확률과 통계

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수능 필수 유형 훈련서

확률과 통계 ^{180 제}

정답과 풀이

2 학습진단표

학습진단표

Ⅰ ^{경우의 수}

중단원명 유형명 문항번호 틀린갯수

순열과 조합

01

유형 원순열 002, 020, 029, 037, 050, 056 / 6개

02

유형 중복순열(1) - 숫자 또는 문자 나열하기 004, 031, 044, 052 / 4개

03

유형 중복순열(2) - 집합, 함수의 개수 003, 015, 039, 057 / 4개

04

유형 중복순열(3) - 나누어 배정하기 011, 017, 024, 035 / 4개

05

유형 같은 것이 있는 순열(1) - 서로 같은 대상을 포함할 때 006, 019, 023, 025, 034, 045, 047 / 7개

06

유형 같은 것이 있는 순열(2) - 일부 대상의 순서가 정해져있을 때 008, 013, 043, 054 / 4개

07

유형 최단경로의 수 005, 027, 048 / 3개

08

유형 중복조합(1) - 내적 문제 해결 009, 016, 018, 028, 030, 038, 040,

046, 051, 055, 059 / 11개

09

유형 중복조합(2) - 외적 문제 해결 010, 014, 036, 049, 060 / 5개

이항정리

10

유형 이항정리(1) - 전개식에서 특정 항의 계수 구하기 001, 022, 033 / 3개

11

유형 이항정리(2) - 전개식에서 미지수 구하기 012, 026, 042, 053 / 4개

12

유형 이항정리의 응용 007, 021, 032, 041, 058 / 5개

ⅠⅠ ^확률

중단원명 유형명 문항번호 틀린갯수

확률의 뜻과 활용

01

유형 수학적 확률의 뜻(1) - 일일이 세기 074, 084, 092, 108, 110, 119 / 6개

02

유형 수학적 확률의 뜻(2) - 순열〮조합을 이용하여 세기 065, 080, 086, 090, 096, 102, 112,

115 / 8개

03

유형 확률의 덧셈정리(1) - 확률로 확률 계산 061, 091 / 2개

04

유형 확률의 덧셈정리(2) - 활용 062, 073, 078, 082, 089, 095, 099,

104, 114, 117 / 10개

조건부확률

05

유형 조건부확률의 뜻과 계산 081, 111 / 2개

06

유형 조건부확률의 활용(1) - 확률 주어질 때 066, 077, 088, 093, 103, 109, 116 / 7개

07

유형 조건부확률의 활용(2) - 원소 개수 주어질 때 063, 068, 087, 094, 113 / 5개

08

유형 조건부확률의 활용(3) - 비율 주어질 때 097, 106 / 2개

09

유형 확률의 곱셈정리 079, 085, 107, 118 / 4개

10

유형 사건의 독립과 종속(1) - 확률로 확률 계산 064, 071, 101 / 3개

11

유형 사건의 독립과 종속(2) - 뜻과 활용 070, 076, 100 / 3개

12

유형 독립시행의 확률 067, 069, 072, 075, 083, 098, 105,

120 / 8개

약점 유형 확인

학습진단표 3

중단원명 유형명 문항번호 틀린갯수

확률분포

01

유형 확률질량함수 154, 161 / 2개

02

유형 이산확률변수의 평균 121, 129, 133, 150, 157, 173, 177 / 7개

03

유형 이산확률변수의 분산 152, 164, 176 / 3개

04

유형 이항분포의 뜻 122, 141, 151, 171 / 4개

05

유형 이항분포의 활용 124, 134, 137, 144, 166, 169, 179 / 7개

06

유형 확률밀도함수 – 확률 계산 145 / 1개

07

유형 확률밀도함수 - 확률을 이용하여 정의한 새로운 함수 123, 132, 163 / 3개

08

유형 정규분포와 표준정규분포 130, 140, 142, 146, 155, 159, 165,

170, 175 / 9개

09

유형 정규분포의 활용(1) - 확률변수 1개 125, 158 / 2개

10

유형 정규분포의 활용(2) - 확률변수 2개 139, 149 / 2개

통계적 추정

11

유형 표본평균의 정의 131, 160, 168, 180 / 4개

12

유형 표본평균의 분포(1) - 확률 구하기 126, 136, 143, 174 / 4개

13

유형 표본평균의 분포(2) - 확률이 주어질 때 128, 138, 148, 156, 162 / 5개

14

유형 모평균의 추정 127, 135, 147, 153, 167, 172, 178 / 7개

ⅠⅠⅠ ^통계

풀이 시간 확인

SET SET 1 SET 2 SET 3 SET 4 SET 5 SET 6

Time

Ⅰ ^{경우의 수}

SET SET 7 SET 8 SET 9 SET 10 SET 11 SET 12

Time

ⅠⅠ ^확률

SET SET 13 SET 14 SET 15 SET 16 SET 17 SET 18

Time

ⅠⅠⅠ ^통계

경우의 수

Ⅰ

