2020 풍산자 미적분 답지 정답

미적분

002

⑴ _{n의 값이 한없이 커질 때, n-1n =1-1/n의 값은 1} 에 한없이 가까워지므로 수열 _{^{ n-1n ^}은 수렴하고,} 그 극한값은 _1이다. .t3`limn=inf`& n-1_{n =1} ⑵ n의 값이 한없이 커질 때, -2n+1의 값은 음수이 면서 그 절댓값이 한없이 커지므로 수열 _{-2n+1} 은 음의 무한대로 발산한다. .t3`limn=inf`&(-2n+1)=-inf~(극한값은 없다.) ⑶ _{n의 값이 한없이 커질 때, (-1/2)^^n의 값은 -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, .c3} 과 같이 _{0에 한없이 가까워지므로 수열 ^{(-1/2)^^n^}은} 수렴하고_{, 그 극한값은 0이다.} .t3`limn=inf`&(-1/2)^^n=0 ⑷ _{n의 값이 한없이 커질 때, 2\(-1)^n의 값은 -2, 2, -2, 2, .c3} 와 같이 일정한 수에 수렴하지도 않고_{, 양의 무한대} 또는 음의 무한대로 발산하지도 않으므로 진동한다_. 따라서 이 수열은 발산하므로 극한값은 없다_. 답 ⑴ 수렴_{, 극한값&: 1 ⑵ 발산} ⑶ 수렴_{, 극한값&: 0 ⑷ 발산}

004

lim

n=inf`& (b_n)&^2<sub>2a_n&-1 =</sub>limn=inf`&b_n&\lim_{2`limn=inf`&a_n&-1 =}n=inf`&b_n _{2\1-1 =9}3\3

답 9

006

⑴ _{n^3으로 분모, 분자를 각각 나누면} (주어진 식) =limn=inf`& 3+;4/@n^2 :-;5/@n^3 : -1+2/n-;4/@n^3 : = 3+0-0<sub>-1+0-0 =-3</sub> ⑵ <sub>n^3으로 분모, 분자를 각각 나누면</sub> (주어진 식) =limn=inf`& 5/n-;6/@n^3 : 2-1/n+;1/@n^3 : = 0-0_{2-0+0 =0} ⑶ n으로 분모, 분자를 각각 나누면 (주어진 식) =limn=inf`&-n+1+1/n 1 + 1 /n = -inf~+1+0<sub>1+0</sub> =-inf~ ⑷ n으로 분모, 분자를 각각 나누면 (주어진 식) =limn=inf`& 6 rrT1+;3/@n^2 :+1 =_{rt1+0&+1 =3}6 답 ⑴ -3 ⑵ 0 ⑶ -inf~ ⑷ 3

008

⑴ 1+2+3+.c3+n= n(n+1)₂ 이므로 (주어진 식)=limn=inf`& n^2&+n_{2n^2 =}1/2 ⑵ (주어진 식)

=limn=inf`( 2^2&-1<sub>2^2 \</sub>3^2&-1<sub>3^2 \</sub>4^2&-1<sub>4^2 \.c3\</sub>n^2&-1<sub>n^2 )</sub> =limn=inf`^{ 1\3_{2\2 \}2\4_{3\3 \}3\5_{4\4 \.c3}

\ (n-1)(n+1)_n\n ^} =limn=inf`(1/2\ n+1_{n )=}1/2

⑶ _{(주어진 식) =limn=inf`&~log` n+3n+2 =limn=inf`&~log`}1+3/n 1+2/n

=log`1=0

답 ⑴ _{1/2 ⑵ 1/2 ⑶ 0}

010

⑴ (주어진 식)

=limn=inf`& (rtn+1&-rtn-1~)(rtn+1&+rtn-1~)<sub>rtn+1&+rtn-1</sub> =limn=inf`&_{rtn+1&~+rtn-1 =0}2

수열의 극한

I

⑵ _{(주어진 식)}

=limn=inf`& (rtn^2+2n&-rtn^2-2n&~)(rtn^2+2n&+rtn^2-2n&~)<sub>rtn^2+2n&+rtn^2-2n</sub> =limn=inf`&_{rtn^2+2n&+rtn^2-2n}4n

=limn=inf`& 4

rroot1+2/n'+rroot1-2/n'=2 ⑶ _{(주어진 식)}

=limn=inf`&<sub>(rtn+1&-rtn&)(rtn+1&+rtn&)</sub>rtn+1&+rtn =limn=inf`&(rtn+1&+rtn~~&)=inf~ ⑷ 최고차항인 n^3으로 묶어내면 (주어진 식) =limn=inf`&n^3(2-;3/@n^2 :+;4/@n^3 :) =inf\2=inf 답 ⑴ _{0 ⑵ 2 ⑶ inf ⑷ inf}

012

lim

n=inf`& an^2&+bn-3<sub>5n+2</sub> 에서 anot=0이면 발산하므로 a=0 (좌변) =limn=inf`& bn-3_{5n+2 =lim}n=inf`&b-3/n

5+2/n =b/5=2 .t3`b=10 .t3`a+b=10 답 ₁₀

014

lim n=inf`&(rtn^2+an&-n)

=limn=inf`& (rtn^2+an&-n)(rtn^2+an&+n)<sub>rtn^2+an&+n</sub> =limn=inf`& (n^2&+an)-n^2_rtn^2+an&+n

=limn=inf`&<sub>rtn^2+an&+n</sub>an =limn=inf`& a rrT1+a/n+1 =a/2=8 .t3`a=16 답 ₁₆

016

2n+3 n+5 <a_n<2n+4n+5 에서 lim

n=inf`& 2n+3<sub>n+5 =2, lim</sub>n=inf`& 2n+4_{n+5 =2이므로} lim n=inf`&a_n=2 답 ₂

018

` 1 /n+3<a_n<`1n/+1의 각 변에 n을 곱하면 ` n /n+3<na_n<`nn/+1

이때 _{n /limn=inf``&n+3=1, limn /n=inf``&n+1=1이므로} lim n=inf`&na_n=1 답 1

019

⑴ 수열 _{{1+(-1)^n}은 0, 2, 0, 2, .c3이므로 발산(진} 동)한다.

⑵ limn=inf`&(n-n^2)=limn=inf`&n^2(1/n&-1)

=inf\(-1)=-inf`(발산) ⑶ limn=inf`& n^2_{n+1 =lim}n=inf`& n

1+1/n=inf`(발산)

답 ⑴ 발산 _{⑵ 발산 ⑶ 발산}

020

lim

n=inf`&a_n=limn=inf`&(3/n&-2)=-2 lim

n=inf`&b_n=limn=inf`&(3-`2n/+1)=3

.t3`limn=inf`&a_n(3a_n&-2b_n) =limn=inf`&a_n&\(3`limn=inf`&a_n&-2`limn=inf`&b_n)

=-2{3\(-2)-2\3}=24

답 ₂₄

021

lim

n=inf`& (n+3)(n+4)-n^2<sub>(n+1)(n+2)-n^2 =lim</sub>n=inf`& (n^2&+7n+12)-n^2_{(n^2&+3n+2)-n^2} =limn=inf`& 7n+12<sub>3n+2</sub> =limn=inf`&7+12/n 3 + 2 /n 7/=3 답 _7/3

022

[1단계] limn=inf`& an^2&-bn+1_6n+2 에서 anot=0이면 발산하므로 a=0

.t3`limn=inf`& an^2&-bn+1_6n+2 =limn=inf`& -bn+1<sub>6n+2</sub> =limn=inf`&-b+1/n

6 + 2 /n

b /-= 6

[2단계] _{limn=inf`& an^2&-bn+16n+2} 5/=3에서 -_b/6=5/3

.t3`b=-10 .t3`a+b=-10 답 -10

023

lim n=inf`&(rtn^2+an&-rtn^2-an&~)

=limn=inf`& (rtn^2+an&-rtn^2-an&~)(rtn^2+an&+rtn^2-an&~)<sub>rtn^2+an&+rtn^2-an</sub> =limn=inf`&_{rtn^2+an&+rtn^2-an}2an

=limn=inf`& 2a rrT1+a/n+rrT1-a/n = 2a<sub>1+1 =a</sub> .t3`a=4 답 ₄

024

9n^2&+1

n^2&+3 <2n+4 <na_n 9n^2&+10n^2&+3 에서 (2n+4)(9n^2&+1)

n(n^2&+3) <a_n< (2n+4)(9n^2&+10)n(n^2&+3) .t3`limn=inf`& (2n+4)(9n^2&+1)_n(n^2&+3) -<limn=inf`&a_n

-<limn=inf`& (2n+4)(9n^2&+10)<sub>n(n^2&+3)</sub> 이때 <sub>limn=inf`& (2n+4)(9n^2&+1)</sub>

n(n^2&+3) =2\9/1`=18이고 lim

n=inf`& (2n+4)(9n^2&+10)<sub>n(n^2&+3)</sub> =2\9/1`=18이므로 lim n=inf`&a_n=18 답 18

026

⑴ <sub>r=2/3에서 -1<r-<1이므로 limn=inf`&(2/3)^^n=0</sub> .t3`수렴 ⑵ <sub>r=-3/2에서 r<-1이므로 limn=inf`&(-3/2)^^n은 진동</sub> .t3`발산 답 ⑴ 수렴 ⑵ 발산

028

~⑴ 5^n으로 분모, 분자를 각각 나누면 (주어진 식) =limn=inf`&^{(3/5)^^n&+(4/5)^^n^}

=0+0=0 ⑵ _{3^n으로 분모, 분자를 각각 나누면} (주어진 식) =limn=inf`& 12 5\(2/3)^^n&-1 = 12<sub>0-1 =-12</sub> ⑶ <sub>6^n으로 묶어내면</sub> (주어진 식) =limn=inf`&6^n^{1-(5/6)^^n^} =inf\1=inf 답 ⑴ _{0 ⑵ -12 ⑶ inf}

030

 |r|<1일 때, limn=inf`&r^n=0이므로 limn=inf`& r^n_{1+r^n =1+0 =0}0  r=1일 때, limn=inf`&r^n=1이므로 limn=inf`& r^n_{1+r^n =1+1 =}1 1/2  |r|>1일 때, lim<sub>n=inf`& 1r^n =0이므로</sub> limn=inf`& r^n_{1+r^n =lim}n=inf`& 1

