미적분Ⅱ 내신·모의고사 대비 TEST 해설(2쇄)

(1)

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

Ⅱ. 삼각함수

Ⅲ. 미분법

Ⅳ. 적분법

®

[미적분 II]

내신・모의고사

대비

_T

_E

_S

_T

[정답 및 해설]

(2)

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

S U M M A C U M L A U D E 내신・모의고사 대비 TEST

0

1

a=æ ={ } ;2!; b=3æ≠ _=[{ _}-2_];3!; ={ } -;3@; c=4_æ≠ _={ _};4#; 이때, 함수 y={ }/ 은 밑 이 1보다 작은 양수이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 따라서 - < < 이므로 { } -;3@; >{ } ;2!; >{ } ;4#; ∴ c<a<b ④ 3 1₅ 3 1₅ 3 1₅ 3 1₄ 1 1₂ 2 1₃ 3 1₅ 3 1₅ 3 1₅ 27 11₁₂₅ 3 1₅ 3 1₅ 25 12₉ 3 1₅ 3 1₅

0

2

y=a≈ (a>0, a+1)의 그래프는

0<a<1일 때 감소함수, a>1일 때 증가함수이므로 ㄱ. 임의의 실수 x¡, x™에 대하여 x¡+x™이면 f(x¡)+f(x™)이다. (참) ㄴ. a>1일 때 x¡>x™이면 f(x¡)>f(x™)이고, 0<a<1일 때 x¡>x™이면 f(x¡)<f(x™)이다. (거짓) ㄷ. 함수 y=a≈ 의 그래프의 점근선은 x축, 즉 직선 y=0 이다. (참)

ㄹ. a>1일 때, |a|의 값이 클수록 y축에 가깝다. 0<a<1일 때, |a|의 값이 클수록 x축에 가깝다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ②

0

3

주어진 그림에서 5a+1 =2, 5b+1 =4, 5c+1 =8, 5d+1₌₁₆ 5b+c-a+1₌₅b+1+c+1-(a+1) =5b+1_{_5}c+1_÷5a+1 =4_8÷2=16=5d+1 ∴ b+c-a+1=d+1 ∴ b+c-a=d ⑤ O x y _a>1 0<a<1

미적분Ⅱ

Ⅰ- 1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프 본문 430~437쪽 01④ 02② 03⑤ 04② 05 52 06① 07④ 08 98 09 1 10 48 11 4 12④ 13④ 14④ 15④ 16 16 17 10 18 2 19④ 20⑤ 21 1 22① 23 4 24① 25④ 26④ 27 5 28① 29 9 30 129 31④ 32③ 33③ 34 23 35⑤ 36① 37① 38⑤ 39④ 40④

(3)

0

4

y={ }/ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동하면 y={ } x-2 의 그래프이고, 이것을 y축에 대하여 대칭이동하면 y={ } -x-2 의 그래프이다. 이때, y={ } -x-2 의 그래프가 점 (2, a)를 지나므로 a={ } -2-2 =3› =81 ②

0

5

{ } x-4 =3-(x-4)₌₃-x+4 , ‹"'≈3=ﬂ '3=3;6!; 이때, 3-x+4_>3;6!;_이므로 _-x+4> ∴ x< 따라서 p=6, q=23이므로 p+2q=6+46=52 52

0

6

처음 세균 수 A가 1시간 후에 2A가 되었으므 로 f(1)=A¥3˚ =2A ∴ 3˚ =2 따라서 3시간 후의 세균 수는

f(3)=A¥3‹ ˚ =A(3˚ )‹ =A¥2‹ =8A

이므로 세균은 3시간 후에 8배로 늘어난다. ①

0

7

0<a<1이므로 -x¤ +2x+3이 최대일 때, y=a-x¤ +2x+3 은 최소가 된다. 23 12₆ 1 1₆ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ -x¤ +2x+3=-(x¤ -2x+1)+4 =-(x-1)¤ +4 즉, y=a-x¤ +2x+3 은 x=1일 때, 최댓값 4를 가지므로 a› = ∴ a= (∵ 0<a<1) ④

0

8

{ } x+1 ={ } -2x+8 에서 x+1=-2x+8 따라서 x= 이므로 a= "2≈ 3x₌ 에서 2 = =23-;3@;₌₂;3&; 따라서 = 에서 x= 이므로 b= ∴ 27ab=27¥ ¥ =98 98

0

9

주어진 식을 a≈ 에 대하여 정리하면 3(a≈ )¤ -a¤ ¥a≈ +3=0

이 방정식의 두 근이 a, b이므로 a≈ =t에 대한 이차방정 식 3t¤ -a¤ ¥t+3=0의 두 근은 aa , ab 이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 aa ¥ab =aa+b_=1=a0 이므로 a+b=0 ∴ 2a+b₌₂0₌₁ ₁ 14 12₉ 7 1₃ 14 12₉ 14 12₉ 7 1₃ 3x 134₂ 2‹ 1123 (2¤ );3!; 3x 1332 8 1245 ‹ '4 7 1₃ 7 1₃ 3 1₂ 3 1₂ 1 1 1₂ 1 12₁₆

03

Ⅰ-1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

미적분Ⅱ

Ⅰ-1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

내신・모의고사 대비 TEST

(4)

10

2≈ =X, 2¥ =Y로 놓으면 X>0, Y>0 2≈ -2¥ =4에서 X-Y=4 Y=X-4 yy ㉠ 2x+y₌₂x ¥2¥ =32에서 XY=32 yy㉡㉠, ㉡에서 X(X-4)=32, X¤ -4X-32=0 ∴ (X-8)(X+4)=0 이때, X>0이므로 X=8, Y=4 2≈ =8=2‹ , 2¥ =4=2¤ ∴ x=3, y=2 ∴ 8xy=48 48

11

(x¤ -x-1)x+3 =1에서 ⁄x¤ -x-1=1일 때, (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 ¤x¤ -x-1=-1, x+3이 짝수일 때, x=1 ‹x+3=0, x¤ -x-1+0일 때, x=-3 따라서 정수 x의 개수는 4이다. 4

12

t년 후의 질량을 f(t)라 하면 f(t)=yºa;2T; _yy_㉠ 10년 후의 질량이 초기 질량의 이므로 yº=yºaﬁ ∴ aﬁ = 따라서 25년 후의 질량은 ㉠에서

f(25)=yºa =yº(aﬁ );2%;_=yº{

} ;2%; f(25)= =111yº144 ④ 4'2 yº 134 2;2%; 1 1₂ 25 12₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂

13

1980년의 인구가 500만 명이므로 at1980-1980_{=at‚ =500} _yy ㉠ 2000년의 인구가 800만 명이므로 at2000-1980_=at20 =800 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 a=500, t¤ ‚ = = 따라서 2020년의 인구는 at2020-1980_{=at› ‚} =a(t¤ ‚ )¤ =500¥{ }2 =1280 (만 명) ④

14

그래프가 나타내는 식은 + =1 식을 정리하여 x와 y 사이의 관계를 구하면 2logx-log y=1, logx¤ -log y=log10

log =log10, =10 ∴ y= (단, x>0, y>0) 따라서 그래프로 나타내면 ④와 같은 개형을 갖는다. ④

15

진수 조건에서 f(x)æ0,g(x)æ0 yy㉠ 로그의 밑이 이고 0< <1이므로 log;2!;f(x)<log;2!;g(x)에서 f(x)>g(x) yy㉡ ㉠, ㉡`에서 0<g(x)<f(x) 따라서 그래프에서 구하는 x의 값의 범위는 1<x<2 ④ 1 1₂ 1 1₂ x¤ 144₁₀ x¤ 14_y x¤ 14_y log y 1125_-1 logx 1125₁ 1₂ 8 1₅ 8 1₅ 800 1233₅₀₀

미적분Ⅱ

Ⅰ-1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

(5)

16

세 수가 등차수열을 이루므로 가운데 있는 수는 이웃한 양옆의 수의 합을 2로 나눈 값과 같다.