001







C_^{  }







(단,   _, _, _, ⋯_, ₎

^

 의 계수는     _{, 즉}   _{일 때이므로}

C_× ^  ×   

답 ②

002

방석 _{개를 각각} A_, B_, C_, D_, E_. F_{라 하자.}

주어진 탁자 주변에 원순열로 방석을 놓는 한 가지 방법에 대하여 그림과 같이 가지의 서로 다른 경우가 있다.

따라서 개의 방석을 주어진 탁자 주변에 놓는 경우의 수는



×   

답 ⑤

003

      _{라 할 때,}

전체집합 _{의 두 부분집합} _, _{에 대하여}

∩ 이므로

세 집합 _, _, 를 벤 다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.

_{이 아닌 집합} _{의 나머지 원소} _, _, _, _{는 서로소인} 세 집합   _,   _, ∪ ^ _{중 반드시 하나의} 집합에만 속해야 한다.

즉, 구하는 순서쌍   _{의 개수는}

_, _, _, _의 _{개의 원소마다}

  _,   _, ∪ ^_의_{개 중에서}

중복을 허락하여 하나씩 택하는 경우의 수와 같으므로

Π_ ^ 

답 

004

_, _, _, _,  _{중에서 서로 다른} 개의 숫자를 선택하는 경우의 수는 C_ 

선택한 _{개의 숫자 중에서}

중복을 허락하여 개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는

Π_ ^ 

이때 모두 같은 숫자로만 나열된 경우는 제외해야 하므로

    

따라서 구하는 경우의 수는

 ×   

다른풀이

_, _, _, _,  _{중에서 서로 다른} 개의 숫자를 선택하는 경우의 수는 C_ 

선택한 _{개의 숫자를} _,  ₍ ≠ _{)라 하자.}

(ⅰ) _, _, _, _{인 경우}

이를 일렬로 나열하는 경우의 수는 

   (ⅱ) _, _, _, _{인 경우}

이를 일렬로 나열하는 경우의 수는  

  

(ⅲ) _, _, _, _{인 경우}

이를 일렬로 나열하는 경우의 수는 

   (ⅰ)~(ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

 ×       

답 ①

005

(ⅰ) P_{지점을 지나는 경우}

A_지점에서 P지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는

  

P_지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는

 

  

따라서 이때의 경우의 수는  ×   

(ⅱ) Q지점을 지나는 경우

A_지점에서 Q지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는

 

  

Q_지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는



 

따라서 이때의 경우의 수는  ×   

(ⅲ) P_와 Q지점 모두 지나는 경우

A_지점에서 P지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는

  

P_지점에서 Q지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는



 

Q_지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는



 

따라서 이때의 경우의 수는  ×  ×   

(ⅰ)~(ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

      

답 ②

006

 _이상 _{이하의 자연수} _{개의 곱이} 인 경우는 다음과 같다.

   ×  ×  ×  × 

  ×  ×  ×  × 

  ×  ×  ×  × 

  ×  ×  ×  × 

(ⅰ) 각 자리의 수가 _, _, _, _, _{인 경우}

이를 이용하여 만든 다섯 자리 자연수의 개수는



 

(ⅱ) 각 자리의 수가 _, _, _, _, _{인 경우}

이를 이용하여 만든 다섯 자리 자연수의 개수는

 

  

(ⅲ) 각 자리의 수가 _, _, _, _, _{인 경우}

이를 이용하여 만든 다섯 자리 자연수의 개수는

 

  

(ⅳ) 각 자리의 수가 _, _, _, _, _{인 경우}

이를 이용하여 만든 다섯 자리 자연수의 개수는 

  (ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 자연수의 개수는

        

답 ②

007

 ≤      ≤ _에서

방정식       을 만족시키는 음이 아닌 정수

   의 순서쌍의 개수는 H_

방정식       를 만족시키는 음이 아닌 정수

   의 순서쌍의 개수는 H_

방정식       을 만족시키는 음이 아닌 정수

   의 순서쌍의 개수는 H_ ⋮

방정식       을 만족시키는 음이 아닌 정수

   의 순서쌍의 개수는 H_

따라서 구하는 순서쌍    _{의 개수는}

H__H__H_ ··· _H_

_C__C__C_ ··· _C_

 _C__C__C__C_ ··· _C_  

_C_  _C_ 

     