;1/@r^n :+1= 10+1 =1 답 |r|<1일 때 0, r=1일 때 1/2, |r|>1일 때 1

032

⑴ 공비가 x+3이므로 수렴하려면 -1<x+3-<1 .t3`-4<x-<-2

⑵ 첫째항이 _{x+2, 공비가 3x-2이므로 수렴하려면} x+2=0 또는 ~-1<3x-2-<1 x+2=0 또는 ~1<3x-<3 .t3`x=-2 또는 ~1/3<x-<1 답 ⑴ _-4<x-<-2 ⑵ x=-2 또는 1/3<x-<1

033

`f(x)를 x-1로 나눈 나머지는 `f(1)=2^n&+3^n&+1=a_n `f(x)를 x-2로 나눈 나머지는 `f(2)=4\2^n&+2\3^n&+1=b_n .t3`limn=inf` a_n_{b_n =lim}n=inf`<sub>4\2^n&+2\3^n&+1</sub>2^n&+3^n&+1 =limn=inf` (2/3)^^n&+1+(1/3)^^n

4\(2/3)^^n&+2\1+(1/3)^^n _1/=2

답_{1/ `2}

034

~f~(-3) =limn=inf`& (-3)^n+1&+3<sub>(-3)^n&+1</sub> =limn=inf`&-3+3\(-1/3)^^n

1+(-1/3)^^n = -3+0_{1+0 =-3} ~f~(1/3)=limn=inf`&(1/3)^^n+1&+3

(1/3)^^n&+1 =0+3/0+1=3 ~f~(1)=limn=inf`& 1^n+1&+3_{1^n&+1 =1+3}/1+1=2

.t3`~f~(-3)+~f~(1/3)+~f~(1)=-3+3+2=2 답 ₂

035

등비수열 _{^{( 2x-14 )^^n^}의 공비가} 2x-1_{4 이므로} 수렴하려면 -1< 2x-1_{4 -<1에서} -4<2x-1-<4, -3<2x-<5 .t3`-3/2<x-<5/2 따라서 정수 _{x는 -1, 0, 1, 2의 4개이다.} 답 4

036

등비수열 _{{(x^2&-x-1)^n}이 수렴하므로} -1<x^2&-x-1-<1  x^2&-x-1>-1에서 x^2&-x>0, x(x-1)>0 .t3`x<0 또는 ~x>1 ` x^2&-x-1-<1에서 x^2&-x-2-<0, (x+1)(x-2)-<0 .t3`-1-<x-<2 , 에서 -1-<x<0 또는 ~1<x-<2 따라서 정수 x는 ~-1, 2이므로 그 곱은 -1\2=-2 답 -2

037

36^n=(2^2&\3^2)^n=2^2^n&\3^2^n의 양의 약수의 총합은 ~f~(n) =(1+2+2^2&+.c3+2^2^n)(1+3+3^2&+.c3+3^2^n) = 2^2^n+1&-1_{2-1 \}3^2^n+1&-1_3-1 = (2\4^n&-1)(3\9^n&-1)₂ .t3`limn=inf`~ f~(n)_{36^n =lim}n=inf`&

(2\4^n&-1)(3\9^n&-1) 2

36^n

=limn=inf`& (2\4^n&-1)(3\9^n&-1)<sub>2\36^n</sub> =limn=inf`& 6\36^n&-2\4^n&-3\9^n&+1_2\36^n =limn=inf`&6-2\(1/9)^^n&-3\(1₂ /4)^^n&+(1/36)^^n

=6/2=3

답 3

038

a_n+1

a_n =a_n+2a_n+1 이므로 수열 {a_n}은 등비수열이다. 이때 a1=3, a2=15이므로 수열 {a_n}은 첫째항이 3이고 공비가 5이다.

.t3`limn=inf`& -2^n+1&+a_n+1_{2^n&-a_n} =limn=inf`& -2^n+1&+3\5^n<sub>2^n&-3\5^n-1</sub> =limn=inf`-4\(2/5)^^n-1&+15

2\(2/5)^^n-1&-3

= 0+15_{0-3 =-5}

답 _-5

039

[방법 1] _{n=inf`&a_n=x로 놓으면lim}

n=inf`& 2a_n&+3lim <sub>a_n&-1 =</sub>2x+3<sub>x-1 =3</sub> 2x+3=3x-3 .t3`x=6 .t3`limn=inf`&a_n=6

[방법 2] _{2a_n&+3a_n&-1 =b_n으로 치환하면 limn=inf`&b_n=3}

2a_n&+3_{a_n&-1 =b_n을 a_n에 관하여 풀면} 2a_n&+3=a_n&b_n&-b_n, (b_n&-2)a_n=b_n&+3 .t3`a_n= b_n&+3_{b_n&-2}

.t3`limn=inf`&a_n=limn=inf`& b_n&+3_{b_n&-2 =}3+3_{3-2 =6}

답 ₆

040

두 수열 _{{a_n}, {b_n}이 각각 수렴하므로} lim n=inf`a_n=alpha, limn=inf`&b_n=beta라 하면 lim n=inf`&(a_n&+b_n)=alpha+beta=1 …… ㉠ lim n=inf`&(2a_n&-3b_n)=2alpha-3beta=12 …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 _{alpha=3, beta=-2} .t3`limn=inf`& 4a_n_{b_n =}4 alpha/beta= 12_{-2 =-6}

답 ①

041

(n+1)^2<n^2&+4n+2<(n+2)^2이므로 rtn^2+4n+2~의 정수 부분은 n+1이고, 소수 부분은 a_n=rtn^2+4n+2&-(n+1)이다. .t3`limn=inf`&a_n=limn=inf`<sub>rtn^2+4n+2&+(n+1)</sub>2n+1 =`21/+1=1

답 ②

042

모든 자연수 _{n에 대하여 n-<a_n-<n+2가 성립하므로} sig

k=1^n&``k-<sigk=1^n&``a_k-<sigk=1^n&``(k+2)에서 n(n+1)

2 -<S_n-< n(n+5)2

이때 _{n=inf`&lim a1&+a2&+.c3+a_n =lim</sub>n^2 <sub>n=inf`& n^2S_n 이고} 2=limn=inf` 2n^2<sub>n(n+5) -<lim</sub>n=inf` n^2_{S_n -<lim}n=inf` 2n^2<sub>n(n+1) =2</sub> 이므로 n=inf` n^2lim _{S_n =2}

답 ②

043

 0<r<1일 때, limn=inf` r^n+1&+r+1<sub>r^n&+1 =r+1=5</sub>/3 `.t3`r=2/3

 r=1일 때, limn=inf` r^n+1&+r+1<sub>r^n&+1 =</sub>3/2  r>1일 때, limn=inf` r^n+1&+r+1_{r^n&+1 =r=5}/3 .t3`r=5/3 따라서 주어진 식을 만족하는 모든 _{r의 값의 합은} 2 / 3+5/3=7/3 답 ⑤

044

[1단계] 수열 {x^2^n}의 공비가 x^2이므로 수렴하려면 -1<x^2-<1 .t3`-1-<x-<1 …… ㉠ [2단계] 수열 <sub>{(x+1)(2x-1)^n-1}의 첫째항이 x+1,</sub> 공비가 2x-1이므로 수렴하려면 x+1=0 또는 ~-1<2x-1-<1 .t3`x=-1 또는 ~0<x-<1 …… ㉡ [3단계] ㉠_, ㉡에서 _{x=-1 또는 ~0<x-<1} 따라서 정수 x는 -1, 1이므로 구하는 합은 -1+1=0 답 ③

045

이차방정식 _{x^2&-x+n-rtn^2+n=0의 두 근이 alpha_n, beta_n} 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 alpha_n&+beta_n=1, alpha_n&beta_n=n-rtn^2+n

.t3`lim<sub>n=inf`&( 1alpha_n +beta_n ) =lim</sub>1 n=inf`& alpha_n&+beta_n<sub>alpha_n&beta_n</sub> =limn=inf`&_n-rtn^2+n1 <sub>=limn=inf`&</sub> =limn=inf`& n+rtn^2+n_-n =limn=inf`&1+rrT1+1_-1 /n =-2 답 _-2

046

[1단계] 등차수열 _{{a_n}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면} a_n=a+(n-1)d=dn+(a-d)

[2단계] _{`limn=inf`& a_n}

5n+3 =limn=inf`& dn+(a-d)5n+3 =limn=inf`& d+a-d/n

5 + 3 /n

d/=5

[3단계] _{`limn=inf`& a_n}

5n+3 =2에서 d/5=2 .t3`d=10 답 ②

047

lim n=inf`&a_n=inf~이고 limn=inf`&(5a_n&-2b_n)=1이므로 lim

n=inf`& 5a_n&-2b_n<sub>a_n</sub> =0, limn=inf`&^{5-2\( b_n_{a_n )^}=0} .t3`limn=inf` b_n_{a_n =}5/2

.t3`limn=inf`& 4a_n&+8b_n_{7a_n&-4b_n =lim}n=inf`& 4+8\ b_n a_n 7-4\ b_n_{a_n} = 4+207-10 =-8 답 ⑤

048

S_n=2n+2^n에서 n->2일 때, a_n =S_n&-S_n-1 =2n+2^n&-{2(n-1)+2^n-1} =2\2^n-1&+2-2^n-1 =2^n-1&+2 n+rtn^2+n (n-rtn^2+n&~)(n+rtn^2+n&~)

.t3`limn=inf`& a_n_{2^n =lim}n=inf`& 2^n-1&+2<sub>2^n</sub> =limn=inf`&(1/2+ 1_{2^n-1 )} 1/=2 답 1/2

049

등비수열 _{{a_n}의 첫째항이 3, 공비가 2이므로} a_n=3\2^n-1 .t3`a_n+1=3\2^n a1&+a2&+a_3&+.c3+a_n = 3(2^n&-1)_2-1 =3\2^n&-3

.t3`limn=inf`& a1&+a2&+a_3&+.c3+a_n_{a_n&+a_n+1} =limn=inf`&<sub>3\2^n-1&+3\2^n</sub>3\2^n&-3 =limn=inf`&3-;3/@2^n : 3 / 2+3 = 3-0 9 / 2 =2/3 답_{2/ `3}

050

 |r|<1일 때, limn=inf`&r^2^n=0이므로 limn=inf`& r^2^n-1&+2_{r^2^n&+1 =0+2}/0+1=2  r=1일 때,

_{limn=inf`& r^2^n-1&+2}

r^2^n&+1 =1+2/1+1=3/2  r=-1일 때,

_{n=inf`& r^2^n-1&+2}

r^2^n&+1 =-1+21+1 =1/2  |r|>1일 때, limn=inf`&r^2^n=inf이므로 limn=inf`& r^2^n-1&+2_{r^2^n&+1 =lim}n=inf`&1/r+ 2r^2^n

1+ 1_r^2^n =1/r+0_{1+0 =}1/r 이때 _{r=-3이면 극한값은 -1/3이다.} 따라서 주어진 수열의 극한값이 될 수 없는 것은 ⑤ _3이 다. 답 ⑤

2

급수

052

⑴ [1단계] 주어진 급수는 첫째항이 1, 공비가 1/3인 등비 수열의 합이므로 제_{n항까지의 부분합을 S_n이} 라 하면 S_n=1-(1/3)^^n 1 -1 /3 =3/2^{1-(1/3)^^n^} [2단계] _{.t3`limn=inf`&S_n=limn=inf`~3/2^{1-(1/3)^^n^}=3/2}

따라서 주어진 급수는 수렴하고_{, 그 합은~ 3/2} 이다_.