2 logÆ =log_;4!;x+1, 2logÆ = +1

logÆ =t로 놓으면 2t= +1, 2t¤ -t-1=0 (2t+1)(t-1)=0 ∴ t=- 또는 t=1 그런데 t=1이면 x= 이고 세 수가 모두 같아져 서로 다른 수라는 가정에 모순이 생긴다. 따라서 t=- 일 때, x-;2!;₌ _{, x=16이다.} ₁₆

17

⁄-1…x<0이면 |x|=-x이므로 y={ } x+x ={ } 2x ={ } x ¤0…x…1이면 |x|=x이므로 y={ } x-x ={ } 0 =1 따라서 최댓값은 x=-1일 때 { } -1 =9이고, 최솟값 은 0…x…1일 때 1이다. ∴ 9+1=10 10 1 1₉ O -1 1 1 9 x y 1 1₃ 1 1₃ 1 1₉ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₄ 1 1₂ 1 1₄ 1 1₂ 1 1_t 1 1₄ 1 1112₁ logÆ1₄ 1 1₄ 1 1₄

18

주어진 부등식은 22x_-2x+1_+k=(2x_{)¤ -2¥2≈ +k>0} 이므로 2≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -2t+k>0 위의 부등식이 모든 양의 실수 t에 대하여 성립하려면 f(t)=t¤ -2t+k=(t-1)¤ +k-1에서 f(1)>0이어야 한다. 즉, k-1>0 ∴ k>1 따라서 정수 k의 최솟값은 2이다. 2

19

xx+y_=yk _yy ㉠ yx+y_=xk yy㉡㉠과 ㉡을 변끼리 곱하면

(xy)x+y_=(xy)k

xy+1이므로 x+y=k yy㉢㉢을 ㉠에 대입하면 xk_=yk 이때, k+0이므로 x=y ∴ x=y= ∴ '∂xy=æ≠ k¤ = k ④

20

⁄0<x<1일 때, x-1…-x+5이므로 x…3 ∴ 0<x<1 ¤x=1일 때, 1‚ =1› 이므로 부등식은 성립한다. ∴ x=1 ‹x>1일 때, x-1æ-x+5이므로 xæ3 ∴ xæ3 1 1 1₂ 1 1₄ k 1₂

05 미적분Ⅱ

Ⅰ-1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

(6)

⁄, ¤, ‹에 의하여 구하는 부등식의 해는 0<x…1또는 xæ3 ⑤

21

주어진 연립방정식을 만족하는 x, y는 t에 대한 방정식 t¤ -(x+y)t+xy=0의 두 근이므로 방정식 t¤ -2å t+4∫ =0이 실근을 가져야 한다. 즉, 판별식 Dæ0이어야 하므로 D=(2å )¤ -4¥4∫ =4å -4b+1_æ₀ 4å æ4b+1 ∴ a-bæ1 따라서 a-b의 최솟값은 1이다. 1

22

㈎에서 ab› 은 5자리의 수이므로 10› …ab› <10ﬁ yy㉠㈏에서 은 소수점 아래 세 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나타나므로 … < yy㉡ ㉠_㉡을 하면 10…b‹ <10‹ , ‹'1ß0 …b<10 이므로 b는 한 자리의 수이다. ㉠_㉡› 을 하면 … < _{, 10<a…‹"1≈0°} 이므로 a는 두 자리 혹은 세 자리의 수이다. ∴ x+y+z=2+3+1=6 ①

23

수중식물 A가 서식하는 수심 Am의 빛의 세기 는 IÅ=0.25Iº이고, 수중식물 B가 서식하는 수심 Bm 의 빛의 세기는 Iı=0.125Iº이다. 1 153_10‹ 1 13_a‹ 1 153_10° 1 153_10¤ 1 12_ab 1 153_10‹ 1 12_ab 이를 주어진 관계식 I∂=Iº2-0.25d 에 대입하면 IÅ=0.25Iº=Iº2-0.25A 2-0.25A_=0.25= =2-2 ∴A= =8 (m) Iı=0.125Iº=Iº2-0.25B 2-0.25B_=0.125= =2-3 ∴B= =12 (m) 따라서 수중식물 A와 B가 서식하는 수심의 차는 4m이다. ∴ x=4 4

24

y=x-2+log£x 의 양변에 log£을 취하면 log£ y=(-2+log£x)log£x=(log£x)¤ -2log£x 이때, log£ y=Y, log£x=X라 하면

Y=X¤ -2X=(X-1)¤ -1 정의역이 {x|2…x…9}이므로 log£2…X…2이다. 정의역 안에 꼭짓점이 포함되므로, 꼭짓점에서의 함숫값 이 가장 작고, 꼭짓점에서 멀리 떨어진 점에서의 함숫값이 가장 크다. 따라서 X=2, 즉 x=9일 때 최대이므로 M=9-2+log£9_{=9‚ =1} X=1, 즉 x=3일 때 최소이므로 m=3-2+log£3_{=3—⁄ =} ∴ M+3m=2 ①

25

주어진 부등식을 변형하면 x¤ +(logå3-logå5)x-(logå3)(logå5)…0 (x+logå3)(x-logå5)…0 1 1₃ -3 1122_-0.25 1 1₈ -2 1122_-0.25 1 1₄

미적분Ⅱ

Ⅰ-1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

(7)

∴-logå3…x…logå5 (∵ a>1) 이때 x=logåa≈ 이므로

logå …logåa≈ …logå5 ∴ …a≈ …5

이때, a≈ >0, a—≈ = >0이므로 산술평균과 기하평균의

관계에서

a≈ +a—≈ =a≈ + æ_{2æ≠a≈ ¥} =2

{단, 등호는 a≈ = 일 때 성립} 따라서 a≈ +a—≈ 의 최댓값은 a≈ =5일 때이므로

M=5+ =

최솟값은 a≈ =1일 때이므로 m=2

∴ M+m= +2= ④

26

logÆ y=logx+3을 변형하면 =logx+3

log y=(logx)¤ +3logx yy㉠

x‹ y=k라 하고 x‹ y=k의 양변에 상용로그를 취하면 3logx+log y=logk ∴ log y=logk-3logx yy㉡㉡을 ㉠에 대입하면 (logx)¤ +6logx-logk=0 logx=X로 놓으면 X¤ +6X-logk=0 yy㉢ 이때, 이차방정식 ㉢의 실근이 존재해야 하므로 =3¤ +logkæ0, logkæ-9 ∴ kæ10-9 따라서 k의 최솟값은 10—· 이다. ④ D 13₄ log y 1124_logx 36 1 122₅ 26 12₅ 26 12₅ 1 1₅ 1 14_a≈ 1 14_a≈ 1 14_a≈ 1 14_a≈ 1 1₃ 1 1₃

27

조건 ㈎에서 ab=10› 의 양변에 상용로그를 취 하면 logab=log10› , loga+logb=4 또, 조건 ㈏에서 (loga)¥(logb)=t¤ -3t이므로 loga, logb를 두 근으로 갖는 이차방정식을 만들면 x¤ -4x+t¤ -3t=0 이 이차방정식이 실근을 가지므로 =4-t¤ +3tæ0, t¤ -3t-4…0 (t-4)(t+1)…0 ∴ -1…t…4 따라서 M=4, m=-1이므로 M-m=5 5

28

⁄ab=10000의 양변에 상용로그를 취하면 logab=log10› ∴ loga+logb=4 ¤_y={log _}{log _} ¤y=(logx-loga)(logx-logb) ¤y=(logx)¤ -(loga+logb)logx+(loga)(logb) ¤y=(logx)¤ -4logx+(loga)(logb) ¤y=(logx-2)¤ -4+(loga)(logb) 즉, logx=2일 때 최솟값 -4+(loga)(logb)를 가 지므로 -4+(loga)(logb)=-∴ (loga)(logb)= 따라서 loga+logb=4, (loga)(logb)= 이므로 loga, logb를 두 근으로 갖는 이차방정식을 만들면 t¤ -4t+1215₄ =0, 4t¤ -16t+15=0 15 12₄ 15 12₄ 1 1₄ x 1_b x 1_a D 13₄

07 미적분Ⅱ

Ⅰ-1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

(8)

(2t-3)(2t-5)=0 ∴ t= 또는 t=

즉, loga= , logb= 이므로 (∵ a>b)

a=10;2%;_{, b=10};2#; ∴ a¤ +b¤ =10ﬁ +10‹ =101000 ①

29

log(x-3)+log(x-5)=log(y¤ +24)를 정 리하면 (x-3)(x-5)=y¤ +24 x¤ -8x=y¤ +9 yy㉠ 문제에서 요구하는 원의 반지름의 길이를 k라 하면 x¤ +y¤ =k¤ 이다. 이를 ㉠에 대입하면 2x¤ -8x-9-k¤ =0, 2(x-2)¤ =k¤ +17 yy㉡ x의 값의 범위를 구하면 k의 최솟값을 구할 수 있다. 로그의 정의에 의해 x-3>0, x-5>0이어야 하므로 x>5 ㉠에서 y¤ =x¤ -8x-9=(x+1)(x-9)æ0이므로 xæ9 yy㉢㉡, ㉢에서 k¤ æ81 ∴ kæ9 따라서 원의 반지름의 길이의 최솟값은 9이다. 9

30

y=logx¤ 과 y=4-logx¤ 의 그래프의 교점을 조사하면 2 logx=4-2logx, 4logx=4 logx=1 ∴ x=10 x=10일 때, y=2이므로 교점의 좌표는 (10, 2)이다. 또한 x축과 두 곡선 y=logx¤ , y=4-logx¤ 이 만나는 점을 구하면 각각 (1, 0), (100, 0)이다. 3 1₂ 5 1₂ 5 1₂ 3 1₂ 직선 y=1과 두 곡선 y=log x¤ , y=4-log x¤ 의 교점을 구하면 각각 ('1ß0, 1), (10'1ß0, 1)이다. 이때, 3<'1ß0<4이고, 31<10'1ß0 <32이므로 이 들 사이에 존재하는 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점들은 (4, 1), (5, 1), y, (31, 1) 따라서 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점은 (10, 2), (4, 1), (5, 1), y, (31, 1), (1, 0), (2, 0), y, (100, 0) 으로 모두 129개이다. 129

31

log;2!;a+log;2!;b+log;2!;c=log;2!;abc

이고 밑 이 0< <1이므로 구하는 식이 최솟값을 가

지는 때는 abc가 최댓값을 가질 때이다.

