284
⑴ f~(x)= 2x+1x-2 로 놓으면
~f~&'(x)= 2(x-2)-(2x+1)\1(x-2)^2 =- 5 (x-2)^2 이 곡선 위의 점 (1, -3)에서의 접선의 기울기는 ~f~&'(1)=- 5(-1)^2 =-5
따라서 점 (1, -3)을 지나고 기울기가 -5인 접선의 방정식은
y+3=-5(x-1) .t3`y=-5x+2
⑵ ~f~(x)=tan`x로 놓으면 ~f~&'(x)=sec^2`&x 이 곡선 위의 점 (pai/4, 1)에서의 접선의 기울기는 ~f~&'(pai/4)=sec^2`pai/4=2
따라서 점 (pai/4, 1)을 지나고 기울기가 2인 접선의 방정식은
y-1=2(x-pai/4) .t3`y=2x-pai/2+1
⑶ ~ f~(x)=e^x&+cos`x로 놓으면 ~f~&'(x)=e^x&-sin`x 이 곡선 위의 점 (0, 2)에서의 접선의 기울기는 ~f~&'(0)=1-0=1
따라서 점 (0, 2)를 지나고 기울기가 1인 접선의 방정식은
y-2=1\(x-0) .t3`y=x+2
⑷ f~(x)=3x`ln`x로 놓으면 ~f~&'(x)=3`ln`x+3 이 곡선 위의 점 (e, 3e)에서의 접선의 기울기는 ~f~&'(e)=3\1+3=6
따라서 점 (e, 3e)를 지나고 기울기가 6인 접선의 방정식은
y-3e=6(x-e) .t3`y=6x-3e
답 ⑴ y=-5x+2 ⑵ y=2x-pai/2+1 ⑶ y=x+2 ⑷ y=6x-3e
286
⑴ x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 135°인 직선의 기울기는 tan`135°=-1이다.
~f~(x)=cos`x-x로 놓으면 ~f~&'(x)=-sin`x-1 접점의 좌표를 (a, cos`a-a)로 놓으면 접선의 기울기가 -1이므로
~f~&'(a)=-sin`a-1=-1, sin`a=0 .t3`a=pai (.T3`0<a<2pai)
접점의 좌표는 (pai, cos`pai-pai), 즉 (pai, -1-pai)이 다. 따라서 기울기가 -1이고 점 (pai, -1-pai)를 지 나는 접선의 방정식은
y+1+pai=-(x-pai) .t3`y=-x-1
⑵ f~(x)=2x+e^x으로 놓으면 ~f~&'(x)=2+e^x 접점의 좌표를 (a, 2a+e^a)으로 놓으면 접선의 기울기가 3이므로
~f~&'(a)=2+e^a=3, e^a=1 .t3`a=0 접점의 좌표는 (0, 0+e^0), 즉 (0, 1)이다.