⑵ [1단계] 주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_n=3n

[2단계] _{.t3`limn=inf`&S_n=limn=inf`&3n=inf}

따라서 주어진 급수는 양의 무한대로 발산한 다_. 답 ⑴ 수렴_{, 합&:3/2 ⑵ 발산}

054

⑴ 주어진 급수의 제_{n항까지의 부분합을 S_n이라 하면} S_n =sigk=1^n&` _(2k-1)(2k+1)1 =1/2sigk=1^n&```( 1_{2k-1 -2k+1 )}1 =1/2^{(1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+.c3 +( 1_{2n-1 -2n+1 )^}}1 =1/2&(1- 1_{2n+1 )}

_{.t3`limn=inf`&S_n=limn=inf`~1/2&(1- 12n+1 )=1/2}

따라서 주어진 급수는 수렴하고_{, 그 합은 1/2이다.} ⑵ 주어진 급수의 제_{n항까지의 부분합을 S_n이라 하면} S_n =sigk=1^n&``(rtk+2&-rtk+1~) =(rt3&-rt2&~)&+(rt4&-rt3~~)+(rt5&-rt4~~) +.c3+(rtn+2&-rtn+1~) =rtn+2&-rt2

.t3`limn=inf`~S_n=limn=inf`~(rtn+2&-rt2&~)=inf

따라서 주어진 급수는 양의 무한대로 발산한다_.

답 ⑴ 수렴_{, 합&:1/2 ⑵ 발산}

056

S_n =sigk=2^n&``~log` k^2_k^2&-1

=sigk=2^n&``~log`(`kk/-1\`kk/+1)

=log`(2/1\2/3)+log`(3/2\3/4)+log`(4/3\4/5)+.c3

+log`(`nn/-1\`nn/+1)

=log`^{(2/1\2/3)(3/2\3/4)(4/3\4/5)\.c3 \(`nn/-1\`nn/+1)^} =log` 2n_n+1

.t3`(주어진 식)=limn=inf`&S_n=limn=inf`log` 2n_{n+1 =log`2}

답 log`2

058

S_n= n{2\2+(n-1)\2}₂ =n(n+1)이므로 sig

k=1^n&`` 1S_k =sigk=1^n&``_{k(k+1) =sig}1 k=1^n&``~(1/k-`1k/+1) =(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.c3

+(1/n-`1n/+1)

1 /=1-`n+1

.t3`limn=inf`sig_{k=1^n&`` 1S_k =lim}n=inf`~(1-`1n/+1)=1

답 ₁

060

주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면 ⑴ _{S_n =(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.c3} +(1/n-`1n/+1) =1-`1n/+1

.t3`limn=inf`~S_n=limn=inf`~(1-`1n/+1)=1

⑵ S1=1, S2=1-1/2 S_3=1, S_4=1-1/3 S_5=1, S_6=1-1/4 .^3 S2_n-1=1, S2_n=1-`1n/+1 .t3` limn=inf`~S2_n-1=1

`limn=inf`~S2_n=limn=inf`~(1-`1n/+1)=1

따라서 주어진 급수는 수렴하고_{, 그 합은 1이다.} 답 ⑴ 수렴, 합&:1 ⑵ 수렴, 합&:1

062

sig n=1^ &`` n_{2n-1 에서 a_n=2n-1 이라 하면}n lim n=inf`~a_n =limn=inf`~ n_2n-1 =limn=inf`~ 1 2-1/n=1/2 따라서 limn=inf`~a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다. 답 풀이 참조

064

급수<sub>sign=1^ &`~(a_n&- n2n+1 )이 수렴하므로</sub> lim n=inf`~(a_n&- n_{2n+1 )=0}

.t3`limn=inf`&a_n =limn=inf`^{(a_n&- n<sub>2n+1 )+2n+1 ^}</sub>n =limn=inf`(a_n&- n_{2n+1 )+lim}n=inf` n_2n+1 =0+1/2=1/2

답 1/2

066

3a_n&-2b_n=c_n으로 놓으면 3a_n=2b_n&+c_n .t3`a_n=2/3&b_n&+1/3&c_n

주어진 조건에서 _{n=1sig^ &`~b_n=-2, sign=1^ &`~c_n=10이므로}

sig

n=1^ &`~a_n =sign=1^ &``(2/3&b_n&+1/3&c_n) =2/3sign=1^ &``b_n&+1/3sign=1^ &`~c_n =2/3\(-2)+1/3\10=2

답 ₂

067

주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면 S_n =sigk=1^n&`~`_(3k-1)(3k+2)1

=sigk=1^n&``1/3&( 1_{3k-1 -3k+2 )}1

=1/3^{(1/2-1/5)+(1/5-1/8)+(1/8-1/11)+.c3 +&( 1_{3n-1 -3n+2 )^}}1 =1/3(1/2- 1_{3n+2 )}

.t3`limn=inf`~S_n =limn=inf`~1/3(1/2- 1_{3n+2 )} 1/=3\1/2=1/6 따라서 a=6, b=1이므로 a+b=7 답 ₇

068

⑴ [1단계] 주어진 급수의 제_{n항을 a_n이라 하면} a_n =_1+2+3+.c3+n1 = _n(n+1)1 2 =_n(n+1)2 =2(1/n-`1n/+1) [2단계] 주어진 급수의 제<sub>n항까지의 부분합을 S_n이</sub> 라 하면 S_n=sigk=1^n&`~~2(1/k-`1k/+1) =2^{(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.c3 +(1/n-`1n/+1)^} =2(1-`1n/+1) [3단계] <sub>.t3`(주어진 식) =limn=inf`&S_n</sub> =limn=inf`&2(1-`1n/+1) =2

⑵ [1단계] 주어진 급수의 제_{n항을 a_n이라 하면} a_n =_{(2n)^2&-1 =}1 _(2n-1)(2n+1)1 1/=2&( 1_{2n-1 -2n+1 )}1

[2단계] 주어진 급수의 제_{n항까지의 부분합을 S_n이} 라 하면

S_n=sigk=1^n&``1/2&( 1_{2k-1 -2k+1 )}1

=1/2^{(1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-17)+.c3/ +( 1_{2n-1 -2n+1 )^}}1 =

1/2&(1- 1_{2n+1 )} [3단계] .t3`(주어진 식) =limn=inf`&S_n

=limn=inf~1/2&(1- 1_{2n+1 )}

1/=2 답 ⑴ _{2 ⑵ 1/2}

069

① 주어진 급수의 제_{n항까지의 부분합을 S_n이라 하면} S1=1, S2=0, S_3=1, S_4=0, .c3 따라서 수열 {S_n}이 발산(진동)하므로 주어진 급수 는 발산한다.

② sign=1^ &`~(2n-1) =limn=inf`sigk=1^n&`~(2k-1) =limn=inf`&{n(n+1)-n} =limn=inf`&n^2=inf ③ (주어진 식) <sub>=1+1/2+(1/2)^^2&+(1/2)^^3&+.c3</sub> =sign=1^ `~(1/2)^^n-1 =limn=inf`sigk=1^n`~(1/2)^^k-1 =limn=inf`1-(1/2)^^n 1 -1 /2 =limn=inf`2^{1-(1/2)^^n^} =2\1=2

④ _{sign=1^ &`~~ nn+1 에서 limn=inf` nn+1 =1not=0이므로} sig

n=1^ &`~`nn/+1=inf

⑤ (주어진 식) <sub>=sign=1^ &`~~(rt2n+2&-rt2n~)</sub> =limn=inf`sigk=1^n`~(rt2k+2&-rt2k~) =limn=inf`{ (rt4&-rt2&~)+(rt6&-rt4&~) +(rt8&-rt6&~)+.c3 +(rt2n+2&-rt2n&~)} =limn=inf`(rt2n+2&-rt2&~)=inf 답 ③

070

sig n=1^ &`~(a_n+1&-a_n) =limn=inf`&{(a2&-a1)+(a_3&-a2)+.c3 +(a_n+1&-a_n)}& =limn=inf`&(a_n+1&-a1)=10-2=8 답 8

071

[1단계] _{ n≥2일 때,} a_n =S_n&-S_n-1 =n^2&-(n-1)^2 =2n-1 …… ㉠  n=1일 때, a1=S1=1 이때 a1=1은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므 로 a_n=2n-1(n≥1) [2단계] a_n=2n-1에서 a_n+1=2(n+1)-1=2n+1이므로 n=1sig^ &`` 1<sub>a_n&a_n+1 =lim</sub>n=inf`~sigk=1^n&``~ 1_{a_k&a_k+1}

=limn=inf`sigk=1^n&``~<sub>(2k-1)(2k+1)</sub>1 =limn=inf`sigk=1^n&``1/2&( 1_{2k-1 -2k+1 )}1

=limn=inf`~1/2^{ (1-1/3)+(1/3-1/5)

+(1/5-1/7)+.c3

+( 1_{2n-1 -2n+1 )^}}1

=limn=inf`~1/2&(1- 1_{2n+1 )}

1/=2 답 1/2 ③ _{1+1/2+1/4+1/8+.c3= 1} 1 -1 /2=2 ④ _{sign=1^ &`~~ nn+1 에서 limn=inf` nn+1 =1not=0이므로}

sig

n=1^ &`~`nn/+1=inf ⑤ _{sign=1^ &`~(-rt2n&+rt2n+2~)}

=limn=inf`&(-rt2&+rt4&-rt4&+rt6&-.c3-rt2n&+rt2n+2~) =limn=inf`_{rt2n+2&+rt2 =inf}~2n

① _{1-1+1-1+.c3+(-1)^2^n=1}

1-1+1-1+.c3+(-1)^2^n&+(-1)^2^n+1=0 따라서 수렴하지 않는다_.