=a¤ +b¤ +c¤ æ3¥‹ "√a¤ b¤ cΩ¤ =3(abc);3@;

{단, 등호는 a=b=c= 일 때 성립} (abc);3@;_… ∴ abc…{ } ;2#; 따라서 abc의 최댓값이 { } ;2#; 이므로 log;2!;abc의 최솟 값은 log;2!;{ } ;2#; =;2#;¥log™12= ¥(log™4+log™3) =3+ ④ 3 log 3 1 11_{2 log 2}11133 3 1₂ 1 12₁₂ 1 12₁₂ 1 12₁₂ 1 12₁₂ '3 123₆ 1 1₄ 1 1₂ 1 1₂ O 1 1 10 100 10 10 10 2 x y

미적분Ⅱ

Ⅰ-1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

(9)

32

로그의 정의에 의해

x>0, y>0 yy㉠ 2 log™x-log™ y+1æ0을 변형하면

log™x¤ -log™ y+log™2ælog™1

æ1 ∴ y…2x¤ yy㉡

log™x+log™ y…4를 변형하면

log™x+log™ y…log™16, log™xy…log™16

xy…16 ∴ y… yy㉢㉠, ㉡, ㉢을 좌표평면 위에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다. 이때, 4x-y=k로 놓으면 y=4x-k yy ㉣ 따라서 직선 ㉣이 두 곡선 ㉡, ㉢의 교점 (2, 8)을 지날 때, k=0으로 최솟값을 갖는다. ③

33

f(x)-2f(y)=3-f(x)f(y)에서 f(x)f(y)+f(x)-2f(y)=3 { f(x)-2}{ f(y)+1}=1 이때, f(x), f(y)는 정수이므로 g y㉠ 또는g y㉡ ⁄㉠의 경우, [logx]=3, [logy]=0이므로 ⁄ ⁄g ⁄ ⁄∴g ⁄위 연립부등식을 만족하는 영역은 오른쪽 그림과 같으 1000…x<10000 1001…y<10 O 1 1000 10000 10 x y 3…logx<4 0…log y<1 f(x)=1 f(y)=-2 f(x)=3 f(y)=0 O 8 2 x y y=4x-k y=2x@ y=16_x (단, x축도 제외) 16 13_x 2x¤ 123_y 므로 그 넓이는 9000_9=81000 ¤㉡의 경우, [logx]=1, [logy]=-2이므로 ¤ ¤g ¤ ¤∴ ⁄위 연립부등식을 만족하는 ⁄영역은 오른쪽 그림과 같으므로 그 넓이는 ⁄ 90_ =8.1 ⁄, ¤에서 구하는 영역의 넓이는 81000+8.1=81008.1 ③

34

a=3≈ -9, b=9≈ -3이라 하면 a‹ +b‹ =(a+b)‹ 이므로

3a¤ b+3ab¤ =0, 3ab(a+b)=0 ∴ a=0 또는 b=0 또는 a+b=0 즉, 3≈ -9=0 또는 9≈ -3=0 또는 9≈ +3≈ -12=0, 즉 (3≈ +4)(3≈ -3)=0 ∴ x=2 또는 x= 또는 x=1 따라서 모든 x의 값의 합은 이다. ∴ p+3q=2+3_7=23 23

35

두 지수함수 y=p≈ , y=1-q≈ (p, q는 양의 실 수)으로 나누어 생각하면 두 함수의 그래프의 교점의 x좌 표는 방정식 p≈ +q≈ =1의 해와 같다. 이때, p 또는 q가 1이면 방정식의 해가 없으므로 다음과 같이 나누어 생각한다. 7 1₂ 1 1₂ 9 1234₁₀₀ 10…x<100 ;10!0; …y<;1¡0; ( { ª O 1 100 1 10 10 100 x y -1…logx<2 -2…log y<-1

09 미적분Ⅱ

Ⅰ-1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

(10)

⁄0<p<1, 0<q<1인 경우 ¤`0<p<1, q>1인 경우 ‹p>1, 0<q<1인 경우 ›p>1, q>1인 경우 ⁄` ¤` ‹` ›` 그림을 보면 0<p<1, 0<q<1인 경우와 p>1, q>1 인 경우에만 하나의 실근을 갖는 것을 알 수 있다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다. ⑤

36

6<3'3_{의 양변에 3을 곱하면} _18<3'3+1 간접 비교를 위해 을 도입하면 16<18이고, 4('3+1)('3-1)_<18<3'3+1_{을 만족하므로} {4'3-1_}'3+1_<3'3+1 ∴ 4'3-1_{<3 yy ㉠} ㉠의 양변에 4를 곱하면 4'3_<12이다. 이를 적절히 변형하여 7과의 관계를 도출하기 위해, 양변 에 또 다시 4를 곱하면 4'3+1_{<48<49=7¤ =} 4'3+1_<{7'3-1_}'3+1 7('3-1)('3+1) 16=4¤ =4('3+1)('3-1) 1 O x y y=px y=1-qx 1 O x y y=px y=1-qx 1 O x y y=px y=1-qx 1 O x y y=px y=1-qx ∴ 4<7'3-1 _yy_㉡ ㉡에서 3'3_{<7의 관계를 유도하기 위해 양변에 7을 곱하} 면 28<7'3_이다. 이때, 3‹ =27<28이므로 이고, 3'3_{<7을 얻을} 수 있다. 따라서 조건에서 6<3'3_{이므로 3}'3_{<x를 만족하는 가장} 작은 자연수 x는 7이다. ①

37

조건 ㈏에서 가우스 기호가 있는 것과 없는 것끼 리 짝지으면

logx‹ +log =2 [logx]+[log ]+2 3logx-logx=2logx=2[logx]+[log ]+2 여기서 2[logx]+[log ]+2는 항상 정수이므로 2logx도 정수임을 알 수 있다. 조건 ㈎에서 [logx]=2이므로 2…logx<3 4…2 logx<6이므로 2 logx=4 또는 2logx=5 ∴ logx=2 또는 logx= 따라서 위 결과를 조건 ㈏에 대입하면 logx=2일 때에만 만족하므로 모든 x의 곱은 10¤ 이다. ①

38

주어진 부등식을 정리하면

log£(t¤ +x¤ )>log£(t¤ +y¤ )-1

log£(t¤ +x¤ )>log£{ }, t¤ +x¤ > t¤ > y¤ -x¤ yy ㉠ ㉠에서12t¤ æ0이므로 모든 실수 t에 대해 성립하기 위해 3 1 1₃ 2 1₃ t¤ +y¤ 111₃ t¤ +y¤ 111₃ 5 1₂ 2 1_x 2 1_x 2 1_x 1 1_x 3‹ <7'3

미적분Ⅱ

Ⅰ-1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

(11)

서는 y¤ -x¤ <0을 만족해야 한다. y¤ -3x¤ <0, (y-'3x)(y+'3x)<0 ∴g 또는g Hj 영역 A 영역 B는 원점을 중심으로 하고, 반지름의 길이가 '6 인 원의 내부이다. 따라서 영역A, B의 공통 부분의 넓이를 구하면 6p_ =4p ⑤

39

로그방정식에서 logx=t로 치환하면 t¤ -10t+5=0 지수방정식에서 { }≈ =s로 치환하면 s¤ -10s+5=0 이때, 치환한 두 방정식이 같은 꼴이므로 두 이차방정식의 해가 같다. 로그방정식에서 (밑)>1, 두 근 a, b가 a<b이므로 loga<logb 또, 지수방정식 [{ }≈]2 -10 { }≈ +5=0의 두 근이 c, d이므로 근과 계수의 관계에 의해 { }c +{ }d =10 { }c { }d ={ } c+d =5 이때, (밑)<1, c<d이므로 { }c >{ }d ∴ loga={ }d , log b={ }c 따라서 옳은 것은 ④`이다. ④ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 240˘ 112_360˘ O 60æ x y _y=´3x y=-´3x -´6 ´6 y<'3x y >-'3x y>'3x y <-'3x 1 1₃

₄₀

함수 f(x)= 의 그래프에서 xæ0인 경우 x의 값이 증가할수록 함숫값이 감소하고, x<0인 경우 x의 값이 감소할수록 함숫값이 감소하므로, 0<a<1임을 알 수 있다. 이를 이용하여 함수 y=log f(x)를 정리하면 y=log f(x)=log y=loga|x| -log10 y=|x| loga-1 y=g 이때, 0<a<1이므로 loga<0 ∴ y=g (단, k는 양의 실수) 따라서 그래프의 개형은 ④와 같다. ④ -kx-1 (xæ0) kx-1 (x<0) x loga-1 (xæ0) -x loga-1 (x<0) a|x| 11₁₀ a|x| 11₁₀

