함수 y=e≈ 의 그래프와 x축, y축 및 직선 x=1로 둘러싸 인 영역의 넓이를 S라 하면
S=:)1 e≈ dx
S=[e≈ ]1)=e-1
이때, 넓이 S가 직선 y=ax에 의하여 이등분되므로
¥1¥a= (e-1)
∴ a=e-1 ③
0 4 물의 높이가 y일 때의 수면의 반지름의 길이는 'ßy 이므로 수면의 넓이는 py이다.
따라서 t초일 때의 물의 부피를 V(t)라 하면 V(t)=:0h(t)py dy
112 112
x y
(1, a) y=e≈
y=ax
O 1
1 112
112 112
112 112
124dtdx 미적분Ⅱ
Ⅳ-3. 정적분의 활용
내신・모의고사대비 TESTⅣ- 3. 정적분의 활용 본문 489~495쪽
01④ 02① 03③ 04 80 05① 06⑤ 07② 08 2 09 - + p
10 e¤ -1 11① 12② 13 ln 2
14 3p-4 15 16
8p-17 96 18④ 19③ 20③ 21④ 22⑤ 23①
12323 12158
113 154 112
V(t)=p[ y¤ ])h(t)
V(t)= p{h(t)}¤
V'(t)=ph(t)h'(t)=p(3t¤ +7)(t‹ +7t)이므로 V'(1)=p¥10¥8=80p
∴ a=80 80
05
주어진 두 넓이가 서로 같으므로 :)e - 1 {ln(x+1)-a}dx=0 yy㉠ 이때, x+1=t로 치환하면x=0일 때 t=1, x=e-1일 때 t=e
이고 =1이므로 ㉠은
:!e (lnt-a)dt=0 yy㉡ 으로 변형된다. 부분적분법에 의해
: lntdt=tlnt-t 이므로 ㉡에 적용하면
:!e (lnt-a)dt=[tlnt-t-at]e!
:!e (lnt-a)dt=-ae-(-1-a)=0
에서 a(e-1)=1 ∴a=
①
06
주어진 도형을 x=k인 평면으로 잘랐을 때 단 면인 정삼각형의 밑변의 길이는 k¤ 이므로 정삼각형의 넓 이는(k¤ )¤ =134'34 k›
134'34
11 11e-1122 124dxdt
112
112 따라서 이를 -1에서 1까지 정적분하여 구하고자 하는 입
체도형의 부피를 구하면
:_1! x› dx=2:)1 x› dx=2[ xfi]1)=
⑤
07
y에 관한 식으로 정리하면 y¤ -6xy+13x¤ =4(y-3x)¤ =4-4x¤
∴ y=3x—2"1ç-≈xΩ¤
따라서 이 도형은 y=3x+2"1ç-≈xΩ¤ , y=3x-2"1ç-≈xΩ¤
의 두 부분으로 구성되고 이를 각각 f(x), g(x)라 하면 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 교점은 (1, 3), (-1, -3)이다.
따라서 구하는 넓이는 :_1!|f(x)-g(x)|dx
=:_1!|(3x+2"1ç-≈xΩ¤ )-(3x-2"1ç-≈xΩ¤ )| dx
=4:_1!"1ç-≈xΩ¤ dx
이때, x=sinh {- …h… }로 치환하면
=cosh이고
x=-1일 때 h=- , x=1일 때 h= 이므로
4:-;2“;;2“;"1ç-≈s√in¤ h ¥cos h dh=4:
-;2“;
;2“;cos¤ h dh
=4:-;2“;;2“; dh
=4[ h+ sin2h]
-;2“;
;2“;
=4_p=2p ②
12 114 112
1+cos2h 1111342
1p2 1p2
124dxdh
1p2 1p2
1'3 1225510 134'320
134'34 134'34
93
Ⅳ-3. 정적분의 활용
미적분Ⅱ
Ⅳ-3. 정적분의 활용
내신・모의고사대비 TEST0 8 h(x)가 최대일 때의 그래프와 최소일 때의 그
0 {;4“;…x<;2“;}
g(x)=cos x {;2“;…x…;4#;p}
f(x)+g(x)=sin x+cos x
{;4“;…x<;2“;}
f(x)=sin x {;2“;…x…;4#;p}
( { 9 0 {;4“;…x<;2“;}
1 {;2“;…x…;4#;p}
1 {;4“;…x<;2“;}
0 {;2“;…x…;4#;p}
(sin x-cos x)dx
=[-cos x+sin x];2“;
;2!;p('2)¤ +:)1 {(x-1)-(-"√1-x¤ `)}dx
=p+:)1 (x-1)dx+:)1 "√1-x¤ `dx
이 직선이 점 (0, 1)을 지나므로 1-ln a= (0-a)
∴ ln a=2
∴ a=e¤
따라서 접선의 방정식은 y-ln e¤
= (x-e¤ )
∴ y= x+1
이 직선이 x축과 만나는 점을 A라고 하면 그 좌표는 (-e¤ , 0)이다. 이 접선이 주어진 곡선과 접하는 점을 B(e¤ , 2), 점 B에서 x축에 내린 수선의 발을 C(e¤ , 0)이 라 하면 구하는 넓이는
