218
⑴ y&' = (x-3)&'(2x+1)-(x-3)(2x+1)&'(2x+1)^2 = 1\(2x+1)-(x-3)\2(2x+1)^2
= 7
(2x+1)^2
⑵ y&' = (x^2&+1)&'e^x&-(x^2&+1)(e^x)&'(e^x)^2 = 2xe^x&-(x^2&+1)e^xe^2^x
= -e^x(x^2&-2x+1)e^2^x =- (x-1)^2e^x
⑶ y&'=- (ln`x)&'(ln`x)^2 =-1 / x
(ln`x)^2 =- 1 x(ln`x)^2
답 ⑴ y&'= 7
(2x+1)^2 ⑵ y&'=- (x-1)^2e^x ⑶ y&'=- 1
x(ln`x)^2
220
⑴ y&'=(3x&-^5)&'=-15x&-^5-1=-15x&-^6=- 15x^6
⑵ y=-4x&-^2이므로
y&'=(-4x&-^2)&'=8x&-^2-1=8x&-^3=#8/@x^3 :
⑶ y= x^3&-x+1x =#!x^^3/x:-x/x+1/x=x^2&-1+x&-1이므로 y&'=(x^2&-1+x&-1)&'=2x-x&-^2=2x-#1/@x^2 :
다른 풀이
⑶ y&' = (x^3&-x+1)&'x-(x^3&-x+1)(x)&'x^2 = (3x^2&-1)x-(x^3&-x+1)\1x^2 = 2x^3&-1x^2 =2x-#1/@x^2 :
답 ⑴ y&'=- 15x^6 ⑵ y&'=#8/@x^3 : ⑶ y&'=2x-#1/@x^2 :
222
⑴ y&' =(cot`x)&'-(csc`x)&' =-csc^2`&x-(-csc`x`cot`x) =-csc`x(csc`x-cot`x)
⑵ y&' =(x^2)&'tan`x+x^2(tan`x)&'
=2x`tan`x+x^2&`sec^2`&x
⑶ y&' =(sec`x)&'tan`x+sec`x`(tan`x)&' =sec`x`tan^2`x&+sec`x`sec^2`&x =sec`x`(tan^2`&x+sec^2`&x)
답 ⑴ y&'=-csc`x`(csc`x-cot`x) ⑵ y&'=2x`tan`x+x^2&sec^2`&x ⑶ y&'=sec`x`(tan^2`x&+sec^2`&x)
224
⑴ y&' = (x)&'sin`x-x(sin`x)&'sin^2`&x = sin`x-x`cos`xsin^2`&x
⑵ y&' = (csc`x)&'x^2&-csc`x(x^2)&'(x^2)^2 = -csc`x`cot`x\x^2&-csc`x\2xx^4 =- csc`x(x`cot`x+2)x^3
⑶ y&' = (1+tan`x)&'(1-tan`x)-(1+tan`x)(1-tan`x)&'(1-tan`x)^2 = sec^2`&x`(1-tan`x)-(1+tan`x)(-sec^2`&x)(1-tan`x)^2 = 2`sec^2`&x(1-tan`x)^2
답 ⑴ y&'= sin`x-x`cos`xsin^2`&x ⑵ y&'=- csc`x`(x`cot`x+2)x^3 ⑶ y&'= 2`sec^2`x(1-tan`x)^2
226
⑴ y&'=3(x^2&+x)^2(x^2&+x)&'=3(2x+1)(x^2&+x)^2
⑵ y= 1
(x^2&+x+1)^5 =(x^2&+x+1)-^5이므로 y&' =-5(x^2&+x+1)-^6(x^2&+x+1)&' =- 5(2x+1)(x^2&+x+1)^6
⑶ y&' ={(x^2&-2)^2}&'(x^2&+x-1)+(x^2&-2)^2(x^2&+x-1)&' =2(x^2&-2)(x^2&-2)&'(x^2&+x-1)+(x^2&-2)^2(2x+1) =2(x^2&-2)\2x(x^2&+x-1)+(x^2&-2)^2(2x+1) =(x^2&-2)(6x^3&+5x^2&-8x-2)