따라서 기울기가 3이고 점 (0, 1)을 지나는 접선의 방정식은
y-1=3(x-0) .t3`y=3x+1
답 ⑴ y=-x-1 ⑵ y=3x+1
288
⑴ ~f~(x)=a/x, ~g~(x)=e^x으로 놓으면 ~f~&'(x)=-#a/@x^2 :, ~g~&'(x)=e^x 두 곡선의 접점의 x좌표를 t라 하면 ~f~(t)=~g~(t)에서 a/t=e^t …… ㉠ ~f~&'(t)=~g~&'(t)에서 -#a/@t^2 :=e^t …… ㉡ ㉠에서 a=te^t이므로 ㉡에 대입하면 - te^tt^2 =e^t .t3`t=-1 .t3`~a=-e&-1=-1/e
⑵ ~f~(x)=a-sin^2`&x, g~(x)=cos`x로 놓으면 ~f~&'(x)=-2`sin`x`cos`x,~ g~&'(x)=-sin`x 두 곡선의 접점의 x좌표를 t라 하면
~f~(t)=~g~(t)에서 a-sin^2`&t=cos`t …… ㉠ ~f~&'(t)=~g~&'(t)에서 -2`sin`t`cos`t=-sin`t sin`t(2`cos`t-1)=0
.t3`cos`t=1/2`(.T3`0<t<pai에서 sin`t>0) …… ㉡ ㉡ 을 ㉠에 대입하면
a-^{1-(1/2)^^2^}=1/2 sin^2`&t=1-cos^2`&t a3 /- 4=1/2 .t3`a=5/4
답 ⑴ 1/-e ⑵ 5/4
290
[방법 1]
⑴ ~f~(x)=#!e^^x/x:으로 놓으면
~f~&'(x)= e^x&\x-e^x&\1x^2 = e^x(x-1)x^2 접점의 좌표를 (a, #!e^a/a:)으로 놓으면 접선의 기울기는 ~f~&'(a)= e^a(a-1)a^2 이므로 접선의 방정식은
y-#!e^a/a:= e^a(a-1)a^2 (x-a) …… ㉠ 이 접선이 원점을 지나므로
0-#!e^a/a:= e^a(a-1)a^2 (0-a), a-1=1 .t3`a=2
a=2를 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
y-#!e^^2/2:=#!e^^2/4:(x-2) .t3`y=#!e^^2/4:x
⑵ ~ f~(x)=x`ln`x로 놓으면 ~f~&'(x)=ln`x+1 접점의 좌표를 (a, a`ln`a)로 놓으면 접선의 기울기는 ~f~&'(a)=ln`a+1이므로 접선의 방정식은
y-a`ln`a=(ln`a+1)(x-a) …… ㉠ 이 접선이 점 (0, -1)을 지나므로 -1-a`ln`a=(ln`a+1)(0-a) .t3`a=1
a=1을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
y-ln`1=(ln`1+1)(x-1) .t3`y=x-1 [방법 2]
⑴ 구하는 접선은 원점을 지나는 직선이므로 y=ax로 놓으면 주어진 문제는 다음과 같이 변신한다.
곡선 y=#!e^^x/x:과 직선 y=ax가 접할 때, 상수 a 의 값은?
~f~(x)=#!e^^x/x:,`~g~(x)=ax로 놓으면 ~f~&'(x)= e^x(x-1)x^2 ,`~g~&'(x)=a 접점의 x좌표를 t라 하면
~f~(t)=~g~(t)에서 #!e^^t/t:=at …… ㉠ ~f~&'(t)=~g~&'(t)에서 e^t(t-1)t^2 =a …… ㉡
㉠에서 a=#!e^^t/@t^2 :이므로 ㉡에 대입하면 e^t(t-1)t^2 =#!e^^t/@t^2 :, t-1=1
.t3`t=2 .t3`a=#!e^^2/4:
따라서 구하는 접선의 방정식은 y=#!e^^2/4:x
⑵ 구하는 접선은 점 (0, -1)을 지나는 직선이므로 y=ax-1로 놓으면 주어진 문제는 다음과 같이 변
신한다.
곡선 y=x`ln`x와 직선 y=ax-1이 접할 때, 상수 a의 값은?
~f~(x)=x`ln`x,`~g~(x)=ax-1로 놓으면 ~f~&'(x)=ln`x+1,`~g~&'(x)=a
접점의 x좌표를 t라 하면
~f~(t)=~g~(t)에서 t`ln`t=at-1 …… ㉠ ~f~&'(t)=~g~&'(t)에서 ln`t+1=a …… ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면
t`ln`t=(ln`t+1)t-1, t-1=0 .t3`t=1
.t3`a=1
따라서 구하는 접선의 방정식은 y=x-1
답 ⑴ y=#!e^^2/4:x ⑵ y=x-1
292
⑴ ~ f~&'(x)=1-1/x= x-1x
~f~&'(x)=0에서 x=1
x>0에서 함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
x (0) … 1 …
~f~&'(x) - 0 +
~f~(x) ↘ 1 ↗
따라서 함수~ f~(x)는 x>1에서 증가하고, 0<x<1에서 감소한다.
