Chapter 10 무한수열과 무한급수
이문배
건국대학교 수학과
Contents
10.1 수열
10.2 급수
10.3 적분판정법과 합의 추정
Definition
수열은 일정한 순서로 쓰여진 수의 나열
a1, a2, a3, · · · , an, · · ·
으로 생각할 수 있다. a1은 첫째 항, a2는 둘째 항, 일반적으로 an은 n번째 항이다.
▶ 수열은 양의 정수를 정의역으로하는 함수이다.
▶ 일반적인 함수 기호 f (n) 대신 an으로 쓴다.
▶ 수열{a1, a2, a3, · · · }는
{an} or {an}∞n=1 로 표기하기도 한다.
Definition
충분히 큰 n을 취하여 항 an이 L에 근접하게 만들 수 있다면 ’수열 an은 극한 L을 갖는다’고 하고 아래와 같이 쓴다.
lim
n→∞an= L 또는 n → ∞일 때 an→ L 만약 lim
n→∞an= L이 존재하면, 수열 {an}은수렴한다고 하며, 그렇지 않으면 수열{an}은발산한다고 한다.
Definition (극한의 엄밀한 정의) 임의의 실수 ε > 0에 대하여
n > N ⇒ |an–L| < ε
이 성립하는 정수 N 이 존재할 때, ’수열 an은 극한 L을 갖는다’고 하고 아래와 같이 쓴다.
lim
n→∞an= L 또는 n → ∞일 때 an→ L Theorem
x→∞lim f (x) = L이고 정수 n에 대하여 f (n) = an이면, lim
n→∞an= L이다.
Example lim
n→∞
ln n
n 을 계산하여라.
풀이.
Theorem (수열의 극한의 기본성질)
{an}과 {bn}이수렴하는 수열이라고 c가 상수일 때 lim
n→∞(an+ bn) = lim
n→∞an+ lim
n→∞bn
lim
n→∞(an− bn) = lim
n→∞an− lim
n→∞bn n→∞lim can= c lim
n→∞an lim
n→∞c = c
n→∞lim(anbn) = lim
n→∞an· lim
n→∞bn n→∞lim bn̸= 0이면 lim
n→∞
an
bn
=
n→∞lim an n→∞lim bn
p > 0, an> 0이면 lim
n→∞apn=h
n→∞lim an
ip
가 성립한다.
Theorem (수열에 대한 압축 정리) n ≥ n0일 때 an≤ bn≤ cn이고
n→∞lim an= lim
n→∞cn= L이면 lim
n→∞bn= L이다.
Theorem
n→∞lim |an| = 0이면 lim
n→∞an= 0이다.
Example
n→∞lim (−1)n
n 이 존재하면 그 값을 구하여라.
풀이.
Example 수열 an= n!
nn의 수렴성을 조사하여라.
풀이.
Example
n→∞lim sin n
n 를 구하여라.
풀이.
Theorem
limn→∞an= L 이고 함수 f 가 L에서 연속이면,
n→∞lim f (an) = f (L)
Example lim
n→∞sin(π
n)를 구하여라.
풀이.
Definition
n ≥ 1인 모든 n에 대하여, an≤ an+1일 때 수열{an}은증가 수열이라하며, 반면 an≥ an+1일 때 수열{an}은감소 수열이라 한다. 수열{an}이 증가 수열이거나 감소 수열일 때단조 수열이라 한다.
Definition
n ≥ 1인 모든 n에 대하여
an≤ M
을 만족하는 실수 M 이 존재하면, 수열 {an}은위로 유계(bounded above)라 한다.
n ≥ 1인 모든 n에 대하여
an≥ m
을 만족하는 실수 m이 존재하면, 수열 {an}은아래로 유계라 한다.
위로 유계인 동시에 아래로 유계인 수열{an}을유계수열이라 한다.
Theorem
위로 유계이고 증가하는 수열은 수렴한다.
▶
∞
P
n=1
an(또는P an) = a1+ a2+ a3+ · · · + an+ · · · : 급수 또는 무한급수
▶ sn= a1+ a2+ a3+ · · · + an=
n
P
i=1
ai: 무한급수의 부분합
Definition
수열{sn}이 수렴하고, lim
n→∞sn= s(유한값)일 때 급수
∞
P
n=1
an는 수렴한다고 하며, 다음과 같이 쓴다
a1+ a2+ · · · + an+ · · · = s 또는
∞
X
n=1
an= s
이 때 s를 급수의 합이라 부르며, 수열 {sn}이 발산할 때 급수
∞
P
n=1
an는 발산한다고 한다.