⑷ y=(x-2/x)^^4=(x-2x&-1)^4이므로 y&' =4(x-2x&-1)^3(x-2x&-1)&' =4(x-2x&-1)^3(1+2x&-^2)
=4(1+#2/@x^2 :)(x-2/x)^^3
답 ⑴ y&'=3(2x+1)(x^2&+x)^2 ⑵ y&'=- 5(2x+1)(x^2&+x+1)^6
⑶ y&'=(x^2&-2)(6x^3&+5x^2&-8x-2) ⑷ y&'=4(1+#2/@x^2 :)(x-2/x)^^3
228
⑴ y&' =-sin`(x^3&+2x+3)\(x^3&+2x+3)&' =-sin`(x^3&+2x+3)\(3x^2&+2) =-(3x^2&+2)`sin`(x^3&+2x+3)
⑵ y=cot^2`(2x+1)={cot`(2x+1)}^2이므로 y&'=2`cot(2x+1)\{cot`(2x+1)}&'
=2`cot`(2x+1)\{-csc^2`(2x+1)\(2x+1)&'}
=-4`cot`(2x+1)`csc^2`(2x+1)
⑶ y&'=cos`(sin`x)\(sin`x)&'=cos`x`cos`(sin`x)
답 ⑴ y&'=-(3x^2&+2)`sin`(x^3&+2x+3) ⑵ y&'=-4`cot`(2x+1)`csc^2`(2x+1) ⑶ y&'=cos`x`cos`(sin`x)
230
h(x)=~g~(~f~(x))= 4
(x^2&-x+2)^2 =4(x^2&-x+2)-^2 이므로
h&'(x) =-8(x^2&-x+2)-^3&\(x^2&-x+2)&' =- 8(2x-1)(x^2&-x+2)^3
.t3`h&'(1)=- 8(2-1)(1-1+2)^3 =-1
답-1
232
⑴ y=e^tan`^x(tan`x)&'=e^tan~^x`sec^2`&x
⑵ y&'=51-^3^x(1-3x)&'`ln`5=-3\51-^3^x`ln`5
⑶ y&' =2(e^x&+e&-^x)(e^x&+e&-^x)&'
=2(e^x&+e&-^x)(e^x&-e&-^x) =2(e^2^x&-e&-^2^x)
⑷ y&' = (2^x&+2&-^x)&'(2^x&-2&-^x)-(2^x&+2&-^x)(2^x&-2&-^x)&'(2^x&-2&-^x)^2 = (2^x&-2&-^x)`ln`2\(2^x&-2&-^x)-(2^x&+2&-^x)(2^x&+2&-^x)`ln`2(2^x&-2&-^x)^2 = {(2^x&-2&-^x)^2&-(2^x&+2&-^x)^2}`ln`2(2^x&-2&-^x)^2
=- 4`ln`2(2^x&-2&-^x)^2
답 ⑴ y&'=e^tan~^x&sec^2`&x ⑵ y&'=-3\51-^3^x&`ln`5 ⑶ y&'=2(e^2^x&-e&-^2^x) ⑷ y&'=- 4`ln`2(2^x&-2&-^x)^2
234
⑴ y&'= (e^x&-1)&'e^x&-1 = e^x e^x&-1
⑵ y&'= (sin`x)&'sin`x`ln`2 = cos`x
sin`x`ln`2 =cot`x ln`2
⑶ y= ln|x|^2x^2 =2`ln|x|
x^2 이므로
y&' = (2`ln|x|)&'x^2&-2`ln|x|(x^2)&'(x^2)^2 =2/x\x^2&-2`ln|x|\2x
x^4 = 2x-4x`ln|x|x^4 = 2x(1-2`ln|x|)x^4 = 2(1-2`ln|x|)x^3
⑷ y&' = (log_5`|x|)&'log_5`|x|\ln`5 =
x`ln`51 log_5`|x|\ln`5
= 1
(ln`5)^2&x`log_5`|x|
답 ⑴ y&'= e^xe^x&-1 ⑵ y&'= cot`xln`2
⑶ y&'= 2(1-2`ln|x|)x^3 ⑷ y&'= 1
(ln`5)^2&x`log_5`|x|
236
⑴ 양변에 자연로그를 취하면