11 미적분Ⅱ

Ⅰ-1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

(12)

0

1

f(x)= f(x)= = ④

0

2

ㄱ. f(1)=(ln1)¤ =0, f(e)=(lne)¤ =1 ㄴ.이므로 f(1)=f(e)-1 (참) ㄴ. f'(x)=2(lnx)¥ 에서 f '(1)=0 (참) ㄷ. f'(1)=0이므로 ㄷ. = =f "(1) (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤

0

3

x+0일 때, f(x)= 는 구간 (-¶, 0), (0, ¶)에서 연속이다. 이때, f(x)는 모든 실수 x에서 연속이므로 f(x)=f(0)을 만족한다. ∴ f(0)= f(x)= 1113x e—‹ ≈ -1 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 x 1113_{e—‹ ≈ -1} f '(x)-f '(1) 1111122_x-1 lim x⁄1 f '(x) 1123_x-1 lim x⁄1 1 1_x 1 1 1₃ 2 2¥{1}≈+1 3 11111₂ {1} ≈₊₃ 3 lim x⁄¶ 2≈ ±⁄ +3≈ 1111_{2≈ +3≈ ±⁄} lim x⁄¶ lim x⁄¶ ∴ f(x)= ¥_{- }=-①

0

4

g(x)=e;3{;_이므로 = = ¥ ¥9 =1¥1¥9=9 ③

0

5

1-x=t로 놓으면 x=1-t이고 x⁄ 1일 때, t⁄ 0이므로 x = (1-t) = {(1-t) -}-1 x =e—⁄ = ③

0

6

ln = {ln(1+2x)-ln(1+x)} = _[ - ¥ _] =1-1¥ = ②

0

7

= = -=ln(a+2)-lna a≈ -1 112_x lim x⁄0 (a+2)≈ -1 111114_x lim x⁄0 (a+2)≈ -1-a≈ +1 111111114_x lim x⁄0 (a+2)≈ -a≈ 1111124_x lim x⁄0 1 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ ln(1+x) 11112_x ln(1+2x) 11111_2x lim x⁄0 1 12_2x lim x⁄0 1+2x 1113_1+x 1 12_2x lim x⁄0 1 1 1_e 1 1t lim t⁄0 1 1t lim t⁄0 1 1121-x lim x⁄1

°

`ln(1+x) 11112_x x 1₃ 111 e;3{;_-1

‡

lim x⁄0 3 ln(1+x) 11111 e;3{;_-1 lim x⁄0 f(x+1) 111112_g(x)-g(0) lim x⁄0 1 1 1₃ 1 1₃ -3x 1113_{e—‹ ≈ -1} lim x⁄0

미적분Ⅱ

Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수의 미분

내신・모의고사 대비 TEST Ⅰ- 2. 지수함수와 로그함수의 미분 본문 438~441쪽 01④ 02⑤ 03① 04③ 05③ 06② 07④ 08 3 09 24 10 -1 11③ 12② 13⑤ 14⑤ 15③ 16① 17 750 18③ 19⑤ 20⑤ 21② 22③ 23⑤

(13)

=ln 즉, ln =ln2에서 =2이므로 a+2=2a ∴ a=2 ④

0

8

x⁄0일 때, (분모)⁄0이고 극한값이 존재하므 로 (분자)⁄0이다. 즉, ln(2x+a)=0이므로 lna=0 ∴ a=1 a=1을 주어진 식에 대입하면 = ¥ ¥2 =1¥1¥2=2 ∴ b=2 ∴ a+b=1+2=3 3

0

9

함수 f(x)는 x=1에서 연속이므로 f(x)= (x‹ -ax+2) f(x)=1-a+2=3-a f(x)= be—≈ =be—⁄ f(1)=be—⁄ 에서 be—⁄ =3-a yy㉠ 또, f '(x)=g 에서 함수 f(x)는 x=1 에서 미분가능하므로 -be—⁄ =3-a yy㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 b=0, a=3 따라서 f '(x)=g 이므로 f '(-3)+f '(3)=0+24=24 24 3x¤ -3 (x>1) 0 (x…1) 3x¤ -a (x>1) -be—≈ (x<1) lim x⁄1-0 lim x⁄1-0 lim x⁄1+0 lim x⁄1+0 x 112_{e≈ -1} ln(2x+1) 11111_2x lim x⁄0 ln(2x+1) 11111_{e≈ -1} lim x⁄0 lim x⁄0 a+2 112_a a+2 112_a a+2 112_a

10

f(1)= +1 f '(x)=2xe—≈ -x¤ e—≈ 이므로 f '(1)= ∴ f'(1)-f(1)=-1 -1

11

곡선 y=f(x)를 x축, y축의 방향으로 각각 a, b 만큼 평행이동하면 y-b=f(x-a)의 그래프임을 이용 한다. f(x)=2≈ —⁄ , g(x)=2≈ +1이므로 두 점 Q, R의 좌표는 Q(k, 2˚ —⁄ ), R(k, 2˚ +1) = = = {2+ }=2 ③

12

t=x+1로 놓으면 x⁄-1일 때, t ⁄0이므로 [(2+x) + ] = _[(t+1) + _] = [(t+1) + ¥4 ] =e‹ +4 ②

13

{1- + }≈ = _{1- _}≈_{1- _}≈ = [{1- }— ]—·[{1- }—≈]—⁄ = ¥ =1144551 ⑤ e⁄ ‚ 1 1_e 1 15_e· 1 1_x x 1₉ 9 1_x lim x⁄¶ 1 1_x 9 1_x lim x⁄¶ 9 13_x¤ 10 12_x lim x⁄¶ e4t_-1 11334_4t 1 1¥3_t lim t⁄0 e4t_-1 11334_t 3 1_t lim t⁄0 e4(x+1) -1 1112334_x+1 3 1134_x+1 lim x⁄-1 1 11_{2˚ —⁄} lim k⁄¶ 2˚ +1 111_{2˚ —⁄} lim k⁄¶ PR” 11 PQ” lim k⁄¶ PR” 11 PQ” lim k⁄¶ 1 1_e 1 1_e

13

Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수의 미분

미적분Ⅱ

Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수의 미분

(14)

14

y=(1+7x¤ +9x› ) 으로 놓으면 lny=ln(1+7x¤ +9x› ) lny= (7+9x¤ )ln(1+7x¤ +9x› ) =7 ∴ y=e‡ ⑤

15

f(x)=ln 으로 놓으면 f(0)=ln =ln1=0 주어진 식을 정리하면 ln = =f '(0) f '(x)= f '(x)= 이므로 f '(0)= f '(0)= = = ∴ ln = ③

16

f(x)=e‹ ≈ 의 역함수는 g(x)= lnx (x>0) 이고 f(g(x))는 항등함수이므로 `g(33x+1)-f(2x)+1 11111111113_f(g(5x)) lim x⁄0+ 1 1₃ 11 1 122₂ e≈ +e¤ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈ 111111134₁₀ 1 1_x lim x⁄0 11 12₂ 55 12₁₀ 1+2+y+10 1111112₁₀

e‚ +2e‚ +y+10e‚ 1111111233_{e‚ +e‚ +y+e‚}

e≈ +2e¤ ≈ +y+10e⁄ ‚ ≈ 11111112134_{e≈ +e¤ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈}

e≈ +2e¤ ≈ +y+10e⁄ ‚ ≈ 1111111212₁₀ 11111111144_{e≈ +e¤ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈} 11111112₁₀ f(x)-f(0)

111112_x lim

x⁄0

e≈ +e¤ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈ 111111134₁₀ 1

1_x lim

x⁄0

e‚ +e‚ +y+e‚ 11111133₁₀

e≈ +e¤ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈ 111111134₁₀ lim x⁄0 1 11114_{7x¤ +9x›} lim x⁄0 lim x⁄0 1 14_x¤ 1 14_x¤ = = _[ - _] = [ ¥ - ¥ ] =1¥ -1¥ =1 ①

17

f(0)=e‚ +0=1이므로 = _3 = _3 =3f'(0) f(x)=e¤ ≈ + 에서 f'(x)=2e¤ ≈ + 이므로 f '(0)=2+ = ∴ 100_ =300 f '(0)=750 750

