Chapter 14 다중적분
Chapter 14 다중적분
이문배
건국대학교 수학과
Chapter 14 다중적분
Contents
14.8 구면좌표에서의 삼중적분
14.9 다중적분에서의 변수변환
Chapter 14 다중적분 14.8 구면좌표에서의 삼중적분
구면좌표
구면좌표 P (ρ, θ, ϕ)
▶ ρ = |OP |: 원점에서 P 까지의 거리
▶ θ 원주좌표에서와 같은 각
▶ ϕ 양의 x축과 선분 OP 사이의 각이다
x = ρ sin ϕ cos θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ cos ϕ, (ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π)
Chapter 14 다중적분 14.8 구면좌표에서의 삼중적분
함수 f 가
E = {(ρ, θ, ϕ) | α ≤ θ ≤ β, g1(θ) ≤ ϕ ≤ g2(θ), u1(θ, ϕ) ≤ ρ ≤ u2(θ, ϕ)}
에서 연속이면 Z Z Z
E
f (x, y, z)dV
= Z β
α
Z g2(θ) g1(θ)
Z u2(θ,ϕ) u1(θ,ϕ)
f (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos θ)ρ2sin ϕ dρ dϕ dθ
Chapter 14 다중적분 14.8 구면좌표에서의 삼중적분
Example B =(x, y, z)
x2 + y2+ z2⩽ 1 일 때 Z Z Z
B
e(x2+y2+z2)3/2dV 를 계산하여라.
풀이.
Chapter 14 다중적분 14.8 구면좌표에서의 삼중적분
Example
z =px2+ y2위에 놓여 있으면서 x2+ y2+ z2= z 아래에 놓인 입체도형의 부피를 구면좌표를 사용하여 구하여라.
풀이.
Chapter 14 다중적분 14.9 다중적분에서의 변수변환
▶
Zb a
f (x) dx = Z d
c
f (g(u))g′(u) du 여기서 x = g(u), a = g(c), b = g(d)이다.
x = g(u, v), y = h(u, v)로 주어지는 변화 T 의 야코비안(Jacobian)은 다음과 같다.
∂(x, y)
∂(u, v) =
∂x
∂u
∂x
∂y ∂v
∂u
∂y
∂v
=∂x
∂u
∂y
∂v−∂x
∂v
∂y
∂u Theorem
Z Z
R
f (x, y)dA = Z Z
S
f (x(u, v), y(u, v))
∂(x, y)
∂(u, v)
dudv
Chapter 14 다중적분 14.9 다중적분에서의 변수변환
극좌표
x = r cos θ, y = r sin θ
∂(x, y)
∂(r, θ) =
∂x
∂r
∂x
∂y ∂θ
∂r
∂y
∂θ
=
cos θ −r sin θ sin θ r cos θ
= rcos2θ + rsin2θ = r > 0
∴ Z Z
R
f (x, y)dA = Z β
α
Z b a
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
Chapter 14 다중적분 14.9 다중적분에서의 변수변환
Example
네 개의 꼭지점 (1, 0), (2, 0), (0, –2), (0, –1)을 갖는 사다리꼴 영역을 R이라 할 때
Z Z
R
e(x+y)/(x−y)
dA를 계산하여라.
풀이.
Chapter 14 다중적분 14.9 다중적분에서의 변수변환
삼중적분
x = g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = k(u, v, w)일 때,
∂(x, y, z)
∂(u, v, w)=
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂y ∂w
∂u
∂y
∂v
∂y
∂z ∂w
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
: Jacobian
Theorem
Z Z Z
R
f (x, y, z)dV = Z Z Z
S
f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))
∂(x, y, z)
∂(u, v, w)
dudvdw
Chapter 14 다중적분 14.9 다중적분에서의 변수변환
Example (구면좌표계)
x = ρ sin ϕ cos θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ cos ϕ, (ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π)
⇒∂(x, y, z)
∂(ρ, ϕ, θ) = −ρ2sin ϕ
∴ Z Z Z
E
f (x, y, z)dV
= Z β
α
Z g2(θ) g1(θ)
Z u2(θ,ϕ) u1(θ,ϕ)
f (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos θ)ρ2sin ϕ dρ dϕ dθ