ln`y=ln`x^cos`^x .t3`ln`y=cos`x`ln`x 양변을 x에 대하여 미분하면 y&'y =(cos`x)&'ln`x+cos`x(ln`x)&' =-sin`x`ln`x+cos`x\1/x .t3`y&' =y(-sin`x`ln`x+ cos`xx )
=x^cos~^x(-sin`x`ln`x+ cos`xx )
⑵ 양변에 자연로그를 취하면
ln`y=ln`x^ln~^x
.t3`ln`y=ln`x\ln`x=(ln`x)^2
양변을 x에 대하여 미분하면 y&'y =2`ln`x(ln`x)&'=2`ln`x\1/x .t3`y&' =y\2`ln`x\1/x
=x^ln~^x&\2`ln`x\x&-1 =2x^ln~^x -1&`ln`x
답 ⑴ y&'=x^cos~^x(-sin`x`ln`x+ cos`xx ) ⑵ y&'=2x^ln~^x -1&&`ln`x
238
양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 ln|y| =ln&^| (x+1)^2(x-2)^3(x-3)^4 &^|
=2`ln|x+1|+3`ln|x-2|-4`ln|x-3|
양변을 x에 대하여 미분하면
y&' y = 2
x+1 + 3
x-2 - 4
x-3 = x^2&-12x+11
(x+1)(x-2)(x-3)
= (x-1)(x-11)
(x+1)(x-2)(x-3) .t3`y&' =y\ (x-1)(x-11)
(x+1)(x-2)(x-3) = (x-1)(x-11)(x+1)(x-2)^2(x-3)^5
답 y&'= (x-1)(x-11)(x+1)(x-2)^2(x-3)^5
240
⑴ y=^3rtx^4~=&x4/&3이므로
y&'=(x&4/3)&'=4/3&x&4/3-1=4/3&x^1/3=4/3&^3rtx~
⑵ y= 1x^2~rtx^3=(x2+3/2)-1=x-7/2이므로
y&'=(x&-7/2)&'=-7/2&x&-7/2-1=-7/2&x-9/2=- 72&x^4~rtx~
⑶ y=^5rt2x-4=(2x-4)1/5이므로
y&' ={(2x-4)1/5}&'=1/5(2x-4)1/5-1(2x-4)&' =1/5(2x-4)-4/5\2= 2
5`^5rt(2x-4)^4~
⑷ y&'=(x&-^e)&'=-ex&-^e-1
답 ⑴ y&'=4/3^3rtx~ ⑵ y&'=- 72x^4``rtx~
⑶ y&'= 2
5~^5rt(2x-4)^4~ ⑷ y&'=-ex&-&^e&-1
241
~f~(x)=x&-1&+x&-^2&+x&-^3&+.c3+x&-1^0이므로
~f~&'(x)=-x&-^2&-2x&-^3&-3x&-^4&-.c3-10x&-11 .t3`~f~&'(1) =-1-2-3-.c3-10
=-(1+2+3+.c3+10)
=- 10\112 =-55
답-55
242
~f~&'(x) = (tan`x)&'(1+sec`x)-tan`x(1+sec`x)&'(1+sec`x)^2 = sec^2`&x(1+sec`x)-tan`x\sec`x`tan`x(1+sec`x)^2 = sec`x(sec`x+sec^2`&x-tan^2`&x)(1+sec`x)^2
= sec`x(sec`x+1)(1+sec`x)^2 = sec`x 1+sec`x .t3`~f~&'(pai/3&)= sec`&pai/3
1+sec`&pai/3=`21/+2=2/3
답 2/3
243
h(x)=~f~(~g~(x))=sin^2`&2x이므로
h&'(x) =2`sin`2x(sin`2x)&'=2`sin`2x\cos`2x\2 =4`sin`2x`cos`2x
.t3`h&'(pai/6)=4`sin`pai/3`cos`pai/3=4\#!rt3/2$\1/2=rt3
답 rt3
244