⑵ ~f~&'(x)=-sin`x+sin`x+x`cos`x=x`cos`x
~f~&'(x)=0에서 x`cos`x=0
.t3`x=pai/2 또는 ~x=3/2&pai (.T3`0<x<2pai)
0<x<2pai에서 함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표로 나 타내면 다음과 같다.
x (0) … pai/2 … 3/2&pai … (2pai)
~f~&'(x) + 0 - 0 +
~f~(x) ↗ pai/2 ↘ -3/2&pai ↗ 따라서 함수~ f~(x)는 0<x<pai/2 또는 ~3/2&pai<x<2pai 에서 증가하고, pai/2<x<3/2&pai에서 감소한다.
답 ⑴ x>1에서 증가, 0<x<1에서 감소 ⑵ 0<x<pai/2 또는 ~3/2&pai<x<2pai에서 증가, pai/2<x<3/2&pai에서 감소
294
~f~&'(x)=a+ 2xx^2&+4 =ax^2&+2x+4a x^2&+4
함수 ~f~(x)가 실수 전체의 집합에서 감소하려면
~f~&'(x)-<0이어야 하므로
ax^2&+2x+4a-<0 (.T3`x^2&+4>0) …… ㉠
a=0일 때, 부등식 ㉠에서 x-<0
그런데 이 부등식은 모든 실수 x에 대하여 항상 성 립하는 것은 아니다.
anot=0일 때, 이차부등식 ㉠이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 하므로 이차방정식 ax^2&+2x+4a=0의 판별식을 D라 하면 a<0 …… ㉡ D/4=1-4a^2-<0, (2a+1)(2a-1)->0
.t3`a-<-1/2 또는 ~a->1/2 …… ㉢
㉡, ㉢의 공통부분을 구하면 a-<-1/2
, 에서 a-<-1/2
답 a-<-1/2
296
⑴ ~f~&'(x)= e^x&\x-e^x&\1x^2 = e^x(x-1)x^2
~f~&'(x)=0에서 x=1
x>0에서 함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
x (0) … 1 …
~f~&'(x) - 0 +
~f~(x) ↘ 극소 ↗
따라서 x=1에서 극소이고 극솟값은 ~f~(1)=e
⑵~ f~&'(x)=1/2-sin`x
~f~&'(x)=0에서 sin`x=1/2
.t3`x=pai/6 또는 ~x=5/6&pai`(.T3`0<x<pai)
0<x<pai에서 함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표로 나 타내면 다음과 같다.
x (0) … pai/6 … 5/6&pai … (pai)
~f~&'(x) + 0 - 0 +
~f~(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
따라서 x=pai/6에서 극대이고 극댓값은
~f~(pai/6)=pai/12+#!rt3/2$
x=5/6&pai에서 극소이고 극솟값은
~f~(5/6&pai)=5/12&pai-#!rt3/2$
⑶ ~f~&'(x)=ln`x+x\1/x=ln`x+1
~f~&'(x)=0에서 ln`x=-1 .t3`x=1/e
x>0에서 함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
x (0) … 1/e …
~f~&'(x) - 0 +
~f~(x) ↘ 극소 ↗
따라서 x=1/e에서 극소이고 극솟값은 ~f~(1/e)=-1/e
⑷ f~&'(x)=1+ -2x2RT4-x^2= RT4-x^2&-xRT4-x^2&
~f~&'(x)=0에서 RT4-x^2&=x
4-x^2=x^2, x^2=2 .t3`x=rt2 (.T3`0<x<2) 0<x<2에서 함수 f~(x)의 증가와 감소를 표로 나 타내면 다음과 같다.
