S =-int-1^3&~~(-rtx+1~)dx =int-1^3~~(x+1)^1/2dx =^[2/3(x+1)13/2=&]^3-1& /36
S2=int1^e&~ln`x`dx=^[x`ln`x-x]1^e&=1 .t3`S=S1&+S2=2-2/e
답 ⑴ 16/3 ⑵ 22 /- e y^2=2x .t3`x=1/2&y^2 .t3`S=int0^2~1/2&y^2&dy=^[1/6&y^3]0^2&4 /= 3
⑵ 구하는 값은 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓이. 그래프가 y축의 왼쪽에 있을
때이다.
이때 y=-1/x에서 x=-1/y .t3`S =-int1^3~(-1/y)dy=int1^3~1/y&dy =^[ln~|y|]1^3&=ln`3
답 ⑴ 4/3 ⑵ ln`3 S1 =int-10&`(e&-^x&-e^x)dx =^[-e&-^x&-e^x]0-1 =e+1/e-2
S2 =int0^2&(e^x&-e&-^x)dx=^[e^x&+e&-^x]0^2&
=e^2&+#1/@e^2 :&-2 .t3`S =S1&+S2
=e^2&+e+#1/@e^2 :&+1/e-4
⑵ 구하는 값은 오른쪽 그림 의 색칠한 부분의 넓이. 이때 두 곡선의 교점의 x
좌표는 sin`x=cos`x에서
x=pai/4 또는 ~x=5/4&pai (.T3`0-<x-<2pai) .t3`S =int ~5pai/4/4&pai(sin`x-cos`x)dx =^[-cos`x-sin`x]5/4&paipai/4
S2=int0^1rtax`&dx=^[2/3rta~~&x3/2]0^1&=2/3rta~
S2=1/2&S1이므로 2/3rta~=1/3 S_1 S_2
y y=e_x
y=e_-_x
O x
y y=sin`x y=cos`x
2π
S2=1/2&S1이므로 rta~int0^1rtx~&~dx=1/2int0^1rtx~&~dx rta~=1/2 .t3`a=1/4 =^[e^x+1&-#!e^^2/2:x^2]0^1&=#!e^^2/2:-e
답 #!e^^2/2:-e
522
f~(0)=0,`~f~(pai/4)=1
이므로 y=~f~(x)의 그래프는 오
.t3`int0^1~g~(x)dx=S2
, 에서
int ~pai0/4~f~(x)dx+int0^1~g~(x)dx =S1&+S2
=(직사각형의 넓이)
=pai/4\1=pai/4
[참고]
공식을 이용하면 ~f~(0)=0,`~f~(pai/4)=1이므로
int ~pai0/4~f~(x)dx+int0^1~g~(x)dx =(위끝의 곱)-(아래끝의 곱)
=pai/4\1=pai/4
두 함수 y=2rtx~, x=2rty~~는 서로 역함수 관계이다.
따라서 구하는 넓이는 곡선 y=2rtx~와 직선 y=x로 둘 러싸인 도형의 넓이의 2배이다. S1 =-int-10&~(e^x&-1)dx =-^[e^x&-x]0-1&1 /= e
S2=int0^1&(e^x&-1)dx=^[e^x&-x]0^1&=e-2 .t3`S=S1&+S2=1/e+e-2
⑵ 구하는 값은 오른쪽 그림의
색칠한 부분의 넓이. S1 =int ~pai0/4~cos`2x`dx =^[1/2`sin`2x]pai/40=1/2
S2=-int ~paipai/4/2~cos`2x`dx=-^[1/2`sin`2x]pai/2pai/4=1/2 .t3`S=S1&+S2=1
답 ⑴ 1/e+e-2 ⑵ 1 y^2=x-1 .t3`x=y^2&+1
x=2 y y y=e_x-1
-1S_1 1 x S_2
S_1
O -π4 S_2 x -π2 y y=cos`2x
y= x-1
O y 1
1 x
.t3`S=int0^1&(y^2&+1)dy=^[1/3&y^3&+y]0^1&4 /= 3 x-1=e^y .t3`x=e^y&+1 .t3`S =int-1^1&~~(e^y&+1)dy =^[e^y&+y]^1-1&=e-1/e+2
답 ⑴ 4/3 ⑵ e-1/e+2
527
⑴ 구하는 값은 오른쪽 그림의 색 칠한 부분의 넓이.
