=int&(sec^2`&x&+ 2cos`x \sin`x cos`x )dx =int&(sec^2`&x+2`sec`x`tan`x)dx
=tan`x+2`sec`x+C
⑸ 1+cot^2`&x=csc^2`&x에서 cot^2`&x=csc^2`&x-1 .t3`int&cot^2`&x`dx =int&(csc^2`&x-1)dx
=-cot`x-x+C
⑹ (tan`x+cot`x)^2 =tan^2`&x+2`tan`x`cot`x+cot^2`&x =(sec^2`&x-1)+2+(csc^2`&x-1) =sec^2`&x+csc^2`&x
.t3`int&(tan`x+cot`x)^2&dx =int&(sec^2`&x+csc^2`&x)dx
=tan`x-cot`x+C
답 ⑴ -2`cos`x-3`sin`x+C ⑵ x-cos`x+C
⑶ -cot`x-2`csc`x+C ⑷ tan`x+2`sec`x+C ⑸ -cot`x-x+C ⑹ tan`x-cot`x+C
387
F(x) =int& x-4rtx&+2 dx=int&(rtx~&+2)(rtx~&-2) rtx~&+2 dx =int&(rtx~&-2)dx=int&(x^1/2-2)dx =2/3&x3/2-2x+C=2/3&xrtx~&-2x+C F(9)=3이므로 2/3\9\3-2\9+C=3 .t3`C=3
.t3`F(x)=2/3&xrtx~&-2x+3
답 F(x)=2/3&xrtx~&-2x+3
388
~f~(x) =int& x^3&-e^3^x x^2&+xe^x&+e^2^x dx =int& x^3&-(e^x)^3x^2&+xe^x&+e^2^x dx
=int& (x-e^x)(x^2&+xe^x&+e^2^x)x^2&+xe^x&+e^2^x dx =int&(x-e^x)dx=1/2&x^2&-e^x&+C
~f~(2)=5-e^2이므로 2-e^2&+C=5-e^2
.t3`C=3
따라서 ~f~(x)=1/2&x^2&-e^x&+3이므로
~f~(0)=0-1+3=2
답 2
389
f~&'(x)=&e^|x/2^|=^^{ex/2 (x>0) e&-x/2 (x<0)~이므로 f~(x)=int&e^|x/2^|dx=^^{2ex/2+C1 (x0)
-2e&-x/2+C2 (x<0)
~f~(2)=2e+C1=e+1이므로 C1=1-e 이때 ~f~(x)는 연속함수이므로~
~f~(0)=2+C1=-2+C2 .t3`C2=5-e
.t3`~f~(-2)=-2e+5-e=5-3e
답 5-3e
390
limh=0`&~~ f~(x+h)-~f~(x)h =~f~&'(x)이므로
~f~&'(x) = 8^x&-2^x2^x&+1 =2^x(4^x&-1) 2^x&&+1 = 2^x(2^x&+1)(2^x&-1)2^x&+1 =2^x(2^x&-1)=4^x&-2^x
.t3`~f~(x)=int&(4^x&-2^x)dx= 4^xln`4 - 2^x ln`2 +C
~f~(1)=0이므로 4ln`4 - 2
ln`2 +C=0 .t3`C=0
따라서 ~f~(x)= 4^xln`4 - 2^x ln`2 이므로
~f~(2)= 16ln`4 - 4 ln`2 = 8
ln`2 - 4 ln`2 = 4
ln`2
답 4ln`2
391
~f~&'(x)= 1
1-sin`x 이므로
~f~(x) =int &1 1-sin`x dx =int& 1+sin`x
(1-sin`x)(1+sin`x) dx =int& 1+sin`x1-sin^2`&x dx
=int& 1+sin`xcos^2`&x dx
=int&(sec^2`&x+sec`x`tan`x)dx =tan`x+sec`x+C
~f~(pai/3)=rt3이므로 rt3&+2+C=rt3 .t3`C=-2
따라서 ~f~(x)=tan`x+sec`x-2이므로
~f~(pai/4)=1+rt2&-2=-1+rt2
답 -1+rt2
392
~f~(x)=int&(1+cos`x)dx=x+sin`x+C
(.T3`2`cos^2`1/2&x=1+cos`x)
~f~(0)=C=0이므로 ~f~(x)=x+sin`x .t3`sigk=1^10~~~~f~(k^2&pai) =sigk=1^10~~(k^2&pai+sin`k^2&pai)=paisigk=1^10`&~k^2 =pai\ 10\11\216 =385pai
답 385pai
394
⑴ 1/2&x+3=t로 놓으면 1
/
2\dx/dt=1 .t3`dx=2dt
.t3`int&(1/2&x+3)^^4&dx =int&t^4&\2dt=int&2t^4&dt =2/5&t^5&+C
=2/5(1/2&x+3)^^5&+C
⑵ x^3&-3x^2&+1=t로 놓으면
(3x^2&-6x)dx/dt=1 .t3`dx= 1 3(x^2&-2x) dt .t3 `int&(x^2&-2x)(x^3&-3x^2&+1)^2&dx
=int&(x^2&-2x)\t^2&\ 1 3(x^2&-2x) dt =int&1/3&t^2&dt=1/9&t^3&+C
