Chapter 14 다중적분
Chapter 14 다중적분
이문배
건국대학교 수학과
Contents
14.1 직사각형 영역에서 이중적분
14.2 반복적분
14.3 일반영역 위에서의 이중적분
Chapter 14 다중적분
14.1 직사각형 영역에서 이중적분
직사각형 영역
R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
에서 정의된 이변수 함수 f (x, y)를 생각하자. 먼저 f (x, y) ≥ 0라 가정하자. f 의 그래프 아래 부분 중 R의 위쪽에 있는 입체를 S 라 하자. 즉,
S = {(x, y, z) ∈ R3: 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ R2} 우리의 목표는 S의 부피를 구하는 것이다.
Step 1. 직사각형 R을 소직사각형들로 분할
▶ [a, b]를 m 등분하여 길이가 ∆x = (b–a)/m인 소구간 [xi–1, xi]를 만든다.
▶ [c, d]를 n 등분하여 길이가 ∆y = (d–c)/n인 소구간 [yj–1, yj]를 만든다.
▶ 넓이가 ∆A = ∆x∆y인 소직사각형
Rij= {(x, y) : xi–1≤ x ≤ xi, yj–1≤ y ≤ yj}
을 만들고, 각 Rij안에서 표본 점 (x∗ij, yij∗)을 선택하면 각 Rij위에 있는 S의 일부분을 밑면이 Rij이고 높이가 f (x∗ij, y∗ij)인 가느다란 직육면체로 근사시킬 수 있다. 이 상자의 부피는
f (x∗ij, yij∗)∆A
Chapter 14 다중적분
14.1 직사각형 영역에서 이중적분
Step 2. S의 부피에 대한 근사값 구하기
▶ 위의 과정을 모든 직사각형에 대해 수행하고 이렇게 얻은 직사각기둥의 부피를 모두 더하면 S의 부피에 대한 근사값을 얻는다.
V ≈
m
X
i=1 n
X
j=1
f (x∗ij, yij∗) ∆A
Step 3. S의 부피 구하기.
▶ 부피는
V = lim
m, n→∞
m
X
i=1 n
X
j=1
f (x∗ij, y∗ij) ∆A
Definition
직사각형 R 위에서의 f 에 대한이중적분은 다음 식의 극한이 존재할 경우 그 극한으로 정의한다. 즉
Z Z
R
f (x, y)dA = lim
m, n→∞
m
X
i=1 n
X
j=1
f (x∗ij, yij∗) ∆A
이 극한이 존재할 때 함수 f 는적분가능하다고 한다.
▶ 연속인 함수는 적분가능하다. (해석학개론 과정)
▶ 사실 함수가 “너무 많이 불연속만 아니면” 적분가능할 수 있다.
▶ 점 (x∗ij, yij∗)는 R∗ij안의 어떤 점을 선택해도 무방하다
▶ 만약 f (x, y) ≥ 0이면 직사각형 R의 윗쪽에 있고 곡면 z = f (x, y) 아래 부분의 입체의 부피 V 는 다음과 같다.
V = Z Z
R
f (x, y)dA
Chapter 14 다중적분
14.1 직사각형 영역에서 이중적분
Example
R = {(x, y) : –1 ≤ x ≤ 1, –2 ≤ y ≤ 2}일 때 다음 적분을 구하여라.
Z Z
R
p1 − x2dA
풀이.
Definition
직사각형 R 위에서 이변수 함수 f 의 평균값을 다음과 같이 정의할 수 있다.
fave= 1 A(R)
Z Z
R
f (x, y)dA 여기서 A(R)은 R의 넓이이다.
Theorem
f 와 g가 R에서 적분가능할 때 Z Z
R
[f (x, y) + g(x, y)]dA = Z Z
R
f (x, y)dA + Z Z
R
g(x, y)dA Z Z
R
cf (x, y)dA = c Z Z
R
f (x, y)dA, c는 상수 R 위의 모든 (x, y)에 대해 f (x, y) ≥ g(x, y)일 때
Z Z
R
f (x, y)dA ≥ Z Z
R
g(x, y)dA
Chapter 14 다중적분 14.2 반복적분
다음 정리는 이중적분을반복적분으로 표시하여 (순서에 관계없다) 계산하는 방법을 보여준다.
Theorem
만일 f 가 직사각형 영역 R = {(x, y) ∈ R2: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}에서 연속이면 다음 식이 성립한다.
Z Z
R
f (x, y)dA = Z b
a
Z d c
f (x, y) dy dx = Zd
c
Z b a
f (x, y) dx dy 식 오른쪽의 적분을 반복적분이라 부른다. 보다 일반적으로 f 가 R에서 유계이고 f 가 유한 개의 매끄러운 곡선에서만 불연속이며 반복적분이 존재하면 위의 식이 성립한다.
Example
R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}에 대하여 Z Z
R
(x − 3y2)dA을 계산하여라.
풀이.
Chapter 14 다중적분 14.2 반복적분
Example Z Z
R
y sin(xy) dA, R = [1, 2] × [0, π]를 계산하여라.
풀이.
R = [a, b] × [c, d]일 때 Z Z
R
g(x)h(y)dA = Z d
c
Z b a
g(x)h(y) dx
dy
= Z d
c
h(y)
Z b a
g(x) dx
dy
= Z b
a
g(x) dx Z d
c
h(y) dy
Example Z Z
R
sin x cos y dA, R = [0,π2] × [0,π2]를 계산하여라.
풀이.
Chapter 14 다중적분
14.3 일반영역 위에서의 이중적분
▶ f 가 영역 D = {(x, y)|a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}에서 연속이면 Z Z
D
f (x, y)dA = Z b
a
Z g2(x) g1(x)
f (x, y) dy dx
▶ f 가 영역 D = {(x, y)|h1(y) ≤ x ≤ h2(y), c ≤ y ≤ d}에서 연속이면 Z Z
D
f (x, y)dA = Z d
c
Z h2(y) h1(y)
f (x, y) dx dy
Example
z = x2+ y2아래에 있고, y = 2x, y = x2에 의해 둘러싸인 xy 평면에의 영역 D 위에 있는 입체의 부피를 구하여라.
풀이.
Example
y = x–1과 y2= 2x + 6에 의해 둘러싸인 영역 D에 대해 Z Z
D
xy dA를 구하여라.
풀이.
Chapter 14 다중적분
14.3 일반영역 위에서의 이중적분
Example
평면 x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0, z = 0에 의해 둘러싸인 사면체의 부피를 구하여라.
풀이.
Example 반복적분
Z 1 0
Z 1 x
sin y2 dy dx를 계산하여라.
풀이.
▶
Z Z
D
dA = A(D): D의 면적
▶ D 안에 있는 모든 (x, y)에 대하여 m ≤ f (x, y) ≤ M 이면 mA(D) ≤
Z Z
D
f (x, y) dA ≤ M A (D) 이다.
Example
D를 중심이 원점에 있고 반지름이 2인 원판이라 하자.
Z Z
D
esin x cos y
dA의 근사값을 구하시오.
풀이.