~f~&'(x) =(ex^2&+1)&'tan`x+ex^2&+1(tan`x)&' =2xex^2&+1`tan`x+ex&^2&+1`sec^2`&x =ex^2&+1(2x`tan`x+sec^2`&x) .t3`~f~&'(0)=e(0+1)=e
답 e
245
~f~&'(x)= (sec^2`&x)&'sec^2`&x =2`sec`x\sec`x`tan`x
sec^2`&x =2`tan`x .t3`~f~&'(pai/4)=2`tan`pai/4=2\1=2
답 2
246
주어진 식의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 ln|~f~(x)| =ln^| x^2(x+1)^4(x-1)^3 ^|
=2`ln|x|+4`ln|x+1|-3`ln|x-1|
양변을 x에 대하여 미분하면
~f~&'(x)
~f~(x) =2/x+&`4x/+1-&`3x/-1
따라서 ~f~&'(x)=~f~(x)(2/x+&`4x/+1-`3x/-1)이므로
~f~&'(-2) =~f~(-2)\(-1-4+1) =(-4/27)\(-4)=16/27
답 16/27
248
⑴ dx/dt=(t^2&-t+1)&'=2t-1 dy/dt=(2t^2&-2t+3)&'=4t-2 .t3`dy/dx=dy/dt
dx /
dt= 4t-22t-1 =2
⑵ dx/dt=(t^2)&'=2t dy/dt=(t+1/t)&'=1-#1/@t^2 : .t3`dy/dx=dy/dt
dx /
dt=1-#1/@t^2
2t =t^2&-1 2t^3
답 ⑴ dy/dx=2 ⑵ dy/dx= t^2&-12t^3
250
⑴ 양변을 x에 대하여 미분하면 d/dx(2x^2)+d/dx(3y^2)=d/dx~(6) 4x+6y&dy/dx=0
.t3`dy/dx=-2x/3y`(단, ynot=0)
⑵ 양변을 x에 대하여 미분하면 d/dx(x^2)+d/dx(3y^2)=d/dx~(4xy) 2x+6y&dy/dx=4y+4x&dy/dx (4x-6y)dy/dx=2x-4y
.t3`dy/dx= 2x-4y4x-6y = x-2y
2x-3y ~ (단, 2x-3ynot=0)
⑶ 양변을 x에 대하여 미분하면 d/dx(x^2&y^3)=d/dx(3) 2xy^3&+3x^2&y^2dy/dx=0 .t3`dy/dx=-2y/3x~(단, xnot=0)
⑷ 양변을 x에 대하여 미분하면 d/dx(#!x^^2/9:)-d/dx(#!y^^2/4:)=d/dx(1) 2/9&x-2/4&y&dy/dx=0
.t3`dy/dx=4 x/9y~(단, ynot=0)
답 ⑴ dy/dx=-2x/3y~(단, ynot=0) ⑵ dy/dx= x-2y2x-3y ~(단, 2x-3ynot=0) ⑶ dy/dx=-2y/3x~(단, xnot=0) ⑷ dy/dx=4 x/9y~(단, ynot=0)
252
⑴ 주어진 식의 양변을 네제곱하면 y^4=4x-6 .t3`x=1/4&y^4&+3/2
양변을 y에 대하여 미분하면 dx/dy=y^3 .t3`dy/dx= 1
dx /
dy=#1/@y^3 := 1
^4rt(4x-6)^3~`(단, xnot=3/2)
⑵ 주어진 식의 양변을 y에 대하여 미분하면 dx/dy=rt1+y&+y\ 1
2rt1+y = 3y+2 2rt1+y .t3`dy/dx= 1
dx /
dy= 2rt1+y3y+2 `(단, ynot=-2/3)
답 ⑴ dy/dx= 1
^4rt(4x-6)^3~`(단, xnot=3/2) ⑵ dy/dx= 2rt1+y3y+2 `(단, ynot=-2/3)
254
~f~&-1(1/2)=k라 하면
~f~(k)=1/2에서 sin`k=1/2 .t3`k=pai/6`(.T3`-pai/2<k<pai/2)