=1/9(x^3&-3x^2&+1)^3&+C
답 ⑴ 2/5(1/2&x+3)^^5&+C ⑵ 1/9(x^3&-3x^2&+1)^3&+C
396
⑴ rtx^2+2x=t로 놓고 양변을 제곱하면 x^2&+2x=t^2
(2x+2)dx/dt=2t .t3`dx=`tx/+1dt .t3 `int&(x+1)rtx^2+2x&`dx
=int&(x+1)\t\`tx/+1dt =int&t^2&dt=1/3&t^3&+C =1/3(rtx^2+2x&)^3~+C =1/3(x^2&+2x)rtx^2+2x~+C
⑵ rt2x+1=t로 놓고 양변을 제곱하면 2x+1=t^2
2x=t^2&-1이고 2&dx/dt=2t .t3`dx=t`dt
.t3 `int& 2x-1rt2x+1 dx
=int &t^2&-2t \t`dt=int&(t^2&-2)dt =1/3&t^3&-2t+C
=1/3(rt2x+1~)^3&-2rt2x+1&+C =1/3(2x+1)rt2x+1&-2rt2x+1&+C =1/3(2x-5)rt2x+1&+C
답 ⑴ 1/3(x^2&+2x)rtx^2+2x&+C ⑵ 1/3(2x-5)rt2x+1&+C
398
⑴ -3x+5=t로 놓으면
-3&dx/dt=1 .t3`dx=-1/3&dt .t3`int&e&-^3^x+^5&dx =int&e^t&\(-1/3)dt =int&(-1/3&e^t)dt =-1/3&e^t&+C =-1/3&e&-^3^x+^5&+C
⑵ e^x&+1=t로 놓으면
e^xdx/dt=1 .t3`dx=#1/@e^x :dt .t3`int&e^xrte^x+1&&`dx =int&e^x&\rtt\#1/@e^x :dt =int&t^1/2dt=2/3&t3/2+C =2/3(e^x&+1)3/2+C =2/3(e^x&+1)rte^x+1&+C
⑶ ln`x=t로 놓으면 1
/
x\dx/dt=1 .t3`dx=x`dt .t3`int& ln`xx dx =int&t/x\x`dt=int&t`dt =1/2&t^2&+C=1/2(ln`x)^2&+C
⑷ ln`(x^2&+1)=t로 놓으면
x^2&+1 \2xd x/dt=1 .t3`dx= x^2&+12x dt
.t3 `int &xx^2&+1 ln`(x^2&+1)dx =int &xx^2&+1 \t\x^2&+1
2x dt =int&1/2&tdt=1/4&t^2&+C 1/=4{ln`(x^2&+1)}^2&+C
답 ⑴ -1/3&e&-^3^x+^5&+C ⑵ 2/3(e^x&+1)rte^x+1&+C ⑶ 1/2(ln`x)^2&+C ⑷ 1/4{ln`(x^2&+1)}^2&+C
400
⑴ 3x-2=t로 놓으면 3&dx/dt=1 .t3`dx=1/3&dt
.t3`int&cos`(3x-2)dx =int&cos`t\1/3&dt=1/3`sin`t&+C
1/=3`sin`(3x-2)+C
⑵ tan`x=t로 놓으면
sec^2`&x`&dx/dt=1 .t3`dx= 1sec^2`&x dt
.t3`int`tan`x`sec`&^2&x`dx =int&t\sec^2`&x\ 1sec^2`&x dt
=int&t`dt=1/2&t^2&&+C
1/=2`tan^2`&x+C
⑶ 2`cos`x+1=t로 놓으면
-2`sin`x`&dx/dt=1 .t3`dx= 1 -2`sin`x dt .t3 `int&(2`cos`x+1)^3`sin`x`dx
=int&t^3&\sin`x\ 1 -2`sin`x dt =int&(-1/2&t^3)dt=-1/8&t^4&+C =-1/8(2`cos`x+1)^4&+C
⑷ cos^3`&x=cos^2`&x\cos`x=(1-sin^2`&x)cos`x sin`x=t로 놓으면
cos`x&`dx/dt=1 .t3`dx= 1cos`x dt .t3`int&cos^3`&x`dx =int&(1-sin^2`&x)cos`x`dx =int&(1-t^2)\cos`x\ 1cos`x dt =int&(1-t^2)dt=-1/3&t^3&+t+C =-1/3`sin^3`&x+sin`x+C
답 ⑴ 1/3`sin`(3x-2)+C ⑵ 1/2`tan^2`&x+C
⑶ -1/8(2`cos`x+1)^4&+C ⑷ 1/-3`sin^3`&x+sin`x+C
402
⑴ x^3&+4x+1=t로 놓으면
(3x^2&+4)dx/dt=1 .t3`dx= 1 3&x^2&+4 dt .t3`int& 3x^2&+4x^3&+4x+1 dx =int&3x^2&+4
t \ 1
3x^2&+4 dt =int&1/t&dt=ln|t|+C
=ln|x^3&+4x+1|+C
⑵ e^x&+e&-^x=t로 놓으면
(e^x&-e&-^x)dx/dt=1 .t3`dx= 1 e^x&-e&-^x& dt .t3`int& e^x&-e&-^xe^x&+e&-^x &dx =int&e^x&-e&-^x
t \ 1
