해당하는 내용을 다룬다. 이 과정을 통하여 학생들은 대학 과정 이수에 필요한 정성적/정량적 자료 분석을 위한 통계적사고의 기초 를 습득하게 된다. 또한 수학, 통계학, 또는 계량적 분석을 많이 요구하 는 학문을 전공하고자 하는 학생들에게는 과학적 분석방법의 수리적 토 대를 갖추도록 하여 상위교과목을 수강할 수 있는 능력을 기르도록 한 다. 통계학은 자료를 수집, 정리하고 분석하여 자료가 가지고 있는 정보를 해석하며 합리적인 의사결정을 내리는 방법을 연구하는 학문이다. 특히 과학기술 특성화 대학의 거의 모든 학문분야는 실험 및 관찰로 얻어진 실증적 자료에 근거한 합리적인 의사결정을 수행해 나가는 연구 방법을 택하고 있다. 따라서 모든 과학기술 특성화 대학의 학생들은 통계적 사 고의 틀을 갖추어야 할 필요가 있다. 대학 통계학 과정은 고등학교에서 수학의 한분야로서 배운 기본적인 확률과 통계모형을 더욱 확장하여 자료 분석을 통한 과학적 의사결정에 이를 수 있도록 단계적으로 연관된 내용체계로 구성되어 있다. 따라서 본 과정에서는 자료로부터 유용한 정보를 쉽게 추출할 수 있도록 정리하고, 이를 확률 모형을 통하여 수리적으로 표현하고 기술하는 방법들과, 획득된 유용한 정보를 이용하여 관심특성에 대한 예측과 그와 관련된 의 사결정을 수행할 수 있는 방법들을 다루게 된다. 본 과정은 한 학기, 14주 (평가기간 제외) 42시간을 기준으로 만들어져 있다. 본 과정의 내용과 범위는 각 과학 기술 특성화 대학에서 운영하고 있는 해당 과목을 분석하여 과학영재 고등학생들이 학습하기에 적절하도 록 구성하였다. 따라서 단순 계산위주의 통계학 내용을 지양하고 개념 및 자료 분석 방법의 원리에 대한 이해와 다양한 분야의 자료에 대한 분 석 실습을 중심내용으로 구성하였다. 이를 통해서 우수한 고등학생들의 학습동기유발과 성취의식을 고취시킴으로써 장차 이공계의 중심역할을 할 우수한 고등학생들에게 학문적 기초를 제공하는데 그 목적이 있다.
2 목표
1. 총괄목표
‣ 다양하고 불확실한 현상의 분석을 위한 확률론의 기초개념인 확률공 간, 확률변수와 그분포를 이해하고 자료 분석 및 통계학의 활용을 학 습함으로써 불확실한 현상의 수리적 분석 능력을 향상시키고 과학과 공학의 각 분야에 응용할 수 있는 활용능력을 향상시킨다.2. 세부목표
‣ 자료의 정리, 확률공간과 확률분포, 추정과 검정, 상관과 회귀분석에 관련된 개념, 원리, 법칙과 이들 사이의 관계를 이해한다. ‣ 여러 가지 현상을 관찰, 분석, 체계화하여 통계적으로 해석하는 능력 을 기른다. ‣ 불확실성이 내재된 문제를 합리적이고 창의적으로 해결하는 능력을 기른다.‣ 실증 자료를 바탕으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다.
3 내용체계
‣ 통계학은 수학을 기반으로 하여 여러 분야에 응용되고 있는 학문이 다. 따라서 본 교과내용은 확률 및 통계의 기본개념을 다루는 핵심과 정과 주요 응용분야에 따른 선택과정으로 구성되어 있다. ‣ 핵심과정은 확률 및 통계에 꼭 필요한 공통 학습 내용으로 구성되어 있다. ① 자료의 요약 정리 ② 확률 (확률공간, 확률변수와 기댓값, 확률분포) ③ 통계적 추론 (표본분포, 추정 및 검정) ④ 상관과 회귀분석 ‣ 선택과정은 응용분야에 따라 크게 세 방향으로 분류하였다. 각 고등 학교의 판단에 따라 선택할 수 있으나, 이 중 하나이상을 반드시 교 과내용에 포함하여야 한다. 수리심화 핵심과정+
선택과정 공학통계 중 택1
실험통계 ① 수리심화과정 대학에서 수학, 통계학 또는 계량적 분석능력이 많이 요구되는 학문 을 전공하고자 하는 학생을 위한 선택 과정이다. 앞으로 응용통계학, 확률론, 수리 통계학 등의 상위과목을 수강할 예정인 학생들이 그 과 목들을 수강하는데 필요한 수학적인 기반을 보다 확고히 할 수 있도 록 함을 목적으로 한다. 구체적인 교과내용은 주로 핵심부분의 내용에대하여 공고한 수리적인 기반을 보완하는 내용으로 이루어져 있다. ② 공학통계과정 공학분야 응용을 강조한 선택과정이다. 이 과목의 수강 후 통계학 상위과목의 수강 없이 각 공학 전공분야를 이수할 수 있도록 self-contained 형식으로 구성되어 있다. 공학연구에 필요한 분산분석 이 주요 내용이다. ③ 실험통계과정 공학 통계 과정과 유사하나 화학, 생명 과학 등 정성적 자료분석이 비교적 많이 필요한 분야를 위하여 범주형 자료분석을 포함한다. 이를 통하여 학생들이 보다 과학적이고 효율적인 실험 방법을 이해할 수 있도록 한다.