072

sig

n=1^ &`~a_n=alpha, sign=1^ &`~b_n=beta라 하면 sig

n=1^ &`~(2a_n&+b_n)=10, sign=1^ &`~(3a_n&+2b_n)=33에서 2`sign=1^ &`~a_n&+sign=1^ &`~b_n=10, 3`sign=1^ &`~~a_n&+2`sign=1^ &`~~b_n=33 즉, 2alpha+beta=10, 3alpha+2beta=33

두 식을 연립하여 풀면 alpha=-13, beta=36 .t3`sign=1^ &`~(a_n&-b_n) =sign=1^ &`~a_n&-sign=1^ &`~b_n =alpha-beta=-49 답 _-49

074

⑴ _{a=1, r1 /= 3에서 -1<r<1이므로 수렴하고,} 그 합은 1 1 -1 /33/=2 ⑵ r=-rt2에서 r<-1이므로 발산한다. 답 ⑴ 수렴_{, 합&:3 /~ 2 ⑵ 발산}

076

⑴ _{n=1sig^ &``(6/7)^^n =6/7+(6/7)^^2&+(6/7)^^3&+.c3}

= 6/7

1

-6 /7=6

⑵ n=1sig^ &``3^n-1(1/4)^^n =1/3sign=1^ &``(3/4)^^n=1/3\ 3/4 1

-3 /4=1 ⑶ _{n=1sig^ &`~` 5^n&-2^n}

10^n =sign=1^ &``(1/2)^^n&-sign=1^ &``(1/5)^^n

= 1/2 1 -1 /2 -1 / 5 1 -1 /5 =1-1/4=3/4 답 ⑴ _{6 ⑵ 1 ⑶ 3/4}

078

주어진 등비급수의 첫째항은 x, 공비는 1-2x이므로 수렴하려면 x=0 또는 ~-1<1-2x<1이어야 한다. -1<1-2x<1에서 -1<2x-1<1 0<2x<2 .t3`0<x<1 따라서 구하는 _{x의 값의 범위는 0-<x<1} 답 0-<x<1

080

등비수열 _{{a_n}의 공비를 r라 하면} a_n=2\r^n-1이므로 sig n=1^ &`~~a_n=sign=1^ &`(2\r^n-1)=`21/-r=3 .t3`r=1/3 수열 {(a_n)&^2}의 첫째항은 (a1)&^2=4, 공비는 r^2=(1/3)^^2=1/9이므로 sig n=1^ &``(a_n)&^2 =sign=1^ &``^{4\(1/9)^^n-1^} = 4 1 -1 /9=9/2 답 _9/2

082

⑴ _{0.1^.92^. =0.192+0.000192+0.000000192+.c3} = 0.192_{1-0.001 =}0.192_0.999 =192/999=643/33 ⑵ _{0.61^.7^. =0.6+0.017+0.00017+0.0000017+.c3} =0.6+ 0.017_{1-0.01 =6}/10+179/90=611/990 답 ⑴ 36/343 ⑵ 611/990

084

삼각형 _{A1의 넓이는 8이고,} 오른쪽 그림에서 삼각형 _A2의 넓이는 삼각형 _{A1의 넓이의 1/4} 이므로 8\1/4=2 같은 방법으로 생각하면 삼각형 _{A_3의 넓이는 삼각형} A2의 넓이의 1/4이므로 2 \ 1 /4=1/2 따라서 구하는 삼각형의 넓이의 총합은 8+2+1/2+.c3= 8 1 -1 /43 2=/3 답 32/3 A_1 A_2

086

[1단계] _{x좌표는 오른쪽으로 1만큼 전진} ➡ _{4/9만큼 전진} ➡ _{16/81만큼 전진} ➡ _.c3 .t3`(x좌표) =1+4/9+16/81+.c3 = 1 1 -4 /99/=5 [2단계] y좌표는 위쪽으로 2/3만큼 상승 ➡ 8/27만큼 상승 ➡2 3/423만큼 상승 ➡ .c3 .t3`(y좌표) =2/3+8/27+32/423+.c3 = 2/3 1 -4 /9=6/5 따라서 구하는 점의 좌표는 _{9/(5, 6/5)이다.} 답_{9/ (5, 6/5)}

087

공비가 _{= 1r /5이므로} sig n=1^ &`~a_n=<sub>1-r =</sub>a1 a1 1 -1 /5=5/4&a1=15 .t3`a1=12 답 ₁₂

088

[1단계] 이차방정식 _{2x^2&+x-4=0의 두 근이} alpha, beta이므로 근과 계수의 관계에 의해 alpha+beta=-1/2, alphabeta=-2

1 /`.t3alpha+1/beta = alpha+beta_alphabeta =1/-_{-2 =}21/4

[2단계] _{n=1sig^ &``(1/alpha+1/beta)^^n =sign=1^ &``(1/4)^^n}

= 1/4 1 -1 /41/=3 답 _1/3

089

주어진 급수는 공비가 _{x^2&-x+1인 등비급수이므로 수} 렴하려면 -1<x^2&-x+1<1  -1<x^2&-x+1에서 x^2&-x+2>0 (x-1/2)^^2&+7/4>0 즉_{, x는 모든 실수}  x^2&-x+1<1에서 x^2&-x<0 x(x-1)<0 .t3`0<x<1 , 에서 실수 x의 값의 범위는 0<x<1 답 0<x<1

090

급수 _{sign=1^ &``(} 2x-1_{3 )^^n이 수렴하기 위해서는} -1< 2x-1_{3 <1에서 -3<2x-1<3} -2<2x<4 .t3`-1<x<2 따라서 정수 _{x는 0, 1의 2개이다.} 답 2

091

[1단계] 주어진 등비급수의 첫째항을 a, 공비를 r라 하 면 첫째항이 _{0.2^., 제3항이 0.008^.이므로} a=0.2^.=2/9 …… ㉠ ar^2=0.008^.=89/00 …… ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 _{2/9&r^2=89/00} .t3`r^2=41/00=1/25 이때 모든 항이 양수이므로 r>0이다. .t3`r=1/5 [2단계] 첫째항이 2/9, 공비가 1/5인 등비급수의 합은 2/9 1 -1 /55/=18 답 5/18

092

정삼각형 A_1B_1C_1의 한 변의 길이는 2rt3이므로 S1=#!rt3/4$\(2rt3~~)^2=3rt3 정삼각형 _{A_2B_2C_2의 한 변의 길이는 rt3이므로} S2=#!rt3/4$\(rt3~~)^2= 3rt3₄ 정삼각형 A_3B_3C_3의 한 변의 길이는 #!rt3/2$이므로 S_3=#!rt3/4$\(#!rt3/2$)^^2= 3rt3₁₆ .c3 따라서 _{S_n=3rt3\(1/4)^^n-1이므로} sig n=1^ &``S_n= 3rt3 1 -1 /4=4rt3 답 4rt3

093

주어진 급수가 수렴하므로 limn=inf`&( a_n<sub>n -4)=0</sub> .t3`limn=inf` &a_n_{n =4}

.t3`limn=inf`& 2n+a_n_{7n-a_n =lim}n=inf`2+ a_nn

7- a_n_n &=2+4/7-4=2 답 ₂

094

sig n=1^ &`~(2a_n&-3)이 수렴하므로 lim n=inf`&(2a_n&-3)=0 .t3`limn=inf`&a_n=3/2

.t3`limn=inf`&( n^2&+3n+1_{3n^2&+n )a_n=1}/3\3/2=1/2

답 _1/2

095

등비수열 ^{( 2r-1_{3 )^^n^}이 수렴하므로} -1< 2r-1_{3 -<1에서 -3<2r-1-<3} -2<2r-<4 .t3`-1<r-<2 ㄱ<sub>. (1-r/2`)^^2^^n-1=1-r/2`\^{(1-r/2`)^^2^}^^n-1에서</sub> 공비는 (1-r/2`)^^2이다. -1<r-<2에서 -2-<-r<1 -1-<1-r<2, -1/2-< 1-r<sub>2 <1</sub> .t3`0-<(1-r/2&~~)^^2<1 따라서 _{n=1sig^ &``(1-r/2`)^^2^^n-1은 수렴한다.</sub> ㄴ. (1+r/3`)^^n에서 공비는 1+r/3`이다. -1<r-<2에서 0<1+r-<3 .t3`0<1+r/3`-<1 1+r/3`=1일 때, sign=1^ &``(1+r/3`)^^n은 발산한다. ㄷ<sub>. (`11/+r)^^n에서 공비는 11/+r이다.} -1<r-<2에서 0<1+r-<3 .t3``11/+r->1/3 ` 1 /1+r->1일 때, sign=1^ &``(~~11/+r)^^n은 발산한다. 따라서 수렴하는 것은 ㄱ이다_. 답 ①

096

등비수열 _{^{( 2x-13 )^^2^^n-1^}에서} ( 2x-1_{3 )^^2^^n-1=}2x-1_{3 ^{(}2x-1_{3 )^^2^}^^n-1} 이 등비수열은 첫째항이 2x-1_{3 , 공비가 (}2x-1 3 )^^2이 므로 수렴하려면 2x-1 3 =0 또는 -1<(2x-13 )^^2-<1  2x-1_{3 =0에서} 2x-1=0 .t3`x=`1/2  -1< (2x-1)^2₉ -<1에서 -9<(2x-1)^2-<9 -3-<2x-1-<3, -2-<2x-<4 .t3`-1-<x-<2 , 에서 -1-<x-<2 .c3.c3 ㉠ 등비급수 1+ (1-x)^2₄ + (1-x)^4₁₆ + (1-x)^6₆₄ +.c3의 공비는 (1-x)^2₄ 이므로 수렴하려면

-1< (1-x)^2₄ <1에서 -4<(1-x)^2<4 -2<1-x<2, -3<-x<1 .t3`-1<x<3 .c3.c3 ㉡ ㉠_, ㉡을 모두 만족하는 _{x의 값의 범위는 -1<x-<2이} 므로 정수 _{x는 0, 1, 2의 3개이다.} 답 ③