▶ 급수도 수열이다.
▶
s =
∞
X
n=1
an= lim
n→∞
n
X
i=1
ai= lim
n→∞sn
Example (무한등비급수 또는 기하급수)
a + ar + ar2+ ar3+ · · · + arn−1+ · · · =
∞
X
n=1
arn−1 (a ̸= 0)
▶ r = 1 :
∞
X
n=1
arn−1= lim
n→∞sn= lim
n→∞na : 발산
▶ r ̸= 1 : sn= a + ar + ar2+ ar3+ · · · + arn−1= a(1 − rn) 1 − r
∞
X
n=1
arn−1= lim
n→∞sn= lim
n→∞
a(1 − rn) 1 − r =
( a
1 − r, |r| < 1
발산, |r| > 1 또는 r = −1
∴
∞
X
n=1
arn−1= ( a
1 − r, |r| < 1 발산, |r| ≥ 1
Example
순환소수 2.317 = 2.3171717 · · · 를 분수로 나타내어라.
풀이.
Example 급수
∞
X
n=1
1
n(n + 1)이 수렴함을 보이고, 그 합을 구하여라.
풀이.
Theorem 급수
∞
X
n=1
an이 수렴하면, lim
n→∞an= 0이다. 따라서, lim
n→∞an이 존재하지 않거나 lim
n→∞an̸= 0이면
∞
X
n=1
an는 발산한다.
Example 급수
∞
X
n=1
n2
5n2+ 4이 발산함을 보여라.
풀이.
Theorem
∞
X
n=1
an과
∞
X
n=1
bn이 수렴하는 급수이면 c가 상수일 때
∞
P
n=1
can과
∞
P
n=1
(an+ bn),
∞
P
n=1
(an− bn)도 역시 수렴하고 다음이 성립한다.
∞
X
n=1
can= c
∞
X
n=1
an,
∞
X
n=1
(an± bn) =
∞
X
n=1
an±
∞
X
n=1
bn
Remark
∞
X
n=4
n
n3+ 1이 수렴함을 보일 수 있다면
∞
X
n=1
n n3+ 1 =1
2+2 9+ 3
28+
∞
X
n=4
n
n3+ 1도 수렴함도 보일 수 있다.
∴
∞
X
n=N
n
n3+ 1 이 수렴⇔
∞
X
n=1
n
n3+ 1이 수렴
무한급수에서 유한개의 항들은 급수의 수렴 또는 발산에 영항을 미치지 않는다.
Theorem (적분판정법)
f 가 [1, ∞)에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수라 하고, an= f (n)이라 하면
∞
X
n=1
an수렴 ⇐⇒
Z ∞ 1
f (x) dx 수렴
증명.
∴
∞
X
n=2
an≤ Z∞
1
f (x) dx ≤
∞
X
n=1
an
Remark
Z ∞ N
f (x) dx 수렴 ⇐⇒
∞
X
n=N
an수렴 ⇐⇒
∞
X
n=1
an 수렴
Example 급수
∞
X
n=1
1
n2+ 1의 수렴성을 조사하여라.
풀이.
p−급수 p−급수
∞
X
n=1
1
np는 p > 1 일 때 수렴하고, p ≤ 1일 때 발산한다.
Remark
무한급수의 합과 적분반정법에서의 이상적분 값이 같다는 의미는 아니다.
∞
X
n=1
1 n2 =π2
6 , Z∞
1
1 x2 = 1
Example 급수
∞
X
n=1
ln n
n 의 수렴성을 조사하여라.
풀이.
급수의 합 추정
s =
∞
X
n=1
an= lim
n→∞
n
X
i=1
ai= lim
n→∞sn
Rn= s–sn= an+1+ an+2+ · · · : sn을 근사값으로 할 때의 나머지(오차)
∴ Z ∞
n+1
f (x) dx ≤ Rn≤ Z ∞
n
f (x) dx
Example
1. 처음 10개항을 사용하여 급수
∞
X
n=1
1
n3의 합의 근사값을 구하고, 이 근사값에 대한 오차를 계산하자.
2. 급수의 합이 오차 범위 0.0005 이내에 있기 위해서 처음 몇 개의 항까지의 합을 계산해야 하는가?
풀이.