18

두 점 C, D의 좌표는 C(t, ln(t+1)), D(2t, ln(2t+1)) 삼각형 OAC의 넓이 : S(t)= t ln(t+1) 사다리꼴 ABCD의 넓이 : T(t)= t {ln(t+1)+ln(2t+1)} ∴ = ∴ =1+ 111123ln(2t+1) ln(t+1) lim t⁄0 ln(t+1)+ln(2t+1) 1111111112_ln(t+1) lim t⁄0 T(t) 112_S(t) lim t⁄0 1 1₂ 1 1₂ f(3x)-1 11111_x lim x⁄0 5 1₂ 1 1₂ 1 1₂ x 1₂ ` ` f(3x)- f(0) 1111112_3x-0 lim x⁄0 ` ` `f(3x)-1 111123_3x lim x⁄0 `f(3x)-1 111123_x lim x⁄0 6 1₅ 33 12₁₅ 6 1₅ èfl ≈ -1 111_6x 33 12₁₅ ln(33x+1) 1111133_33x lim x⁄0+ èfl ≈ -1 111_5x ln(33x+1) 111112_15x lim x⁄0+ 1 1 ln(33x+1)-efl ≈ +1₃ 11111111113_5x lim x⁄0+

미적분Ⅱ

Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수의 미분

(15)

∴ =1+ ¥ ¥2 ∴ =1+1¥1¥2=3 ③

19

x lnS« =x ln{1+ }{1+ }y{1+ } =x[ln{1+ }+ln{1+ } +y+ln{1+ }] = + ¥2 +y+ ¥n 따라서 A«= x lnS«=1+2+y+n 따라서 A«= 이므로 = = _2{ - } =2_ [{1- }+{ - } +y+{ - }] =2_ _{1- _}=2 ⑤ 1 112_n+1 lim n⁄¶ 1 112_n+1 1 1_n 1 1₃ 1 1₂ 1 1₂ lim n⁄¶ 1 112_k+1 1 1_k n ¡ k=1 lim n⁄¶ 2 1111_k(k+1) n ¡ k=1 lim n⁄¶ 1 123_A« ¶ ¡ n=1 n(n+1) 11113₂ lim x⁄¶ n ln{1+1}_x 111123_n 1_x 2 ln{1+1}_x 111123₂ 1_x 1 ln{1+1}_x 111123₁ 1_x n 1_x 2 1_x 1 1_x n 1_x 2 1_x 1 1_x t 11113_ln(t+1) ln(2t+1) 111123_2t lim t⁄0

20

ㄱ. f(x)= 이 실수 전체에서 연속이 므로가 1+ae∫ ≈ =0인 x가 존재하지 않는다. 이때, a<0이면 ae∫ ≈ =-1HjK x= ln{- }일 때 1+ae∫ ≈ =0이므로 모순이다. 또, a=0이면 f(x)는 `f(x)=1인 상수함수이므로 f(x)=0을 만족하지 않는다. ∴ a>0 (참) ㄴ. f(x)= =0이므로 ㄴ. (1+ae∫ ≈ )=¶ ㄴ.ㄱ에서 a>0이므로 b<0이다. (참) ㄷ. ㄱ, ㄴ에서 a>0, b<0이므로 ae∫ ≈ =0 ㄴ.∴ f(x)= =1 (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤

21

ㄱ. x ⁄ ¶일 때 ⁄ 0이므로 ㄱ. g(x)sin ㄱ. = ¥ ㄱ. = ¥ ㄱ. =1¥0=0 ㄴ. f(x)=¶, g(x)=¶이고 ㄴ.lim112g(x)_f(x)=0이므로 x⁄¶ lim x⁄¶ lim x⁄¶ x+2 11223_{2x¤ +1} 1 sin112 f(x) 11111₁ 112_f(x) lim x⁄¶ g(x) 112_f(x) 1 sin112_f(x) 11111₁ 112_f(x) lim x⁄¶ 1 112_f(x) lim x⁄¶ 1 112_f(x) 1 1112_{1+ae∫ ≈} lim x⁄¶ lim x⁄¶ lim x⁄¶ lim x⁄-¶ 1 1112_{1+ae∫ ≈} lim x⁄-¶ lim x⁄-¶ lim x⁄-¶ 1 1_a 1 1_b 1 1112_{1+ae∫ ≈}

15

Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수의 미분

미적분Ⅱ

Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수의 미분

(16)

ㄴ. = eg(x)-f(x) ㄴ. = ef(x)[ -1] ㄴ. = =0 ㄷ. {lng(x)-lnf(x)}= ln ㄷ.x⁄¶일 때, =0+이므로 ㄷ. ln =-¶ 따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄴ이다. ②

22

함수 f(3≈ )=-x에서 3≈ = t 라 하면 x=log£t이므로 f(t)=-log£t=log;3!;t ∴ f(x)=log;3!;x ㄱ. 함수 f(x)=log;3!;x의 치역은 실수 전체의 집합이다. (참) ㄴ. y=log;2!;x, y=log;3!;x의 그래프는 다음과 같다. ㄴ.따라서 x>1일 때, log;3!;x>log;2!;x이므로 ㄴ. f(x)>log_;2!;x (참)

ㄷ. f'(a)는 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기이고,

ㄷ. = 는

ㄷ.두 점 (a, f(a)), (2a, f(2a))를 잇는 선분의 기울 기이다. f(2a)-f(a) 111111_2a-a f(2a)-f(a) 111111_a y O 1 x y=log x;2!; y=log x_;3!; g(x) 112_f(x) lim x⁄¶ g(x) 112_f(x) lim x⁄¶ g(x) 112_f(x) lim x⁄¶ lim x⁄¶ 1 1233_ef(x) lim x⁄¶ g(x) 112_f(x) lim x⁄¶ lim x⁄¶ eg(x) 113_ef(x) lim x⁄¶ ㄷ.y=f(x)의 그래프는 아 래로 볼록하므로 오른쪽 그림과 같이 모든 양수 a 에 대하여 ㄷ.`f'(a)< ㄷ.를 만족한다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③

23

분산을 구하는 공식과 r« =eHjK r=e;n!;_{임을 이} 용하면 a«={ r¤ ˚ }-{ r˚ }2 a«=[ ¥ _]-[ ¥ _]2 a«=‡ °-‡ °2 여기서h= 로 놓으면n⁄¶일때h ⁄0이므로 a«=

[

_‡

_°

-

‡

°

2

]

이때, 지수함수의 극한의 성질에 의하여 =1이므로 a«= -(e-1)¤

a«=- e¤ +2e-113 ⑤

2 1 1 1₂ e¤ -1 3411₂ lim n⁄¶ e˙ -1 4211_h lim h⁄0 e˙ (e-1) 4221124_{e˙ -1} 3311_h e¤ ˙ (e¤ -1) 312111_{2(e¤ ˙ -1)} 22111_2h lim h⁄0 lim n⁄¶ 1 1_n e;n!;_(e-1) 3511113 n(e;n!;_-1) e;n!;_{(e¤ -1)} 3511113 n(e;n@;_-1) r(r« -1) 51111_r-1 1 1_n

r¤ (r¤ « -1)

421111

_{r¤ -1}

1 1_n n ¡ k=1 1 1_n n ¡ k=1 1 1_n f(2a)-f(a) 111111_a y O a x y=f(x) 2a

미적분Ⅱ

Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수의 미분

(17)

Ⅱ. 삼각함수

S U M M A C U M L A U D E 내신・모의고사 대비 TEST

미적분Ⅱ

17

Ⅱ-1. 삼각함수의 뜻

0

1

두 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

cosa+cosb=p, cosa cosb=q seca+secb=-r, seca secb=s

이때, sech= 이므로 -r= + -r= = s= = ∴ - = ②

0

2

점 A에서 x축에 수선의 발을 내려 그 점을 A' 이라 하면 △OAA'에서 sinh= =A’A'” 따라서 답은 점 A의 y좌표가 된다. ⑤

0

3

점 Q에서 DC”에 내린 수선의 발을 Q'이라 하 자. A’A'” 12334 OA” 1 1 1_p s 1_r 1 1_q 1 1111233_{cosa cosb} p 1_q cosa+cosb 111111_{cosa cosb} 1 1133_cosb 1 1133_cosa 1 1133_cosh 이때, △PQR의 한 변의 길 이를 x라 하면 오른쪽 그림에 서 ∠RQQ'=h-30˘=h-이므로 =cos {h- } ∴ x= =a sec {h- } ④

0

4

(sinh-csch)¤ +(cosh-sech)¤ -(tanh-coth)¤ =(sin¤ h-2+csc¤ h)+(cos¤ h-2+sec¤ h)

-(tan¤ h-2+cot¤ h) =-2+(sin¤ h+cos¤ h)+(csc¤ h-cot¤ h)

+(sec¤ h-tan¤ h) =-2+1+1+1

=1 1

0

5

1+tan¤ h=sec¤ h, 1-cos¤ h=sin¤ h, 1+cot¤ h=csc¤ h이고 h가 제4사분면의 각일 때, sinh<0, cosh>0이므로

"c√os¤ h "1√+taçn¤ ≈h +"1√-coçs¤ ≈h "1√+coçt¤ ≈h =cosh¥sech+(-sinh)¥(-csch) =1+1 =2 ④ p 1 1₆ a 111112_p cos {h-1}₆ p 1₆ a 1_x p 1₆ x a A Q Q' B D P R 120æ-Ω Ω C Ⅱ- 1. 삼각함수의 뜻 본문 442~444쪽 01② 02⑤ 03④ 04 1 05④ 06① 07④ 08⑤ 09③ 10④ 11④ 12③ 13⑤ 14③