097

ㄱ_{. -|a_n|-<a_n-<|a_n|에서}

limn=inf`&(-|a_n|)=limn=inf`&|a_n|=0이므로 _{limn=inf`&a_n=0`(참)} ㄴ_{. 등비수열 {a_n}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면} 등비수열 {a2_n}의 첫째항은 ar, 공비는 r^2이다. _{sign=1^ &`~a2_n이 수렴하므로 ar=0 또는 ~-1<r^2<1 .t3`a=0 또는 ~-1<r<1} 따라서 _{sign=1^ &`~a_n도 수렴한다. (참)} ㄷ_{. {a_n}&: 1, 0, 1, 0, 1, .c3} {b_n}&: 0, 1, 0, 1, 0, .c3

이면 _{sign=1^ &`~a_n&b_n=0으로 sign=1^ &`~a_n&b_n은 수렴하지만} limn=inf`&a_nnot=0, limn=inf`&b_nnot=0이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ_{, ㄴ이다.} 답 ④

098

a1=7, a2=9, a_3=3, a_4=1, a_5=7, .c3이므로 sig n=1^ &`~a2_n-1_{3^n =7}/3+;3/@3^2 :+;7/@3^3 :+;3/@3^4 :+.c3 =(7/3+;7/@3^3 :+;7/@3^5 :+.c3) +(;3/@3^2 :+;3/@3^4 :+;3/@3^6 :+.c3) = 7/3 1 -1 /9+ 3 / 9 1 -1 /9=21/8+3/8=3 답 ₃

099

설탕의 양을 이용하여 식을 세우면 300\ a1_{100 =240\100 +40\0}a_0 1/00+20이므로 3a1=12/5&a_0&+20이고 3a_n=12/5&a_n-1&+20이다.

3a_n=12/5&a_n-1&+20의 양변을 3으로 나누면 a_n=4/5&a_n-1&+20/3

이때 a_n&-k=4/5(a_n-1&-k)로 놓으면 a_n=4/5&a_n-1&+1/5&k

즉_{, 1/5&k=&20/3에서 k1= /300} .t3`a_n&-100/3=4/5&(a_n-1&-100/3) 수열 <sub>^{a_n&-100/3^}은 첫째항이 a_0&-100/3이고 공비가 4/5</sub> 인 등비수열이므로 a_n&-100/3=(a_0&-100/3)\(4/5)^^n-1 .t3`a_n=(a_0&-100/3)\(4/5)^^n-1&+100/3`(n=1, 2, 3, .c3) .t3`limn=inf`&a_n =limn=inf`^{(a_0&-100/3)\(4/5)^^n-1&+100/3^} 1=/300 답 ②

100

공이 땅에 정지할 때까지 움직인 거리를 _{l이라 하면} l =10+2^{10\1/2+10\(1/2)^^2&+10\(1/2)^^3&+.c3^} =10+2\10\1/2 1 -1 /2 =10+20 =30(m) 답 30`m

101

주어진 급수의 제_{n항까지의 부분합을 S_n이라 하면} ㄱ_{. S1=1/2, S2=0} S_3=1/3, S_4=0 S_5=1/4, S_6=0 .^3 S2_n-1=`1n/+1, S2_n=0

.t3`limn=inf`S2_n-1=limn=inf`~`1n/+1=0, limn=inf`&S2_n=0 즉<sub>, limn=inf`S2_n-1=limn=inf`S2_n=0이므로</sub>

주어진 급수는 <sub>0으로 수렴한다.`(참)</sub> ㄴ<sub>. S1=1/2, S2=0</sub> S_3=2/3, S_4=0 S_5=3/4, S_6=0 .^3 S2_n-1=`nn/+1, S2_n=0

.t3`limn=inf`&S2_n-1=limn=inf`&`nn/+1=1, limn=inf`&S2_n=0 즉<sub>, limn=inf`S2_n-1not=limn=inf`S2_n이므로</sub>

주어진 급수는 발산한다.`(거짓) ㄷ<sub>. S_n =sigk=1^n&``(rrootk-1/k`-rroot~kk/+1`)</sub> =(rroot0/1-rroot1/2`~~)+(rroot1/2`- rroot2/3`` )

+(rroot2/3-rroot3/4`)+.c3

+(rrootn-1/n`-rroot~nn/+1`) =-rroot~nn/+1

.t3`sign=1^ &`~(rrootn-1/n`-rroot~nn/+1`) =limn=inf`~S_n

=limn=inf`&(-rroot~nn/+1`) =-1`(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ_{, ㄷ이다.} 답 ④

102

주어진 급수가 수렴하므로 lim n=inf`&^{a_n&- 2+4+6+.c3+2n<sub>(2n-1)^2</sub> ^}=0 이때 2+4+6+.c3+2n =2(1+2+3+.c3+n) =2\ n(n+1)<sub>2</sub> =n^2&+n 이므로 <sub>limn=inf`&(a_n&-</sub> n^2&+n

4n^2&-4n+1 )=0

.t3`limn=inf`~a_n =limn=inf`^{(a_n&-<sub>4n^2&-4n+1 )+</sub>n^2&+n <sub>4n^2&-4n+1 ^}</sub>n^2&+n =limn=inf`(a_n&- n^2&+n_{4n^2&-4n+1 )+lim}n=inf` n^2&+n_4n^2&-4n+1 =0+1/4=1/4

답 _1/4

103

1+3+3^2&+…+3^n= 3^n+1&-1_{3-1 =}3^n+1&-1₂ .t3`(주어진 식) =sign=1^ &`~~ 3^n+1&-1_2\9^n

=1/2&^[sign=1^ &`~^{3\(1/3)^^n&^}-sign=1^ &`~(1/9)^^n] =1/2_(3\ 1/3 1 -1 /3 -1 / 9 1 -1 /9_) =1/2(3/2-1/8)=11/16 답 _11/16

104

[1단계] 등비수열 _{{a_n}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면} sign=1^ &`~a_n =a+ar+ar^2&+.c3 =`a1/-r=2 …… ㉠ sign=1^ &`~(a_n)&^2 =a^2&+a^2&r^2&+a^2&r^4&+.c3 = a^2<sub>1-r^2 =(1-r)(1+r) =4</sub>a\a /3 …… ㉡ [2단계] ㉠을 ㉡에 대입하면 2\`a1/+r=4/3 .t3`a=2/3+2/3&r …… ㉢ ㉢을 ㉠에 대입하면 2/3+2/3&r=2-2r 8/3&r=&4/3 .t3`r=1/2 이 값을 ㉢에 대입하면 a=1 [3단계] _{sign=1^ &`~(a_n&)^3 =a^3&+a^3&r^3&+a^3&r^6&+.c3} = a^3_{1-r^3 =} 1^3 1-(1/2)^^3 8/=7 답 8/7

105

[1단계] 등비수열 _{^{(r-2/3`)^^2^^n^}의 공비는 (r-2/3`)^^2이므로} 이 수열이 수렴하려면 -1<(r-2/3`)^^2-<1 그런데 <sub>(r-2/3`)^^2->0이므로 (r-2/3`)^^2-<1</sub> -1-<r-2/3~-<1, -3-<r-2-<3 .t3`-1-<r-<5 …… ㉠ [2단계] 등비급수 <sub>n=1sig^ &`~(r+5/9`)^^2^^n의 공비는 (r+5/9`)^^2이므</sub> 로 이 등비급수가 수렴하려면 -1<(r+5/9`)^^2<1 그런데 _{(r+5/9`)^^2->0이므로 (r+5/9`)^^2<1} -1<r+5/9`<1, -9<r+5<9 .t3`-14<r<4 …… ㉡ [3단계] ㉠_, ㉡을 동시에 만족시키는 _{r의 값의 범위는} -1-<r<4 따라서 정수 _{r는 -1, 0, 1, 2, 3의 5개이다.} 답 5

106

{a_n}&: 1, 1/2, -1/2, -1, -1/2, 1/2, 1, 1/2, -1/2, -1, -1/2, 1/2, 1, .c3 이므로 {a2_n}&: 1/2, -1, 1/2, 1/2, -1, 1/2, 1/2, -1, 1/2, 1/2, .c3 ^{ a2_n_{4^n ^}&:} 1/2_{4 , -;1}/@4^2 :, 1/2_{4^3 ,} 1/2 4^4 , -;1/@4^5 :, 1 / 2 4^6 , 1 / 2 4^7 , .c3 .t3`sign=1^ &`~~a2_n_{4^n =1}/2(14+;1/ /@4^4:+;1/@4^7:+.c3)-(;1/@4^2:+;1/@4^5:+.c3) +1/2(;1/@4^3 :+;1/@4^6 :+.c3) 1/=2\ 1/4 1 -1 /64 -1 / 16 1 -1 /641/+2\ 1 / 64 1 -1 /64 =8/63-4/63+11/26 =91/26=1/14 답 1/14

107

직각이등변삼각형 _{OAB의 점 O에서 ^-AB^-에 내린 수선} 의 발을 H라 하면 ^-OH^-=6\#!rt2/2$=3rt2 .t3`l1=ZA_1&B_1=2pai\3rt2\1/4= 3rt2<sub>2 &pai</sub> 직각이등변삼각형 OA_1&B_1의 점 O에서 A_1&B_1에 내린 수 선의 발을 <sub>H_1이라 하면</sub> ^-O^-H1=3rt2\#!rt2/2$=3 .t3`l2=ZA_2&B_2=2pai\3\1/4=3/2&pai 직각이등변삼각형 _{OA_2&B_2의 점 O에서 A_2&B_2에 내린 수} 선의 발을 H_2라 하면 ^-O^-H2=3\#!rt2/2$= 3rt2₂ .t3`l_3=ZA_3&B_3=2pai\ 3rt2<sub>2 \</sub>1/4= 3rt2<sub>4 pai</sub> .t3`sign=1^ &``l_n = 3rt2 2 pai 1-~ rt2₂ = 3rt2pai2-rt2 = 3rt2&(2+rt2&)pai 2 =(3rt2&+3)pai 답 _{(3rt2&+3~)pai}

⑵<sub>limx=inf`&{log_3`(9x^2&-5)-log_3`(x^2&+2)}</sub> =limx=inf`&log_3`& 9x^2&-5<sub>x^2&+2 =lim</sub>x=inf`&log_3`&9-;5/@x^2 :