e^x&-e&-^x& dt
=int&1/t&dt=ln|t|+C =ln`(e^x&+e&-^x)+C
(.T3`e^x&+e&-^x>0)
⑶ ln`(x+1)=t로 놓으면
`
1 /x+1\d x/dt=1 .t3`dx=(x+1)dt .t3` `int &1
(x+1)`ln`(x+1) dx =int& 1
(x+1)\t \(x+1)dt =int&1/t&dt=ln|t|+C =ln|ln`(x+1)|+C
⑷ cos`x+2=t로 놓으면
-sin`x`&dx/dt=1 .t3`dx= 1 -sin`x dt .t3`int& sin`xcos`x+2 dx =int&sin`x
t \ 1
-sin`x dt =int&(-1/t)dt=-ln|t|+C
=-ln`(cos`x+2)+C
(.T3`cos`x+2>0)
⑸ cot`x= cos`xsin`x 이므로 sin`x=t로 놓으면 cos`x`&dx/dt=1 .t3`dx= 1cos`x dt .t3`int&cot`x`dx =int &cos`xsin`x dx =int& cos`xt \ 1
cos`x dt =int&1/t&dt=&&ln|t|+C
=ln|sin`x|+C
답 ⑴ ln|x^3&+4x+1|+C ⑵ ln`(e^x&+e&-^x)+C ⑶ ln|ln`(x+1)|+C ⑷ -ln`(cos`x+2)+C ⑸ ln|sin`x|+C
404
⑴ int& x^3&-1x-1 dx =int&(x-1)(x^2&+x+1)
x-1 dx
=int&(x^2&+x+1)dx =1/3&&x^3&+1/2&x&^2&+x+C
⑵ int& x^2&+3x+5x+3 dx =int&x(x+3)+5
x+3 dx
=int&(x+`5x/+3&)dx =1/2&x^2&+5`ln|x+3|+C
⑶ int &6
x^2&-x-2 dx =int &6
(x-2)(x+1) dx =int&2(`1x/-2-`1x/+1)dx
=2(ln|x-2|-ln|x+1|)+C
=2`ln^|x-2/x+1^|+C
⑷ 5x+1
x^2&-2x-3 = 5x+1
(x+1)(x-3) =`ax/+1+`bx/-3 로 놓으면
5x+1
x^2&-2x-3 =a(x-3)+b(x+1) (x+1)(x-3) = (a+b)x+(-3a+b)(x+1)(x-3) 위 식은 x에 대한 항등식이므로 a+b=5, -3a+b=1
두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=4
.t3`int& 5x+1x^2&-2x-3 dx =int&(`1x/+1+`4x/-3)dx
=ln|x+1|+4`ln|x-3|+C
답 ⑴ 1/3&x^3&+1/2&x^2&+x+C ⑵ 1/2&x^2&+5`ln|x+3|+C ⑶ 2`ln&^| x-2x+1 &^|+C
⑷ ln|x+1|+4`ln|x-3|+C
406
⑴ [1단계] 이삼정로
~f~(x)=x,~ g~&'(x)=e&-^x으로 놓으면 ~f~&'(x)=1, g~(x)=-e&-^x
[2단계] 공식 적용
int&xe&-^x&dx =-xe&-^x&-int&1\(-e&-^x)dx =-xe&-^x&+int&e&-^x&dx =-xe&-^x&-e&-^x&+C =-(x+1)e&-^x&+C
⑵ [1단계] 이삼정로
f~(x)=2x+1, g~&'(x)=sin`2x로 놓으면 f~&'(x)=2, ~g~(x)=-1/2`cos`2x
[2단계] 공식 적용
int&(2x+1)`sin`2x`dx =(2x+1)\(-1/2`cos`2x)
-int&2\(-1/2`cos`2x)dx
=-1/2(2x+1)cos`2x+int&cos`2x`dx =-1/2(2x+1)cos`2x+1/2`sin`2x+C
⑶ [1단계] 이삼정로
f~(x)=ln`x,`~g~&'(x)=x로 놓으면 f~&'(x)=1/x,~`g~(x)=1/2&x^2 [2단계] 공식 적용
int&x`ln`x`dx =ln`x\1/2&x^2&-int&1/x\1/2&x^2&dx =1/2&x^2`&ln`x-1/2int&x`dx =1/2&x^2&`ln`x-1/4&x^2&+C
⑷ [1단계] 이삼정로
f~(x)=ln`(x+1), g~&'(x)=1로 놓으면 ~f~&'(x)=`1 /x+1, g~(x)=x
[2단계] 공식 적용 int&ln`(x+1)dx
=ln`(x+1)\x-int`&1 /x+1\x`dx =x`ln`(x+1)-int&(1-`1x/+1&)dx
=x`ln`(x+1)-x+ln|x+1|+C
=(x+1)ln`(x+1)-x+C
답 ⑴ -(x+1)e&-^x&+C
⑵ -1/2(2x+1)cos`2x+1/2`sin`2x+C ⑶ 1/2&x^2`&ln`x-1/4&x^2&+C
⑷ (x+1)`ln`(x+1)-x+C
408
⑴ `` int&e^x`cos`x`dx에서
f~(x)=cos`x,`~g~&'(x)=e^x으로 놓으면 ~f~&'(x)=-sin`x,~`g~(x)=e^x