답 

008

조건 (가)에서 두 번째 자리에는 _{가 위치한다.}



조건 (나)에서 모든 _{는 모든} 의 왼쪽에 위치하므로 이를 만족시키기 위해서는

나머지 _, _, _, _, _, _에서

_, _, 를 모두 같은 문자 _{로 보고}

_, _, _, _, _, _{를 나열한 뒤} 가장 앞에 있는 _를 _{라 하면 된다.}

따라서 구하는 경우의 수는



 

답 ③

009

조건 (가)를 만족시키는 세 자연수 _, _, _는

_부터 _까지의 개의 자연수 중에서 중복을 허락하여

개를 선택한 후 크기순으로 결정하면 되므로 순서쌍   _{의 개수는}

H__C_  

이 중 조건 (나)를 만족시키지 않는 경우, 즉  ×  × 가 홀수가 되는 경우는

_, _, _, _의 개 중에서 중복을 허락하여 _{개를 선택하면} 되므로

이때의 순서쌍   _{의 개수는}

H__C_ 

따라서 구하는 순서쌍의 개수는

    

답 ①

010

공유기 A_, B_, C에 연결할 수 있는 단말기의 수를 각각

_, _, _{라 하면}       _이다.

 ≤  ≤ _,  ≤  ≤ _,  ≤  ≤ _이므로

    ′_,      ′_,      ′_{이라 하면}

′ ≥ _,  ′ ≥ _,  ′ ≥ _이고

  ′     ′     ′  

∴ ′   ′   ′  

따라서 구하는 방법의 수는 방정식 ′   ′   ′  _를 만족시키는 음이 아닌 정수 ′_,  ′_,  ′_{의 순서쌍}

′  ′  ′_{의 개수와 같다.}

∴ _H_ _C_ 

답 

공유기 개당 최대 개의 단말기를 연결할 수 있으므로 모든 공유기에 개씩 단말기가 연결되어 있다고 생각하고 세 개의 공유기에서 개의 단말기의 연결을 제외한다고 생각하면 된다.

011

서로 다른 종류의 사탕 _개를

_{개의 그릇} A_, B_, C에 남김없이 담는 경우의 수는

A_, B_, C중에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로

Π_ ^ 

답 ④

012

다항식



 



C_













(단,   _, _, _, ⋯_, ₎

^_{의 계수는}   _{일 때이므로}

C_×







 × 

×  ^ _, ^ 

∴   

답 

013

A_, B_, C_{를 제외한} _{곳의 관광지 중}

오늘 방문할 곳의 관광지를 선택하는 경우의 수는

C_ 

선택된 곳의 관광지를 △, □라 하면 A_, B_, C_{, △, □에서}

A_, B_, C를 같은 것으로 생각하여 배열하는 방법의 수는



 

이때 A_와 C_는 B보다 먼저 방문해야하므로 A _→ C _→ B _또는 C _→ A _→ B_로 _가지 따라서 구하는 경우의 수는

 ×  ×   

답 ③

014

서로 다른 종류의 음료수 _개를 _{명의 학생에게} _개씩 나누어 주는 경우의 수는   

이때 명의 학생에게 빵을 나누어 주는 방법의 수는

명의 학생에게 빵을 한 개씩 먼저 나누어 주고 남은 빵

_개를 명의 학생 중에서 중복을 허락하여 _{번 선택해서}

참고

나누어 주는 방법의 수와 같으므로

H__C_ 

따라서 구하는 경우의 수는

 ×   

답 ③

015

조건 (가), (나)에 의하여

     ∪    ∪^

원소 _{은 반드시 집합} _{에 속해야하므로} _가지,

원소 _{는 두 집합} _,    중 하나에 속해야하므로 _가지, 원소 _, _, _{는 각각 세 집합} _,   _, ^ _{중 하나에} 속해야하므로

Π_ ^ _가지

따라서 구하는 순서쌍   _{의 개수는}

 ×  ×   

답 

016

조건 (가)를 만족시키는 함수   → _{의 개수는}

H__C_ 

이 중 조건 (나)를 만족시키지 않는, 즉            _인 함수   → _{의 개수는 }C_ 

따라서 모든 조건을 만족시키는 함수의 개수는

    

답 

017

세 사람을 A_, B_, C_{라 하면}

_{장의 카드를} 명에게 나누어 주는 전체 방법의 수는 A_, B_, C중에서 중복을 허락하여 _{명을 택해 일렬로} 나열하는 중복순열의 수와 같으므로

Π_ ^ 

어느 누구도 받은 카드에 적힌 숫자의 최솟값이 _{가 되지} 않으려면

한 사람이 _, 가 적힌 카드를 모두 받아야 한다.