1+;2/@x^2 : =log_3`9=2

⑶ <sub>limx=inf`&{log2`&3^x&-log2`(3^x&+1)}</sub> =limx=inf`&log2` &3^x<sub>3^x&+1 =lim</sub>x=inf`&log2`& 1

1+(1/3)^^x =log2`&1=0

⑷ limx=1`&(log_5`|x^3&-1|-log_5`|x^2&-1|) =limx=1`&~log_5` |x^3&-1|_|x^2&-1|

=limx=1`&~log_5`^| (x-1)(x^2&+x+1)_{(x-1)(x+1) ^|} =limx=1`&~log_5`^| x^2&+x+1_{x+1 ^|=log_5`3}/2

답 ⑴ _{inf~ ⑵ 2 ⑶ 0 ⑷ log_5`3/2}

113

⑴ _{limx=0`&(1+3x)</sub>3/2x<sub>=limx=0`~^{(1+3x)}3x/1_^}9/2_=e9/2

⑵ _{limx=inf`&(1+5/x)^^x=limx=inf`&^^{(1+5/x)}x/5_^^}^^5=e^5

⑶ limx=inf`&(x+1/x`)x/2 =limx=inf`&(1+1x)/ x/2=limx=inf`&^{(1+1/x)^^x^}1/2

=e^1/2=rte

⑷ _{limx=0`&(1-4x)</sub>1/x <sub>=limx=0`~[{1+(-4x)}-4x}1 _]-^4

=e&-^4=;1/@e^4 :

⑸ _{limx=inf`&(1-1/2x)^^x&` =limx=inf`&^[^{1+( ~1-2x )^}-^^2^^x]}-21

=e&-^1/2=;#1rte$:/ ⑹ _{1-x=t로 놓으면}

x`→`1일 때 t`→`0이고, x=1-t이므로

limx=1`&~x1-x1 =limt=0`&~(1-t)1t=limt=0`&~[{1+(-t)}-t1]-1

=e&-1=1/e

답 ⑴ _e9/2 _⑵

e^5 ⑶ rte ⑷ 1e^4 ⑸ ;#1/rte$: ⑹ 1/e

115

⑴ _{limx=0`&~ ln`(1+4x)7x =limx=0`&~ ln`(1+4x)4x 4/\7}

=1\4/7=4/7

109

⑴ _{limx=inf`& 3^x}

2^2^x =limx=inf`& 3^x4^x =limx=inf`&(3/4)^^x=0 ⑵ _{limx=inf`& 3^x}

3-3^x =limx=inf`&<sub>(1/3)^^x-1&-1</sub>1 =`10/-1=-1 ⑶ _{limx=inf`& 4^x&+3^x}

4^x&-3^x =limx=inf`&

1+(3/4)^^x

1-(3/4)^^x=1+0/1-0=1 ⑷ _{limx=inf`&(3^x&-2^x) =limx=inf`&3^x^{1-(2/3)^^x^}}

=inf\(1-0)=inf~

⑸ 분모, 분자에 각각 7^x을 곱하면

x=-inf~lim _{7^x&+7&-^x =lim}7^x x=-inf~ 7^2^x_{7^2^x&+1 =`0}0/+1=0 ⑹ 분모, 분자에 각각 2^x을 곱하면

limx=-inf~ 2^x&-2&-^x_{2^x&+2&-^x+1 =lim}x=-inf~ 2^2^x&&-1_{2^2^x&+2 =0-1}/0+2=1 /- 2 다른 풀이

⑸ -x=t로 놓으면

x`→`-inf~일 때 t`→`inf~이므로

limx=-inf~_{7^x&+7&-&^x =lim}7^x t=inf`~ 7&-^t<sub>7&-^t&+7&^t =lim</sub>t=inf`~ 7&-^2^t_7&-^2^t&+1 =limt=inf`~ (1/49)^^t

(1/49)^^t&+1=`00/+1=0 ⑹ _{-x=t로 놓으면}

x=-inf~일 때 t=inf~이므로

limx=-inf~ 2^x&-2&-^x_{2^x&+2&-^x+1 =lim}t=inf`~ 2&-^t&-2^t<sub>2&-^t&+2^t+1 =lim</sub>t=inf`~ 2&-^2^t&-1_2&-^2^t&+2 =limt=inf`~(1/4)^^t&-1

( 1/4)^^t &+2=0-1/0+2=1 /- 2 답 ⑴ 0 ⑵ -1 ⑶ 1 ⑷ inf~ ⑸ 0 ⑹ -1/2

111

⑴ x-3=t로 놓으면 x`→`3+일 때 t`→`0+이므로 limx=3+~log_1/3`(x-3)=limt=0+~log_1/3`t=inf

미분법

Ⅱ

⑵ _{limx=0`~& e^3^x&-e^2^xx =limx=0`&~ (e^3^x&-1)-(e^2^x&-1)x} =limx=0`&~( e^3^x&-1<sub>x -</sub>e^2^x&-1<sub>x )</sub> =limx=0`~&( e^3^x&-1_{3x \3-}e^2^x&-1_{2x \2)}

=1\3-1\2=1

⑶ _{limx=0`~& ln`(1+2x)} e^5^x&-1

=limx=0`^{ ln`(1+2x)_2x \ 5x_{e^5^x&-1 \}2/5^} =1\1\2/5=2/5

⑷ _{limx=0`~ log2`(1+5x)3x =limx=0`` log2`(1+5x)5x 5/\3}

= 5_3`ln`2

답 ⑴ _{4/7 ⑵ 1 ⑶ 2/5 ⑷ 53`ln`2}

117

⑴ _{x-1=t로 놓으면}

x`→`1일 때 t`→`0이고, x=t+1이므로 limx=1 ~ e^x-1&-x^2_{x-1 =lim}t=0`&~~ e^t&-(t+1)^2<sub>t</sub> =limt=0`&~~ e^t&-(t^2&+2t+1)_t =limt=0`&~~ (e^t&-1)-(t^2&+2t)<sub>t</sub> =limt=0`~~^{ e^t&-1_{t -(t+2)^}}

=1-2=-1

⑵ _{1/x=t로 놓으면}

x`→`inf~일 때 t`→`0이므로 limx=inf`&x`{ln`(x+2)-ln`x}

=limx=inf`&x`ln`x+2/x~=limx=inf`&x`ln`(1+2/x) =limt=0`&~~ ln`(1+2t)_t =limt=0`&~~ ln`(1+2t)_2t \2 =1\2=2 답 ⑴ _{-1~ ⑵ 2}

119

⑴ 0이 아닌 극한값이 존재하고 x`→`0일 때 (분자)`→`0이므로 (분모)`→`0이어야 한다. 즉, limx=0`&~(e^a^x&-b)=0이므로 e^0&-b=0 .t3`b=1 b=1을 주어진 식에 대입하면

limx=0`&~ 2x<sub>e^a^x&-1 =lim</sub>x=0`&&~ ax_{e^a^x&-1 \}2/a=1\2/a=2/a 따라서 2/a=1/2이므로 a=4 ⑵ 극한값이 존재하고 x`→`0일 때 (분모)`→`0이므로 (분자)`→`0이어야 한다. 즉, limx=0`&~ln`(a+3x)=0이므로 ln`a=0 .t3`a=1 a=1을 주어진 식에 대입하면 limx=0`&~ ln`(1+3x)_e1^0^x&-1

=limx=0`&~^{ ln`(1+3x)_3x \ 10x_{e1^0^x&-1 \}3/10^} =1\1\3/10=3/10

.t3`b=3/10

답 ⑴ _{a=4, b=1 ⑵ a=1, b=3/10}

121

⑴ y= e^x-1_{3 =3e 이므로}e^x y&'= (e^x)&'_{3e =3e =}e^x e^x-1₃ ⑵ _{y=xe&-^x=x(1/e)^^x이므로} y&' =(x)&'(1/e)^^x&+x^{(1/e)^^x^}&' =(1/e)^^x&+x\(1/e)^^x&`ln&` 1/e =e&-^x&-xe&-^x=e&-^x(1-x)

답 ⑴ y&'= e^x-1_{3 ⑵ y&'=e&-^x(1-x)}

123

⑴ y=3^2^x+1=3\9^x이므로 y&' =3\(9^x)&'=3\9^x&`ln`9 =3\3^2^x&`ln`3^2=2\3^2^x+1`ln`3 ⑵ _{y=e^3^x&+5^x=(e^3)^x&+5^x이므로} y&' ={(e^3)^x}&'+(5^x)&'=(e^3)^x&`ln`e^3&+5^x&`ln`5 =3e^3^x&+5^x&`ln`5 ⑶ y=2^x(3x+1)이므로 y&' =(2^x)&'(3x+1)+2^x(3x+1)&' =2^x&`ln`2\(3x+1)+2^x&\3 =2^x{(3x+1)`ln`2+3} ⑷ _{y=(x^2&+2)(1/3)^^x이므로}

y&' =(x^2&+2)&'(1/3)^^x&+(x^2&+2)^{(1/3)^^x^}&' =2x\(1/3)^^x&+(x^2&+2)\(1/3)^^x&`ln`&1/3 =(1/3)^^x^{(x^2&+2)`ln`&1/3+2x^} 답 ⑴ y&'=2\3^2^x+1`ln`3 ⑵ _{y&'=3e^3^x&+5^x&`ln`5} ⑶ y&'=2^x{(3x+1)`ln`2+3} ⑷ y&'=(1/3)^^x^{(x^2&+2)`ln`&1/3+2x^}

125

limh=0`~~ f~(3+h)-~f~(3)<sub>3h</sub> =limh=0`~~ f~(3+h)-~f~(3)_h \1/3 =1/3~f~&'(3) ~f~(x)=3^x에서~`f~&'(x)=3^x&`ln`3 .t3`1/3~f~&'(3)=1/3\3^3&`ln`3=9`ln`3 답 9`ln`3

127

⑴ _{y= ln`x^93 =</sub>9`ln`x<sub>3 =3`ln`x이므로</sub> y&'=3/x ⑵ <sub>y=ln`(4x)^5=5`ln`4x=5(ln`4+ln`x)이므로} y&'=5/x ⑶ <sub>y=(3x^2&-1)`ln`x^2=(6x^2&-2)ln`x이므로</sub> y&' =(6x^2&-2)&'`ln`x+(6x^2&-2)(ln`x)&' =12x\ln`x+(6x^2&-2)\1/x =12x`ln`x+6x-2/x