x (0) … rt2 … (2)
~f~&'(x) + 0
-~f~(x) ↗ 극대 ↘
따라서 x=rt2에서 극대이고 극댓값은
~f~(rt2~~)=2rt2
답 ⑴ 극솟값&:`e
⑵ 극댓값&:`pai/12+#!rt3/2$, 극솟값&:5/12&pai-#!rt3/2$
⑶ 극솟값&:`-1/e ⑷ 극댓값&:`2rt2
298
⑴ ~f~&'(x)=1+2`sin`x이므로
~f~&'(x)=0에서 sin`x=-1/2
.t3`x=7/6&pai 또는 ~x=11/6&pai`(.T3`0-<x-<2pai)
~f~&'&'(x)=2`cos`x이므로
~f~&'&'(7/6&pai)=-rt3`<0 ➡ 극대
~f~&'&'(1 1/6&pai)=rt3`>0 ➡ 극소
따라서 x=7/6~pai에서 극대이고 극댓값은
~f~(7/6~pai)=7/6~pai+rt3
x=11/6~pai에서 극소이고 극솟값은
~f~(11/6~pai)=1 1/6~pai-rt3
⑵ ~f~&'(x)=e^2^x&+2xe^2^x=e^2^x(1+2x)이므로
~f~&'(x)=0에서 1+2x=0 .t3`x=-1/2
~f~&'&'(x)=2e^2^x(1+2x)+e^2^x&\2=4e^2^x(1+x)이므로
~f~&'&'(-1/2)=2/e>0 ➡ 극소
따라서 x=-1/2에서 극소이고 극솟값은
~f~(-1/2)=-1/2&e&-1=-1/2e
답 ⑴ 극댓값&:7/6&pai+rt3, 극솟값&:1 1/6&pai-rt3 ⑵ 극솟값1-&: /2e
300
⑴ ~f~&'(x) = (2x+a)(x+1)-(x^2&+ax+b)\1(x+1)^2
= x^2&+2x+a-b(x+1)^2
함수 ~f~(x)가 x=1에서 극솟값 -2를 가지므로
~f~(1)= 1+a+b2 =-2, ~f~&'(1)= 3+a-b4 =0 두 식을 연립하여 풀면
a=-4, b=-1
⑵ ~f~&'(x)=ln`x+1+a
함수 ~f~(x)가 x=e^2에서 극솟값을 가지므로
~f~&'(e^2)=ln`e^2&+1+a=0 .t3`a=-3
따라서 ~f~(x)의 극솟값은
~f~(e^2)=e^2&`ln`e^2&-3e^2=-e^2
답 ⑴ a=-4, b=-1 ⑵ a=-3, 극솟값&: -e^2
302
⑴ ~f~&'(x) =(2x+1)e^x&+(x^2&+x+a)e^x =(x^2&+3x+a+1)e^x
~f~&'(x)=0에서 x^2&+3x+a+1=0 …… ㉠ 함수 f~(x)가 극값을 가지려면 이차방정식 ㉠이 서 로 다른 두 실근을 가져야 하므로 ㉠의 판별식을 D 라 하면
D=3^2&-4(a+1)>0 .t3`a<5/4
⑵ ~f~&'(x)=a-cos`x
함수 ~f~(x)가 극값을 갖지 않으려면 모든 실수 x에 대하여 ~f~&'(x)-<0 또는 ~~f~&'(x)->0이어야 하므로 a-cos`x-<0 또는 ~a-cos`x->0
.t3`cos`x->a 또는 ~cos`x-<a 그런데 -1-<cos`x-<1이므로 a-<-1 또는 ~a->1
답 ⑴ 5 /<a 4 ⑵ a-<-1 또는 a->1
303
~f~(x)=x`ln`x+2x로 놓으면
~f~&'(x)=ln`x+x\1/x+2=ln`x+3
이 곡선 위의 점 (e, 3e)에서의 접선의 기울기는
~f~&'(e)=1+3=4
즉, 점 (e, 3e)를 지나고 기울기가 4인 접선의 방정식은 y-3e=4(x-e) .t3`y=4x-e