_, _{를 하나로 보고 (}_, _), _, _, _{가 적힌}

_{장의 카드를} 명에게 나누어 주는 방법의 수는

Π_ ^  

따라서 구하는 방법의 수는

    

다른풀이

가 적힌 카드를 받는 사람을 선택하는 경우의 수는 C_  받은 카드에 적힌 숫자의 최솟값이 인 사람이 있기 위해선

_{이 적힌 카드는} 가 적힌 카드를 받지 않은 _{명 중}

명에게 주어야 하므로 이 경우의 수는 C_ 

_, _, _{가 적힌 카드는} 명 중 누구에게나 줄 수 있으므로 이 경우의 수는 Π_ ^ 

따라서 구하는 경우의 수는

 ×  ×   

답 ⑤

018

_, _, 는 모두 자연수이므로

′    _, ′    _, ′    _{이라 하면} ···㉠

′_, ′_, ′은 음이 아닌 정수이고

      _에서

′    ′    ′    _,

′  ′  ′  

이를 만족시키는 음이 아닌 정수 ′_, ′_, ′_{의 순서쌍}

′ ′ ′_{의 개수는}

H_ _C__C_  ^···_㉡ 한편,  ≤ _,  ≤ _,  ≤ _이므로

㉠에 의하여 ′_, ′_, ′_{의 값은}  이상의 자연수는 될 수 없다.

따라서 ㉡에서 순서쌍 ′ ′ ′_이

  _,   _,   _{인 경우는 조건을} 만족시키지 않으므로

구하는 순서쌍   _{의 개수는}

    

답 

019

조건 (가)에 의해 _  _또는 _ _이다.

조건 (나)에 의해 홀수 _과 은 짝수 번 선택해야 한다.

(ⅰ) _ _, _ _{일 때}

_, _, _중 한 개가 홀수이면  × 

  

_, _, _중 세 개가 홀수이면 ^  

∴     

(ⅱ) _ _, _ _{일 때}

_, _, _{가 모두} _이면 

_, _, _중 두 개가 홀수이면 ^×_C_ 

∴     

(ⅲ) _ _, _ _{일 때}

_, _, _중 한 개가 홀수이면  × 

  

_, _, _중 세 개가 홀수이면 ^  

∴     

(ⅰ)~(ⅲ)에서 구하는 모든 순서쌍의 개수는

      

답 ④

020

빨간색과 파란색을 칠할 개의 영역을 선택하는 방법의 수는 

선택된 개의 영역에 빨간색과 파란색을 각각 칠하는 방법의 수는   

남은 _{개의 영역에 남은} 개의 색을 칠하는 방법의 수는

  

이때 회전하여 같은 것이 _{가지씩 있으므로} 구하는 경우의 수는 

 ×  × 

 

다른풀이

회전 가능한 상태에서 빨간색을 칠하는 경우를 나누어 살펴보면

(ⅰ) 도형의 안쪽 개의 영역 중 하나에 빨간색을 칠할 때 먼저 빨간색을 칠하는 방법의 수는 _,

다음 이웃한 영역에 파란색을 칠하는 방법의 수는 _, 이후 남은 가지의 색을 칠하는 방법의 수는

  _이므로

 ×  ×   

(ⅱ) 도형의 바깥쪽 개의 영역 중 하나에 빨간색을 칠할 때 먼저 빨간색을 칠하는 방법의 수는 _,

다음 이웃한 영역에 파란색을 칠하는 방법의 수는 _, 이후 남은 가지의 색을 칠하는 방법의 수는

  _이므로

 ×  ×   

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는     

답 ②

021

C__C__C_ ··· _C_   ^ ^

이므로

log__C__C__C_ ··· _C_

 log_^ 

답 

022

  ^의 전개식에서 일반항은

C_^ ^{  } _C_^ ^{  }^ ···㉠ (단,   _, _, _, ⋯_, ₎ (ⅰ)   ^_에서 ^_항과   에서 상수항을 곱하는

경우

㉠에서   _{일 때이므로}

_C_× ^ ×   

(ⅱ)   ^_에서 ^_항과   _에서 _{항을 곱하는} 경우

㉠에서   _{일 때이므로}





(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 ^_{의 계수는}

     

답 

023

(ⅰ) 양 끝에 빨간색 공이 놓이는 경우

 

  

(ⅱ) 양 끝에 파란색 공이 놓이는 경우

  

  

(ⅲ) 양 끝에 노란색 공이 놓이는 경우

 

  

(ⅰ)~(ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

      