두 곡선의 교점의 x좌표는 x^2=rtx~~에서 x^4=x x^4&-x=0
x(x-1)(x^2&+x+1)=0 .t3`x=0 또는 ~x=1
.t3`S=int0^1&(rtx~&-x^2)dx=^[2/3&xrtx~&-1/3&x^3]0^1&1 /= 3
⑵ 구하는 값은 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓이. y=ln`x에서 x=e^y, y=x에서 x=y .t3`S =int-1^1&~(e^y&-y)dy =^[e^y&-1/2&&y^2]^1-1&=e-1/e
답 ⑴ 1/3 ⑵ e1 /- e
S1 =int1^3&1/x&`dx =^[ln~|x|]1^3&=ln`3
O
S2=int1^k~1/x&dx=^[ln~|x|]1^k&=ln`k S2=1/2&S1이므로 ln`k=1/2&ln`3=ln`rt3 .t3`k=rt3
rtt-1=at ← 그냥 같다.
12rtt-1 =a ← 미분해서 같다.
y=rtx-1~에서 x=y^2&+1 y=1/2&x에서 x=2y .t3`S =int0^1&{(y^2&+1)-2y}dy =^[1/3&y^3&+y-y^2]0^1&=1/3
답 1/3
.t3`int2^e+^1~f~(x)dx=S1
y=~f~(x)의 그래프의 x축을 y축으로, y축을 x축으 로 보면 y=~g~(x)의 그래프가 된다.
.t3`int0^1~g~(x)dx=S2
y= x-1
, 에서
int2^e+^1~~f~(x)dx+int0^1~g~(x)dx =S1&+S2
=(직사각형의 넓이)
=e+1
[참고]
공식을 이용하면 ~f~(2)=0, ~f~(e+1)=1이므로 int2^e+^1~~f~(x)dx+int0^1~g~(x)dx
=(위끝의 곱)-(아래끝의 곱)
=(e+1)\1-2\0
=e+1
답 e+1
532
⑴ [1단계] x축 설정하기 오른쪽 그림과 같이 물
의 깊이가 0인 점을 원 점 O로 하고 입체도형 에 수직인 직선을 x축 으로 정한다.
[2단계] 단면의 넓이 구하기
물의 깊이가 x인 부분의 수면의 넓이 S(x)는 S(x)=pai(RT2-x^2~~)^2=pai(2-x^2)
[3단계] 부피 구하기
.t3`V =int0^1&~S(x)dx=int0^1&pai(2-x^2)dx =pai^[2x-1/3&x^3]0^1&=5/3&pai
⑵ [1단계] x축 설정하기
오른쪽 그림과 같이 정사 각뿔의 꼭짓점을 원점 O 로 하고 점 O에서 밑면 에 수직으로 내린 직선을 x축으로 정한다.
[2단계] 단면의 넓이 구하기
작은 정사각뿔과 큰 정사각뿔의 닮음비는 x：h이고 넓이의 비는 닮음비의 제곱의 비 이므로 높이가 x인 정사각뿔의 밑면의 넓이 S(x)는
S(x)`&:`a^2=x^2`&:`h^2 .t3`S(x)=#!a^^2/@h^2 :x^2
2-x_2 O x
x 1
O
x h x S(x)
[3단계] 부피 구하기
.t3`V =int0^h&~S(x)dx=int0^h&~#!a^^2/@h^2 :x^2&dx =#!a^^2/@h^2 :^[1/3&x^3]0^h&=1/3&a^2&h
답 ⑴ 5/3&pai ⑵ 1/3&a^2&h
534
x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 직각이등변삼 각형이므로 이 직각이등변삼각형의 넓이가 S(x)가 된다.
이 넓이를 구해 int0^1&S(x)dx를 계산하면 끝.
S(x)=1/2\RT1-x^2~\RT1-x^2~=1/2(1-x^2)
V =int0^1&~S(x)dx=int0^1~1/2(1-x^2)dx =1/2&^[x-1/3&x^3]0^1&1 /= 3
답 1/3
535
물의 깊이가 x일 때, 수면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=pai`cos^2`x
.t3`V =int0^2^pai&S(x)dx=int0^2^pai&pai`cos^2`&x`dx =paiint0^2^pai~& 1+cos`2x2& ~dx
=pai/2&^[x+1/2`sin`2x]0^2^pai&=pai~^2
답 pai~^2
536
한 변의 길이가 ex/2+1~인 정사각형의 수면의 넓이는 ex/2+1이므로 물통의 부피는
int0^4~&(ex/2+1)dx=^[2ex/2+x]0^4&=2e^2&+4-2=2e^2&+2
답 2e^2&+2
537
[1단계] x축 설정하기
밑면의 중심을 원점, 밑면의 지름을 x축으로 정 한다.
