제13장 편도함수

13.1 다변수함수 13.3 편도함수 13.4 접평면 13.5 연쇄법칙

13.6 방향도함수와 기울기 벡터

제13장 편도함수

1

y = f(x)이고 x = g(t)이며 f 와 g가 미분가능한 함수이면

연쇄 법칙

dy dy dx dt  dx dt

1 z = f(x, y)가 x와 y에 관해 미분가능한 함수

x = g(t)와 y = h(t)가 모두 t에 관해 미분가능한 함수.

그러면 z는 t에 관해 미분가능한 함수이고 다음이 성립한다.

f f dy

dz dx

dt x dt y dt

 

 

 

x = sin2t, y = cost, z = x

y + 3xy

dz/dt

예제

3

이상기체 1mol에서 압력 P(kPa), 부피 V(L), 온도 T(K)의 관계는 PV = 8.31 T로 주어진다.

온도가 300K이고 온도변화율이 0.1K/s, 부피가 100L이고 부피변화율이 0.2L/s일 때, 압력 P의 변화율을 구하라.

예제

z = f(x, y)가 x와 y에 관해 미분 가능한 함수

x = g(s, t)와 y = h(s, t)가 모두 s와 t에 관해 미분 가능한 함수 그러면 다음이 성립한다.

2

y y

z z x z z z x z

s x s y s t x t y t

 

           

     ,     

5

z = e

siny, x = st

, y = s

t 일 때 z/ s, z/ t 를 구하라..

예제

x = rse^t, y = rs²e^{- t}, z = r²s sin t 이고 u = x⁴y + y²z³ 이면 r = 2, s = 1, t = 0일 때

∂u/∂s의 값을 구하라.

예제

7

z = f(x, y)가 연속인 2계 편도함수를 가지며, x = r² + s² 이고 y = 2rs일 때, 다음을 구하라.

(a) ∂z/∂r (b) ∂²z/∂r²

예제

음함수 미분법

x³ + y³ = 6xy 일 때 y’ 을 구하라.

예제

전미분

9

x y

z z

dz f x y dx f x y dy dx dy

x y

 

   

 

( , ) ( , ) z = f(x, y)

z 가 방정식 F(x, y, z) = 0 에 함수 z = f(x, y)와 같이 음함수로 주어진다고 하자.

F(x, y, z) = 0

x y

z z

dz f x y dx f x y dy dx dy

x y

 

   

 

( , ) ( , )

z = f(x, y)

x³ + y³ + z³ + 6xyz = 1일 때 ∂z/∂x 와 ∂z/∂y 를 구하라..

예제

11