(△ABC의 넓이)-:!e¤ln x dx
이다. 이때, :!e¤ln x dx에서 u=ln x, v'=1로 놓으면
u'= , v=x이므로
:!e¤ln x dx=[x ln x]!-:!e¤ e¤ ¥x dx
=2e¤ -[x]¡e¤=2e¤ -(e¤ -1)
=e¤ -1
따라서 구하는 넓이는
¥2e¤ ¥2-(e¤ -1)
=e¤ -1
e¤ -1
11
f(x)의 부정적분 중 하나를 F(x)라 하면 a=:)p f(x)dx=F(p)-F(0)112
1x1 1x1
13e¤1
13e¤1 1 x
y
y=ln x
A O
C B
e¤
1 1a1
b=-:p2p¤f(x)dx=F(p)-F(2p¤ ) 한편,
:)p xf(2x¤ )dx= :)p 4xf(2x¤ )dx
= [F(2x¤ )]p)
= {F(2p¤ )-F(0)}
F(2p¤ )-F(0)=a-b이므로
:)p xf(2x¤ )dx= (a-b) ①
12
n=3일 때, A(8, 0), B(8, 8), C(0, 8)이다.이때, 선분 BC와 곡선 y=2≈ 의 교점을 E라 하면 E(3, 8) 이다.
곡선 y=2≈ 과 직선 x=3 및 x축, y축으로 둘러싸인 부분 의 넓이가
:)3 2≈ dx=[ ]3)= - =
이므로 직사각형 COE'E에서 곡선 y=2≈ 과 직선 y=8 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이는
3_8- =24- 7 11ln2 11ln27
11ln27 11ln21 11ln28 11ln22≈
x y
O
y=2x
A{8,`0}
E'{3,`0}
1 1
C{0,`8} E{3,`8} B{8,`8}
D y=log™x 11
14 114 114 114
95
Ⅳ-3. 정적분의 활용
미적분Ⅱ
Ⅳ-3. 정적분의 활용
내신・모의고사대비 TEST∴ (색칠된 부분의 넓이)=8_8-2{24- }
C{0,`8} E{3,`8} B{8,`8}
D y=log™x
㉡ PQ”="√4-x¤ , PR”=(2-x)tan 60˘='3(2-x)이다.
또, ∠QPR=60˘이다.
∴ △PQR= ¥PQ”¥PR”¥sin 60˘
∴ △PQR= ¥"√4-x¤ ¥'3(2-x)¥
∴ △PQR= (2-x)"√4-x¤
구하는 부피는
2:)2 (2-x)"√4-x¤ dx
=3:)2"√4-x¤ dx- :)2 x"√4-x¤ dx
= 3 ¥
¥p¥2¤ - :$0{- 't } dt
=3p- :)4 't dt
=3p- [ t't]4)
=3p- ¥ ¥8=3p-4
3p-4
15
함수 y=x¤ -a의 그래프는 다음과 같고, 두 x 절편은 각각 -'a, 'a이다.따라서 높이가 a인 평면으로 자른 단면의 넓이 S(a)는 S(a)=:
-'a
'a(-x¤ +a)dx
y=x¤ -a
-'a 'a
O x
y
-a 123
134 123 134 134
112 132
114 4-x¤ =t로 치환하면
;dD[T;=-2x 3_(반지름의 길이가
2인 사분원의 넓이) 132 134
134
12'32 112
112 S(a)=[- x‹ +ax]-'a'a = a;2#;
그러므로 구하는 입체도형의 부피 V는
V=:)1 S(a)da=:)1 a;2#;da= [ a;2%;]1)=
16
지름 AB와 평행하고(또는 지름 CD와 수직이 고) 밑면의 중심으로부터 x만큼 떨어진 평면으로 주어진 입체를 자른 단면은 다음과 같다.이때, 단면의 넓이 S(x)는
S(x)=2"√4-x¤ ¥2-2¥ ¥"√4-x¤ ¥"√4-x¤
S(x)=4"√4-x¤ -(4-x¤ ) 따라서 구하는 부피는
2:)2 S(x)dx=2:)2 {4"√4-x¤ -(4-x¤ )}dx 2:)2 S(x)dx=8:)2"√4-x¤ dx-2:)2 (4-x¤ )dx
2:)2 S(x)dx=8¥ ¥2¥2¥p-2[4x- x‹ ]2)
2:)2 S(x)dx=8p-
8p-17
정적분과 미분의 관계에 의해13323 132
1333
113 114
8_(반지름의 길이가 2인 사분원의 넓이) 112
"√4-x¤
"√4-x¤
"√4-x¤ "√4-x¤
45˘ 45˘
2
13158 18 13315 125
143 143
143 113
97
Ⅳ-3. 정적분의 활용
미적분Ⅱ
Ⅳ-3. 정적분의 활용
내신・모의고사대비 TESTf '(x)= :)/` (a-t)e† dt=(a-x)e≈
이때, f'(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f'(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 f(x)는 x=a에서 극대이 고, 최댓값을 갖는다.