핵심과정 내용체계
영 역 단 원
Descriptive Statistics
1. Introduction to Statistics 1.1. Introduction
1.2. Data Collection and Descriptive Statistics 1.3. Inferential Statistics and Probability Models 1.4. Populations and Samples
2. Descriptive Statistics 2.1. Introduction
2.2. Describing Data Sets 2.3. Summarizing Data Sets 2.4. Chebyshev’s Inequality(*) 2.5. Normal Data Sets
2.6. Paired Data Sets and the Sample Correlation Coefficient
Probability
3. Elements of Probability 3.1. Introduction
3.2. Sample Space and Events
3.3. Venn Diagrams and the Algebra of Events 3.4. Axioms of Probability
3.5. Sample Spaces Having Equally Likely Outcomes 3.6. Conditional Probability
3.7. Bayes’ Formula 3.8. Independent Events
4. Random Variables and Expectations 4.1. Random Variables
4.2. Types of Random Variables
4.3. Jointly Distributed Random Variables 4.4. Expectations
4.5. Properties of the Expected Value 4.6. Variance
4.7. Covariance and Variance of Sums of Random Variables
4.8. Moment Generating Functions
4.9. Chebyshev’s Inequality and the Weak Law of Large Numbers
5. Special Random Variables
5.1. The Bernoulli and Binomial Random Variables 5.2. The Poisson Random Variables
5.3. The Hypergeometric Random Variables 5.4. The Uniform Random Variables
5.5. Normal Random Variables
5.6. Exponential Random Variables (5.6.1 The Poisson Process 제외)
5.7. (The Gamma Distribution 제외) 5.8. Distributions Arising from the Normal
5.8.1. The Chi-Square Distribution, The t-Distribution (5.8.1.1 The Relation Between Chi-Square 제외) 5.9. Interval Estimates
5.10. Estimating the Difference in Means of Two Normal Populations
5.11. Approximate Confidence Interval for the Mean of a Bernoulli Random Variable
Statistical Inference
6. Hypothesis Testing 6.1. Introduction
6.2. Significance Levels
6.3. Tests Concerning the Mean of a Normal Population
6.4. Testing the Equality of the Means of Two Normal Populations
7. Parameter Estimation 7.1. Introduction
7.2. Maximum Likelihood Estimators
(7.2.1 Estimating Life Distributions제외) 7.3. Interval Estimates
7.4. Estimating the Difference in Means of Two Normal Populations
7.5. Approximate Confidence Interval for the Mean of a Bernoulli Random Variable
8. Hypothesis Testing 8.1. Introduction
8.2. Significance Levels
8.3. Tests Concerning the Mean of a Normal Population
8.4. Testing the Equality of the Means of Two Normal Populations
8.6. Hypothesis Tests in Bernoulli Populations
Regression and
Correlation
9. Regression 9.1. Introduction
9.2. Least Squares Estimators of the Regression Parameters
9.3. Distribution of the Estimators
9.4. Statistical Inferences about the Regression Parameters
9.5. The Coefficient of Determination and the Sample Correlation Coefficient
선택과정 내용체계
영 역 단 원
A 수리 심화 과정
5.6.1 The poisson process 5.7 The gamma distribution
5.8.1.1 The relation betrween Chi-Square. 5.8.3. The F-Distribution
6.3. The Central Limit Theorem (MGF에 기반한 증명 추가)
6.6. Sampling from a Finite Population 7.7. Evaluating a Point Estimator
8.5. Hypothesis Tests Concerning the Variance of a Normal Population
공학 통계 과정
5.7. The Gamma Distribution 5.8.3. The F-Distribution
8.5. Hypothesis Tests Concerning the Variance of a Normal Population
10.1. Introduction 10.2. An Overview
10.3 One-Way Analysis of Variance
실험 통계 과정
11.1. Introduction
11.2. Goodness of Fit Tests When All Parameters Are Specified
11.3. Goodness of Fit Tests When Some Parameters Are Unspecified
11.4. Tests of Independence in Contingency Tables 11.5. Tests of Independence in Contingency Tables
4 추천교재
본 과정에는 반드시 영어교재를 사용하여야 한다. 추천교재는 다음과 같으며 구체적인 교과체계는 교재I을 기준으로 기술한다.
‣ I. Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists, 4th ed. Sheldon M. Ross, Elsevier Academic Press, 2009. ‣ II. Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed.
