Chapter 10 무한수열과 무한급수

Chapter 10 무한수열과 무한급수

Chapter 10 무한수열과 무한급수

이문배

건국대학교 수학과

Chapter 10 무한수열과 무한급수

Contents

10.4 비교판정법

10.5 교대급수

10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

Chapter 10 무한수열과 무한급수 10.4 비교판정법

Theorem (비교판정법)

∞

P

n=1

an과

∞

P

n=1

bn의 각 항들이 모두 양인 급수일 때

▶

∞

P

n=1

bn이 수렴하고 모든 n에 대하여 an≤ bn이면,

∞

P

n=1

an도 수렴한다.

▶

∞

P

n=1

bn이 발산하고 모든 n에 대하여 an≥ bn이면,

∞

P

n=1

an도 발산한다.

▶ p−급수와 기하 급수의 수렴성을 이용하자.

Chapter 10 무한수열과 무한급수 10.4 비교판정법

Example

∞

X

n=1

5

2n²+ 4n + 3의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Example

∞

X

n=1

ln n

n 의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수 10.4 비교판정법

Theorem (극한비교판정법)

∞

P

n=1

an과

∞

P

n=1

bn의 각 항들이 모두 양인 급수일 때

lim

n→∞

an

bn

= c (c > 0)

이면 두 급수는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.

Example

∞

X

n=1

1

2ⁿ− 1의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Example

∞

X

n=1

2n²+ 3n

√5 + n⁵의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수 10.5 교대급수

Theorem (교대급수판정법) 교대급수

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹bn= b1− b2+ b3− b4+ b5− b6+ · · · , bn> 0

이 두 조건

▶ 모든 n에 대하여 bn+1≤ bn

▶ lim

n→∞bn= 0

을 만족하면 이 급수는 수렴한다.

Chapter 10 무한수열과 무한급수 10.5 교대급수

Example

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n 의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Example

∞

X

n=1

(−1)ⁿ3n

4n − 1 의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수 10.5 교대급수

Example

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹n²

n³+ 1 의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수 10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

Definition 급수

∞

P

n=1

|an|이 수렴할 때, 급수

∞

P

n=1

an는절대수렴한다고 한다.

Example

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n² 이 절대수렴함을 보여라.

풀이.

Example 교대급수

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n 은 수렴한다. 그러나

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n

  =

∞

X

n=1

1 n

은 발산함으로

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n 은 절대수렴하지 않는다.

Chapter 10 무한수열과 무한급수 10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

Definition 급수

∞

P

n=1

an은 수렴하지만 절대수렴하지 않을 대, 급수

∞

P

n=1

an는조건부 수렴한다고 한다.

Theorem 급수

∞

P

n=1

an이 절대수렴하면 그 급수는 수렴한다.

Example

∞

X

n=1

cos n n² =cos 1

1² +cos 2 2² +cos 3

3² + · · · 의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수 10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

Theorem (비판정법) 1. lim

n→∞

an+1

an

= L < 1이면,

∞

P

n=1

an은 절대수렴한다. (따라서 수렴한다.)

2. lim

n→∞

an+1

an

= L > 1이거나 lim

n→∞

an+1

an

= ∞이면,

∞

P

n=1

an은 발산한다.

3. lim

n→∞

an+1

an

= 1이면, 비판정법으로 결론을 이끌어 낼 수 없다.

Remark

∞

X

n=1

1 n,

∞

X

n=1

1

n²의 경우 비판정법을 사용할 수 없다.

Chapter 10 무한수열과 무한급수 10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

Example

∞

X

n=1

(−1)ⁿn³

3ⁿ의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Example

∞

X

n=1

nⁿ

n!의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수 10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

Theorem (근판정법) 1. lim

n→∞

p|an n| = L < 1이면,

∞

P

n=1

an은 절대수렴한다. (따라서 수렴한다.)

2. lim

n→∞

p|an n| = L > 1이거나 lim

n→∞

p|an n| = ∞이면,

∞

P

n=1

an은 발산한다.

3. lim

n→∞

p|an n| = 1이면, 근판정법으로 결론을 이끌어 낼 수 없다.

Example

∞

X

n=1

 2n + 3 3n + 2

n

의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수 10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

재배열

▶

∞

P

n=1

an이 절대수렴하고 그 합이 s라 하면

∞

P

n=1

an의 재배열은 같은 합 s를 갖는다.

▶ 조건부 수렴하는 급수는 재배열에 의해 서로 다른 합을 가질 수 있다.

Example

1 −1 2+1

3−1 4 +1

5 −1 6 +1

7 −1

8+ · · · = s (1) 1

2−1 4+1

6−1 8+ 1

10− 1 12+ 1

14− 1

16+ · · · = s 2 0 +1

2+0−1

4 +0 +1

6 +0 −1

8+ · · · = s

2 (2)

(1) + (3) ⇒ 1 +1 3−1

2+1 5+1

7−1

4+ · · · =3s 2