Chapter 11 벡터와 공간기하학

Chapter 11 벡터와 공간기하학

이문배

건국대학교 수학과

Contents

11.2 벡터

11.3 내적

벡터(vector) : 크기와 방향을 가진 양 (속도, 힘 )

▶ 벡터는 흔히 화살표나 유향선분으로 나타낸다.

▶ 화살표의 길이는 벡터의 크기를 나타내고, 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타낸다.

▶ −→

AB, v, −→v 등으로 표시한다.

1. 크기와 방향이 같으면 같은 벡터로 생각한다.

즉, u = v

2. 영벡터는 0으로 쓰고 그의 길이는 0이다.

3. 벡터의 합

4. 벡터의 스칼라배

c가 스칼라(실수)이고 v가 벡터이면 스칼라배 cv는 v의 길이에 |c|를 곱한 것과 같고 c > 0이면 v와 같은 방향이고, c < 0이면 v와 반대 방향이다. 만일 c = 0이거나 v = 0이면 cv = 0이다.

한 벡터가 다른 벡터의 스칼라배이면 두 벡터는평행하다고 정의한다.

5. 벡터의 차: u − v = u + (−v)

벡터의 성분

직각좌표계의 원점과 벡터 a의 시점을 일치시키면 좌교계가 2차원 또는 3 차원인가에 따라서 a의 끝점은 (a1, a2) 또는 (a1, a2, a3)를 가진다

이들 좌표를 a의성분이라 하고 다음과 같이 쓴다:

a = ⟨a1, a2⟩ 또는 a = ⟨a1, a2, a3⟩

Remark

3차원 벡터 a = ⟨a1, a2, a3⟩의크기는

|a| = q

a²₁+ a²₂+ a²₃

1. u = v ⇐⇒ u1= v1, u2= v2, u3= v3

2. 0 = ⟨0, 0, 0⟩

3. u + v = ⟨u1+ v1, u2+ v2, u3+ v3⟩ 4. cv = ⟨cv1, cv2, cv3⟩

5. u − v = ⟨u1− v1, u2− v2, u3− v3⟩

벡터의 성질

Vn= {⟨v1, v2, · · · , vn⟩ : vi∈ R, i = 1, · · · , n}

; n차원 벡터 전체의 집합

a, b, c 가 Vn의벡터이고, c와 d가스칼라(실수)이면 다음이 성립된다.

a+b ∈ Vn, ca ∈ Vn

1. a+b=b+a

2. a+(b+c) = (a+b)+c 3. a+0 =a

4. a+( − a) = 0 5. c(a+b) =ca+cb 6. (c+d)a=ca+da 7. (cd)a=c(da) 8. 1a=a

V3에서

i = ⟨1, 0, 0⟩, j = ⟨0, 1, 0⟩, k = ⟨0, 0, 1⟩

를표준기저벡터라 한다. V3의 임의의 벡터는 i, j, k로 나타낼 수 있다. 즉, a = ⟨a1, a2, a3⟩ = a1i + a2j + a3k

위의 벡터는 V2에서도 정의할 수 있다.

Definition

크기가 1인 벡터를단위벡터(unit vector)라 한다.

a

|a|는 a와 같은 뱡향을 가지는 단위벡터이다.

Example

벡터 2i − j − 2k와 같은 뱡향의 단위벡터를 구하시오.

Example

벡터 a와 방향이 같고 크기가 3인 벡터를 구하시오.

내적의 정의

a = ⟨a1, a2, a3⟩, b = ⟨b1, b2, b3⟩에 대하여 a와 b의내적(inner product, dot product, scalar product)a · b는 다음과 같이 정의한다.

a · b = a1b1+ a2b2+ a3b3 (∈ R)

▶ 같은 방법으로 2차원 벡터의 내적이 정의된다.

a = ⟨a1, a2⟩, b = ⟨b1, b2⟩ =⇒ a · b = a1b1+ a2b2 (∈ R)

내적의 성질

a, b, c 가 V3의 벡터이고, c가 스칼라이면 다음이 성립된다.

1. a · a= |a|² 2. a · b = b · a

3. a · (b + c) = a · b + a · c 4. (ca) · b = c(a · b) = a · (cb) 5. 0 · a = 0

Theorem

θ가 벡터 a와 b사이의각이면

a · b = |a| |b| cos θ 증명.

Example

길이가 각각 4, 6인 벡터 a와 b 사이의 각이 π/3일 때 a · b를 구하시오.

따름 정리

θ가 영이 아닌 벡터 a와 b 사이의 각이면, cos θ = a · b

|a||b|

Example

벡터 a = ⟨2, 2, −1⟩와 b = ⟨5, −3, 2⟩사이의 각을 구하시오.

Remark

1. a와 b가 평행 ⇐⇒ θ = 0 또는 π

⇐⇒ a · b = ±|a||b|

2. a와 b가수직또는직교

⇐⇒ θ = π/2 ⇐⇒ cos θ = 0

⇐⇒ a · b = 0

[Cauchy Schwarz 부등식]: |a · b| ≤ |a||b|

[삼각부등식]: |a + b| ≤ |a| + |b|

Example

이차원 벡터 a가 x축의 양의 방향과 만드는 각을 θ라 할 때 a와 방향이 같은 단위벡터를 θ를 이용하여 나타내시오.

방향각과 방향 cosine

벡터 a가 x축, y축, z축의 양의 방향과 각각 만드는 각 α, β, γ를 a의 방향각이라 하고 cos α, cos β, cos γ를 a의방향 cosine이라 부른다.

Remark

cos α = a · i

|a||i|= a1

|a|

cos β = a · j

|a||j|= a2

|a|, cos γ = a · k

|a||k| = a3

|a|

=⇒ a = ⟨a1, a2, a3⟩ = |a|⟨cos α, cos β, cos γ⟩

∴ ⟨cos α, cos β, cos γ⟩ = 1

|a|a : a와 방향이 같은 단위벡터

1. a 위로의 b의스칼라 사영(projection): compab = a · b

|a|

2. a 위로의 b의벡터 사영: projab = a · b

|a|

 a

|a| =a · b

|a|² a

Example

a = ⟨−2, 3, 1⟩ 위로의 b = ⟨1, 1, 2⟩의 스칼라 사영과 벡터사영을 구하시오.