Walpole, Meyers, Meyers, Ye, Pearson Education, 2012.
‣ III. Statistics for the Life Sciences, 4th ed. Samuels, Witmer, Schaffner, Pearson, 2012.
5 교수·학습 방법
진도계획표
선택과정에 따라 수업내용과 진도의 차이가 있을 수 있으며 실제 수업진 도도 상황에 따라 다소 가감할 수 있다. 또한 평가시간은 수업과 별도로 분 리하였다. 주 선택과정 (A) 수리심화과정 (B) 공학통계과정 (C) 실험통계과정 1 Chapter 1, 2 2 3 Chapter 3 4 5 Chapter 4, 5 6 7 8 중간고사9
chapter 6 chapter 6 chapter 6 10 chapter 7,8 chapter 7,8 11 chapter 7 12 13 chapter 8 chapter 9, 10 chapter 9, 11 14 15 chapter 9 16 기말고사
6 영역 및 단원 내용
Descriptive Statistics
• Chapter 1: 경험적 학습 연구과정의 얼개를 설명한다. 자료를 수집하고 이 를 요약 정리하여 필요한 정보를 추출해내어 의사결정에 이르는 과정을 개략적으로 보여준다. 이 때 모집단과 표본의 차이를 분명히 구별할 수 있도록 유의한다.• Chapter 2: Descriptive Statistics(자료의요약정리)는 수집된 자료를 관찰 분석하여 정보를 얻어내기 위한 첫단계이다. 이에는 도표와 그래프를 이용한 자료의 요약과 중심위치와 산포의 수리적측도에 의한 전체자료의 특징 파악 등이 포함되어 있다. 특히 통계프로그램을 이용한 실습활동을 통하여 학생들이 이를 체득할 수 있도록 한다. 이와 더불어 기초적인 Chebyshev’s Inequality를 통하여 학생들이 앞으로 전개될 내용의 수리 적인 면을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 돕는다.
• 통계프로그램은 학생들이 쉽게 접근할 수 있는 Microsoft Excel을 사용하 기를 추천한다. Excel에는 이 과정에 필요한 거의 모든 기능이 ‘add-in’ 형태로 들어 있다. (Analysis ToolPak. 교재와의 유기적인 통 합을 위하여 영문버전의 Excel을 설치하기를 장려함.) 다만 Boxplot 등 일부 기능은 SSC-Stat (영국 Reading 대학에서 다운로드 가능) 등의 추가 add-in으로 보완한다. 물론 s-link 등 전문 통계 프로그램을 확보하고 있 으면 이를 사용한다.
1) 세부단원
‣ 확률모형에 기반한 통계적 추론과정을 이해한다. ‣ 모집단과 표본의 개념을 이해한다. ‣ 자료의 형태를 설명할 수 있다. ‣ 그래프나 도표를 이용하여 자료를 요약정리하고 해석할 수 있다. ‣ 중심위치와 산포의 측도에 대한 종류와 특징을 설명할 수 있다. ‣ 상자 그림을 그리고 이를 이상치 탐색에 활용할 수 있다. ‣ 통계프로그램을 이용하여 실제자료에 대한 기술적 요약을 연습한다.2) 내용기준
‣ 통계적 추론과정 : 자료수집, 요약 정리, 확률모형, 통계적 추론 ‣ 모집단과 표본 ‣ 자료의 형태 : 양적자료, 질적자료 ‣ 그래프를 이용한 자료의 요약 : 도수분포표, 막대 도표, 줄기와 잎그 림, 히스토그램 ‣ 중심위치의 측도 : 모평균, 표본평균, 중앙값, 최빈값, 분포의 형태와 대푯값의 위치‣ 산포의 측도 : 범위, 모분산, 표본분산, 모표준편차, 표본표준편차, 백 분위수, 표준화점수 ‣ 상자그림과 이상치탐색 : 사분위수, 사분위범위, 다섯숫자 요약, 이상 치, 상자그림 ‣ 통계 프로그램을 이용한 실습
3) 성취기준
‣ 통계적 추론의 구조를 이해하는가? ‣ 모집단과 표본을 구별할 수 있는가? ‣ 자료의 형태를 설명할 수 있는가? ‣ 그래프를 이용하여 자료를 요약하고 해석할 수 있는가? ‣ 중심위치의 측도에 대한 종류와 특징을 설명할 수 있는가? ‣ 산포의 측도에 대한 종류와 특징을 설명할 수 있는가? ‣ 상자그림을 그릴 수 있고 이를 이상치 탐색에 적용할 수 있는가?4) 평가문항
별첨5) 유의사항
