이때, F'(0)=1, G'(0)=-4, H'(0)=1이므로
(주어진 식)= =2 2
15
연속함수 y=f(x)의 그래프가 원점에 대하여 대칭이므로 f(0)=0, f(1)=1, f(-1)=-1임을 알 수 있다.`f(x)= :!≈ ±⁄ f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)= f(x+1)
∴ f(x+1)= `f'(x)
∴ p¤:)1 xf(x+1)dx=p¤ :)1 x¥ `f'(x)dx
∴ p¤:)1 xf(x+1)dx=2p:)1 xf '(x)dx
∴ p¤:)1 xf(x+1)dx=2p[[xf(x)]1)-:)1 f(x)dx]
∴ p¤:)1 xf(x+1)dx=2p[ f(1)-:)1 f(x)dx]
∴ p¤:)1 xf(x+1)dx=2p-2p:)1 f(x)dx
한편, f(x)= :!≈ ±⁄ f(t)dt의 양변에 x=-1을 대입 한 식 f(-1)= :!0 f(t)dt에서 f(-1)=-1이므로
-1=- :)1 f(t)dt
∴:)1 f(t)dt=
∴ p¤:)1 xf(x+1)dx=2p-2p:)1 f(x)dx 12p
1p2 1p2 1p2
1p2 1p2
1p2 1p2
11551_42_1 F'(0)_{-G'(0)}
1111111142H'(0)_1 ∴ p¤:)1 xf(x+1)dx=2p-2p¥
∴ p¤:)1 xf(x+1)dx=2(p-2) ①
16
부분적분법에 의하여:)1 f(x)g'(x)dx=[ f(x)g(x)]1)-:)1 f'(x)g(x)dx :)1 f(x)g'(x)dx=f(1)g(1)-f(0)g(0)
-:)1 f'(x)g(x)dx 주어진 조건에서
`g(1)=1, g(0)=0, :)1 f(x)g'(x)dx=
이므로 위의 식에 대입하면
=f(1)-:)1 f'(x)g(x)dx
∴ f(1)= +:)1 f'(x)g(x)dx
∴ f(1)= +:)1 dx …… ㉠ 이때, :)1 dx에서 1+x‹ =t로 치환하면
=3x¤ 이고
x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=2이므로
:)1 dx=:!2 ¥;3!; dt= [- ]2!
:)1 dx= `{-;2!;+1}=
따라서 ㉠에 대입하면
f(1)= + =1 ④
13 116 116
116 113
11t 113 1t¤1
111233(1+x‹ )¤x¤
124dxdt
111233(1+x‹ )¤x¤
111233(1+x‹ )¤x¤
116 116 116
116 1p2
77
Ⅳ-2. 정적분`⑴
미적분Ⅱ
Ⅳ-2. 정적분`⑴
내신・모의고사대비 TEST여 대칭이고
ㄷ.g{- }=g(0)=g { }=0
ㄷ.이므로, 평균값 정리에 의해 g'(c)=0인 실수 c가 ㄷ.구간 {- , 0}에서 적어도 하나 존재하고
ㄷ.구간 {0, }에서도 적어도 하나 존재한다.
따라서 g'(c)=0인 실수 c가 열린 구간 {- , } 에서 적어도 두 개 존재한다. (참)
따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤
18
조건 ㈎, ㈐에 의하여 구간 [0, 1)에서 f ''(x)=e≈ ⁄ f'(x)=e≈ +C¡=e≈ (∵ f'(0)=1) f ''(x)=e≈ ⁄ f(x)=e≈ +C™=e≈ (∵ f(0)=1) 임을 알 수 있다. 이때, 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에 서 미분가능하므로 x=1에서 연속이면서 미분가능하다.따라서
f(1)=e …… ㉠
f '(1)=e …… ㉡
이다. 한편, 조건 ㈏에 의해 f'(x)는 구간 (0, 2)에서 증 가하는 함수이므로 ㉡에 의해 구간 [1,2)에서
f '(x)æf'(1)=e …… ㉢
따라서 구간 [1, t]에서 ㉢의 양변을 적분하면 (단, 1<t…2) 1p2 1p2 x y
O C¡
C™ 2p -2p
1p2 1p2
1p2 1p2
미적분Ⅱ
Ⅳ-2. 정적분`⑴
내신・모의고사대비 TEST17
g(x)= :-;2“;/ cosx¥ f(t)dt g(x)= [cos x:-;2“;/ f(t)dt]
g(x)={ cosx}:
-;2“;/ f(t)dt
g(x)= +cos x¥[ :
-;2“;/ f(t)dt]
g(x)=-sinx:
-;2“;/ f(t)dt+cosx¥ f(x) 한편, 다항함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여
f(-x)=-f(x)
를 만족하므로, f(x)는 홀함수이다.
