Chapter 14 다중적분

(1)

Chapter 14 다중적분

이문배

건국대학교 수학과

(2)

Chapter 14 다중적분

극좌표

x = r cos θ, y = r sin θ, x²+ y² = r²

(4)

이중적분의극좌표로의 변환

f 가 R = {(r, θ) : 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β, 0 ≤ β − α ≤ 2π} 위에서 연속이면 Z Z

R

f (x, y) dA = Z β

α

Z b a

f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ 이다.

(5)

Example

x²+ y²= 1과 x²+ y²= 4에 의해 둘러사이고 x축 위쪽 반 평면에 있는 영역을 R이라 할때

Z Z

R

(3x + 4y²) dA를 계산하여라.

풀이.

Example

z = 0와 z = 1 − x²− y²에 의해 둘러싸인 입체의 부피를 구하여라.

풀이.

(6)

Theorem

영역 D = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)} 위에서 함수 f 가 연속이면,

Z Z

D

f (x, y) dA = Z β

α

Z h2(θ) h1(θ)

f (r cos θ, r sinθ) r dr dθ

Example

z = x²+ y²아래, xy-평면 위, x²+ y²= 2x의 안쪽에 놓여 있는 입체 도형의 부피를 구하여라.

풀이.

(7)

Chapter 14 다중적분 14.6 삼중적분

f 가 직육면체

B = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s}

위에서 정의된 함수라 하자.

▶ B를 작은 부분 직육면체로 분할

Bijk= [xi−1, xi] × [yj−1, yj] × [zk−1, zk], ∆V = ∆x∆y∆z

▶ 리만합

l

X

i=1 m

X

j=1 n

X

k=1

f x^∗ijk, yijk^∗ , z^∗ijk ∆V

Definition

직육면체 영역 B위에서의 함수 f 의 삼중적분은 다은 식의 극한이 존재할 경우 극한으로 정의한다.

Z Z Z

B

f (x, y, z) dV = lim

l,m,n→∞

l

X

i=1 m

X

j=1 n

X

k=1

f x^∗ijk, y^∗ijk, zijk^∗ ∆V

(8)

Theorem (삼중적분에 관한 푸비니의 정리)

f 가 직육면체 영역 B = [a, b] × [c, d] × [r, s]에서 연속이면 Z Z Z

B

f (x, y, z) dV = Z s

r

Zd c

Z b a

f (x, y, z) dx dy dz

= Z b

a

Z s r

Z d c

f (x, y, z) dy dz dx

= · · · ·

Example

B = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3 }일 때 Z Z Z

B

xyz²dV 를 계산하시오.

풀이.

(9)

일반적인 영역 위에서의 삼중적분

E = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}이면 Z Z Z

E

f (x, y, z) dV

= Z b

a

Zg2(x) g1(x)

Zu2(x,y) u1(x,y)

f (x, y, z) dz dy dx

E = {(x, y, z) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}이면 Z Z Z

E

f (x, y, z) dV

= Z d

c

Zh2(y) h1(y)

Z u2(x,y) u1(x,y)

f (x, y, z) dz dx dy

(10)

Example

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1으로 둘러싸인 사면체를 E라 할 때 Z Z Z

E

z dV 를 계산하시오.

풀이.

(11)

Example

y = x²+ z²과 y = 4에 의해 둘러싸인 영역을 E라 할 때 Z Z Z

E

px²+ z²dV 를 계산하여라.

풀이.

(12)

▶

Z Z Z

E

dV = V (E): E의 부피

Example

평면 x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0, z = 0에 의해 둘러싸인 사면체의 부피를 삼중적분을 이용하여 구하여라.

풀이.

(13)

Chapter 14 다중적분 14.7 원주좌표에서의 삼중적분

원주좌표

P (r, θ, z): 원주좌표

▶ x = r cos θ, y = r sin θ, x²+ y²= r²

▶ z = z

Example

1. 원주좌표가 (2, 2π/3, 1)인 점을 그리고, 그 직교좌표를 구하여라.

2. 직교좌표가 (3, −3, −7)점의 원주좌표를 구하여라.

풀이.

(14)

함수 f 가 연속함수이고

E = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}

라고 가정하자. 여기서 D는 극좌표로

D = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)}

로 주어진다면 Z Z Z

E

f (x, y, z) dV = Z β

α

Zh₂(θ) h1(θ)

Z u₂(r cos θ,r sin θ) u1(r cos θ,r sin θ)

f (r cos θ, r sin θ, z) r dz dr dθ

(15)

Example

x²+ y²= 1의 내부, z = 4 아래 z = 1 − x²− y²위로 이우러진 입체를 E라 할 때

Z Z Z

E

px²+ y²dV 를 구하여라.

풀이.

(16)

Example Z2

−2

Z

√

4−x²

−√

4−x²

Z 2

√

x²+y²

x²+ y² dz dy dx.를 계산하여라.

풀이.

Chapter 14 다중적분