[2단계] 단면의 넓이 구하기
x일 때, 단면은 밑면과 45*의 각을 이루는 직각
삼각형이므로 삼각형의 넓이 S(x)는
S(x)=1/2(RT4-x^2~~)^2=1/2(4-x^2) [3단계] 부피 구하기
따라서 작은 입체도형의 부피는 V =2int0^2&~S(x)dx=2int0^21/2(4-x^2)dx =int0^2&(4-x^2)dx=^[4x-1/3&x^3]0^2 =8-8/3=16/3
답 16/3
538
x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 직각이등변삼 각형이므로 이 직각이등변삼각형의 넓이가 S(x)가 된다.
이 넓이를 구해 int ~pai0/2S(x)dx를 계산하면 끝.
S(x)=1/2\rTsin`2x\rTsin`2x=1/2`sin`2x
V =int ~pai0/2~S(x)dx=int~ ~pai0/21/2`sin`2x`dx =^[-1/4`cos`2x]pai/201/=4+1/4=1/2
답 1/2
540
⑴ 시각 t=0에서 점 P의 위치가 x=0이므로 구하는 위치 x는
x =0+int0^t&te&-^t&~dt=^[-te&-^t]0^t&-int0^t&(-e&-^t)&dt =-te&-^t&+int0^t&e&-^t&dt=-te&-^t&+^[-e&-^t]^t0 =-(t+1)e&-^t&+1
⑵ int1^2~&te&-^t&dt =^[-te&-^t&]^21&-int1^2&(-e&-^t&)dt =^[-te&-^t&]^21&-^[e&-^t&]^21&
=-2e&-^2&+e&-1&-e&-^2&+e&-1= 2e-3e^2
답 ⑴ -(t+1)e&-^t&+1 ⑵ 2e-3e^2
542
dx /
dt=3`cos`t-4`sin`t, dy/dt=4`cos`t+3`sin`t이므로 시각 t=0에서 t=pai까지 점 P가 움직인 거리는
int0^pai▤~(dx/dt)^^2&+(dy/dt)^^2&~dt
=int0^pai&~▣~~(3`cos`t-4`sin`t)^2&+(4`cos`t+3`sin`t)^2&~dt
=int0^pai&~~~▣~25(cos^2`&t+sin^2`t)~dt
=int0^pai&~5`dt=^[5t]0^pai&=5pai
답 5pai
544
⑴ /dtheta=-12`cos^2`&theta`sin`theta, dydx /dtheta=12`sin^2`&theta`cos`theta 이므로 구하는 곡선의 길이는
int ~pai0/2~▣~(-12`cos^2`&theta`sin`theta)^2&+(12`sin^2`&theta`cos`theta)^2&~dtheta =int ~pai0/2~▣~(12`cos`theta`sin`theta)^2(cos^2`&theta+sin^2`&theta)~dtheta =int ~pai0/2~▣~(12`cos`theta`sin`theta)^2&~dtheta
=int ~pai0/2~|12`cos`theta`sin`theta|dtheta =int ~pai0/2~12`cos`theta`sin`theta~dtheta
0-<theta-<pai/2에서 cos`theta`sin`theta->0&
=int ~pai0/2~6`sin`2theta`dtheta 2`sin`theta`cos`theta=sin`2theta =^[-3`cos`2theta]pai/20=6
⑵ y&'=1/4&x-1/x이므로 구하는 곡선의 길이는
int1^3&RrT1+(1/4&x&-1/x)^^2~dx =int1^3RrT(1/4&x+&1/x)^^2dx =int1^3~(1/4&x+1/x)dx =^[1/8&x^2&+ln~|x|]1^3
=1+ln`3
답 ⑴ 6 ⑵ 1+ln`3
545
dx /
dt=e^t`cos`t-e^t`sin`t, dy/dt=e^t`sin`t+e^t`cos`t이므로 RrT(
d x/dt)^^2&+(dy/dt)^^2
=▣~(e^t`cos`t-e^t`sin`t)^2&+(e^t`sin`t+e^t`cos`t)^2~
=rt2&~e^t
따라서 시각 t=0에서 t=2pai까지 점 P가 움직인 거리는