또, f(-x)=-f(x)에 x=0을 대입해 보면 f(0)=-f(0) ∴ f(0)=0
ㄱ.g(0)=-sin0:
-0 f(t)dt+cos0¥ f(0)
ㄱ.g(0)=f(0)=0 (참) ㄴ.g(-x)=-sin(-x):
--xf(t)dt
+cos(-x)¥f(-x) ㄴ.g(-x)=sinx{:
--xf(t)dt+:_/? f(t)dt}
-cosx¥ f(x) ㄴ.
{
∵ f(x)가 홀함수이므로:_/? f(t)dt=0이다. 따라 ㄴ. 서 식에0이 있다고 생각하여 이것으로 바꾸어
}
ㄴ. 써도 무방하다.
ㄴ.g(-x)=sinx:
-x f(t)dt-cosx¥ f(x)
ㄴ.g(-x)=-g(x) ㄴ.∴g(-x)=-g(x) (참)
ㄷ.g(x)의 식으로부터, g(x)는 모든 실수 x에서 미분 가능한 함수, 즉 연속인 함수임을 알 수 있다.
ㄷ.또, ㄱ, ㄴ에 의해 y=g(x)의 그래프는 원점에 대하
1p2 1p2
1p2 1p2
123dxd 123dxd
123dxd 123dxd
:!t f'(x)dxæ:!t edx HjK [f(x)]t!æ[ex]t!
:!t f'(x)dxæ:!t edx HjK f(t)-f(1)æet-e :!t f'(x)dxæ:!t edx HjK f(t)æet (∵ ㉠)
∴ f(x)æex (단, 1…x<2)
∴:)2 f(x)dx=:)1 f(x)dx+:!2 f(x)dx
∴:)2 f(x)dxæ:)1 e≈ dx+:!2 exdx
∴:)2 f(x)dx=[e≈ ]1)+[;2!;ex¤ ]2!
∴:)2 f(x)dx=(e-1)+{2e-;2!;e}=;2%;e-1
따라서:)2 f(x)dxæ;2%;e-1이므로, 최솟값은 ;2%; e-1이다.
③
19
조건 ㈏의 식에서 :);2“;f(t)dt=k(k는 상수) 로 놓으면,g(x)=kcosx+3이므로 조건 ㈎의 식은:
;2“;/ f(t)dt=(kcosx+3+a)sinx-2 yy㉠ 이때, ㉠에 x=0을 대입하면
:
;2“;
0 f(t)dt=(kcos0+3+a)sin0-2 -k=(k¥1+3+a)¥0-2
-k=-2 ∴ k=2 또, ㉠에 x= 를 대입하면
:
;2“;
;2“;f(t)dt={kcos +3+a}sin;2“;-2 0=(k¥0+3+a)¥1-2
0=3+a-2
∴ a=-1
따라서 k=2, a=-1을 ㉠에 대입하면 1p2
1p2
:
;2“;/ f(t)dt=(2cosx+2)sinx-2 이므로, 양변을 x에 대하여 미분하면
f(x)=-2 sinxsinx+(2cosx+2)cosx f(x)=-2 sin¤ x+2cos¤ x+2cosx
∴ f(0)=-2sin¤ 0+2cos¤ 0+2cos0
∴ f(0)=0+2+2=4
④
20
> :Ab f(x)dx를 정리하면{ f(b)+f(a)}(b-a)>:Ab f(x)dx yy ㉠ 이는 a부터 b까지의 구간에서의 f(x)의 정적분의 값이 높이가 (b-a)이고 윗변과 아랫변이 각각 f(a), f(b) 인 사다리꼴의 넓이보다 작다는 것을 의미한다.
따라서 f(x)의 그래프는 아래로 볼록한 모양이다.
ㄱ. (반례) y=(x-1)¤ 의 그래프를 구간 [0, 1]에서 생각 해 보자.
∴ f { } > f { } (거짓) 1nk 1n1
¡n k=1
1nk 1n1
n-1¡
k=0
O
…
… x
-n1 1 -n2 y
>
O
…
… x
-n1 1 -n2 y
O x
y y=f{x}
f{b}
f{a}
a b
112
1155b-a1 f(b)+f(a)
1111142
79
Ⅳ-2. 정적분`⑴
미적분Ⅱ
Ⅳ-2. 정적분`⑴
내신・모의고사대비 TESTㄴ. 아래로 볼록한 모양이므로 항상 성립한다. (참) ㄷ. (반례) f(x)=e≈ 에서 항상 f(x)>0이지만
f '(x)=e≈ =0인 실수 x는 존재하지 않는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.