따라서 a=4, b=-e이므로 ab=-4e
답 -4e
304
~f~(x)=2e^2^x&-ax, ~g~(x)=b/x로 놓으면
~f~&'(x)=4e^2^x&-a, g~&'(x)=-#b/@x^2 :
두 곡선이 x=1인 점에서 공통인 접선을 가지므로
~f~(1)=~g~(1)에서 2e^2&-a=b …… ㉠
~f~&'(1)=~g~&'(1)에서 4e^2&-a=-b …… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3e^2, b=-e^2
.t3`a/b= 3e^2-e^2 =-3
답 -3
305
~f~(x)=e&-^x+^a으로 놓으면
~f~&'(x)=-e&-^x+^a
접점의 좌표를 (t, e&-^t+^a)으로 놓으면 접선의 기울기가
~f~&'(t)=-e&-^t+^a이므로 접선의 방정식은 y-e&-^t+^a=-e&-^t+^a(x-t) …… ㉠ 이 접선이 원점을 지나므로
0-e&-^t+^a=-e&-^t+^a(0-t) .t3`t=-1
t=-1을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은
y-e1+^a=-e1+^a(x+1) .t3`y=-e1+^a&x
이 접선이 점 (1, -1)을 지나므로 -1=-e1+^a, 1+a=0
.t3`a=-1 다른 풀이
접선이 두 점 (0, 0), (1, -1)을 지나므로 접선의 방 정식은 y=-x
이제 주어진 문제는 다음과 같이 변신한다.
곡선 y=e&-^x+^a과 직선 y=-x가 접할 때, 상수 a 의 값은?
~f~(x)=e&-^x+^a,`~g~(x)=-x로 놓으면
~f~&'(x)=-e&-^x+^a,`~g~&'(x)=-1 접점의 x좌표를 t라 하면
~f~(t)=~g~(t)에서 e&-^t+^a=-t …… ㉠
~f~&'(t)=~g~&'(t)에서 -e&-^t+^a=-1 …… ㉡
㉡에서 e&-^t+^a=1, -t+a=0 .t3`t=a
이것을 ㉠에 대입하면 e&-^a+^a=-a .t3`a=-1
답 -1
306
~f~(x)=x+RT1-x^2에서 1-x^2->0 .t3`-1-<x-<1
~f~&'(x)=1- 2x2RT1-x^2= RT1-x^2&-xRT1-x^2
~f~&'(x)=0에서 RT1-x^2=x …… ㉠
양변을 제곱하여 정리하면 x^2=1/2 .t3`x=#1rt2$: (.T3`/ ㉠에서 x->0)
함수 f~(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같 다.
x -1 … 1/#rt2$: … 1
~f~&'(x) + 0
-~f~(x) ↗ 극대 ↘
따라서~ f~(x)는 x=#1rt2$:에서 극댓값 ~f~(#1/ rt2$:)=rt2 를/ 가지므로 a=#1rt2$:, b=rt2/
.t3`ab=;#1rt2$:\rt2=1/
답 1
307
~f~&'(x)= cos`x\e^x&-sin`x\e^xe^2^x = cos`x-sin`xe^x
~f~&'(x)=0에서 cos`x-sin`x=0 .t3`x=pai/4 또는 ~x=5/4&pai (.T3`0-<x-<2pai)
함수 f~(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같
다.