.t3` int&e^x`cos`x`dx
=e^x`cos`x-int&e^x&\(-sin`x)dx
=e^x`cos`x+int&e^x`sin`x`dx …… ㉠ `` int&e^x`sin`x`dx에서
u(x)=sin`x, v&'(x)=e^x으로 놓으면 u&'(x)=cos`x, v(x)=e^x
.t3` int&e^x`sin`x`dx
`=e^x`sin`x-int&e^x`cos`x`dx …… ㉡ ㉡ 을 ㉠에 대입하면
int&e^x`cos`x`dx
=e^x`cos`x+(e^x`sin`x-int&e^x`cos`x`dx) =e^x`cos`x+e^x`sin`x-int&e^x`cos`x`dx 2int&e^x`cos`x`dx=e^x`cos`x+e^x`sin`x+C1 .t3`int&e^x`cos`x`dx=1/2&e^x(cos`x+sin`x)+C
⑵ int&e&-^x`sin`x`dx에서
~f~(x)=sin`x,~`~g~&'(x)=e&-^x으로 놓으면 ~f~&'(x)=cos`x,~`g~(x)=-e&-^x .t3` int&e&-^x`sin`x`dx
=-e&-^x`sin`x-int&(-e&-^x)cos`x`dx =-e&-^x`sin`x+int&e&-^x`cos`x`dx …… ㉠ int&e&-^x`cos`x`dx에서
u(x)=cos`x, v&'(x)=e&-^x으로 놓으면 u&'(x)=-sin`x, v(x)=-e&-^x .t3` int&e&-^x`cos`x`dx
=-e&-^x`cos`x-int&{(-e&-^x)\(-sin`x)}dx =-e&-^x`cos`x-int&e&-^x`sin`x`dx …… ㉡ ㉡ 을 ㉠에 대입하면
int&e&-^x`sin`x`dx
=-e&-^x`sin`x+(-e&-^x`cos`x-int&e&-^x`sin`x`dx) =-e&-^x`sin`x-e&-^x`cos`x-int&e&-^x`sin`x`dx `2int&e&-^x`sin`x`dx=-e&-^x`sin`x-e&-^x`cos`x+C1 .t3`int&e&-^x`sin`x`dx=-1/2&e&-^x(sin`x+cos`x)+C
⑶ ` int&(x^2&&+1)e^x&dx에서
~f~(x)=x^2&+1,`~g~&'(x)=e^x으로 놓으면 ~f~&'(x)=2x,`~g~(x)=e^x
.t3` int&(x^2&+1)e^x&dx
=(x^2&+1)e^x&-int&2xe^x&dx
=(x^2&+1)e^x&-2int&xe^x&dx …… ㉠ ` int&xe^x&dx에서
u(x)=x, v&'(x)=e^x으로 놓으면 u&'(x)=1, v(x)=e^x
.t3`int&xe^x&dx =xe^x&-int&e^x&dx
=xe^x&-e^x&+C1 …… ㉡ ` ㉡을 ㉠에 대입하면
int&(x^2&+1)e^x&dx
=(x^2&+1)e^x&-2(xe^x&-e^x&+C1) =(x^2&-2x+3)e^x&+C
⑷ ` int&(ln`x)^2&dx에서
`~f~(x)=(ln`x)^2, g~&'(x)=1로 놓으면 ~f~&'(x)=2(ln`x)\1/x=2/x`ln`x, g~(x)=x .t3` int&(ln`x)^2&dx
=x(ln`x)^2&-int&2`ln`x`dx
`=x(ln`x)^2&-2int&ln`x`dx …… ㉠ ` int&ln`x`dx에서
u(x)=ln`x, v&'(x)=1로 놓으면 u&'(x)=1/x, v(x)=x
.t3`int&ln`x`dx =x`ln`x-int&dx
=x`ln`x-x+C1 …… ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
int&(ln`x)^2&dx =x(ln`x)^2&-2(x`ln`x-x+C1) =x(ln`x)^2&-2x`ln`x+2x+C
답 ⑴ 1/2&e^x(cos`x+sin`x)+C ⑵ -1/2&e&-^x(sin`x+cos`x)+C ⑶ (x^2&-2x+3)e^x&+C ⑷ x(ln`x)^2&-2x`ln`x+2x+C
409
~f~(x)=int&~f~&'(x)dx=int&xRT1-x^2~~dx
RT1-x^2~=t로 놓고 양변을 제곱하면 1-x^2=t^2 -2x`dx/dt=2t .t3`dx=-t/x&dt
.t3`~f~(x) =int&xRT1-x^2~`dx =int&x\t\(-t/x&)dt =-int&t^2&dt=-1/3&t^3&+C =-1/3(1-x^2)RT1-x^2~+C 이때 ~f~(1)=1/6이므로 C=1/6
따라서 ~f~(x)=-1/3(1-x^2)RT1-x^2~+1/6이므로
~f~(#!rt3/2$) =-1/3&(1-3/4)rroot1-3/4'+1/6 -1 /= 3\1/4\1/2+1/6=1/8
답 1/8
410
x^2&-4=t로 놓으면