[참고]㉠에서 b 대신 x를 대입하고 정리하면 { f(x)+f(a)}(x-a)>:A/ f(x)dx 양변을 x에 대하여 미분하면
{ f(x)+f(a)+f '(x)(x-a)}>f(x)
∴ f(a)+f '(x)(x-a)>f(x) 양변을 x에 대하여 다시 미분하면
f "(x)(x-a)+f '(x)>f '(x)
∴ f "(x)(x-a)>0 그런데 조건에서 x>a이므로
f "(x)>0
x는 임의의 실수이고 x보다 작은 임의의 상수 a가 존재 하므로 위 식은 모든 x에 대하여 성립한다.
즉, y=f(x)의 그래프는 아래로 볼록한 모양이다.
② 112
112
미적분Ⅱ
Ⅳ-2. 정적분`⑴
내신・모의고사대비 TEST81
Ⅳ-2. 정적분`⑵
미적분Ⅱ
Ⅳ-2. 정적분`⑵
내신・모의고사대비 TEST01
:)/ f(t)dt=cos2x+ax¤ +a yy ㉠㉠에 x=0을 대입하면
0=cos0+a¥0¤ +a, a+1=0 ∴ a=-1 즉, :)/ f(t)dt=cos2x-x¤ -1이고 이 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f (x)=-2 sin2x-2x
∴ f{ }=-2 sin p-2¥;2“;=-p
②
02
를 + 의 꼴로 변형하자.
+ 를 통분하면
=
이므로 이 식이 와 같기 위해서는
a+b=1, 2a+b=0을 만족해야 한다.
∴ a=-1, b=2
1233111155(x+1)(x+2)x
(a+b)x+(2a+b) 12111111234(x+1)(x+2) a(x+2)+b(x+1)
12111111234(x+1)(x+2) 1145x+2b 1145x+1a
1145x+2b 1145x+1a 121111234(x+1)(x+2)x
1p2
∴:)1 dx
∴=:)1{ + } dx
∴=[-ln|x+1|+2ln|x+2|]1)
∴=-ln2+2ln3+ln1-2ln2
∴=2 ln3-3ln2=ln ①
03
(주어진 식)= e;nK;¥=:)1 e≈ dx
=[e≈ ]1)=e-1 e-1
04
주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=('ß2 sinx-1)cosxf '(x)=0에서
sinx= 또는 cosx=0
∴ x= 또는 x= 또는 x= p
한편, f(x)=:)/ ('ß2 sin t-1)cos t dt 한편, f(x)=:)/ ('ß2 sin t cos t-cos t) dt
134 1p2
1p4 121
'ß2
1n1
¡n
lim k=1 nڦ
19 18 1145x+22 1145x+1-1 1233111155(x+1)(x+2)x
Ⅳ- 2. 정적분``⑵ 본문 483~488쪽
01② 02① 03 e-1
04(극댓값)= , (극솟값)=-05④ 06③ 07⑤ 08① 09② 10① 11② 12 17 13 9 14③ 15⑤ 16③ 17⑤ 18 32 19① 20④ 21 147 22④
12'ß24 'ß2-2
112352
f '(x) f(x)
x (0) y p
14 y p
12 y 3p
14 y (p)
-↘ 0 극소
+
↗ 0 극대
-↘ 0 극소
+
↗
한편, f(x)=:)/{ sin2t-cost} dt 한편, f(x)=[- cos2t-sint]/) 한편, f(x)=- cos2x-sinx+
⁄x= 일 때, 극댓값을 가지므로 1111111152h lim
112352 1'ß2 1224 'ß2-2
1 1112233552
12'ß24 112352 12'ß24
㉢에 x=0을 대입하면
a=b-1 ∴ a-b=-1 yy㉣
㉠, ㉣을 연립하여 풀면 a=1, b=2
∴ f(x)=x+2
∴ f(2)=4
[다른 풀이] f(x), g(x)를 직접 식에 대입하면 ae≈ +b=:)/ (at+b)e† dt-xe≈ +3 ae≈ +b=[(at+b)e† ]/)-:)/ ae† dt-xe≈ +3
ae≈ +b=(ax+b)e≈ -b-[ae† ]/)-xe≈ +3 ae≈ +b=(ax+b)e≈ -b-ae≈ +a-xe≈ +3 ae≈ +b=(ax-a-x+b)e≈ +a-b+3
위 식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면 a=ax-a-x+b, b=a-b+3
∴ a=1, b=2
∴ f(2)=1¥2+2
=4 ⑤
08
g(a)=:Aa+;2#;{x+ } dx라 하고 양변을 a에 대해 미분하면g'(a)=ªa+ + º-{a+ }
= +
-g'(a)=0에서
+ -1=0
1a 1123313
a+12 132
11a 1123313
a+12 132
11a 1123313
a+12 132
11x
(2a+3)a+2a-(2a+3)=0 2a¤ +3a-2=0, (a+2)(2a-1)=0
∴ a= (∵ a>0)
a>0이므로 a= 에서 극소이면서 최소이다.
따라서:aa+;2#;f(x) dx가 최소가 되게 하는 양수 a의 값은
이다. ①