‣ 중 고등학교의 확률과 통계의 단원과 연계됨에 유의한다. ‣ 실제자료를 이용하여 용어의 배경과 의미를 설명한다. ‣ 실제자료에 대한 기술적 요약을 하는 과정에서 통계프로그램의 활용 법과 장단점을 간략히 설명한다.• Chapter 3: 확률은 어떤현상의 불확실성의 표현이며 이불확실성을 계량화 하여 측정하고 설명하려는 방법을 연구하는 학문이 확률론이다. 확률단 원에서는 중고등학교에서 학습한 확률과 조건부확률의 개념을 일반화, 형식화하고 베이즈정리를 추가로 다룬다. • Chapter 4: 확률변수는 확률실험의 결과를 실수에 대응시키는 함수이며, 그 함수값이 특정값 또는 어느 구간에 포함될 확률에 대한 정보가 확률 분포로 표시된다. 확률이 확률실험에서 표본공간과 사건에 대하여 정의 하는 것인 반면 확률변수는 확률실험의 표본공간으로부터 실수값으로의 변환함수를 의미한다. 확률변수의 특징을 표현하는 방법으로 기댓값, 분 산, 공분산, moment generating function 등이 있다. 마지막으로 소개하는 대수의 법칙 (law of large numbers)은 통계학의 존립을 보장하는 근간의 일부이다. • Chapter 5: 확률분포는 크게 이산확률분포와 연속확률분포로 나누어진다. 대표적인 이산확률변수로 이항분포, Poisson 분포, 초기하분포를 들 수 있다. 연속확률분포로는 균일분포, 정규분포, 지수분포, Gamma 분포를 포함한다. 또한 정규분포에서 파생된 Chi-square 분포와t분포를소개한다. 이 파생분포들은 추후 통계적 추론에서 중요한 역할을 담당하게 된다.
1) 세부단원
‣ 확률현상의 의미를 설명하고 확률을 정의할 수 있다. ‣ 확률의 기본적인 성질을 설명할 수 있다. ‣ 조건부확률과 확률의 곱셈정리를 이해하고 활용할 수 있다.‣ 독립사건의 의미를 이해한다.
‣ 베이즈정리를 이해하고 활용할 수 있다.
‣ 확률변수의 개념을 이해하고 확률변수의 기댓값과 표준편차를 구할 수 있다.
‣ 결합분포, 공분산과 상관계수, 두확률 변수사이의 관계를 설명할 수 있다. ‣ Moment generating function을 구할 수 있다.
‣ Chebyshev 부등식을 증명할 수 있으며 이를 이용하여 Weak law of large numbers를 보일 수 있다. ‣ 이항분포, 기하분포, 포아송분포, 초기하분포의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다. 통계 프로그램을 이용하여 필요한 확률을 구할 수 있다. ‣ 균일분포, 정규분포, 지수분포, Gamma 분포의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다. ‣ Chi-square 분포 및t분포와 정규분포와의 관계를 이해하고 이를 활용 할 수 있다. 통계 프로그램을 이용하여 필요한 확률과 백분위수 등을 구할 수 있다.
2) 내용기준
‣ 확률의 정의 : 표본공간, 사건, 사건의 확률, 확률의 공리 ‣ 확률의 기본적인 성질 : 확률의 기본적인 성질, 확률의 덧셈법칙 ‣ 조건부확률 : 조건부확률, 곱셈법칙, 독립 ‣ 베이즈정리 : 표본공간의 분할, 전확률의 법칙, 베이즈정리 ‣ 확률변수 및 확률분포 : 확률변수, 확률분포, 이산확률분포, 연속확률 분포, 결합확률분포‣ 기댓값 : 기댓값의 정의와 성질, 분산, 공분산, Moment generating function ‣ Chebyshev 부등식과 Weak law of large numbers : Chebyshev 부등식과
‣ 이산확률분포 : 이항분포, 기하분포, 포아송분포, 초기하분포 ‣ 연속확률분포 : 균일분포, 지수분포, 정규분포 ‣ Chi-square 분포와 t분포 : 정규분포와 파생분포와의 관계
3) 성취기준
‣ 확률현상의 의미와 확률의 정의를 설명할 수 있는가? ‣ 확률의 기본적인 성질을 이용하여 확률을 계산할 수 있는가? ‣ 조건부 확률의 정의와 곱셈정리를 이해하고 이를 확률계산에 적용할 수 있는가? ‣ 베이즈정리를 이해하고 이를 확률계산에 적용할 수 있는가? ‣ 확률변수의 정의를 이해하고 확률분포를 표현할 수 있는가? ‣ 확률변수의 기댓값과 분산을 구하고 이를 통하여 확률변수의 특성 적성질을 이해할 수 있는가?‣ Chebyshev 부등식과 Weak law of large numbers의 의미를 이해하는가? ‣ 각종 이산 확률분포와 연속확률분포를 구별하고 각각의 특성을 알고 있는가? ‣ 정규분포에서 파생된Chi-square 분포와 t분포를 적절히 사용할 수 있는가?
