Chapter 13 편도함수
이문배
건국대학교 수학과
Chapter 13 편도함수
Contents
13.1 다변수 함수
13.2 극한과 연속
Definition
2변수 함수 f 는 집합 D ⊂ R2안의 각 실수 순서쌍 (x, y)에 대해 f (x, y)로 표시되는유일한 실수값을 대응시켜주는 규칙이다. 이때 집합 D를 f 의 정의역이라 하고, {f (x, y) : (x, y) ∈ D}를 f 의 치역이라 한다.
▶ 일반적인 점 (x, y)에서 f 에 의하여 취해지는 값을 분명하게 표시하기 위하여 z = f (x, y)로 흔히 쓴다. 변수 x, y는 독립변수이고 z는 종속변수이다.
▶ f 가 정의역이 D인 2변수 함수이면
{(x, y, z) ∈ R3: z = f (x, y), (x, y) ∈ D} 를 함수 f 의 그래프라 한다.
Chapter 13 편도함수 13.1 다변수 함수
Example
함수 f (x, y) = 6 − 3x − 2y의 그래프를 그려라.
풀이.
Example
함수 g(x, y) =p9 − x2− y2의 그래프를 그려라.
풀이.
Example
함수 f (x, y) = x2+ y2의 그래프를 그려라.
풀이.
Example
함수 f (x, y) =px2+ y2의 그래프를 그려라.
풀이.
Chapter 13 편도함수 13.1 다변수 함수
Definition
이변수 함수 f 의등위곡선(level curve)은 f (x, y) = k로 주어진 곡선이다.
여기서, k는 치역내에 있는 하나의 상수이다.
Example
다음 함수의 등위곡선들을 그려라.
g(x, y) =p
9 − x2− y2, k = 0, 1, 2, 3
풀이.
3변수 또는 그보다 많은 변수들의 함수
Examplef (x, y, z) = x2+ y2+ z2: R3→ R
f (x, y, z) = k (등위곡면, level surface) 풀이.
Chapter 13 편도함수 13.2 극한과 연속
Definition
f 를 이변수함수라 하고, 그 정의역 D는 점 (a, b)에 가까이 있는 점을 포함한다고 하자. (x, y)가 (a, b)에 접근할 때 f (x, y)의 값이 L에 가까이 가면 f (x, y)의극한값을 L이라 하고,
lim
(x,y)→(a,b)f (x, y) = L 로 쓴다.
Definition (극한의 엄밀한 정의)
f 를 이변수함수라 하고, 그 정의역 D는 점 (a, b)에 가까이 있는 점을 포함한다고 하자. 만일 임의의 ε > 0에 대하여
0 <
q
(x − a)2+ (y − b)2< δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε 를 만족하는 δ > 0가 존재할 때,
lim
(x,y)→(a,b)f (x, y) = L
이라 쓰고, (x, y)가 (a, b)에 접근할 때 f (x, y)의극한값은 L이라고 말한다.
▶f (x, y)가 접근 경로와 관계없이 일정한 값으로 접근해야 극한값이 존재한다.
Example lim
(x,y)→(0,0)
x2− y2
x2+ y2이 존재하지 않음을 보여라.
풀이.
Chapter 13 편도함수 13.2 극한과 연속
Example lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2+ y2는 존재하는가?
풀이.
Example lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2+ y4는 존재하는가?
풀이.
Example lim
(x,y)→(0,0)
3x2y
x2+ y2이 존재하는 경우 그것을 구하여라.
풀이.
Chapter 13 편도함수 13.2 극한과 연속
Definition
이변수 함수 f 에 대하여 만일 lim
(x,y)→(a,b)f (x, y) = f (a, b)
가 성립하면, f 는 (a, b)에서연속이라고 한다. 만일 D에 속하는 모든 점 (a, b) 에서 f 가 연속이면, f 는 영역 D에서 연속이라 한다.
Remark
lim
(x,y)→(a,b)x = a, lim
(x,y)→(a,b)y = b, lim
(x,y)→(a,b)c = c
⇒ f (x, y) = x, f (x, y) = y, f (x, y) = c는 모두 연속함수
⇒모든 다항식은 R2위에서 연속이고 유리함수도 그 정의역에서 연속이다.
Example (연속함수)
▶ f (x, y) = x2y3− x3y2+ 3x + 2y : R2 에서 연속
▶ f (x, y) = x2− y2
x2+ y2 : R2\ {(0, 0)} 에서 연속
▶ f (x, y) = sin x sin y + 7 : R2 에서 연속
Example
다음 함수는 어디에서 연속인가?
g(x, y) =
x2− y2
x2+ y2 if (x, y) ̸= (0, 0) 0 if (x, y) = (0, 0) 풀이.
Chapter 13 편도함수 13.2 극한과 연속
Example
다음 함수는 연속인가?
f (x, y) =
3x2y
x2+ y2 if (x, y) ̸= (0, 0) 0 if (x, y) = (0, 0)
풀이.
Remark
f 가 연속인 이변수함수이고 g는 f 의 치역에서 정의된 연속인 1변수함수이면 h(x, y) = g(f (x, y))
로 정의된 합성함수 h = g ◦ f 는 역시 연속임을 보일 수 있다.
Example
h(x, y) = sin(x2y3− x3y2+ 3x + 2y) : R2 에서 연속