답 ⑴ _{y&'=3/x ⑵ y&'=5/x ⑶ y&'=12x`ln`x+6x-2/x}

129

⑴ _{y=log_5`&25x=log_5`&25+log_5`&x=2+log_5`&x이므로} y&'= 1_x`ln`5 ⑵ y=(2x+1)`log_3`&4x=(2x+1)(log_3`&4+log_3`&x) 이므로 y&' =(2x+1)&'(log_3`&4+log_3`&x) +(2x+1)(log_3`&4+log_3`&x)&' =2\(log_3`&4+log_3`&x)+(2x+1)\ 1_x`ln`3 =2`log_3`&4x+ 2x+1_x`ln`3 ⑶ y=3^x`log2`&x이므로 y&' =(3^x)&'`log2&`x+3^x`(log2`&x)&' =3^x&`ln`3\log2`&x+3^x&\ 1<sub>x`ln`2</sub> =3^x(ln`3\log2`&x+ 1<sub>x`ln`2 )</sub> 답⑴ y&'= 1<sub>x`ln`5</sub> ⑵ y&'=2`log_3`&4x+ 2x+1<sub>x`ln`3</sub> ⑶ <sub>y&'=3^x(ln`3\log2`&x+ 1x`ln`2 )</sub>

131

limx=1`~~ f~(x^2)-~f~(1)<sub>x-1</sub> =limx=1`~~^{ f~(x^2)-~f(1)_x^2&-1 \(x+1)^} =2~f~&&'(1) ~f~(x)=e^x&`ln`x에서 ~f~&'(x)=e^x&\ln`x+e^x&\1/x=e^x(ln`x+1/x) .t3`2~f~&'(1)=2e1(ln`1+1/1)=2e 답 2e

133

~f~(x)=^{3+a`ln`x (0<x-<1)_{bx+2 (x>1)} …… ㉠에서 ~f~&'(x)=^^{a/x (0<x<1) b (x>1) …… ㉡ 함수<sub>~`f~(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연</sub> 속이고, x=1에서의 미분계수 ~f~&'(1)이 존재한다.  ` x=1에서 연속이므로 ㉠에서 3=b+2 .t3`b=1 …… ㉢  ` ~f~&'(1)이 존재하므로 ㉡에서 a/1=b .t3`a=b …… ㉣ ㉢_, ㉣에서 a=1, b=1 답 _{a=1, b=1}

134

ㄱ_{. limx=inf`&(1+2/x)}x/2_=e ㄴ_{. -x=t로 놓으면}

x~→~0일 때 t~→~0이므로 limx=0`~(1-x)1/x =limt=0`~(1+t)-1/t =limt=0`~^{(1+t)1/t ^}-1 =e&-1=1/e ㄷ<sub>. -x=t로 놓으면</sub> x`→`-inf~일 때 t~→~inf~이므로 limx=-inf~(x-1/x`)&-^^x =limx=-inf~(1-1/x)&-^^x =limt=inf`~(1+1/t)^^t=e 따라서 극한값이 _{e인 것은 ㄱ, ㄷ이다.}

답 ㄱ, ㄷ

135

x-1=t로 놓으면

x~→~1일 때 t~→~0이고, x=t+1이므로 limx=1`~ 4^x-1&-1<sub>x^2&-1 =lim</sub>t=0`~_{(t+1)^2&-1 =lim}4^t&-1 t=0`~ 4^t&-1<sub>t^2&+2t</sub> =limt=0`~^{ 4^t&-1_{t \t+2 ^}=1}1 /2&`ln`4

=ln`rt4=ln`2

.t3`a=2

답 2

136

limx=0`&~ ln`(ax+1)_{x^2&+5x =lim}x=0`~ ln`(ax+1)_x(x+5)

=limx=0`~^{ ln`(ax+1)_axa /\`x+5^} =1\a/5=a/5 따라서 a/5=4이므로 a=20 .t3`limx=0`~ ln`(2x+1)_ax =limx=0`~ ln`(2x+1)_20x =limx=0`~ ln`(2x+1)_2x 1/\10 =1\1/10=1/10 답 _1/10

137

~f~(x) =(x^3&+2)3^2^x-1=(x^3&+2)9^x&\3&-1 =1/3(x^3&+2)9^x 이므로

~f~&'(x) =1/3\3x^2&\9^x&+1/3(x^3&+2)\9^x&`ln`9 =x^2&\3^2^x&+(x^3&+2)3^2^x-1&`ln`9 .t3`~f~&'(0)= 2`ln`9<sub>3</sub> 답 2`ln`9 3

138

limh=0`~~ f~(e+h)-~f~(e-h)<sub>h</sub> =limh=0`~~ f~(e+h)-~f~(e)-~f~(e-h)+~f~(e)_h =limh=0`~~ f~(e+h)-~f~(e)<sub>h</sub> +limh=0`~~ f~(e-h)-~f~(e)_-h =~f~&'(e)+~f~&'(e)=2~f~&'(e) ~f~(x)=x^3&`ln`x^2=2x^3&`ln`x이므로 ~f~&'(x)=6x^2&\ln`x+2x^3&\1/x=6x^2&`ln`x+2x^2 .t3`2~f~&'(e)=2(6e^2&+2e^2)=16e^2 답 16e^2

139

limx=1`~~ f~(x)-3<sub>x-1 =5에서 극한값이 존재하고</sub> x~→~1일 때 (분모)~→~0이므로 (분자)~→~0이다. 즉<sub>, limx=1`&{~f~(x)-3}=0이므로~`f~(1)-3=0</sub> .t3`~f~(1)=3

.t3`limx=1`~~ f~(x)-3_{x-1 =lim}x=1`~~ f~(x)-~f~(1)<sub>x-1</sub> =~f~&'(1)=5 한편, ~f~(x)=ax-bx`ln`x, ~f~&'(x)=a-b`ln`x-b 이므로 ~f~(1)=3에서 a=3 ~f~&'(1)=5에서 a-b=5 .t3`b=a-5=-2 따라서 _{~f~(x)=3x+2x`ln`x이므로} ~f~(e)=3e+2e=5e 답 _5e

141

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원에서 theta=7/6&pai의 동경과 이 원의 교점을 P, 점 P 에서 _{x축에 내린 수선의 발을 H} 라 하면 직각삼각형 POH에서 p 3 -₂ -x y -1 1 -₂ -1 - 1 1 O P H -76

gakPOH=pai/6이므로 점 P의 좌표는 (-#!rt3/2$$, -1/2)이다. .t3`csc`theta= 1 -1/2=-2  sec`theta= 1 -#!rt3/2$=-;#2rt3$:=- 2rt3/ 3  cot`theta=-#!rt3/2$ -1/2 =rt3 답 csc`theta=-2, sec`theta=- 2rt3_{3 , cot`theta=rt3}

143

cos`theta

csc`theta+cot`theta +csc`theta-cot`thetacos`theta =<sub>(csc`theta+cot`theta)(csc`theta-cot`theta)</sub>cos`theta(csc`theta-cot`theta)

+_{(csc`theta-cot`theta)(csc`theta+cot`theta)}cos`theta(csc`theta+cot`theta) = 2`cos`theta`csc`theta<sub>csc^2`&theta-cot^2`&theta</sub>

=_{(1+cot^2`&theta)-cot^2`&theta} 2`cos`theta`csc`theta  1+cot^2`&theta=csc^2`theta =2`cos`theta` 1<sub>sin`theta</sub>

=2 cos`theta<sub>sin`theta</sub> =2`cot`theta

답 _2`cot`theta

145

tan`theta+cot`theta = sin`theta<sub>cos`theta +</sub>cos`theta<sub>sin`theta =</sub>sin^2`&theta+cos^2`&theta_{sin`theta`cos`theta</sub> =<sub>sin`theta`cos`theta =3}1 .t3`sin`theta`cos`theta=1/3 이때 sin^2`theta&-2`sin`theta`cos`theta+cos^2`theta=1-2/3=1/3이므로 (sin`theta-cos`theta)^2=1/3 .t3`sin`theta-cos`theta=#!rt3/3$ (.T3`sin`theta>cos`theta) 답 #!rt3/3$

147

⑴ _{sin`15° =sin`(45°-30°)} =sin`45°`cos`30°-cos`45°`sin`30° =#!rt2/2$\#!rt3/2$-#!rt2/2$\1/2= rt6&-rt2₄ ⑵ _{cos`105° =cos`(60°+45°)} =cos`60°`cos`45°-sin`60°`sin`45° =1/2\#!rt2/2$-#!rt3/2$&&\#!rt2/2&$= rt2&-rt6₄ ⑶ _{tan`75° =tan`(45°+30°)} = tan`45°+tan`30°_{1-tan`45°`tan`30°} = 1+#1rt3$:/ 1-1\#1rt3$:/ = rt3&+1rt3&-1 =2+rt3 답⑴ rt6&-rt2₄ ⑵ rt2&-rt6₄ ⑶ 2+rt3

149

⑴ _{(주어진 식)=sin`(110°-80°)=sin`30°=1/2} ⑵ _{(주어진 식)=cos`(35°+25°)=cos`60°=1/2} ⑶ _{(주어진 식)=tan`(20°+10°)=tan`30°=#!rt3/3$} 답 ⑴ 1/2 ⑵ 1/2 ⑶ #!rt3/3$

151

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 tan`alpha+tan`beta=5/2, tan`alpha`tan`beta=-3/2 .t3`tan`(alpha+beta) = tan`alpha+tan`beta<sub>1-tan`alpha`tan`beta</sub>

= 5/2

1-(-3/2)=1

답 1

153

0<alpha<pai/2, pai/2<beta<pai에서 cos`alpha>0, sin`beta>0이므로 cos`alpha=▣~1-sin^2`&alpha~=▤~1-(1/3)^^2~= 2rt2₃

sin`beta=▣~1-cos^2`&beta~=▤~1-(-1/4)^^2~= rt15₄ tan`alpha= sin`alpha_{cos`alpha = 2rt2}1/3

3 =#!rt2/4$

tan`beta= sin`beta_{cos`beta =} rt15

4

⑴ _{sin`(alpha-beta) =sin`alpha`cos`beta-cos`alpha`sin`beta</sub> =1/3\(-1/4)- 2rt2<sub>3 \</sub>rt15<sub>4</sub> =- 1+2rt30<sub>12</sub> ⑵ <sub>cos`(alpha+beta) =cos`alpha`cos`beta-sin`alpha`sin`beta} = 2rt2_{3 \(-1}/4)-1/3\ rt15₄ =- 2rt2&+rt15₁₂