4) 평가문항
별첨5) 유의사항
‣ 통계적 확률과 수학적 확률을 명확히 설명한다. ‣ 수학적 확률로부터 공리론적 확률의 논리적인 근거를 설명한다. ‣ 연속 결합 확률분포에는 중적분의 개념이 사용됨에 유의한다.‣ 사건들의 독립성은 조건부 확률에 배경이 있으며, 곱사건의 확률을 구하는 방법으로 활용됨을 강조한다. ‣ 베이즈정리의 활용에 중점을 둔다. ‣ 확률변수의 의미를 함수에서의 변수개념과 비교하여 설명한다. ‣ 이항분포, 기하분포, 초기하분포 등의 유사점과 상이점에 유의한다. ‣ Chi-square 분포와 t분포는 반드시 정규분포와 연관하여 설명한다. • Chapter 6: 통계적 추론은 표본에서모수(parameter)에 대한 정보를 얻어내 어 이를 바탕으로 모집단에 대한 합리적인 의사결정을 하는 과정이다. 이를 위하여 표본으로부터 추출된 통계량의 분포를 연구한다. 특히 표본 평균, 표본분산의 표본분포의 특성을 탐구하고 중심극한정리의 의미를 알아본다. 특히 정규분포의 표본분포에 대하여 심층적으로 알아본다. • Chapter 7: 모집단의 특성을 나타내는 모수를 표본추출에 근거한 관찰값 들을 이용하여 모수의 값을 추정하며 이는 점추정과 구간추정으로 나뉜 다. 한 모집단의 모수를 추정하는 문제와 함께 두 모집단의 차이를 추정 하는 문제도 다룬다. 또한 표본의 크기를 결정하는 문제도 포함된다. • Chapter 8: 가설검정은 모수에 대한예 상, 주장 또는 추측 등으로 구성된 가설을 세운 후, 표본을 근거로 그 가설의 채택여부를 판정하는 통계적 방법이다. 특히 제 1 및 2 종 오류, 유의수준, 유의확률(p-value) 등의 개 념을 도입하여 통계적 의사결정의 구조를 이해한다. 구체적인 예로는 단 일 모집단의평균과두 모집단의 평균차이에 대한 가설검정 문제를 다룬 다.
1) 학습목표
‣ 표본 추출 방법을 이해하고 표본조사를 계획하고 구성할 수 있다. ‣ 통계량의 개념을 이해한다. ‣ 표본분포를 이해하고 설명할 수 있다. ‣ 중심극한정리의 내용과 의미를 설명할 수 있다. ‣ 추정의 뜻을 이해하고 추정량의 성질을 설명할 수 있다. ‣ 점추정의 의미와 정의를 설명할 수 있다. ‣ 구간추정의 원리를 이해하고 신뢰구간의 의미와 정의를 설명할 수 있다. ‣ 표본크기의 결정의 의미를 이해하고 활용할 수 있다. ‣ 가설검정의 배경과 의미를 이해하고 설명할 수 있다. ‣ 제 1 및 2 종 오류, 유의수준, 유의확률(p-value) 등의 개념을 이해하 고 이를 이용하여 의사결정 모형을 만들 수 있다. ‣ 모평균과 모비율의 가설검정을 이해하고 이를 활용할 수 있다. ‣ 두모평균의 차, 두모비율의 차에 대한 가설검정을 이해하고 이를 활 용할 수 있다. ‣ 통계 프로그램을 이용하여 추정 및 검정을 수행할 수 있다.2) 내용기준
‣ 표본조사 계획과 구성 : 잘 설계된 조사의 특징, 모집단, 표본, 임의 추출, 편향의요인, 표본추출방법 ‣ 표본분포 : 통계량, 표본평균, 표본분산, 표본비율, 표본평균에 대한 표본분포, 표본비율에 대한 표본분포, 중심극한정리 ‣ 추정의 의미 : 모수추정과 오차의 한계, 점추정과 구간추정의 의미,추정량의 성질 ‣ 점추정 : 통계량, 추정량, 불편추정량, 모평균, 모비율, 표준오차, 표 준오차의 추정량 ‣ 구간추정 : 모평균에 대한 신뢰구간과 신뢰수준, 모비율, 모분산에 대 한 신뢰구간 ‣ 표본크기 : 원하는 정밀도 수준의 구간추정을 위한 최소 표분크기 계 산 ‣ 가설검정 : 통계적가설, 귀무가설, 대립가설, 기각역, 유의수준 ‣ 모평균과 모비율의 검정 : 귀무가설, 대립가설, 유의수준, 기각역 ‣ 두모집단에 대한 가설검정 : 두모평균차에 대한 가설검정, 두모비율 차에 대한 가설검정
3) 성취기준