x 0 … pai/4 … 5/4&pai … 2pai
~f~&'(x) + 0 - 0 +
~f~(x) 0 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ 0
따라서 ~f~(x)는 x=pai/4에서 극대이고 x=5/4&pai에서 극 소이므로 alpha=pai/4, beta=5/4&pai
.t3`beta-alpha=pai
답 pai
308
~f~&'(x)=cos`x-rt3`sin`x
~f~&'(x)=0에서 cos`x-rt3`sin`x=0 1-rt3`tan`x=0, tan`x=#1rt3$:/
.t3`x=pai/6 또는 ~x=7/6&pai (.T3`0-<x-<2pai)
~f~&'&'(x)=-sin`x-rt3`cos`x에서
~f~&'&'(pai/6)=-1/2-3/2=-2<0
~f~&'&'(7/6&pai)=1/2+3/2=2>0
이때 ~f~(x)는 x=pai/6에서 극대이고 극댓값이 5이므로
~f~(pai/6)=1/2+3/2+a=5 .t3`a=3
따라서 ~f~(x)는 x=7/6&pai에서 극소이고 극솟값은
~f~(7/6&pai)=-1/2-3/2+3=1
답 1
310
⑴ ~f~(x)=2x^3&-3x^2&+1로 놓으면
~f~&'(x)=6x^2&-6x=6x(x-1)
~f~&'&'(x)=12x-6=6(2x-1)
~f~&'(x)=0에서 x=0 또는 ~x=1
~f~&'&'(x)=0에서 x=1/2
함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x … 0 … 1/2 … 1 …
~f~&'(x) + 0 - - - 0 +
~f~&'&'(x) - - - 0 + + +
~f~(x) 1 1/2 0
따라서 곡선 y=~f~(x)는
x<1/2일 때 ~f~&'&'(x)<0이므로 위로 볼록, x>1/2일 때 ~f~&'&'(x)>0이므로 아래로 볼록이고, 변곡점의 좌표는 1/(2, 1/2)이다.
⑵ ~f~(x)=e-2x^2으로 놓으면
~f~&'(x)=-4xe-2x^2
~f~&'&'(x) =-4e-2x^2&+16x^2&e-2x^2=4e-2x^2(4x^2&-1) =4e-2x^2&(2x+1)(2x-1)
~f~&'(x)=0에서 x=0
~f~&'&'(x)=0에서 x=-1/2 또는 ~x=1/2
함수 f~(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x … 1/-2 … 0 … 1/2 …
~f~&'(x) + + + 0 - -
-~f~&'&'(x) + 0 - - - 0 +
~f~(x) #1rte$$ / 1 #1rte$$ /
따라서 곡선 y=~f~(x)는
-1/2<x<1/2일 때 ~f~&'&'(x)<0이므로 위로 볼록, x<-1/2 또는 ~x>1/2일 때 ~f~&'&'(x)>0이므로 아래 로 볼록이고, 변곡점의 좌표는 (-1/2, #1rte$$), / (
1/2, #1rte$$)이다./
⑶ ~f~(x)= ln`xx 로 놓으면
~f~&'(x) =1/x\x-ln`x\1 x^2 ~ = 1-ln`xx^2
~f~&'&'(x) =-1/x\x^2&-(1-ln`x)\2x x^4
= 2`ln`x-3x^3
~f~&'(x)=0에서 1-ln`x=0, ln`x=1 .t3`x=e
~f~&'&'(x)=0에서 2`ln`x-3=0, ln`x=3/2 .t3`x=erte
x>0에서 함수 f~(x)의 증가와 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
x (0) … e … erte …
~f~&'(x) + 0 - -
-~f~&'&'(x) - - - 0 +
~f~(x) 1/e 3
2erte 따라서 곡선 y=~f~(x)는
0<x<erte`일 때 ~f~&'&'(x)<0이므로 위로 볼록, x>erte`일 때 ~f~&'&'(x)>0이므로 아래로 볼록이고, 변곡점의 좌표는 (erte, 32erte` )이다.