답 ⑤

024

서로 다른 _{개의 구슬 중에서}

두 주머니 A_, B_{에 들어갈} 개의 구슬을 선택하여 넣는 경우의 수는

C_×   

남은 개의 구슬을 서로 다른 _{개의 주머니} C_, D_{에 넣는} 경우의 수는

C_, D 중에서 중복을 허락하여 개를 택해 일렬로 나열하는 중복순열의 수와 같으므로

Π_ ^ 

따라서 구하는 경우의 수는

 ×   

답 ⑤

025

(ⅰ) 이 두 번만 포함되어 있는 자연수의 개수는

_, _{, □, □, □}

_{개의 자리 중} 을 나열하는 경우의 수는

C_ 

남은 _{개의 자리에} _, 을 중복 사용하여 나열하는 경우의 수는

Π_ ^ 

따라서 이 두 번만 포함되어 있는 자연수의 개수는

 ×   

(ⅱ) 가 두 번만 포함되어 있는 자연수의 개수는

_, _{, □, □, □}

(ⅰ)과 마찬가지 방법으로 

(ⅲ) _과 가 모두 두 번만 포함되어 있는 자연수의 개수는

_, _, _, _, 을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로

 

  

(ⅰ), (ⅱ)에서 중복되는 (ⅲ)의 경우는 빼주어야 하므로 구하는 자연수의 개수는

      

답 ③

026

^_{의 계수가} ^{  }의 계수보다 커야하므로

C_× ^{  }_C_{  }× ^{  }

   

 ×        



      

    

  

이때 자연수 _{의 최솟값이} _이므로

 ≤   

  

 _{이어야 한다.}

 ≤   

  

에서  ≤ 

,

  

  

 _에서   



따라서 

  ≤ 

 에서 가능한 자연수 _{의 값은}

_, _이므로

구하는 합은     

답 ②

027

    를 만족시키는 음이 아닌 정수 _, _{의 모든} 순서쌍  _는

 _,  _,  _,  _,  _이고

    

  

이므로

        

        

 

    

  

따라서 구하는 모든   _{의 합은}

          _이다.

답 ⑤

028

(ⅰ)    _{일 때}

조건 (가), (나)에서  의 값으로 가능한 것은

_{가지뿐이고,}

조건 (나)에서  _,  _,  의 값으로 가능한 것은

H__C_ _{가지이므로}

가능한 함수   → _{의 개수는}  ×   

(ⅱ)    _{일 때}

조건 (가), (나)에서  의 값으로 가능한 것은

_{가지이고,}

조건 (나)에서  _,  _,  의 값으로 가능한 것은

H__C_ _{가지이므로}

가능한 함수   → _{의 개수는}  ×   

(ⅲ)    _{일 때}

조건 (가), (나)에서  의 값으로 가능한 것은

_{가지이고,}

조건 (나)에서  _,  _,  의 값으로 가능한 것은

H__C_ _{가지이므로}

가능한 함수   → _{의 개수는}  ×   

(ⅰ)~(ⅲ)에서 구하는 함수 _{의 개수는}

      

답 ②

029

가지의 색 중에 도형의 내부에 칠할 가지의 색을 선택하고 이를 배열하는 원순열의 수는 C_× 

 

이 중 A_, B_{를 포함한} 가지의 색을 선택하고 A_와 B가 이웃하도록 배열하는 원순열의 수는

C_×



× 



따라서 구하는 경우의 수는     

답 ④

030

(ⅰ)   _{일 때}

조건 (가)에서         _이고 조건 (나)에서  ≠ _,  ≠ _이므로

    ′  _,     ′   (단, ′_, ′은 음이 아닌 정수)라 하면

′    ′    _에서 ′  ′   이를 만족시키는 음이 아닌 정수 ′_, ′_{의 순서쌍}

′ ′_{의 개수는}

H__C_  _이고

이 각각의 경우에 가능한 _, _{의 부호는}

 _,  _로 _{가지이므로}

이때 순서쌍   _{의 개수는}  ×   

(ⅱ)  ≠ _{일 때}

조건 (가)에서             _이고 조건 (나)에서  ≠ _,  ≠ _이므로

    ′  _,     ′  _,     ′   (단, ′_, ′_, ′은 음이 아닌 정수)라 하면

′    ′    ′    _에서

′  ′  ′  

이를 만족시키는 음이 아닌 정수 ′_, ′_, ′_{의 순서쌍}

′ ′ ′_{의 개수는}

H__C_  _이고

이 각각의 경우에 가능한 _, 의 부호는 (ⅰ)과 마찬가지로 _가지,

_{의 부호는} _, _로 _{가지이므로}

이때 순서쌍    _{의 개수는}  ×  ×   

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 순서쌍    _{의 개수는}

    