(18)

06

tanh, coth를 두 근으로 하는 x에 대한 이차방 정식은

x¤ -(tanh+coth)x+tanh coth=0

이때, 주어진 조건 sinh+cosh= 의 양변을 제곱하면

sin¤ h+cos¤ h+2sinh cosh=

에서 sinh

cosh=-즉, tanh+coth= =- 이고,

tanh coth=1이므로 구하는 이차방정식은

x¤ + x+1=0 ①

07

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

sinh+cosh=b, sinh cosh=c yy㉠ 이고, 삼각형 ABC에서 sinh= , cosh= yy㉡ 이므로 ㉠, ㉡에 의해 b=sinh+cosh= b+2=bc ∴ b= yy㉢ c=sinh cosh= ∴ c‹ =2b yy㉣ 이때, ㉢을 ㉣에 대입하면 c‹ =2¥ = ∴ c› -c‹ =4 ④ 4 112_c-1 2 112_c-1 2b 12_c¤ 2 112_c-1 b+2 112_c 2 1_c b 1_c 9 1 1₄ 9 1₄ 1 111123_{cosh sinh} 4 1₉ 1 1₉ 1 1₃

08

부채꼴의 둘레의 길이는 두 반지름의 길이와 호 의 길이의 합과 같으므로 2r+rh로 나타낼 수 있다. 이때, S= r¤ h에서 r¤ h=2S이고 산술평균과 기하평균 의 관계에 의해 2r+rhæ2"2çr¤ ≈h =2'4ßS=4'Så (단, 등호는 2r=rh, 즉 h=2일 때 성립한다.) 따라서 부채꼴의 둘레의 길이의 최솟값은 4"çS이다. ⑤

09

csc¤ h(1-cos› h)+sin¤ h

=csc¤ h(1-cos¤ h)(1+cos¤ h)+sin¤ h =csc¤ h sin¤ h(1+cos¤ h)+sin¤ h =1+cos¤ h+sin¤ h {∵ =csch}

=2 ③

10

3-sin¤ x₊₃-cos¤ x₌ ₊

=

이때, 분모를 간단히 하면 3sin¤ x¥3cos¤ x₌₃sin¤ x+cos¤ x

=3이 고, 분자를 제곱하면

(3sin¤ x₊₃cos¤ x_{)¤ =(3}sin¤ x_-3cos¤ x_{)¤ +4¥3}

=a¤ +12 ∴ 3sin¤ x+3cos¤ x ="a√¤ +12 ∴ 3-sin¤ x+3-cos¤ x₌ ④

11

근과 계수의 관계에서 "√a¤ +ç12 11114₃ 3sin¤ x₊₃cos¤ x 111113₃sin¤ x ¥3cos¤ x 1 113₃cos¤ x 1 113₃sin¤ x 1 112_sinh 1 1₂

미적분Ⅱ

Ⅱ-1. 삼각함수의 뜻

(19)

csch+sech=2a, csch sech=a-2 ∴ =2a yy㉠ sinh cosh= yy㉡ ㉠, ㉡에서 sinh+cosh= yy㉢㉢의 양변의 제곱하면 1+2 sinh cosh= yy㉣㉡, ㉣을 연립하면 1+ = , a(3a+2)=0 ∴ a=- (∵ a+0) ④

12

4sec¤ x =5에서 22sec¤ x =5, (2sec¤ x_{)¤ =5} ∴ 2sec¤ x='5 ∴ 8 =8tan¤ x =8sec¤ x-1₌ _{(2‹ )}sec¤ x ∴ 8 = _{('5)‹ =} ③

13

f(x)=sinx의 역함수가 y=g(x)이므로 f(g(x))=x ∴ sin(g(x))=x cos¤ x=1-sin¤ x이므로 cos¤ (g(x))=1-sin¤ (g(x))=1-x¤ ⑤

14

△BOQ에 의하여

cosh= =OQ”, sinh= =BQ”

△AOP에 의하여 BQ” 11 OB” OQ” 11 OB” 5'ß5 1 11₈133 1 1₈ 1 1₈ sin¤ x 111_{cos¤ x} 2 1 1₃ 4a¤ 111334_(a-2)¤ 2 1144_a-2 4a¤ 111334_(a-2)¤ 2a 1144_a-2 1 1144_a-2 sinh+cosh 1111134_{sinh cosh} tanh= =PA” 이때, OQ”=2PA”¥BQ”에서 cosh=2tanh¥sinh cosh= ¥sinh cos¤ h=2sin¤ h, =2 ∴ cot¤ h=2 ∴ = ¥ ¥ = =csc¤ h =1+cot¤ h =1+2=3 ③ 1 1124_{sin¤ h} cosh 1134_sinh 1 1134_cosh 1 1145_sinh 1

1111111_{sinh cosh tanh} cos¤ h 1123_{sin¤ h} 2sinh 11234_cosh PA” 11 O’AÚ

19

Ⅱ-1. 삼각함수의 뜻

미적분Ⅱ

Ⅱ-1. 삼각함수의 뜻

(20)

0

1

2 cos¤ h=1, cos¤ h= ∴ cosh= {∵ 0<h… } 따라서 h= 이므로 tan¤ h=tan¤ =1¤ =1 1

0

2

f(x)=f(x+'3)을 만족하는 함수는 주기가 '3인 함수이다. 각 함수의 주기를 구하면 다음과 같다. ① =2'3 ② ='3 ③ = _'3 ④ =2'3 ⑤ = '3 따라서 f(x)=f(x+'3)을 만족하는 것은 ②이다. ②

0

3

2sin¤ x+3cosx<0에서 2(1-cos¤ x)+3cosx<0 -2 cos¤ x+3cosx+2<0 2 cos¤ x-3cosx-2>0 2 1₃ 2p 115 '3p 2p 1124 '3 12p₃ 4 1₃ 2p 1124 '3 12p₂ p 1124 '3 12p₃ 2p 1124 '3 12p₃ p 1₄ p 1₄ p 1₂ 1 12 '2 1 1₂ (2 cosx+1)(cosx-2)>0 ∴ cosx<- 또는 cosx>2 ∴ -1…cosx<- (∵ -1…cosx…1) ∴ p<x< p 따라서 a= p, b= p이므로 b-a= p ②

0

4

모든 실수 x에 대하여 부등식이 성립하므로 D=sin¤ h+4cosh-4 =(1-cos¤ h)+4cosh-4 =-cos¤ h+4cosh-3<0 cos¤ h-4cosh+3>0 (cosh-1)(cosh-3)>0 ∴ cosh<1 또는 cosh>3 ∴ -1…cosh<1 (∵ -1…cosh…1) 이때, h=0 또는 2p이면 cosh=1이므로 주어진 부등식 을 만족하지 않는다. 따라서 옳지 않은 것은 ④ 2p이다. ④

05

+ p cos{1-h}₂ 11111113_tan(p+h)sinh p p sin{1+h} tan{-1}₂ ₄ 1111111111_tanh 2 1 1₃ 4 1₃ 2 1₃ 4 1₃ 2 1₃ y=cos`x π 2 π 32π 2π 4 3π 2 3π -1 1 1 2 - x y O 1 1₂ 1 1₂

미적분Ⅱ

Ⅱ-2. 삼각함수의 그래프

내신・모의고사 대비 TEST Ⅱ- 2. 삼각함수의 그래프 본문 445~448쪽 01 1 02② 03② 04④ 05③ 06 15 07 27 08① 09③ 10⑤ 11⑤ 12② 13③ 14 25 15 5 16② 17③ 18④ 19① 20④

(21)

= + = + = ③

06

f(x)=[sinx+3]+1=[sinx]+4는 y=[sinx]의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동 한 그래프이므로 먼저 y=[sinx]의 그래프를 그리면 다 음과 같다. 위의 그림에서 y=[sinx]의 최댓값은 1, 최솟값은 -1이 므로 y=[sinx]+4의 그래프에서 최댓값：1+4=5 최솟값：-1+4=3 ∴ a=5, b=3 ∴ ab=15 15

07

cosx=t로 치환하면 y=|3-4t|+|2+5t|-1 (단, -1…t…1) ⁄-1…t<- 일 때, y=(3-4t)-(2+5t)-1=-9t 2 1₅ y=[sin`x] π 2 32π π 2π x y O 1 -1 1-cos h 1 1111_{tan h}11144 1 1125_tanh -cosh 11223_tanh sinh 11111_{tanh sinh} p cosh {-tan1}₄ 11111113_tanh ¤- …t< 일 때, y=(3-4t)+(2+5t)-1=t+4 ‹ …t…1일 때, y=-(3-4t)+(2+5t)-1=9t-2 ⁄, ¤, ‹`에 의해 그래프를 그려 보면 다음과 같다. 따라서 t=- 일 때 최솟값 m= 이고, t=-1일 때 최댓값 M=9이므로 5(M-m)=5{9- }=27 27