⑶ _{tan`(alpha-beta) = tan`alpha-tan`beta1+tan`alpha`tan`beta} = #!rt2/4$-(-rt15~) 1+#!rt2/4$\(-rt15~) = rt2&+4rt15_{4-rt30 =-}32rt2&+9rt15₇ 답⑴ _{- 1+2rt3012} ⑵ _{- 2rt2&+rt1512} ⑶ _{- 32rt2&+9rt157}

155

두 직선 _{y=1/2&x+1, y=-1/3&x+2가 x축의 양의 방향} 과 이루는 각의 크기를 각각 _{alpha, beta라 하면}

tan`alpha=1/2, tan`beta=-1/3

두 직선이 이루는 예각의 크기를 theta라 하면 tan`theta =|tan`(alpha-beta)|=^| tan`alpha-tan`beta<sub>1+tan`alpha`tan`beta ^|</sub> =_| 1/2-(-1/3) 1+1/2\(-1/3)_|=1 .t3`theta=pai/4 답 _pai/4

157

pai<theta<3/2&pai에서 sin`theta<0이므로 sin`theta=-▣~1-cos^2`&theta~=-▤~1&-(-1/3)^^2~=- 2rt2<sub>3</sub> .t3` sin`2theta=2`sin`theta`cos`theta =2\(- 2rt2<sub>3 )\(-1</sub>/3) = 4rt2<sub>9</sub> cos`2theta=2`cos^2`&theta-1=2\(-1/3)^^2&-1=-7/9

tan`2theta= sin`2theta<sub>cos`2theta =</sub> 4rt2 9 -7/9=- 4◈~2~7 답sin`2theta= 4rt2 9 , cos`2theta=-7/9, tan`2theta=- 4rt27

159

⑴ _{sin`theta-cos`theta=1/3의 양변을 제곱하면} sin^2`&theta-2`sin`theta`cos`theta+cos^2`&theta=1/9 1-sin`2theta=1/9 .t3`sin`2theta=8/9 ⑵ <sub>sin`2theta=2`sin`theta`cos`theta=8/9이므로</sub> sin`theta`cos`theta=4/9 .t3` sin^3`&theta-cos^3`&theta =(sin`theta-cos`theta)(sin^2`&theta+sin`theta`cos`theta+cos^2`&theta) 1/=3&(1+4/9)=13/27 답 ⑴ 8/9 ⑵ 13/27

161

pai / 2<theta<pai에서 cos`theta<0이므로 cos`theta=-▣~1-sin^2`&theta~=-▤~1-(3/5)^^2~=4 /- 5 pai / 4<theta/2<pai/2이므로

sin`theta/2>0, cos`theta/2>0, tan`theta/2>0 sin^2`theta/2= 1-cos`theta<sub>2</sub> =1-(-4<sub>2</sub> /5)=9/10 .t3`sin`theta/2= 3rt10₁₀

cos^2`theta/2= 1+cos`theta₂ =1+(-4₂ /5)1/=10 .t3`cos`theta/2= ◈~10~₁₀

tan^2`theta/2= 1-cos`theta<sub>1+cos`theta =</sub>1-(-4/5) 1+(-4/5)=9 .t3`tan`theta/2=3

답sin`theta/2= 3rt10

163

⑴ r=▣~(rt3~~)^2&+1^2~=2~ ➡ _{2로 묶은 후 덧셈정리를 쓴다.}  ` 사인합성&: 사인함수의 덧셈정리를 쓴다. rt3`sin`x+cos`x =2(#!rt3/2$`sin`x+1/2`cos`x) =2(cos`pai/6`sin`x+sin`pai/6`cos`x) =2`sin`(x+pai/6)

 ` 코사인합성&: 코사인함수의 덧셈정리를 쓴다. rt3`sin`x+cos`x

=2(#!rt3/2$`sin`x+1/2`cos`x) =2(sin`pai/3`sin`x+cos`pai/3`cos`x) =2`cos`(x-pai/3) ⑵ _{r=rt1^2+1^2~=rt2} ➡ _{rt2로 묶은 후 덧셈정리를 쓴다.}  ` 사인합성&: 사인함수의 덧셈정리를 쓴다. sin`x+cos`x =rt2`(#1rt2$:`sin`x+#1/ rt2$:`cos`x)/ =rt2`(cos`pai/4`sin`x+sin`pai/4`cos`x) =rt2`sin`(x+pai/4)

 ` 코사인합성&: 코사인함수의 덧셈정리를 쓴다. sin`x+cos`x

=rt2`(#1rt2$:`sin`x+#1/ rt2$:`cos`x)/ =rt2`(sin`pai/4`sin`x+cos`pai/4`cos`x) =rt2`cos`(x-pai/4)

답 ⑴ _{2`sin`(x+pai/6), 2`cos`(x-pai/3)} ⑵ rt2`sin`(x+pai/4), rt2`cos`(x-pai/4)

165

cos`(x-pai/4) =cos`x`cos`pai/4+sin`x`sin`pai/4 =#!rt2/2$`sin`x+#!rt2/2$`cos`x 이므로 2`cos`(x-pai/4)-2rt2`sin`x =2(#!rt2/2$`sin`x+#!rt2/2$`cos`x)-2rt2`sin`x =-rt2`sin`x+rt2`cos`x 따라서 r=▣~(-rt2~~)^2&+(rt2~~)^2~=2이므로 (주어진 식) =2(-#!rt2/2$`sin`x+#!rt2/2$`cos`x) =2(cos`3/4&pai`sin`x+sin`3/4&pai`cos`x) =2`sin`(x+3/4&pai) 답 <sub>2`sin`(x+3/4&pai)</sub>

167

⑴ _{3x+pai/3=theta로 치환한 후 합성하면} y =3`cos`theta+rt3`sin`theta =2rt3`(#!rt3/2$cos`theta+1/2`sin`theta) =2rt3`(sin`pai/3`cos`theta+cos`pai/3`sin`theta) =2rt3`sin`(theta+pai/3)

=2rt3`sin`(3x+2/3&pai)

따라서 최댓값은 _{2rt3, 최솟값은 -2rt3, 주기는 2pai/3} 이다.

⑵ <sub>sin`(x+pai/6) =sin`x`cos`pai/6+cos`x`sin`pai/6</sub> =#!rt3/2$`sin`x+1/2`cos`x 이므로 y =2rt3`sin`(x+pai/6)-4`sin`x =2rt3`(#!rt3/2$`sin`x+1/2`cos`x)-4`sin`x =rt3`cos`x-sin`x =2(#!rt3/2$cos`x-1/2`sin`x) =2(sin`pai/3`cos`x-cos`pai/3`sin`x) =2`sin`(pai/3-x)

따라서 최댓값은 _{2, 최솟값은 -2, 주기는 2pai이다.} 답 ⑴ 최댓값_{&:`2rt3, 최솟값&:`-2rt3, 주기&:`2pai/3}

168

(주어진 식) = (sin^2`&theta+2+csc^2`&theta)+(cos^2`&theta+2+sec^2`&theta) -(tan^2`&theta+2+cot^2`&theta) = (sin^2`&theta+cos^2`&theta)+(sec^2`&theta-tan^2`&theta) +(csc^2`&theta-cot^2`&theta)+2 =1+1+1+2=5 답 ₅

169

pai / 2<alpha<pai에서 cos`alpha<0이므로 cos`alpha=-▣~1-sin^2`&alpha~~=-▤~1-(#1rt5$:)^^2~=-;#2/ rt5$:/ 0<beta<pai/2에서 sin`beta>0이므로 sin`beta=▣~1-cos^2`&beta~~=▤~1-(#2rt5$:)^^2~=#1/ rt5$:/ .t3`sin`(alpha-beta)+cos`(alpha+beta) =sin`alpha`cos`beta-cos`alpha`sin`beta +cos`alpha`cos`beta-sin`alpha`sin`beta =#1rt5$:\#2/ rt5$:-(-#2/ rt5$:)\#1/ rt5$:/ +(-#2rt5$:)\#2/ rt5$:-#1/ rt5$:\#1/ rt5$:/ =1 /- 5 답 _1/-5

170

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 tan`alpha+tan`beta=-k/3, tan`alpha`tan`beta=-7/3 이므로

tan`(alpha+beta) = tan`alpha+tan`beta<sub>1-tan`alpha`tan`beta</sub>

= -k/3 1-(-7/3)1/=2 에서 _-k/10=1/2 .t3`k=-5 답 _-5

171

tan`2theta= 2`tan`theta<sub>1-tan^2`&theta =`4</sub>1/-4=-4/3

cos`2theta =2`cos^2`&theta-1= 2<sub>sec^2`&theta -1</sub>

=<sub>1+tan^2`&theta -1=</sub>2 <sub>1+4 -1=-3</sub>2 /5 sin`2theta=tan`2theta\cos`2theta=(-4/3)\(-3/5)=4/5

답 tan`2theta=-4/3, cos`2theta=-3/5, sin`2theta=4/5

172

sin^2`theta/2= 1-cos`theta₂ =1/5이므로 cos`theta=3/5 .t3`cos`2theta=2`cos^2`&theta-1=2\(3/5)^^2&-1=-7/25

답 _-7/25

173

r=rt4^2+3^2~=5이므로

4`sin`x+3`cos`x =5(4/5`sin`x+3/5`cos`x) =5(cos`alpha`sin`x+sin`alpha`cos`x) = 5`sin`(x+alpha)

(단, cos`alpha=4/5, sin`alpha=3/5) .t3`r&`tan`alpha=5\ sin`alpha_{cos`alpha =5\}3/5

4 / 51 5=/4

답 15/4

174

sin`(x+pai/3) =sin`x`cos`pai/3+cos`x`sin`pai/3 =1/2`sin`x+#!rt3/2$`cos`x 이므로 y =2`sin`(x+pai/3)-2rt3`cos`x =2(1/2`sin`x+#!rt3/2$`cos`x)-2rt3`cos`x =sin`x-rt3`cos`x =2(1/2`sin`x-#!rt3/2$`cos`x) =2(cos`pai/3`sin`x-sin`pai/3`cos`x) =2`sin`(x-pai/3)

따라서 주기는 _{2pai이고, 최솟값은 -2이므로} a=2, b=-2