답 

031

_, _, _, 중에서 중복을 허락하여 개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수는

Π_ ^ 

이 중 가 포함되지 않는 경우의 수는

Π_ ^ 

따라서 가 포함되어 있는 경우의 수는

    

답 ③

032

  





_C_× ^_C_× ^_{  }



  ×     

이때 이항정리에 의하여

  





_C_× ^



  



_C_× ^× ^{  }

   ^ ^

^ _이므로

∴   

답 

033







C_









 



C_







(ⅰ)









 



경우

㉠에서   _{, ㉡에서}   _{일 때이므로}











^

^



(ⅱ)









 



경우

㉠에서   _{, ㉡에서}   _{일 때이므로}













(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 ^

 의 계수는













답 ②

034

구하는 자연수가 홀수이므로

일의 자리의 수는  _또는 _{이어야 한다.}

(ⅰ) 일의 자리의 수가 _{인 경우}

나머지 개의 수로 남은 자리의 수를 결정하면 되므로

_, _, _, 을 배열하는 경우의 수는 

 

이 중 숫자 _와 이 이웃하는 경우는 

×    일의 자리의 수가 _{일 때 숫자} _와 _{이 이웃하지 않는} 자연수의 개수는     

(ⅱ) 일의 자리의 수가 _{인 경우}

숫자 _와 이 이웃하지 않으므로 십의 자리의 수는

_이다.

따라서 나머지 개의 수로 남은 자리의 수를 결정하면 되므로 _, _, 를 배열하는 경우의 수는 

  (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 자연수의 개수는

    

답 

035

서로 다른 _{개의 연필 중에서}

A_가 B_보다 개 더 받는 경우는 다음과 같이 생각할 수 있다.

(ⅰ) A_가 _개, B_가 _{개 받을 때}

서로 다른 _{개의 연필 중에서} A_{에게 줄}

개의 연필을 선택하는 경우의 수는 C_   남은 서로 다른 _{개의 연필을}

C_, D에게 나누어 주는 경우의 수는

Π_ ^ 

따라서 이 경우의 수는  ×   

(ⅱ) A_가 _개, B_가 _{개 받을 때}

서로 다른 _{개의 연필 중에서} A_{에게 줄} _{개의 연필과} B_{에게 줄} 개의 연필을 선택하는 경우의 수는

C_×_C_ 

남은 서로 다른 _{개의 연필을} C_, D에게 나누어 주는 경우의 수는

Π_ ^ 

따라서 이 경우의 수는  ×   

(ⅲ) A_가 _개, B_가 _{개 받을 때}

서로 다른 _{개의 연필 중에서} A_{에게 줄} _{개의 연필과} B_{에게 줄} 개의 연필을 선택하는 경우의 수는

C_×_C_ 

이때 학생 C_, D는 모두 연필을 받지 않는다.

따라서 이 경우의 수는 

(ⅰ)~(ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

      

답 ④

036

수업 계획표의 _{개의 수업시간에}

담당 선생님 명의 이름을 적는 경우의 수는    이때 아침반, 점심반, 저녁반 각각의 수업을 듣는 회원 수를

_, _, _{라 하면}

       _(단, _, _, _는  _{이상의 짝수)}

  ′  _,   ′  _,   ′  _{라 하면}

′  ′  ′  _(단, ′_, ′_, ′은 음이 아닌 정수) 이를 만족시키는 음이 아닌 정수 ′_, ′_, ′_{의 순서쌍}

′ ′ ′_{의 개수는}

H__C_ 

따라서 구하는 수업 계획표의 개수는

 ×   

답 

037

서로 다른 _{가지의 색을} A_, B_, C_, D_, E_, F_{라 하자.}

주어진 그림에서는 원순열로 색을 배열하는 한 가지 방법에 대하여 가지의 서로 다른 경우가 있다.

따라서 가지 색을 주어진 그림에 색칠하는 경우의 수는



×   

다른풀이

서로 다른 개의 부채꼴에 서로 다른 가지의 색을 칠하는 방법의 수는   _이다.

이 중 회전하여 일치하는 것이 _{개씩 존재하므로}

구하는 경우의 수는



 

답 ⑤

038

조건 (나)에서 _, _, _, _중 _개는 으로 나눈 나머지가

_이고 _개는 으로 나눈 나머지가 _{, 나머지} _개는 _으로 나누어떨어진다.