따라서 f~&-1(1/2)=pai/6이고 f~&'(x)=cos`x이므로 (~f~&-1)&'(1/2) = 1
~f~&'(~f~&-1(1/2))= 1
~f~&'(pai/6)= 1 cos`pai/6
= 2rt33
답 2rt33
256
⑴ y&'=2x`ln`x+x^2&\1/x=x(2`ln`x+1)이므로 y&'&'=2`ln`x+1+x\2/x=2`ln`x+3
⑵ y&'= 2x2rtx^2+1= xrtx^2+1이므로 y&'&' = rtx^2+1&-x\ 2x2rtx^2+1
(rtx^2+1&)^2~
= 1
(x^2&+1)rtx^2+1
답 ⑴ y&'&'=2`ln`x+3 ⑵ y&'&'= 1
(x^2&+1)rtx^2+1
258
y&'=ae^a^x`sin`x+e^a^x`cos`x=e^a^x(a`sin`x+cos`x) y&'&' =ae^a^x(a`sin`x+cos`x)+e^a^x(a`cos`x-sin`x) =e^a^x{(a^2&-1)`sin`x+2a`cos`x}
y&'&'+2y&'+2y=0에 y, y&', y&'&'을 대입하면
e^a^x{(a^2&-1)`sin`x+2a`cos`x}+2e^a^x(a`sin`x+cos`x) +2e^a^x`sin`x=0 e^a^x{(a^2&+2a+1)`sin`x+(2a+2)`cos`x}=0 (a+1)^2`sin`x+2(a+1)`cos`x=0 (.T3`e^a^x>0) 이 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 a+1=0 .t3`a=-1
답 -1
259
x=4`cos`theta에서 dx/dtheta=-4`sin`theta y=3`sin`theta에서 dy/dtheta=3`cos`theta .t3`dy/dx=dy/dtheta
dx /
dtheta= 3`cos`theta-4`sin`theta =-3/4&cot`theta 따라서 theta=pai/6일 때, dy/dx는
-3/4`&cot`&pai/6=-3/4\rt3=- 3rt34
답 - 3rt34
260
rtx&+rt2y=3의 양변을 x에 대하여 미분하면 d
/
dx(rtx~~)+d/dx(rt2y~)=d/dx(3) 2rtx& +1 2
2rt2y \dy/dx=0 .t3`dy/dx=- rt2y2rtx (단, xnot=0) 따라서 x=1, y=2일 때, dy/dx의 값은 - rt42rt1 =-2/2=-1
답 -1
261
x=ln`(tan`y)의 양변을 y에 대하여 미분하면 dx
/
dy= (tan`y)&'tan`y =sec^2`y tan`y =
cos^2`&y1 sin`y cos`y
= 1
sin`y`cos`y
.t3`dy/dx=sin`y`cos`y
따라서 y=pai/4일 때, dy/dx의 값은 sin`pai/4`cos`pai/4=#1rt2$:\#1/ rt2$:=1/ /2
답 1/2
262
함수 f~(x)의 역함수가 ~g~(x)이므로
~f~(~g~(x))=x
이 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
~f~&'(~g~(x))\~g~&'(x)=1 .t3`~g~&'(x)= 1
~f~&'(~g~(x)) .t3`~g~&'(a)= 1
~f~&'(~g~(a)) = 1
~f~&'(b)
답 ②
263
~g~(1)=k라 하면 ~f~(k)=1 즉, 3k-2k+2 =1이므로 3k-2=k+2 .t3`k=2
.t3`~g~(1)=2
이때 ~f~&'(x)= 3(x+2)-(3x-2)(x+2)^2 = 8
(x+2)^2이므로
~~g~&'(1)= 1