2x`&dx/dt=1 .t3`dx=1/2x&dt
.t3`~f~(x) =int&4xex^2&-4&dx=int&4xe^t&\1/2x&dt =int&2e^t&dt=2e^t&+C=2ex^2&-4&+C 이때 ~f~(rt5~~)=e이므로 2e+C=e .t3`C=-e
따라서 ~f~(x)=2ex^2&-4&-e이므로
~f~(-2)=2-e
답 2-e
411
~f~(x) =int &cos^3`&x1-sin`x dx =int& cos^2`&x\cos`x1-sin`x dx =int& (1-sin^2`&x)cos`x1-sin`x dx
=int& (1+sin`x)(1-sin`x)cos`x1-sin`x dx =int&(1+sin`x)cos`x`dx
이때 1+sin`x=t로 놓으면
cos`x`&dx/dt=1 .t3`dx= 1cos`x dt
.t3`int&(1+sin`x)cos`x`dx =int&t\cos`x\ 1cos`x dt =int&t`dt=1/2&t^2&+C
=1/2(1+sin`x)^2&+C
곡선 y=~f~(x)가 점 (0, -1/2)을 지나므로
~f~(0)=-1/2에서 1/2+C=-1 /2 .t3`C=-1
따라서 ~f~(x)=1/2(1+sin`x)^2&-1이므로
~f~(pai/2)=1/2&(1+sin`pai/2)^^2&-1=1/2(1+1)^2&-1=1
답 1
412
F(x)=int&~f~(x)dx=int& x-2x^2&-4x+5 dx x^2&-4x+5=t로 놓으면
(2x-4)dx/dt=1 .t3`dx= 1 2(x-2) dt .t3`F(x) =int& x-2x^2&-4x+5 dx
=int&x-2/t`\ 1 2(x-2) dt =int&1/2t&dt&=1/2&`ln|t|+C =1/2&`ln`(x^2&-4x+5)+C
(.T3`x^2&-4x+5>0) F(2)=0이므로 C=0
.t3`F(x)=1/2&`ln`(x^2&-4x+5)
답 F(x)=1/2`&ln`(x^2&-4x+5)
413
~f~(x) =int& x+3
x^2&-3x-10 dx+int &4-x x^2&-3x-10 dx =int&( x+3
x^2&-3x-10 + 4-x x^2&-3x-10 )dx =int &7
x^2&-3x-10 dx =int &7
(x-5)(x+2) dx
=int&(`1x/-5-`1x/+2)dx
=ln|x-5|-ln|x+2|+C
=ln^|x-5/x+2^|+C
~f~(3/2)=0이므로 C=0
따라서 ~f~(x)=ln^|x-5/x+2^|이므로
~f~(1)+~f~(2) =ln`&4/3+ln`&3/4
=ln`(4/3\3/4)=ln`1=0
답 0
414
~f~&'(x)=3x^2&`ln`x이므로
~f~(x)=int&~f~&'(x)dx=int&3x^2&`ln`x`dx
~u~(x)=ln`x,`~v~&'(x)=3x^2으로 놓으면 u~&'(x)=1/x,~`v~(x)=x^3
.t3`~f~(x) =int&3x^2&`ln`x`dx
=ln`x\x^3&-int&1/x\x^3&dx =x^3&`ln`x-int&x^2&dx =x^3&`ln`x-1/3&x^3&+C
곡선 y=~f~(x)가 점 (1, 2/3)를 지나므로
~f~(1)=2/3에서 -1/3+C=2/3 .t3`C=1
따라서 ~f~(x)=x^3`&ln`x-1/3&x^3&+1이므로
~f~(e)=e^3&-1/3&e^3&+1=2/3&e^3&+1
답 2/3&e^3&+1
415
`int&e&-^x`cos`x`dx에서
u(x)=cos`x, v&'(x)=e&-^x으로 놓으면 u&'(x)=-sin`x, v(x)=-e&-^x .t3` int&e&-^x`cos`x`dx
=-e&-^x`cos`x-int&e&-^x`sin`x`dx …… ㉠
` int&e&-^x`sin`x`dx에서
p(x)=sin`x, q&'(x)=e&-^x으로 놓으면 p&'(x)=cos`x, q(x)=-e&-^x .t3` int&e&-^x`sin`x`dx
=-e&-^x`sin`x+int&e&-^x`cos`x`dx …… ㉡
` ㉡을 ㉠에 대입하면 `int&e&-^x`cos`x`dx
=-e&-^x`cos`x-(-e&-^x`sin`x+int&e&-^x`cos`x`dx) =-e&-^x`cos`x+e&-^x`sin`x-int&e&-^x`cos`x`dx 2int&e&-^x`cos`x`dx=-e&-^x`cos`x+e&-^x`sin`x+C1 .t3`int&e&-^x`cos`x`dx=1/2&e&-^x(sin`x-cos`x)+C .t3`f~(x)=1/2&e&-^x(sin`x-cos`x)+C
`f~(0)=1/2이므로 -1/2+C=1/2 .t3`C=1
따라서 ~f~(x)=1/2&e&-^x(sin`x-cos`x)+1이므로 상수 항은 1이다.