⑷ ~f~(x)=x+2`cos`x로 놓으면
~f~&'(x)=1-2`sin`x, ~f~&'&'(x)=-2`cos`x
~f~&'(x)=0에서 sin`x=1/2
.t3`x=pai/6 또는 ~x=5/6&pai (.T3`0-<x-<2pai)
~f~&'&'(x)=0에서 cos`x=0
.t3`x=pai/2 또는 ~x=3/2&pai (.T3`0-<x-<2pai)
0-<x-<2pai에서 함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표로 나 타내면 다음과 같다.
x 0 … pai/6 … pai/2 … 5/6&pai …3/2&pai … 2pai
~f~&'(x) + 0 - - - 0 + + +
~f~&'&'(x) 0 + + + 0
-~f~(x) 2 pai6+rt3 pai/ /2 5/6&pai-rt3 3/2&pai 2pai+2 따라서 곡선 y=~f~(x)는
0-<x<pai/2 또는 ~3/2&pai<x-<2pai일 때 ~f~&'&'(x)<0이 므로 위로 볼록, pai/2<x<3/2&pai일 때 ~f~&'&'(x)>0이므 로 아래로 볼록이고, 변곡점의 좌표는 (pai/2, pai/2), (3/2&pai, 3/2&pai )이다.
답 ⑴ 1/(2, 1/2)
⑵ (-1/2, #1rte$$:), (/ 1/2, #1rte$$:)/ ⑶ (&erte, 32&erte )
⑷ (pai/2, pai/2), (3/2&pai, 3/2&pai )
312
~f~(x)=ax^3&+bx^2&+cx에서
~f~&'(x)=3ax^2&+2bx+c
~f~&'&'(x)=6ax+2b
x=1인 점에서의 접선의 기울기가 3이므로
~f~&'(1)=3a+2b+c=3 …… ㉠ 변곡점의 좌표가 (2, 8)이므로
~f~(2)=8a+4b+2c=8
.t3`4a+2b+c=4 …… ㉡
~f~&'&'(2)=12a+2b=0
.t3`6a+b=0 …… ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=-6, c=12
.t3`a+b+c=1+(-6)+12=7
답 7
314
⑴ f~(x)=(ln`x)^2으로 놓으면
~f~&'(x)= 2`ln`xx
~f~&'&'(x)=2/x\x-2`ln`x\1
x^2 = 2(1-ln`x)x^2
~f~&'&'(x)=0에서 x=e이고, x=e의 좌우에서 ~f~&'&'(x) 의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (e, 1)
또, x=e인 점에서의 접선의 기울기는
~f~&'(e)=2/e
따라서 변곡점에서의 접선의 방정식은 y-1=2/e(x-e) .t3`y=2/e&x-1
⑵ ~f~(x)=x-cos`x로 놓으면
~f~&'(x)=1+sin`x,`~f~&'&'(x)=cos`x
~f~&'&'(x)=0에서 x=pai/2이고,`x=pai/2의 좌우에서
~f~&'&'(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (pai/2, pai/2)
또, x=pai/2인 점에서의 접선의 기울기는
~f~&'(pai/2)=2
따라서 변곡점에서의 접선의 방정식은 y-pai/2=2(x-pai/2) .t3`y=2x-pai/2
답 ⑴ y=2/e&x-1 ⑵ y=2x-pai/2
316
⑴ ~~f~&'(x)=4x^3&-12x^2=4x^2(x-3)이므로
~f~&'(x)=0에서 x=0 또는 ~x=3
⑵ ~~f~&'(x)=1-2`cos`x이므로
~f~&'(x)=0에서 cos`x=1/2
.t3`x=pai/3 또는 ~x=5/3&pai (.T3`0-<x-<2pai)
~f~&'&'(x)=2`sin`x이므로
⑴ ① xnot=0이므로 정의역은 xnot=0인 실수 전체의 집합 이다.
~f~&'(x)=0에서 x=-1 또는 ~x=1
~f~&'&'(x)= 2x\x^2&-(x^2&-1)\2xx^4 =#2/@x^3 :에서 ~f~&'&'(x)=0을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않
으므로 변곡점이 없다.
따라서 함수 y=~f~(x)의
이므로 함수 ~f~(x)의 점근선의 방정식은 x=0,&
y=x이다.
⑵ ① 정의역은 x->0인 실수 전체의 집합이다.
② ~f~(x)=0에서 x=2rtx~,& x^2=4x &x(x-4)=0 .t3`x=0 또는 ~x=4 즉, 점 (0, 0), (4, 0)을 지난다.