따라서 _, _, _, _중에서

으로 나눈 나머지가 인 수를 택하는 경우의 수는 C_ 남은 _{개의 수 중에서}

으로 나눈 나머지가 인 수를 택하는 경우의 수는 C_ 남은 _{개의 수는} 으로 나누어떨어지는 수가 되므로 C_

∴ _C_×_C_×_C_  ×  ×   

음이 아닌 정수 _, _, _, _{에 대하여}

_, _, _, _중에서

으로 나눈 나머지가 _{인 수를}   _,   _,

으로 나눈 나머지가 _{인 수를}   _,

으로 나누어떨어지는 수를   _{이라 하면}

        _에서

                

         

        

이므로 음이 아닌 정수 _, _, _, _{에 대하여 순서쌍}

    _{의 개수는}

H__C_ 

따라서 구하는 순서쌍의 개수는

 ×   

답 

039

조건 (나)에 의하여

 이하의 서로 다른 자연수의 합으로 _{이 되는 경우는}

                 이때     _{를 만족시키는} 함수 의 개수는 다음과 같다.

(ⅰ) 함수 _{의 치역이}  _{인 경우}

 _,   _,  _,   _{의 값이 각각}  _또는 _이고 이때 모든 함숫값이 _이거나

모든 함숫값이 인 경우를 제외하여야 하므로

Π_   ^   

(ⅱ) 함수 _{의 치역이}   _{인 경우}

치역(원소 개)의 원소 각각에 대응하는 정의역(원소

개)의 원소가 적어도 하나 이상씩은 있어야 하므로

_, _, 중 하나는 정의역의 원소 _{개에 대응되고} 나머지 둘은 각각 정의역의 원소 _{개에 대응된다.}

정의역의 원소 _개를 _개/_개/개의 묶음으로 나눈 다음 _, _, 에 하나씩 대응시키면 되므로







(ⅲ) 함수 _{의 치역이}   _{인 경우} (ⅱ)와 마찬가지로 

(ⅰ)~(ⅲ)에서 구하는 함수의 개수는

      _이다.

답 ④

040

  log   log   log   log  _에서

  ^ ^× ^

이때 음이 아닌 정수 _, _, _, _, _, _{에 대하여}

  ^× ^_,   ^× ^_,   ^× ^_{라 하면}

  ^{    }× ^{    } ^× ^_이므로 순서쌍    _{의 개수는}

      _,       를 만족시키는 순서쌍

     _{의 개수와 같다.}

따라서 구하는 값은

H_×_H_ _C_^ ^ 

답 

041

이항정리에 의하여

C__C__C_ ··· _C_

 

  ^ ^{  }

∴



  



_C__C__C_ ··· _C_

_{  }



답 ③

042







C_^^{  }







(단,   _, _, _, ₎ (ⅰ)







^

^

경우

㉠에서   _{일 때이므로}

 × _C_× ^  ^ (ⅱ)







 항과







곱하는 경우

㉠에서   _{일 때이므로}

 ×





(ⅰ), (ⅱ)에서 ^_{의 계수는} ^ _이고, ^_{의 계수가}

_{이라 주어졌으므로}

^   _, ^     

      

∴   ₍∵   ₎

답 ③

043

조건 (가)에서 두 사람 A_와 B는 순서가 정해져 있으므로 A_와 B를 같은 사람으로 보고

조건 (나)에서 C_와 D를 하나로 묶어 순서를 정하는 경우의 수는 



이때 C_와 D의 순서를 바꾸는 경우의 수는 _이므로 전체 경우의 수는 

×   _이다.

답 ⑤

044

(ⅰ) 을 포함하지 않은 경우

_, _, _, 를 중복 허용하여 일렬로 나열하는 개수와 같으므로

Π_ ^ 

(ⅱ) 을 한 번 포함하는 경우 (, □, □, □) / (□, _{, □, □) /} (□, □, , □) / (□, □, □, ₎

위와 같이 이 위치할 수 있는 자리는 _개

나머지 _{개의 자리에} _, _, _, 가 위치하는 경우의 수는

Π_ ^  _이므로

를 한 번 포함하는 경우의 수는

 ×   

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

    _이다.

답 ④

045

(ⅰ) 세로의 길이가 _{인 직사각형을} _{개 사용하는 경우} 정사각형은 개 사용해야 하므로 그 경우의 수는



  

(ⅱ) 세로의 길이가 _{인 직사각형을} _{개 사용하는 경우} 정사각형은 개 사용해야 하므로 그 경우의 수는

 

  

(ⅲ) 세로의 길이가 _{인 직사각형을} _{개 사용하는 경우} 정사각형은 개 사용해야 하고 그 경우의 수는



  

(ⅰ)~(ⅲ)에서 구하는 경우의 수는       

답 ②

046

조건 (나)에서 _{의 값은}  _또는 _이므로

  _,    _또는   _,   _또는   _,   _인 경우가 있다.