답 1
416
① int&^3rtx~&~dx=int&x^1/3dx=3/4&x4/3+C=3/4&x`^3rtx~&+C
② int& 4x-rtx&+1x dx =int&(4-x&-^1/2+1/x)dx
=4x-2rtx~&+ln|x|+C
③ int& 9^x&-13^x&-1 dx =int&(3^x&+1)(3^x&-1) 3^x&-1 dx =int&(3^x&+1)dx
= 3^xln`3 +x+C
④ int& 1+sin^2`&xcos^2`&x dx =int&(sec^2`&x+tan^2`&x)dx =int&(2`sec^2`&x-1)dx
=2`tan`x-x+C
⑤ int&2`sin`x/2`cos`x/2&dx=int&sin`x`dx=-cos`x+C 따라서 부정적분의 계산이 옳지 않은 것은 ⑤이다.
답 ⑤
417
~f~(x) =int&(x-2/x-#1/@x^2 :)dx =1/2&x^2&-2`ln|x&&|&+1/x+C
~f~(1)=1/2+1+C=1/2이므로 C=-1 따라서 ~f~(x)=1/2&x^2&-2`ln|x|&+1/x-1이므로
~f~(-1)=1/2-2`ln|-1|-1-1=-3/2
답 3/-2
418
곡선 y=~f~(x) 위의 점 (x, y)에서의 접선의 기울기가 (1-x)(1+x)
x 이므로
~f~&'(x)= (1-x)(1+x)x = 1-x^2x =1/x-x .t3`~f~(x) =int&~f~&'(x)dx=int&(1/x-x)dx =ln|x|&-1/2&x^2&+C
곡선 y=~f~(x)가 점 (1, 1/2)을 지나므로
~f~(1)=0-1/2+C=1/2 .t3`C=1
따라서 ~f~(x)=ln|x|&-1/2&x^2&+1이므로
~f~(e)=1-1/2&e^2&+1=2-1/2&e^2
답 2-1/2&e^2
419
rt3x+1=t로 놓고 양변을 제곱하면 3x+1=t^2에서 3x=t^2&-1
3&dx/dt=2t .t3`dx=2/3&t`dt .t3`int &3x-2rt3x+1 dx =int&t^2&-3
t \2/3&t`&dt =int&(2/3&t^2&-2)dt =2/9&t^3&-2t+C
=2/9(rt3x+1~)^3&-2rt3x+1&+C
=2/9(3x+1)rt3x+1&-2rt3x+1&+C =2/9(3x-8)rt3x+1&+C
따라서 a=3, b=-8이므로 ab=3\(-8)=-24
답 -24
420
sin`x=t라 하면
cos`x`dx/dt=1 .t3``dx= 1cos`x dt
~f~(x) =int&(1+sin`x)^2&`cos`x`dx =int&(1+t)^2&\cos`x\ 1cos`x dt =int&(1+t)^2&dt=1/3(1+t)^3&+C .t3`~f~(x)=1/3(1+sin`x)^3&+C 이때 ~f~(0)=1/3+C=2/3이므로 C=1/3 따라서 ~f~(x)=1/3(1+sin`x)^3&+1/3이므로
~f~(pai/2)=1/3(1+1)^3&+1/3=3
답 3
421
int&sec`x`dx=int& cos`xcos^2`&x dx=int& cos`x 1-sin^2`&x dx 이때 sin`x=t라 하면
cos`x`dx/dt=1 .t3`dx= 1cos`x dt int&sec`x`dx =int &cos`x1-sin^2`x dx=int&cos`x
1-t^2 \ 1 cos`x dt =int &11-t^2& dt=int &1
(1-t)(1+t) dt 1/=2int&(`11/-t+`11/+t)dt =1/2(-ln|1-t|+ln|1+t|)+C 1/=2&ln^|1+t/1-t^|+C
1/=2&ln^| 1+sin`x1-sin`x ^|+C 1/=2&ln (1+sin`x)^2|1-sin^2`&x| +C
=ln 1+sin`x|cos`x| +C
답 ①
422
~f~(x)=F&'(x)=~f~(x)+x~f~&'(x)-2xe^x&-x^2&e^x .t3`~f~&'(x)=(2+x)e^x
이때 u(x)=2+x, v~&'(x)=e^x이라 하면 u~&'(x)=1, v(x)=e^x
.t3`~f~(x) =int&(2+x)e^x&dx =(2+x)e^x&-int&e^x&dx =(2+x)e^x&-&e^x&+C =(1+x)e^x&+C
~f~(0)=1+C=1이므로 C=0 따라서 ~f~(x)=(1+x)e^x이므로
~f~(3)=4e^3
답 ②
423
u(x)=ln`x, v~&'(x)= 3
(x+3)^2으로 놓으면 u&'(x)=1/x, v(x)=-`3x/+3
~f~(x) =- 3`ln`xx+3 +int &3 x(x+3) dx =- 3`ln`xx+3 +int&(1/x-`1x/+3)dx =- 3`ln`xx+3 +ln|x|-ln|x+3|+C =- 3`ln`xx+3 +ln^|`xx/+3^|+C
~f~(1)=ln`&1/4+C=-ln`4이므로 C=0
따라서 ~f~(x)=- 3`ln`xx+3 +ln^|`xx/+3^|이므로 상수항은 0이다.