‣ 표본추출 방법을 이해하고 이를 활용할 수 있는가? ‣ 표본분포의 정의를 알고 중심극한정리를 설명할 수 있는가? ‣ 점추정의 의미와 정의를 이해하고 활용할 수 있는가? ‣ 구간추정의 원리, 신뢰구간의 의미와 정의를 이해하고 활용할 수 있 는가? ‣ 정확도와 신뢰도를 달성하기 위한 표본크기를 결정하는 방법을 이해 하고 활용할 수 있는가? ‣ 가설검정 배경과 의미를 이해하고 활용할 수 있는가? ‣ 모평균과 모비율에 대한 가설을 세우고 검정할 수 있는가? ‣ 두모집단에 대한 가설을 세우고 검정할 수 있는가?4) 평가문항
별첨
5) 유의사항
‣ 표본추출 방법에 유의하여 표본조사 계획을 세우는 활동을 강조한다. ‣ 정규분포를 갖는 모집단에서의 표본만을 다룬다. ‣ 중심극한 정리의 증명은 생략하고 내용과 의미를 중점적으로 설명한 다. ‣ 실제 예를 이용하여 추정량의 의미를 이해하고 모수추정과 오차의 관계를 이해하도록 한다. ‣ 점추정과 구간추정의 사례를 이용하여 추정방법을 선택할 수 있게 한다. ‣ 가설검정의 의미를 이해하고 검정결과를 해석하는 활동에 주안점을 둔다. 회귀분석은 연구대상 집단의각 개체로부터 두 변수 또는 여러 변수들을 측정하여 상호관련성을 분석하여 변수와 변수사이의 관계를 규명하고자 하 는 통계적 방법이다. 이장에서는 상관계수, 단순회귀모형, 최소제곱법에 의 한 희귀계수의 추정 등을 학습한다.1) 학습목표
‣ 두 변수의 선형관계를 수학적으로 표현한 단순 회귀모형을 이해하고 활용할 수 있다. ‣ 단순회귀모형의 회귀계수에 대한 통계적 추론을 수행할 수 있다.‣ 두 연속형 변수의 선형상관를 표현할 수 있다. ‣ 통계 프로그램을 이용하여 상관분석과 단순회귀분석을 수행하고 그 결과의 의미를 이해할 수 있다.
2) 내용기준
‣ 회귀모형 : 종속(반응)변수, 독립(설명)변수, 단순회귀모형의정의, 회 귀직선 ‣ 모형모수에 대한 추론 : 회귀계수, 최소제곱법, 추정회귀직선, 잔차, 오차제곱합, 회귀계수에 대한 검정, 결정계수, 총제곱합, 회귀제곱합 ‣ 상관계수 : 산점도, 표본 상관계수의 정의3) 성취기준
‣ 단순 회귀모형의 의미를 이해하고 이를 활용할 수 있는가? ‣ 모형 모수추정을 위한 방법으로서 최소제곱법을 이해하고 설명할 수 있는가? ‣ 모형 모수추정값들을 이용하여 종속변수를 예측할 수 있는가? ‣ 결정계수의 의미를 설명할 수 있는가? ‣ 상관계수의 의미를 이해하고 구할 수 있는가?4) 평가문항
별첨5) 유의사항
‣ 구체적인 예를 이용하여 각 용어의 개념을 설명하고 활용에 중점수리심화과정
대학에서 수학, 통계학 또는 계량적 분석능력이 많이 요구되는 학문을 전 공하고자 하는 학생을 위한 선택과정으로 앞으로 응용통계학, 확률론, 수리 통계학 등의 상위과목을 수강하는데 필요한 수학적인 기반을 보다 확고히 할 수 있도록 함을 목적으로 한다. 구체적인 교과내용은 주로 핵심부분의 내용에 대하여 공고한 수리적인 기반을 보완하는 내용으로 이루어져 있다.1) 학습목표
‣ 중심극한정리를 증명하고 그 과정을 응용할 수 있다. ‣ 점추정량이 가져야할 좋은 성질을 이해한다. ‣ Chi-Square분포와F 분포를 이용하여 정규분포의 분산에 대한 추론을 수행할 수 있다.2) 내용기준
‣ 중심극한정리 : 정규분포의 Moment generating function, 일반 Moment generating function의 Taylor 전개, Moment generating function의 수렴 ‣ 점추정값의 평가 : 불편추정량, 최소분산, 최적화 ‣ 정규분포의 분산 : Chi-Square분포, F분포, F통계량
3) 성취기준
‣ 중심극한정리의 의미를 이해하고 이를 증명하고 활용할 수 있는가? ‣ 불편추정량의 의미를 이해하는가? ‣ 최소분산 불편추정량을 구할 수 있는가? ‣ Chi-Square분포와F 분포를 이용하여 분산의 신뢰구간과 그에 대한가설검정을 수행할 수 있는가?