~f~&'(~g~(1)) = 1
~f~&'(2) = 1
#8/@4^2 :=2
답 2
264
~f~&'(x) =cos`x`cos`x+sin`x`(-sin`x) =cos^2`&x&-sin^2`&x
~f~&'&'(x) =2`cos`x(-sin`x)-2`sin`x`cos`x =-4`sin`x`cos`x
.t3`~f~&'&'(pai/6) =-4`sin`pai/6`cos`pai/6 =-4\1/2\#!rt3/2:=-rt3
다른 풀이
~f~(x)=sin`x`cos`x=1/2`sin`2x이므로
~f~&'(x)=1/2`cos`2x\2=cos`2x
~f~&'&'(x)=-sin`2x\2=-2`sin`2x .t3`~f~&'&'(pai/6)=-2`sin`pai/3=-2\#!rt3/2:=-rt3
답 -rt3
265
~f~&'(x) = (ax^2&+bx-6)&'(x-2)-(ax^2&+bx-6)(x-2)&'(x-2)^2 = (2ax+b)(x-2)-(ax^2&+bx-6)(x-2)^2 = ax^2&-4ax-2b+6(x-2)^2
~f~&'(0)=4에서 -2b+64 =4 .t3`b=-5
또,`~f~&'(1)=-2에서 a-4a+16=-2 .t3`a=6
.t3`a+b=6+(-5)=1
답 1
266
~f~(x)= 4xx^3&-1에서~ f~(-1)=`-4/-2=2이므로 limh=0`~~ f~(h-1)-2h =limh=0`~~ f~(-1+h)-~f~(-1)h
=~f~&'(-1)
~f~&'(x) = (4x)&'(x^3&-1)-4x(x^3&-1)&'(x^3&-1)^2 = 4(x^3&-1)-4x\3x^2(x^3&-1)^2 = -8x^3&-4(x^3&-1)^2 .t3`~f~&'(-1)=8-4/4`=1
답 1
267
~f~(x)=sin^2`&x로 놓으면
limh=0`~ sin^2`(x+h)-sin^2`xh =limh=0`~~ f~(x+h)-~f~(x)h
=~f~&'(x)
=2`sin`x`(sin`x)&'
=2`sin`x`cos`x
답 2`sin`x`cos`x
268
~f~&'(x) = (sin`x)&'(sin`x-cos`x)-sin`x`(sin`x-cos`x)&'(sin`x-cos`x)^2 = cos`x`(sin`x-cos`x)-sin`x`(cos`x+sin`x)(sin`x-cos`x)^2 = -cos^2`x-sin^2`x(sin`x-cos`x)^2
= -1
(sin`x-cos`x)^2 .t3`a=-1
답 -1
269
~f~(x)를 (x-2)^2으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 1
/
4&x^6&-ax+b=(x-2)^2&Q(x) …… ㉠
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 3
/
2&x^5&-a=2(x-2)Q(x)+(x-2)^2&Q&'(x) …… ㉡
㉠, ㉡의 양변에 x=2를 각각 대입하면 16-2a+b=0, 48-a=0
두 식을 연립하여 풀면 a=48, b=80 .t3`b-a=80-48=32
답 32
270
limx=2`~~ f~(x)+4x-2 =3에서 x`→`2일 때 극한값이 존재하고 (분모)`→`0이므로 (분자)→ 0이다.
즉, limx=2`~{~f~(x)+4}=0이므로~ f~(2)=-4
.t3`limx=2`~~ f~(x)+4x-2 =limx=2`~~ f~(x)-~f~(2)x-2 =~f~&'(2)=3
~또,`limx=1`~~ g~(x)-2x-1 =4에서 x`→`1일 때 극한값이 존재 하고 (분모)`→`0이므로 (분자)`→`0이다.