답 ①
424
F&'(x)=~f~(x)이므로
F(x)=x~f~(x)+ln`x-rtx~의 양변을 x에 대하여 미분 하면
~f~(x)=~f~(x)+x~f~&'(x)+1/x- 12rtx~
x~f~&'(x)= 12rtx~ -1/x .t3`~f~&'(x)= 12xrtx~ -#1/@x^2 : .t3`~f~(x) =int&( 12xrtx -#1/@x^2 :)dx
=int&(1/2&x&-3/2-x&-^2)dx =-x&-^1/2+x&-1&+C =1/x-;#1rtx$:+C/
~f~(1)=1이므로 1-1+C=1 .t3`C=1
따라서 ~f~(x)=1/x-;#1rtx$:+1이므로/
~f~(4)=1/4-1/2+1=3/4
답 3/4
425
d /
dx{~f~(x)+~g~(x)}=1+2`sin`x에서
~f~(x)+~g~(x) =int&(1+2`sin`x)dx
=x-2`cos`x+C1
~f~(0)=1, g~(0)=0에서 ~f~(0)+~g~(0)=1이므로 -2+C1=1 .t3`C1=3
.t3`~f~(x)+~g~(x)=x-2`cos`x+3 …… ㉠ d
/
dx{~f~(x)-g~(x)}=1-2`cos`x에서
~f~(x)-~g~(x) =int&(1-2`cos`x)dx
=x-2`sin`x+C2
~f~(0)=1, ~g~(0)=0에서 ~f~(0)-~g~(0)=1이므로 C2=1
.t3`~f~(x)-~g~(x)=x-2`sin`x+1 …… ㉡
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면
~f~(x)=x-sin`x-cos`x+2,
~g~(x)=sin`x-cos`x+1
이므로 ~f~(pai/2)=pai/2+1,~`g~(pai/2)=2 .t3`~f~(pai/2)~g~(pai/2)=(pai/2+1)\2=pai+2
답 pai+2
426
x>0일 때,`~f~&'(x)=esin`^x`cos`x이므로 ~f~(x)=int&esin`^x`cos`x`dx
sin`x=t로 놓으면
cos`x`&dx/dt=1 .t3`dx= 1cos`x dt .t3`~f~(x) =int&esin`^x`cos`x`dx
=int&e^t&\cos`x\ 1cos`x dt =int&e^t&dt=e^t&+C1 =esin`^x&+C1
x<0일 때,`~f~&'(x)=3x^2(x^3&+2)^3이므로 f~(x)=int&3x^2(x^3&+2)^3&dx
x^3&+2=s로 놓으면
3x^2dx/ds=1 .t3`dx= 13&x^2 &ds .t3`~f~(x) =int&3x^2(x^3&+2)^3&dx =int&3x^2&\s^3&\ 13&x^2 &ds =int&s^3&ds=1/4&s^4&+C2 =1/4(x^3&+2)^4&+C2
, 에서 ~f~(x)=^^{esin`^x&+C1 (x->0) 1
/
4(x^3&+2)^4&+C2 (x<0)
~f~(-1)=-3/4이므로 1/4+C2=-3 /4 .t3`C2=-1
또, ~f~(x)는 x=0에서 연속이므로 1+C1=4+C2 .t3`C1=2
따라서 x->0에서 ~f~(x)=esin`^x&+2이므로
~f~(pai/2)=e+2
답 e+2
427
x~f~&'(x)=(ln`x)^3에서 ~f~&'(x)= (ln`x)^3x 이므로
~f~(x)=int& (ln`x)^3x dx ln`x=t로 놓으면 1
/
x\dx/dt=1 .t3`dx=x`dt .t3`~f~(x) =int& (ln`x)^3x dx =int&#!t^^3/x:\x`dt
=int&t^3&dt
=1/4&t^4&+C=1/4(ln`x)^4&+C
~f~(1)=-4이므로 C=-4 .t3`~f~(x)=1/4(ln`x)^4&-4 방정식 ~f~(x)=0에서 1
/
4(ln`x)^4&-4=0, (ln`x)^4&-16=0 {(ln`x)^2&+4}(ln`x+2)(ln`x-2)=0 ln`x=-2 또는 ~ln`x=2
.t3`x=#1/@e^2 : 또는 ~x=e^2 따라서 모든 실수 x의 값의 곱은
#1/@e^2 :\e^2=1
답 1
428
~f~&'(x) =sin`x-cos`2x =sin`x-(1-2`sin^2`&x) =2`sin^2`&x+sin`x-1 =(sin`x+1)(2`sin`x-1)
~f~&'(x)=0에서 sin`x=-1 또는 ~sin`x=1/2 .t3`x=pai/6 또는 ~x=5/6&pai (.T3`0<x<pai)
0<x<pai에서 함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
x (0) … pai/6 … 5/6&pai … (pai)
f~&'(x) - 0 + 0
-f~(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
따라서 함수 ~f~(x)는 x=pai/6에서 극솟값을 갖고, x=5/6&pai에서 극댓값을 갖는다.