int0^2^paiRrT(d x/dt)^^2&+(dy/dt)^^2~dt =int0^2^pairt2&~e^t&dt =^[rt2&~e^t]0^2^pai =rt2&(e^2^pai&-1)
답 rt2&(e^2^pai&-1)
546
점 P의 x좌표가 0이 되는 것은 1
/
2&t^2&-t=0에서 t^2&-2t=0
t(t-2)=0 .t3`t=2 (.T3`t>1) 이때 /dt=t-1, dydx /dt=2rtt~~~이므로
시각 t=1에서 t=2까지 점 P가 움직인 거리는 int1^2RrT(d x/dt)^^2&+(dy/dt)^^2~dt =int1^2&~▣~(t-1)^2&+(2rtt&~)^2&~~dt =int1^2~rtt^2+2t+1&`dt
=int1^2~rt(t+1)^2~`dt
=int1^2&~(t+1)~dt
=^[1/2&t^2&+t]1^2
5/=2
답 5/2
547
dx /
dt=1/t, dy/dt=1/2- 12t^2이므로 구하는 곡선의 길이는
int1^eRrT(d x/dt)^^2&+(dy/dt)^^2~dt =int1^eRrT(1/t)^^2&+(1/2"- 12t^2 )^^2dt =int1^errT1/4+ 12&t^2 &+ 1
4&t^4 `dt =int1^eRrT(1/2+ 12&t^2 )^^2"`dt
=int1^e~(1/2+ 12&t^2 )~dt =^[t/2-1/2t&]1^e
=e/2-1/2e
답 e/2-1/2e
548
y&'= rt2(x-2)2 이므로 구하는 곡선의 길이는 int4^9&▩~1+^{ rt2(x-2)2 ^}^^2dx =int4^9rrT1+1/2(x-2)`dx =#!rt2/2$int4^9~rtx~~dx =#!rt2/2$^[2/3&x 3/2]4^9&
= 19rt23
답 19rt23
549
y&'=1/4&x^2&-#1/@x^2 :이므로 구하는 곡선의 길이는 int1^2RrT1+(1/4&x^2&-"#1/@x^2 :)^^2&~dx
=int1^2RrT(1/4&x^2)^^2&+1/2+(#1/@x^2 :)^^2&~dx
=int1^2RrT(1/4&x^2&+#1/@x^2 :)^^2&~dx
=int1^2~(1/4&x^2&+#1/@x^2 :)~dx
=^[1/12&x^3&-1/x]1^2&
= 1 3/12
답 13/12
550
y = xx+1 =(x+1)-1 x+1 =1- 1x+1
이므로 구하는 값은 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓이. 그래프가 x축의 위쪽에 있을 때이므로
S =int0^2~`x /x+1dx =int0^2&~(1-`1 /x+1)dx =^[x-ln~|x+1|]0^2 =2-ln`3
답 2-ln`3 y
y= x-x+1 O 2 x -1
1
551
S1=int0^1&(1-rty&~)dy=^[y-2/3&y3/21 /=&]0^1& 3 S2=-int1^4&(1-rty&~)dy=-^[y-2/3&y3/25 /=&]1^4& 3 .t3`S=S1&+S2=1/3+5/3=2
답 2
.t3`S =int1^2&^{(-x+3)-2/x^}dx =^[-1/2&x^2&+3x-2`ln|x|]1^2 =3/2-2`ln`2
int~~ln`20 ~e^x&dx =^[e^x]~ln`20 =e^ln~^2&-1
=2-1=1
따라서 곡선 y=e^x과 x축, y축 및 직선 x=a로 둘러싸 인 도형의 넓이는 1/2이므로
int0^a&~e^x&dx=^[e^x]0^a&=e^a&-1=1/2 e^a=1+1/2=3/2 .t3`a=ln`&3/2
답 ln`&3/2 y=(x-1)_2 y
4 A=~int~~ln`30 ~f~(x)dx
B=~int~~f~(ln`3) 0 ~g~(x)dx .t3`(주어진 식) =A+B
=2`ln`3
답 2`ln`3
555
단면의 넓이 S(x)=xe&-^1/2&^x에서
S&'(x)=e&-^1/2^x&-1/2&xe&-^1/2^x=(1-1/2&x)e&-^1/2^x S&'(x)=0에서 1-1/2&x=0 (.T3`e&-^1/2^x>0) .t3`x=2 =^[-2xe&-^1/2^x]0^2&-int0^2&~(-2e&-^1/2^x)dx =-4/e+^[-4e&-^1/2^x]0^2
=-4/e+(-4/e+4)
이 넓이를 구해 int0^pai&~S(x)dx를 계산하면 끝.