③ ~f~&'(x)=1-#1rtx$:이므로/
~f~&'(x)=0에서 x=1
~f~&'&'(x)= 12xrtx에서 ~f~&'&'(x)=0을 만족시키는 x 의 값이 존재하지 않으므로 변곡점이 없다.
~f~&'&'(x)=-2e-x^2+4x^2&e-x^2=2e-x^2(2x^2&-1) 이므로~
f~&'&'(x)=0에서 x=-#!rt2/2$ 또는 ~x=#!rt2/2$
함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음 ⑤ limx=inf`~~f~(x)=0,& limx=-inf~~f~(x)=0이므로 점근선은
x축이다.
③ ~f~&'(x)=ln`x+1이므로 ~f~&'(x)=0에서 x=1/e ~f~&'&'(x)=1/x에서 ~f~&'&'(x)=0을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으므로 변곡점이 없다.
⑤ limx=inf`~~f~(x)=inf~이다.
따라서 함수 y=~f~(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다.
답 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
322
⑴ ~f~&'(x) = 1\(x^2&+3)-(x-1)\2x(x^2&+3)^2 =- (x+1)(x-3)(x^2&+3)^2
~ f~&'(0)=0에서 x=-1 또는 ~x=3
구간 [-1, 5]에서 함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표
로 나타내면 다음과 같다.
x -1 … 3 … 5
~f~&'(x) 0 + 0
-~f~(x) 1/-2 ↗ 1/6 ↘ 1/7
따라서 최댓값은~ f~(3)=1/6, 최솟값은 ~f~(-1)=-1/2
⑵ ~f~&'(x) =RT4-x^2&- 2x^2
2RT4-x^2~= 2(2-x^2) RT4-x^2~
=- 2(x+rt2~~)(x-rt2~~) RT4-x^2~
~f~&'(x)=0에서 x=-rt2 또는 ~x=rt2
[-2, 2]에서 함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표로 나 타내면 다음과 같다.
x -2 … -rt2 … rt2 … 2
~f~&'(x) - 0 + 0
-~f~(x) 0 ↘ -2 ↗ 2 ↘ 0
따라서 최댓값은 ~~~f~(rt2`)=2, 최솟값은 ~~f~(-rt2`)=-2
답 ⑴ 최댓값&:`1/6, 최솟값&:`-1/2
⑵ 최댓값&:`2, 최솟값&:`-2
324
⑴ ~ f~&'(x) =e&-x^2&-2x^2&e-x^2=(1-2x^2)e-x^2 =-2(x+;#1rt2$:)(x-;#1/ rt2$:)e/ -x^2 ~f~&'(x)=0에서 x=-#1rt2$: 또는 ~x=#1/ rt2$:/
구간 [-1, 1]에서 함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표 로 나타내면 다음과 같다.
x -1 … -#1rt2$: … #/ 1/rt2$: … 1
~f~&'(x) - 0 + 0
-~f~(x) -1/e ↘ - 1rt2e ↗ 1
rt2e ↘ 1/e 따라서 최댓값은 ~f~(#1rt2$:)= 1/ rt2e ,
최솟값은 ~f~(-#1rt2$:)=- 1/ rt2e
⑵ f~&'(x)=- 1-ln`xx^2 =ln`x-1 x^2 ~f~&'(x)=0에서 x=e
구간 [1, e^2]에서 함수 ~f~(x)의 증가와 감소를 표로
나타내면 다음과 같다.
x 1 … e … e^2
~f~&'(x) - 0 +
~f~(x) 0 ↘ -1/e ↗ -#2/@e^2 : 따라서 최댓값은 ~f~(1)=0, 최솟값은 ~f~(e)=-1/e
답 ⑴ 최댓값&:~ 1rt2e , 최솟값&:~- 1rt2e
답 ⑴ 최댓값&:~ 1rt2e , 최솟값&:~- 1rt2e