~~즉, limx=1`{~g~(x)-2}=0이므로 ~g~(1)=2
~.t3`limx=1`~~ g~(x)-2x-1 =limx=1`~~ g~(x)-~g~(1)x-1 =~g~&'(1)=4 한편,`h(x)=~f~(~g~(x))라 하면
h(1)=~f~(~g~(1))=~f~(2)=-4
.t3`limx=1`~~ f~(~g~(x))+4x-1 =limx=1`~ h(x)-h(1)x-1 =h&'(1) 따라서 h&'(x)=~f~&'(~g~(x))~g~&'(x)이므로
h&'(1)=~f~&'(~g~(1))~g~&'(1)=~f~&'(2)~g~&'(1)=3\4=12
답 12
271
~f~&'(x) = (x+rtx^2-5~)&'x+rtx^2-5 =1+ 2x2rtx^2-5 x+rtx^2-5
=
rtx^2-5&+x rtx^2-5
x+rtx^2-5 = 1 rtx^2-5 이때 2~f~&'(a)-1=0에서~ f~&'(a)=1/2이므로
rta^2-51 =1/2, rta^2-5=2 a^2&-5=4, a^2=9 .t3`a=3 (.T3`a>0)
답 3
272
x=t^2&-1/2&t+1/3에서 dx/dt=2t-1/2 y=1/3&t^2&+at+1에서 dy/dt=2/3&t+a .t3`dy/dx=dy/dt
dx /
dt=2/3&t+a 2t-1/2 t=1일 때, dy/dx=10이므로
2 / 3+a 2
-1 /2=10, 2/3+a=15 .t3`a=43/3
답 43/3
273
limh=0`~~ f~(3+3h)-~f~(3)h =3`limh=0`~~ f~(3+3h)-~f~(3)3h
=3~f~&'(3) …… ㉠
x=t^2&+2t에서 dx/dt=2t+2 y=t^3&+1에서 dy/dt=3t^2 .t3`~f~&'(x)=dy/dx=dy/dt
dx /
dt= 3t^22t+2 …… ㉡ 한편, x=3일 때의 t의 값을 구하면
t^2&+2t=3에서 t^2&+2t-3=0
(t+3)(t-1)=0 .t3`t=1 (.T3`t>0) 따라서 ㉠, ㉡에서
limh=0`~~ f~(3+3h)-~f~(3)h =3~f~&'(3)=3\ 3\1^22\1+2 =9/4
답 9/4
274
x^2&+ay^2&+b=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 d
/
dx(x^2)+d/dx(ay^2)+d/dx(b)=0 2x+2ay&dy/dx=0
.t3`dy/dx=-x/ay (단, ynot=0)
x=4, y=1일 때,`dy/dx의 값이 1이므로 1=-4/a .t3`a=-4
x^2&+ay^2&+b=0에 x=4, y=1을 대입하면 16+a+b=0 .t3`b=-a-16=-12 .t3`ab=(-4)\(-12)=48
답 48
275
~f~&'(x)=e^a^x-b&+x\ae^a^x-b=(1+ax)e^a^x-b
~f~&'&'(x)=ae^a^x-b&+(1+ax)ae^a^x-b=ae^a^x-b(2+ax)
~f~&'(0)=e^2에서 e&-&b=e^2, -b=2 .t3`b=-2
~f~&'&'(0)=4e^2에서 2ae&-&b=4e^2, 2a=4 .t3`a=2
.t3`a+b=2+(-2)=0
답 0
276
y&' =2e^2^x(sin`x-cos`x)+e^2^x(cos`x+sin`x) =e^2^x(3`sin`x-cos`x)
y&'&' =2e^2^x(3`sin`x-cos`x)+e^2^x(3`cos`x+sin`x) =e^2^x(7`sin`x+cos`x)
y&'&'+5y=ay&'에 y, y&', y&'&'을 대입하면 e^2^x(7`sin`x+cos`x)+5e^2^x(sin`x-cos`x)
=ae^2^x(3`sin`x-cos`x)
e^2^x(12`sin`x-4`cos`x)=ae^2^x(3`sin`x-cos`x) e^2^x{3(4-a)`sin`x-(4-a)`cos`x}=0 e^2^x(4-a)(3`sin`x-cos`x)=0
(4-a)(3`sin`x-cos`x)=0 (.T3`e^2^x>0) 이 등식이 x의 값에 관계없이 항상 성립하므로 4-a=0 .t3`a=4
답 4
277
h&'(x)=~g~&'(~f~(x))~f~&'(x)이므로 h&'(2)=18에서
~g~&'(~f~(2))~f~&'(2)=18 이때 ~f~(2)=4\2=8이므로