S(x)=3rTsin`x\3rTsin`x~=9`sin`x
V =int0^pai&~S(x)dx=int0^pai~&9`sin`x`dx =9^[-cos`x]0^pai&=18
답 18
557
int0^1~RT1+~f~&'(x)^2&~~dx는 y=~f~(x)의 0-<x-<1에서 곡선의 길이이므로 최소인 경우는 원점 O와 점 (1, rt3~~)을 직 선으로 연결할 때이다.
따라서 구하는 최솟값은 1^2&+(rt3~~)^2=2
답 ②
558
y&'=1/3\3/2(x^2&+2)^1/2\2x=x(x^2&+2)^1/2이므로 구하는 곡선의 길이는
int0^6~RT1+x^2(x^2+2)~~dx =int0^6&~(x^2&+1)dx
=^[&1/3&x^3&+x]0^6&=78
답 78
559
y =sin`x+rt3`cos`x =2(1/2`sin`x+#!rt3/2$cos`x) =2`sin`(x+pai/3)
이므로 구하는 값은 오른쪽
이때 y=rrootx/a에서 x=ay^2 .t3`S =int0^3&ay^2&dy
=^[a/3&y^3]0^3&=9a 따라서 9a=18이므로
이때 x>1이면 xe^x>e^x, x<1 이면 xe^x<e^x이므로 오른쪽 그 림과 같은 상황.
.t3`S =int0^1&~(e^x&-xe^x)dx =int0^1&~(1-x)e^x&dx
=^[(1-x)e^x]0^1&-int0^1&~(-e^x)dx =-1+^[e^x]0^1&
=e-2
답 e-2
562
두 곡선 y=2`sin`x, y=a`cos`2x와 y축 및 직선 x=pai/4로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 색칠한 부분 과 같다.
이때 색칠한 두 부분의 넓이가 서로 같으므로 int ~pai0/4(2`sin`x-a`cos`2x)dx
=^[-2`cos`x-1/2&a`sin`2x]pai/40
=(-rt2&-1/2&a)-(-2)
=0
563
오른쪽 그림과 같이 밑면의 중 심을 원점 O, 밑면의 지름을 x축으로 잡는다.
x축 위의 점 P(x, 0) (-1-<x-<1)을 지나고 x축 에 수직인 평면으로 입체도형 을 자른 단면을 semoPQR라 하면
^-PQ^-=~^-OQ^-~^2&-^-OP^-~^2=RT1-x^2~
^-RQ^-=^-PQ^-`tan`60°=rt3`RT1-x^2~
semoPQR의 넓이를 S(x)라 하면 S(x) =1/
2^-PQ^-\^-RQ^- 1/=2RT1-x^2~\rt3`RT1-x^2~
=#!rt3/2$(1-x^2) 따라서 구하는 부피는 V =int-1^1&~~~S(x)dx =int-1^1~~#!rt3/2$(1-x^2)dx =rt3`int0^1&(1-x^2)dx =rt3~`~^[x-1/3&x^3]0^1 =2/3rt3
답 2/3rt3
564
오른쪽 그림과 같이 지름 AB의 중점을 원점, 지름 AB를 x축으로 잡고, 호 AB 위의 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H(x, 0) (-2-<x-<2)이라 하면
^-PH^-=~^-OP^-~^2&-^-OH^-~^2 =RT4-x^2~
점 P~~~~를 지나고 x축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)는 반지름의 길이가
^-PH^-2 인 반원의 넓이이므로
S(x) =1/2\pai( ^-PH^-2 )^^2=pai/2&( RT4-x^2~2 )^^2 =pai/8(4-x^2)
x
S(x)
x -1 60� y
1 Q O
R P
y
x x
A O B
-2 H 2
2
2 P
따라서 구하는 부피는 V =int-2^2&`~S(x)dx =int-2^2~`pai/8(4-x^2)dx =pai/4~int0^2&(4-x^2)dx =pai/4&^[4x-1/3&x^3]0^2 =4/3&pai
.t3`k=4/3
답 4/3
565
dx /
dt=-9`sin`t+9`sin`9t, dy/dt=9`cos`t-9`cos`9t 이므로
▤~(dx/dt)^^2&+(dy/dt)^^2~
=18rrT 1-cos`8t2 '
=18RTsin^2`4t sin^2&alpha/2= 1-cos alpha2
따라서 시각 t=0에서 t=pai/8까지 점 P가 움직인 거리는 int ~~pai0/8d xRrT(/dt)^^2&+(dy/dt)^^2~dt =int ~~pai0/818`▣~sin^2`4t`dt
=int ~~pai0/818`sin`4t`dt
=^[-9/2`cos`4t]~pai0/8
9/=2
답 9/2