08

f(x)= =24sinx+ 에서 0<x<p이므로 sinx>0 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 f(x)=24 sinx+ æ_{2æ24≠sinx≠¥} _≠ =2'1ß6=8 ∴ s=8 이때, 등호는 24sinx= 일 때 성립하므로 sin¤ x= ∴ sinx=11 (∵ 0＜x＜p) 6 1 144₃₆ 2 1115_3sinx 2 1115_3sinx 2 1115_3sinx 2 1115_3sinx 72sin¤ x+2 111112_3sinx 18 12₅ 18 12₅ 2 1₅ 9 7 t y 19 4 -1 _-2 1 5 3 4 18 5 O 3 1₄ 3 1₄ 2 1₅

21

Ⅱ-2. 삼각함수의 그래프

미적분Ⅱ

Ⅱ-2. 삼각함수의 그래프

(22)

한편, 위의 그래프에서 (0, 0)이 교점이므로 모든 근의 곱 은 0이다. ∴ c=0 ∴ a+b+c=11+0+0=11 ③

10

직선 y=- x위의 점 P(m, n)은 m<0이므로 제2사분면에 존재하고, 선분 OP가 y축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 h는 예각임을 알 수 있다. 또, 직선 y=- x는 항상 점 (-a, b)를 지나므로 그래프로 나타내면 다음과 같다. (a>0, b>0) 이때, 한 내각이 -h인 직각삼각형에서 sin { -h}=cosh= cos { -h}=sinh= ∴ sin { +h}+cos { p_-h} =cosh-sinh = -= ⑤

11

두 함수 y=x+1과 y=x¤ +3xsinh+2의

b-a 1 111112233 "√a¤ +≈bΩ¤ a 11124 "√a¤ +≈bΩ¤ b 11124 "√a¤ +≈bΩ¤ 3 1₂ p 1₂ a 11124 "√a¤ +≈bΩ¤ p 1₂ b 11124 "√a¤ +≈bΩ¤ p 1₂ p 1₂ π 2 -Ω b ax y=-O {-a, b} Ω x y b 1_a b 1_a

미적분Ⅱ

Ⅱ-2. 삼각함수의 그래프

내신・모의고사 대비 TEST 따라서 sinx= 을 만족하는 실수 x를 포함하는 구간은 ① 0＜x＜ 이다. ①

09

함수 y=sin { x}는 주기가 =4인 함수 이므로 함수 y=sin { x}와 직선 y= x를 그래프로 나타내면 다음과 같다. 위의 그림에서 교점의 개수가 11개이므로 a=11 또, 함수 y=sin { x}와 y= x가 각각 기함수이므로 함수 f(x)=sin { x}- x의 그래프는 원점에 대하 여 대칭이다. 즉, x=a가 근이면 x=-a 또한 근이므로 모든 근의 합은 0이다. ∴ b=0 1 145₁₀ p 1₂ 1 145₁₀ p 1₂ -10 -1 1 10 8 4 6 2 O y=₁₀1x y=sinπ₂x x y 1 145₁₀ p 1₂ 2p 134_p 1₂ p 1₂ p 1 1₆ 1 1₆ y=sin`x 5 6π π π 6 1 2 1 x y O π 2 1 6 y=

(23)

그래프가 서로 다른 두 점에서 만나므로 x¤ +3x sinh+2=x+1 HjK x¤ +(3sinh-1)x+1=0 에서 D=(3 sinh-1)¤ -4 =9 sin¤ h-6sinh-3 =3(3 sinh+1)(sinh-1)>0 ∴ -1…sinh<- (∵ -1…sinh…1) y ㉠ 이때, 이차방정식의 두 근을 a, b (a<b)라 하면 근과 계 수의 관계에 의하여 a+b=1-3 sinh, ab=1 이고, 두 함수의 그래프의 교점은 (a, a+1), (b, b+1) 이므로 두 점을 잇는 선분의 길이는

"√(b-√a)¤ √+(b√-a)Ω¤ ="√2{(a√+b√)¤ -√4ab} ="√2{(1√-3s√inh)√¤ -4} ="√18si√n¤ h√-12√sin√h-6 =æ≠18 {s≠inh≠-≠ }2–-±8 따라서 ㉠`에 의해 sinh=-1일 때 최대가 되고, 그때의 길이는 2'6이다. ∴ h= p ⑤

12

산술평균과 기하평균의 관계를 이용하면

log™x+logÆ2+sin yæsin y+2'lƒog™xƒ¥logåÆß2 =sin y+2

또, -1…siny…1이므로

log™x+logÆ2+sin yæsin y+2æ1 yy ㉠ ㉠과 주어진 log™x+logÆ2+sin y…1의 공통 범위는 1…log™x+logÆ2+sin y…1 ∴ log™x+logÆ2+sin y=1 3 1 1₂ 1 1₃ 1 1₃ 이때, 등호는 log™x=logÆ2일 때 성립하므로 x=2이다. 즉, 1+1+sin y=1 sin y=-1 ∴ y= p ∴ x-cos y=2-cos p=2 ②

13

tanx- secx= - ¥ tanx- secx= -tanx- secx= 이므로 주어진 방정식은 =0

cosx+0이므로 sinx- =0, sinx=

∴ x= 또는 x= p ∴ ¥ p= p¤ ③

14

cos¤ x=1-sin¤ x이므로 주어진 방정식은 2-2sin¤ x+sinx+t=0 sinx=k로 치환하면 2k¤ -k-2=t (-1…k…1) f(k)=2k¤ -k-2=2{k- }2 - 라 하면 f(k)는 -1…k…1에서 최솟값 - , 최댓값 1을 가지므로 y=f(k)의 그래프와 직선 y=t가 만나려면 -1217…t…1이어야 한다. 8 17 12₈ 17 12₈ 1 1₄ 5 1 122₃₆ 5 1₆ p 1₆ 5 1₆ p 1₆ 1 1₂ 1 1₂ 1 sinx-1₂ 111124_cosx 1 sinx-1₂ 111124_cosx 1 1114_2cosx sinx 1133_cosx 1 1133_cosx 1 1₂ sinx 1133_cosx 1 1₂ 3 1₂ 3 1₂

23 미적분Ⅱ

Ⅱ-2. 삼각함수의 그래프

(24)

∴ 8(b-a)=8{1+ }=25 25

15

함수 f(x)에 대하여 f(sinx)= f(sinx)= 그래프로 나타내면 따라서 불연속점의 개수는 5이다. 5

16

함수 f(sinx)=cos4x에서 x= -t를 대입 하면 f {sin { -t}}=cos4{ -t} f (cost)=cos(2p-4t) ∴ f(cost)=cos4t 이때, f(sinx)+f(cosx)=1이므로 f (sinx)+f(cosx)=cos4x+cos4x =2 cos4x=1 ∴ cos4x= 따라서 이 식을 만족하는 최소의 양수 x는 1 1₂ p 1₂ p 1₂ p 1₂ O x y -π -2π -1 1 2π π -8 8 ( 1 (sinx>0) “ -1 (sinx<0) 9 0 (sinx=0) |sinx| 1112 (sinx+0)_sinx 0 (sinx=0) · { ª 17 12₈ 4x= ∴ x= ②

17

함수 y=sin x와 y=-sin x+a의 그래프가 만나므로 sinx=-sinx+a ∴ sinx= (단, 0…x…2p) ∴ N(a)= ㄱ. a=0일 때, y=0이고 x=0, p, 2p에서 만나므로 N(a)의 최댓값은 3이다. (참) ㄴ. |a|>2이면 N(a)=0이다. (참) ㄷ. a에 대한 N(a)의 그래프를 나타내면 다음과 같다. 위의 그래프는 N(a)축에 대하여 대칭이므로 N(a)=N(-a)이다. (참) ㄹ. 상수함수는 주어진 정의역에서 모든 함숫값이 동일해 야 한다. 그러나 0<|a|<2일 때 N(a)=2이고, a=0일 때 N(a)=3이므로 함수 N(a)는 상수함수

a N{a} 3 2 2 1 -2 O 0 (|a|>2) 1 (|a|=2) 2 (0<|a|<2) 3 (a=0) ( { 9 a 2 O 1 -1 y=sin`x π _2π y=a₂ x y a 1₂ p 1 14444₁₂ p 1₃

미적분Ⅱ

Ⅱ-2. 삼각함수의 그래프

(25)

가 아니다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ③

18

cos { +A+B}=-sin(A+B), cos { +A-B}=-sin(A-B) 이므로 주어진 식은 sin(A+B)sin(A-B)=sin¤ C sin(A+B)sin(A-B)=sin¤ (p-A-B) sin(A+B)sin(A-B)=sin¤ (A+B) sin(A+B){sin(A+B)-sin(A-B)}=0 A+B+p이므로 sin(A+B)=sin(A-B) A+B=A-B이면 B=0이 되어 모순이므로 A+B=p-(A-B) ∴ A= ④