4) 평가문항
별첨5) 유의사항
‣ 주어진 수준 내에서 수학적인 엄밀성을 최대한 강조한다공학 통계 과정
공학분야 응용을 강조한 선택과정이다. 이 과목의 수강 후 통계학 상위과 목의 수강 없이 각 공학 전공분야를 이수할 수 있도록 공학연구에 필요한 분산분석이 주요내용이다.1) 학습목표
‣ Chi-Square분포와 F 분포를 이용하여 정규분포의 분산에 대한 추론 을 수행할 수 있다. ‣ 통계 프로그램을 이용하여 일방분산분석을 수행하고 그 결과의 의미 를 이해하여 이를 공학연구에 응용할 수 있다.2) 내용기준
‣ 정규분포의 분산 : Chi-Square 분포, F분포, F통계량 ‣ 일방 분산분석 : 일방 실험계획, 분산분석, 내재 변동량과 구조적 변 동량, F검정3) 성취기준
‣ Chi-Square 분포와 F 분포를 이용하여 분산의 신뢰구간과 그에 대한 가설검정을 수행할 수 있는가? ‣ 일방 실험계획의 구조를 이해하는가? ‣ 전체변동량을 내재 변동량과 구조적 변동량으로 나눌 수 있는가? ‣ Chi-Square와F 검정을 수행하여 원하는 결론을 유도해낼 수 있는가?4) 평가문항
별첨5) 유의사항
‣ 구체적인 예를 이용하여 각 용어의 개념을 설명하고 활용에 중점을 둔다.실험 통계 과정
화학, 생명과학 등 정성적 자료분석이 비교적 많이 필요한 분야를 위하여 범주형 자료분석을 포함한다. 이를 통하여 학생들이 보다 과학적이고 효율 적인 실험 방법을 이해할 수 있도록 한다.1) 학습목표
‣ 범주형 자료분석의 개념을 학습한다. ‣ 적합도검정원리를 이해하고 이를 활용할 수 있다.‣ 두 개의 질적요인의 독립성에 대한 검정원리를 이해하고 이를 활용 할 수 있다. ‣ 여러 모집단 비율의 동질성에 대한 검정원리를 이해하고 이를 활용 할 수 있다. ‣ 위의 과정을 통계 프로그램으로 수행하여 실험연구에 응용할 수 있다.
2) 내용기준
‣ 적합도검정 : 다항실험의정의, 다항확률, 관측도수, 기대도수, chi-square 검정 ‣ 동질성검정 : 분할표, 여러 모집단 비율의 동질성에 대한 검정 ‣ 독립성검정 : 두 개의 질적 요인의 독립성 검정3) 성취기준
‣ 다항확률에 대한 적합도 검정원리를 이해하고 이를 활용할 수 있는 가? ‣ 관측도수와 기대도수의 상대적 차이로 이루어진 chi-square 검정통계 량의 의미를 이해했는가? ‣ 동질성검정과 독립성검정의 차이를 인식하고 있는가?4) 평가문항
별첨5) 유의사항
‣ 정리의 증명없이 정리의 의미를 직관적으로 이해한다. ‣ 구체적인 예를 통하여 각 검정원리를 이해한다.실 습
대학 기초과목을 심도있게 학습하기 위해서는 실습이 필수적이다. 특 히 이과목은 수리적인 이해를 바탕으로 실제 응용문제를 해결하는 능력 을 배양함을 목적으로 하므로 실습의 중요성이 더욱 강조된다. 강의내 용 중 3,4장을 제외한 모든 부분에서 컴퓨터 프로그램을 이용한 실습이 이루어져야 하며 개인과 제물도 부여되어야 한다. 주당 1시간의 실습시 간은 통계프로그램 실습 외에 필요시 추가강의, 문제풀이, 질의응답, 쪽 지시험 등의 목적으로 활용될 수도 있다. 주요 프로그램 실습내용은 다 음과 같다. (편의상 MS-Excel을 기준으로 한다.)1) 내용기준
단 원 실습내용 참 고 Chapter 2 Excel의 기본사용법, 자료 입출력 및 저장 그래프와 도표 만들기 상자그림 그리기 표본평균 등 기술적 요약값 구하기 Excel의 선택사항에서 Analysis Toolpak 활성화필요 상자그림은 SSC-Stat Addin 이용 Chapter 5 이항분포, Poisson분포, 초기하 분포의 확률분포값 구하기 균일분포, 정규분포, 지수분포, (Gamma 분포), t-분포, Chi-square분포, (F-분포)의 확률분포값 구하기 확률변수의생성 정규분포에서 파생된 t-분포와 Chi-square분포 (F-분포) Pdf, cdf, quantile 값 구하기와 확률변수 생성은 Excel 기본함수사용 표준정규 변수의 제곱합이 Chi-square 분포를 하게 되고 이로부터 t-분포가 유도됨을 시뮬레이션으로 확인Chapter 6 중심극한정리: 다수의 난수를 생성하고 그 평균의 분포가 정규분포로 수렴함을 실습으로 확인 표본분포: 표본평균의 평균값, 그분산과 표본수의 관계 난수생성을 통한 시뮬레이션 다양한 기초분포 사용 Chapter 7 One-sample 구간추정 