(ⅰ)   _,   _{인 경우} 조건 (가)에 대입하면

           

∴       



이는 _, _, 가 정수라는 조건에 모순이다.

(ⅱ)   _,   _{인 경우} 조건 (가)에 대입하면

           

∴       

이를 만족시키는 음이 아닌 정수 _, _, _{의 순서쌍}

   _{의 개수는}

H__C_ 

(ⅲ)   _,   _{인 경우}

(ⅱ)와 마찬가지로 이때의 경우의 수는 

(ⅰ)~(ⅲ)에서 구하는 순서쌍의 개수는

    

답 ④

047

이 번의 게임에서 얻은 점수의 합의 최솟값은 _이므로

‘(ⅰ) 상자를 번 던져 나온 밑면에 적힌 수의 모든 경우’에서

‘(ⅱ) 점수의 합이 _{인 경우’,}

‘(ⅲ) 점수의 합이   _{인 경우’,}

‘(ⅳ) 점수의 합이   인 경우’를 제외하면 된다.

(ⅰ)의 경우 :

_, _, _,  중에서 중복을 허락하여 개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수인 Π_{ 과 같다.}

(ⅱ)의 경우 :

밑면에 적힌 숫자가 모두 인 경우뿐이므로 경우의 수는

_이다.

(ⅲ)의 경우 :

밑면에 적힌 숫자가 _은   _번, _는 _{번 나와야하므로} 경우의 수는 _이다.

(ⅳ)의 경우 :

밑면에 적힌 숫자가 _은   _번, _은 _{번 나올 경우의} 수는   

  _,

_은   _번, _는 번 나올 경우의 수는

   

  

  

이므로

경우의 수는   

  

이다.

따라서 이 번의 게임에서 얻은 점수의 합이   _이상인 경우의 수는 Π_



  



(가) :   _Π_{, (나) :}      

  

,

(다) :  _Π_



  



∴       

_Π_



 × 









 × 



 ^   ^ 

       

답 ②

048

최단거리로 지날 수 없는 길을 제외하고, 가로 방향 도로를 지난 다음 반드시 위쪽으로 이동해야 하므로 다음과 같이 그림을 바꾸어 그릴 수 있다.

따라서 지점 A에서 출발하여 지점 B까지 최단거리로 가는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) 지점 P를 지나는 경우의 수는

 × 

 

(ⅱ) 지점 Q를 지나는 경우의 수는

 ×  

  

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는     

다른풀이

최단거리로 지날 수 없는 길을 제외하고, 가로 방향 도로를 지난 다음 반드시 위쪽으로 이동해야 하므로 다음과 같이 그림을 바꾸어 그릴 수 있다.

그림에서 선분 CD가 연결되어 있다면 지점 A_에서 지점 B까지 최단거리로 가는 경우의 수는

 

  

이 중 선분 CD를 지나는 경우의 수는

 ×  

  

따라서 구하는 경우의 수는     

답 

049

체리맛 사탕을 _개 ≤ _{, 딸기맛 사탕을} _개 ≤ _, 포도맛 사탕을 _개 ≥ , 오렌지맛 사탕을 _개 ≥ _, 레몬맛 사탕을 _개 ≥ _{선택한다고 하면,}

          이고 음이 아닌 정수  ′_,  ′_, ′_에 대하여

 ′    _,  ′    _,  ′    _{이라 하면}

    ′   ′  ′  _이다.

(ⅰ)   _,   _{인 경우}

 ′   ′  ′  를 만족시키는 음이 아닌 정수

 ′_,  ′_, ′_{의 순서쌍}  ′  ′ ′_{의 개수는}

H__C_  (ⅱ)   _,   _{인 경우}

 ′   ′  ′  을 만족시키는 음이 아닌 정수

 ′_,  ′_, ′_{의 순서쌍}  ′  ′ ′_{의 개수는}

H__C_ 

(ⅲ)   _,   _{인 경우}

 ′   ′  ′  을 만족시키는 음이 아닌 정수

 ′_,  ′_, ′_{의 순서쌍}  ′  ′ ′_{의 개수는}

H__C_ 

(ⅳ)   _,   _{인 경우}

 ′   ′  ′  를 만족시키는 음이 아닌 정수

 ′_,  ′_, ′_{의 순서쌍}  ′  ′ ′_{의 개수는}

H__C_ 

(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 경우의 수는

        _이다.

답 

050

_부터 까지의 자연수 중 짝수는 _{개, 홀수는} _개이고 서로 이웃하고 있는 색칠된 영역과 색칠되지 않은 영역에 적힌 두 자연수의 합이 모두 홀수이려면

반드시 색칠되지 않은 개의 영역에는 홀수가 적혀야 한다.