이때
f~(x) =int&(sin`x-cos`2x)dx =-cos`x-1/2`sin`2x+C
이고 극솟값이 -rt3이므로 ~f~(pai/6)=-rt3에서 -#!rt3/2$-1/2\#!rt3/2$+C=-rt3
.t3`C=-#!rt3/4$
따라서 ~f~(x)=-cos`x-1/2`sin`2x-#!rt3/4$이므로 극댓값은
~f~(5/6&pai) =-(-#!rt3/2$)-1/2\(-#!rt3/2$)-#!rt3/4$
=#!rt3/2$
답 #!rt3/2$$
429
~f~&'(x)=-~f~(x)에서 ~ `f~&'(x)~f~(x) =-1이므로 int&~ f~&'(x)~f~(x) dx=int&(-1)dx
ln`~f~(x)=-x+C (.T3`~f~(x)>0) .t3`~f~(x)=e&-^x+C
이때 ~f~(1)=1이므로 e&-1+C=1 -1+C=0 .t3`C=1 따라서 ~f~(x)=e&-^x+1이므로
~f~(2)=e&-^2+1=1/e
답 1/e
430
x^2&-1 =2 2
(x-1)(x+1) =`1x/-1-`1x/+1이므로
~f~(x) =int &2x^2&-1 dx
=int&(`1x/-1-`1x/+1)dx
=ln|x-1|-ln|x+1|+C
=ln^|x-1/x+1^|+C 이때 ~f~(0)=0이므로 C=0 따라서 ~f~(x)=ln^|x-1/x+1^|이므로 sig
k=2^10~`~f~(k) =ln`1/3+ln`2/4+ln`35+.c3+ln`8/ /10+ln`9/11 =ln`(1/3\2/4\3/5\.c3\8/10\9/11) =ln` 1\210\11
=ln`1/55
=-ln`55
답 -ln`55
431
e^x=t로 놓으면 e^xdx/dt=1 .t3`dx=#1/@e^x :dt .t3`~f~(x) =int&~f~&'(x)dx=int &11+e^x& dx 1 /=int`&1+t\#1/@e^x :dt =int &1
t(t+1) dt (.T3`e^x=t) =int&(1/t-`1t/+1)dt
=ln|t|-ln|t+1|+C
=ln^|`tt/+1^|+C =ln e^xe^x&+1 +C (.T3 e^x
e^x&+1 >0) .t3`~f~(3)-~f~(1) =ln` e^3e^3&+1 +C-(ln``ee/+1+C) =ln` e^3e^3&+1 -ln``ee/+1
=ln`( e^3e^3&+1 \e+1/e`)
=ln`^{ e^3
(e+1)(e^2&-e+1) \e+1/e`^}
=ln` e^2
e^2&-e+1
답 ln` e^2 e^2&-e+1
432
~f~(x)=int&~f~&'(x)dx=int&(x+2)e&-^x&dx u(x)=x+2, v&'(x)=e&-^x으로 놓으면 u&'(x)=1, v(x)=-e&-^x
.t3`~f~(x) =int&(x+2)e&-^x&dx
=-(x+2)e&-^x&-int&(-e&-^x)dx =-(x+2)e&-^x&+int&e&-^x&dx =-(x+2)e&-^x&-e&-^x&+C =-(x+3)e&-^x&+C
~f~&'(x)=0에서 x=-2
-3-<x-<0에서 함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
x -3 … -2 … 0
~f~&'(x) - 0 +
~f~(x) ↘ 극소 ↗
함수 ~f~(x)는 x=-2에서 극소이면서 최소이므로
~f~(-2)=-e^2에서 -e^2&+C=-e^2 .t3`C=0
따라서 ~f~(x)=-(x+3)e&-^x에서 ~f~(-3)=0,
~f~(0)=-3이므로 함수 ~f~(x)는 x=-3에서 최댓값 0 을 갖는다.
답 0
433
{x~f~(x)}&'=x~f~&'(x)+~f~(x)=sin`rtx~이므로 x~f~(x)=int&sin`rtx~&`dx
이때 rtx=t라 하면 x=t^2 dx
/
dt=2t .t3`dx=2t`dt x~f~(x) =intsin`rtx~`dx =intsin`t\2t`dt =2int&t`sin`t`&dt
이때 u(t)=t,`~v~&'(t)=sin`t&로 놓으면 u&'(t)=1,~`v~(t)=-cos`t이므로 x~f~(x) =2int&t`sin`t`dt
=2(-t`cos`t+int&cos`t`dt) =-2t`cos`t+2int&cos`t`dt =-2t`cos`t+2`sin`t&+C =-2rtx~`cos`rtx~&+2`sin`rtx~&+C 이때 pai~^24 ~f~(pai~^2
4 )=2+C이므로 pai~^2
4 \ 8
pai~^2 =2+C .t3`C=0
따라서 x~f~(x)=-2rtx~`cos`rtx~&~+2`sin`rtx~이므로 pai~^2~f~(pai~^2)=-2pai\(-1)=2pai
.t3`~f~(pai~^2)=2/pai
답 ②