부분적분법에 의하여
f(x)=:)/` (a-t)e† dt f(x)=[(a-t)e† ]/)`-:)/` (-e† )dt
f(x)=[(a-t)e† ]/)`+[e† ]/)`
f(x)=(a-x)e≈ -a+e≈ -1 f(x)=(a+1-x)e≈ -a-1
이고, 함수 f(x)의 최댓값이 x=a일 때 32이므로 f(a)=eå -a-1=32
∴ eå -a=33 …… ㉠
한편, 곡선 y=3e≈ 과 직선 y=3이 만나는 점의 x좌표는 3e≈ =3 ∴ x=0
따라서 곡선 y=3e≈ 과 두 직선 x=a, y=3으로 둘러싸인 부분의 넓이는
:)a (3e≈ -3)dx
=[3e≈ -3x]a)
=(3eå -3a)-(3-0)
=3(eå -a)-3
=3¥33-3 (∵ ㉠)
=96 96
18
ㄱ. 0<x<1 HjK 0<x¤ <1이므로 ㄱ. x¤ sin <sin x¤ …… ㉠142 14x¤2
y
y=3e≈
x=a
y=3
x O a
3
: uv'=uv-: u'v
133dxd ㄱ.이고, 0< <;2!;< 이므로
ㄱ. sin <cos …… ㉡
ㄱ.㉠, ㉡에서 x¤ sin <sin <cos (참)
ㄴ. f(x)=sin 에 대하여
ㄴ. f '(x)=xcos , f''(x)=cos -x¤ sin ㄴ. 이때, 구간 (0, 1)에서 f''(x)>0 (∵ ㄱ)이므로 ㄴ. 곡선 y=f(x)는 아래로 볼록하다. (거짓)
ㄷ. ㄴ에 의하여 구간 (0, 1)에서 곡선 y=sin 은 아래 ㄷ.로 볼록하므로 그 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.
ㄷ.이때, 위의 그림에서 색칠한 삼각형의 넓이는 ㄷ.;2!;_1_sin = sin 이므로
ㄷ. :)1 f(x)dx… sin (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④
19
A=:)k xsinxdx B=:K`;2“;{;2“;-x sin x}dx=:K`;2“;;2“; dx-:K`
;2“;x sinxdx 112
112 112 112 112
x y
sin
1 O
2 1
y=sin2x¤
14x¤2 14x¤2 14x¤2
14x¤2 14x¤2
14x¤2 14x¤2
14x¤2 14x¤2 14x¤2
1p4 14x¤2
미적분Ⅱ
Ⅳ-3. 정적분의 활용
내신・모의고사대비 TEST이때, A=B이므로
:)k xsinxdx=:K`;2“;;2“; dx-:K`
;2“;x sinxdx
:)k xsinxdx+:K`;2“;x sinxdx=:K`;2“;;2“; dx
∴:)`;2“;x sinxdx=:K`;2“;;2“; dx
위의 식의 좌변에서 u=x,v'=sinx라 하면 u'=1, v=-cosx
이므로, 부분적분법에 의하여 (좌변)=[-xcosx]
0
;2“;-:)`;2“;(-cosx)dx
(좌변)=:)`;2“;cosxdx (좌변)=[sinx]
0
;2“;=1
또, (우변)=[;2“;x];2“;K = -;2“;k 따라서1= -;2“;k이므로
;2“;k= -1 ∴k=
-③