19

1+cot¤ x=asin¤ x에서 csc¤ x=asin¤ x =a sin¤ x sin› x= yy㉠ ㄱ. 0<a<1이면 >1이므로 ㉠에 의해 sin› x>1 이때, -1…sinx…1이므로 sin› x>1을 만족하는 x 는 존재하지 않는다. ∴ B={x|1+cot¤ x=asin¤ x}=Δ 즉, A;B=Δ이므로 1 1_a 1 1_a 1 11344_{sin¤ x} p 1 1₂ p 1₂ p 1₂ S(A;B)=0 (참) ㄴ. a=1이면 sinx=—1이므로 A;B=[ , p_] ∴ S(A;B)=2p (거짓)

ㄷ. a>1이면 sinx=— 이므로 0<a<p,

p<b<2p를 만족하는 a, b에 대하여

sina= , sinb=- 이라 하면

A;B={a, b, p-a, 3p-b} ∴ S(A;B)=4p (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. ①

20

'ßa 'ßb =-'aßb HjK a…0, b…0이므로

'sƒin h 'cƒos h =-'sƒin h cƒos h HjK sinh…0, cosh…0 y㉠ 따라서 h는 제3`사분면 위의 각이므로 2np+p…h…2np+ p ∴ p+ … … p+ (단, n은 정수) ①, ②, ③ 정수 k에 대하여, ⁄n=3k일 때 2kp+ … …2kp+ 이므로 는 제1`사분면의 각이다. ¤n=3k+1일 때 p+ … … p+ HjK 2kp+p… …2kp+ p1h₃ 17₆ p 1₂ 2(3k+1) 11112₃ h 1₃ p 1₃ 2(3k+1) 11112₃ h 1₃ p 1₂ h 1₃ p 1₃ p 1₂ 2n 135₃ h 1₃ p 1₃ 2n 135₃ 3 1₂ 1 1444 › 'a 1 1444 › 'a 1 1444 › 'a 3 1₂ p 1₂

25 미적분Ⅱ

Ⅱ-2. 삼각함수의 그래프

(26)

이므로 는 제3`사분면의 각이다. ‹n=3k+2일 때 p+ … … p+ HjK 2kp+ p… …2kp+ p 이므로 는 제4사분면의 각이다. 따라서 동경 OP'은 좌표평면 위에서 제1, 3, 4사분면 에서 정의될 수 있다. (참) ④ 좌표평면에서 x좌표가 양수인 사분면은 제1`사분면과 제4사분면이다. ⁄제1사분면에 점 P'이 존재할 경우 x좌표와 y좌표 가 모두 양수이므로 csc = æ0, tan = æ0 방정식 x¤ +ax+b=0에서 근과 계수의 관계에 의해

csc +tan =-aæ0 ∴ a…0

csc ¥tan =bæ0 ∴ ab…0 ¤ 제4사분면에 점 P'이 존재할 경우 x좌표는 양수, y좌표는 음수이므로 csc = …0, tan = …0 방정식 x¤ +ax+b=0에서 근과 계수의 관계에 의해

csc +tan =-a…0 ∴ aæ0

csc1h₃¥tan1h₃=bæ0 h 1₃ h 1₃ h sin1₃ 11233_h cos1₃ h 1₃ 1 11324_h sin1₃ h 1₃ h 1₃ h 1₃ h 1₃ h 1₃ h sin1₃ 1115_h cos1₃ h 1₃ 1 1115_h sin1₃ h 1₃ h 1₃ 11 145₆ h 1₃ 5 1₃ p 1₂ 2(3k+2) 11112₃ h 1₃ p 1₃ 2(3k+2) 11112₃ h 1₃ ∴ abæ0 (거짓) ⑤ 0<h<2p에서 ㉠을 만족하는 h의 범위는 p…h… p HjK … … 따라서 의 최댓값은 이다. (참) 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④ p 1₂ h 1₃ p 1₂ h 1₃ p 1₃ 3 1₂

미적분Ⅱ

Ⅱ-2. 삼각함수의 그래프

(27)

27

Ⅱ-3. 삼각함수의 미분`⑴

미적분Ⅱ

Ⅱ-3. 삼각함수의 미분`⑴

0

1

sina+cosb= 의 양변을 제곱하면

sin¤ a+cos¤ b+2sina cosb= yy㉠

또, cosa+sinb= 의 양변을 제곱하면

cos¤ a+sin¤ b+2cosa sinb= yy㉡

㉠+㉡에서

sin¤ a+cos¤ a=1, sin¤ b+cos¤ b=1 이므로

2+2(sina cosb+cosa sinb)=4 sina cosb+cosa sinb=1

∴ sin(a+b)=sina cosb+cosa sinb=1 ⑤ 32 12₉ 4'2 1244₃ 4 1₉ 2 1₃

0

2

두 직선 y=-x+3, y=2x-1이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하 면 tan a=-1, tan b=2 이므로 tanh=|tan(a-b)|=| | tanh=| |=3 ∴ tan{h+ }= ∴ tan{h+ }= =-2 ①

0

3

두 직선 y=3x, y=ax가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면 tana=3, tanb=a이므로 tan45˘=|tan(a-b)| tan45˘=| | tan45˘=| |=1 =1에서 ⁄0<a<3일 때, =1이므로 3-a=1+3a에서 a= (적합) ¤aæ3일 때, =1이므로 -3+a=1+3a에서 a=-2 (부적합) -3+a 112344_1+3a 1 1₂ 3-a 11234_1+3a |3-a| 112544_1+3a 3-a 11234_1+3a tana-tanb 11111134_{1+tana tanb} 3+1 112334_1-3¥1 p tanh+tan1 4 111111234_p 1-tanh tan1 4 p 1₄ -1-2 11111134_1+(-1)¥2 tana-tanb 11111134_{1+tana tanb} O x Ω ∫ å y y=-x+3 y=2x-1 Ⅱ- 3. 삼각함수의 미분`⑴ 본문 449~456쪽 01⑤ 02① 03⑤ 04④ 05⑤ 06④ 07⑤ 08① 09④ 10⑤ 11④ 12 4 13① 14③ 15④ 16② 17 2 18④ 19⑤ 20⑤ 21④ 22 44 23 338 24⑤ 25② 26① 27③ 28⑤ 29③ 30 20 31④ 32② 33① 34③ 35② 36 3

(28)

⁄, ¤에서 a= ⑤

0

4

위의 그림에서 tana= = , tanb= = 이므로 tanh=tan(a+b)= tanh= = ④

0

5

g(2)=a, g(3)=b라 하면 역함수의 성질에 의해 tana=2, tanb=3 그런데 tana>0, tanb>0이므로 0<a< , 0<b< 이때 tan(a+b)= 이때 tan(a+b)= =-1 ∴ g(2)+g(3)=a+b= p(∵ 0<a+b<p) ⑤ 3 1 1₄ 2+3 11144_1-2¥3 tana+tanb 11111134_{1-tana tanb} p 1₂ p 1₂ 64 1 122₄₉ 5 3 1+1₈ ₈ 11112534₅ ₃ 1-1_1 8 8 tana+tanb 11111134_{1-tana tanb} 3 1₈ 1.5 1344₄ 5 1₈ 2.5 1344₄ 2.5`m 1.5`m 4`m 1.5`m å ∫ 1 1 1₂

0

6

"√('3 )√¤ +(√-1)Ω¤ ='4=2이므로

'3 sin x-cos x=2 { sinx- cosx}

'3 sin x-cos x=2 {sin x cos -cosxsin }

'3 sin x-cos x=2 sin {x- }

따라서 함수 y='3 sinx-cosx+2는 x- = p, 즉 x= p일 때 최솟값 0을 갖고, x- = , 즉 x= p일 때 최댓값 4를 갖는다. ∴ a+b= p+ p= p ④

0

7

삼각형 ABP에서 ∠A=a라 하면 BP”=2 sin a, AP”=2cosa이므로 2AP”+BP”=4cosa+2sina

2AP”+BP”=2'5 { cosa+ sina}

2AP”+BP”=2'5 sin(a+b)

2AP”+BP”={단, cos b= , sinb= }

따라서 2AP”+BP”의 최댓값은 2'ß5이다. ⑤

0

8

< < 이고, tan =2이므로 cos = , sin = sinx=2sin cos sinx=2¥ ¥1531 =14₅ '5 2 153 '5 x 1₂ x 1₂ 2 153 '5 x 1₂ 1 153 '5 x 1₂ x 1₂ p 1₂ x 1₂ p 1₄ 2'5 13443₅ '5 12₅ '5 12₅ 2'5 13443₅ A B 2 P å 7 1 1₃ 2 1₃ 5 1₃ 2 1₃ p 1₂ p 1₆ 5 1₃ 3 1₂ p 1₆ p 1₆ p 1₆ p 1₆ 1 1₂ '3 12₂