Two-sample 구간추정 (동일분산가정) Paired-sample Bernoulli 구간추정 Two-sample의 경우 동일 분산가정이 있는 경우와 없는 경우로 나누어 실습 Chapter 8 One-, Two-sample 가설검정 Bernoulli 가설검정 유의수준과 기각역의 관계 p-value구하기 명목 유의 수준과 시뮬레이션 유의 수준, p-value의 비교 Chapter 9 최소 자승회귀선 구하기 Excel결과표이해하기 Excel 기본기능 Chapter 10 One-way ANOVA 표구하기 Excel 결과표 이해하기 Excel 기본기능 Chapter 11 Goodness of fit 검정 독립성 검정 동질성검정 Excel 에 없는 기능으로 표를 이용하여 직접계산
2) 평가문항
평가는 출결, 수업태도, 실습 및 과제물과 2~3회의 지필평가를 종합하 여 결정한다. 실습 및 과제물은 교재의 연습문제를 포함하여 모두 영어 로 제시되어야 하며 최소 주당 10문제 이상을 수행하도록 한다. 또한 지 필평가의 문항은 모두 영어로 주어져야 한다. 단, 학생들은 과제물과 지 필고사의 답안을 한글로 작성할 수 있다. 각 항목의 반영비율은 자율적 으로 결정하나 실습과 과제물의 비중이 30% 이상이 되도록 권장한다. 각 지필평가는 통계학의 학습효과를 극대화하기 위하여 모든 문제를 주 관식으로 출제하되 계산위주의 문제는 지양하고 개념의 이해와 응용을 위주로 한 서술형 중심으로 평가한다. 또한 학습자의 능력을 고려하여 다음과 같은 평가문항의 구성 및 시험시간을 권장한다. ‣ 총 문항수：서술형 주관식6~7개 문항 내외 ‣ 난이도: 예시문제 별첨 ‣ 시험시간: 180분 내외3) 교수 학습방법
‣ 본 과정은 고등학교 교육과정의 확률 강좌, 통계강좌와 약간의 기초 개념에서 중복되는 부분이 있음으로 중복된 내용에 유의하여 복습에 필요한 이상의 중복을 피하고 효율적인 학습이 되도록 지도한다. ‣ 각 고등학교의 특성과 철학, 학생들의 진로를 고려하여 (A), (B), (C) 세 선택과정 중 하나를 선택한다. 수업계획서를 작성할 때 선택한 과 정에 따라 진도에 차질이 없을지 점검한다. ‣ 확률론과 통계학의 개념이 발생하게 된 역사적 동기와 사회적 배경 을 소개함으로써 확률 및 통계학에 관련된 역사적, 사회적 지식을 습 득하고 수학이 역사와 사회에 끼치는 영향을 고찰함으로서 확률과 통계학의 필요성을 인식하고 활용능력을 증진시킬 수 있도록 교육한다.‣ 통계적 내용의 도입에서 역사적 사례나 배경, 실생활 사례 둥을 제시 하여 학생들의 홍미를 유발할 수 있도록 한다. ‣ 본 과정은 계산위주의 고등학교 확률, 통계와 형식적인 체계를 갖춘 확률론과 통계학의 연계선상에 있으므로 확률론과 통계학의 개념과 용어를 명확하게 정의하고 정의로부터 정리를 엄밀하게 서술할 수 있도록 교육해야 한다. ‣ 측도론적인 측면에서 공리적 확률론에 기초한 체계적인 확률 이론의 개념과 용어의 명확한 정의로부터 통계적 접근방법까지 엄밀하게 다 루어 현상을 논리적이고 체계적으로 분석할 수 있도록 교육한다. 수 리적 확률과 통계적 확률의 개념을 명확히 구분함으로서 수학적 확 률모형과 통계학의 관계를 정확히 이해하여 통계학의 중요성과 필요 성을 인식할 수 있도록 해야한다. ‣ 자료의 분석을 통해 정보를 추출, 추론하고 현재 사용되고 있는 방법 에 대한 논리적 근거를 제시할 수 있도록 교육한다. ‣ 컴퓨터를 활용한 자료의 통계적 분석을 위한 실습 교육을 병행하여 추후 전공연구에 활용능력을 키우도록 함은 물론이고 시각적인 교육 을 통한 교육의 효과롤 극대화한다. ‣ 확률분포, 표본추출 및 표본분포에서 통계프로그램에 의한 난수발생 과 확률계산을 다룰 수 있다. ‣ 실습은 학생이 직접통계 프로그램을 사용하여 통계적 내용을 이해할 수 있어야 한다. ‣ 참고문헌이나 인터넷 관련 사이트를 구체적으로 제시하여 학생들의 자기학습 능력의 향상에 도움이 되도록 한다. ‣ 참고사이트 - Wikepedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Probability) (http://en.wikipedia.org/wiki/Statistics) - 통계교육원 (http://sti.kostat.go.kr) - 한국통계학회 (http://www.kss.or.kr)