~g~&'(8)~f~&'(2)=18 …… ㉠
~f~(x)=(3x-2)rt3x-2=(3x-2)3/2에서
~f~&'(x)=3/2(3x-2)^1/2(3x-2)&'=9/2rt3x-2 .t3`~f~&'(2)=9/2\2=9 ~
이것을 ㉠에 대입하면 g~&'(8)\9=18 .t3`~g~&'(8)=2
답 2
278
~f~(x)=ln`(e^x&+e^2^x&+e^3^x&+.c3+e^2^0^x)으로 놓으면
~f~(0)=ln`(1+1+1+.c3+1)
`~ 20개 =ln`20이므로 limx=0`&~2/x&`ln` e^x&+e^2^x&+e^3^x&+.c3+e^2^0^x20
=2`limx=0`~ ln`(e^x&+e^2^x&+e^3^x&+.c3+e^2^0^x)-ln`20x
=2`limx=0`~~ f~(x)-~f~(0)x =2~f~&'(0)
이때~`f~&'(x)= e^x&+2e^2^x&+3e^3^x&+.c3+20e^2^0^xe^x&+e^2^x&+e^3^x&+.c3+e^2^0^x 이므로
~f~&'(0)= 1+2+3+.c3+2020 = 20\21
20 =2 2 1/2
.t3`2~f~&'(0)=2\21/2=21
답 21
279
limx=e`~~ f~(x)-~f~(e)x^2&-e^2 =limx=e`~~^{ f~(x)-~f~(e)x-e \`1x/+e&&^}
=1/2e~f~&'(e)
~f~(x)=x^ln~^x의 양변에 자연로그를 취하면 ln`~f~(x)=ln`x^ln~^x
.t3`ln`~f~(x)=(ln`x)^2
양변을 x에 대하여 미분하면
~f~&'(x)
~f~(x) =2`ln`x\1/x= 2`ln`xx
.t3`~f~&'(x) =~f~(x)\ 2`ln`xx =x^ln~^x&\2`ln`x\x&-1 =2x^ln~^x& -1&`ln`x
따라서 ~f~&'(e)=2e1-1&\1=2이므로 1
/
2e~f~&'(e)=2/2e=1/e
답 1/e
280
x=t^2&+t^4&+t^6&+.c3+t^2^n에서 dx
/
dt=2t+4t^3&+6t^5&+.c3+2nt^2^n-1 y=t+t^3&+t^5&+.c3+t^2^n-1에서 dy
/
dt=1+3t^2&+5t^4&+.c3+(2n-1)t^2^n-^2 즉, dy/dx=dy/dt
dx /
dt= 1+3t^2&+5t^4&+.c3+(2n-1)t^2^n-^22t+4t^3&+6t^5&+.c3+2nt^2^n-1 이므로
limt=1`~dy/dx =limt=1`~ 1+3t^2&+5t^4&+.c3+(2n-1)t^2^n-^22t+4t^3&+6t^5&+.c3+2nt^2^n-1 = 1+3+5+.c3+(2n-1)2+4+6+.c3+2n
=k=1^n&~`(2k-1)sig sig
k=1^n&`~2k =2\ n(n+1)2 -n 2\ n(n+1)2 = n^2n^2&+n =`nn/+1
.t3`limn=inf`~(limt=1`&~dy/dx)=limn=inf``~nn/+1=limn=inf` 1 1+1/n=1
답 1
281
lim
x=-1`~ g~(x)-3x+1 =1/5에서 x`→`-1일 때 극한값이 존재 하고 (분모)→ 0이므로 (분자)`→`0이다.
즉, limx=-1`&{~g~(x)-3}=0이므로~ g~(-1)=3 .t3`~f~(3)=-1
lim
x=-1`~ g~(x)-3x+1 =limx=-1`~ g~(x)-~g~(-1)x-(-1) =~g~&'(-1) 따라서 ~g~&'(-1)=1/5이므로
~f~&'(3)= 1
~g~&'(~f~(3)) = 1
~g~&'(-1) =5
답 5
282
조건 ㈏에서 x`→`1일 때 극한값이 존재하고 (분모)`→`0이므로 (분자)`→`0이다.
즉, limx=1`&~{~f~&'(~f~(x))-1}=0이므로~ f~&'(~f~(1))=1 .t3` limx=1`~~ f~&'(~f~(x))-1x-1
=limx=1`~~ f~&'(~f~(x))-~f~&'(~f~(1))x-1
=limx=1`~~^{ f~&'(~f~(x))-~f~&'(~f~(1))~f~(x)-~f~(1) \~ f~(x)-~f~(1)x-1 ^}
=~f~&'&'(~f~(1))~f~&'(1)=~f~&'&'(2)\3 (.T3`㈎) 따라서 3~f~&'&'(2)=3이므로 ~f~&'&'(2)=1
답 1