경우의 경우의

밍모의 워드프로세싱

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ

경우의 경우의

경우의 경우의 경우의 경우의 경우의 경우의 경우의 경우의 경우의 경우의 경우의 경우의 경우의 경우의 경우의 경우의 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수 수

1. 순열과 조합

2. 이항정리

Ⅰ. 경우의 수 1. 순열과 조합

단원별/유형별

fcmath.tistory.com

1 ^{여러 가지 순열}

원순열 유형 1

1 1 1 1 1 1 1

1

서로 다른 개의 접시를 원 모양의 식탁에 일정한 간격을 두고 원형으 로 놓는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2 2 2 2 2 2 2

2

그림과 같이 최대 개의 용기를 넣을 수 있는 원형의 실험기구가 있다.

서로 다른 개의 용기 A, B, C, D, E, F를 이 실험 기구에 모두 넣을 때, A와 B가 이웃하게 되는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것 은 같은 것으로 본다.) [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

원순열을 이용하여 색칠하는 방법의 수 유형 2

3 3 3 3 3 3 3

3

빨간색과 파란색을 포함한 서로 다른 가지의 색을 모두 사용하여, 날 개가 개인 바람개비의 각 날개에 색칠하려고 한다. 빨간색과 파란색 을 서로 맞은편의 날개에 칠하는 경우의 수는? (단, 각 날개에는 한 가 지 색만 칠하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

4 4 4 4 4 4 4

4

그림과 같이 서로 접하고 크기가 같은 원 개와 이 세원의 중심을 꼭짓 점으로 하는 정삼각형이 있다. 원의 내부 또는 정삼각형의 내부에 만들 어지는 개의 영역에 서로 다른 가지 색을 모두 사용하여 칠하려고 한다. 한 영역에 한 가지 색만을 칠할 때, 색칠한 결과로 나올 수 있는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

1 1 1 1 1 1

1 ^{순열과 조합 Ⅰ 경우의 수}

수능/평가원 확률과 통계

중복순열 유형 3

5 5 5 5 5 5 5

5

서로 다른 종류의 연필 자루를 명의 학생 A B C D에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 연필을 받지 못하는 학생이 있을 수 있 다.) [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

6 6 6 6 6 6 6

6

집합      의 서로소인 두 부분집합

,

의 순서쌍





의 개수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

7 7 7 7 7 7 7

7

숫자      중에서 중복을 허락하여 네 개를 택해 일렬로 나열 하여 만든 네 자리의 자연수가 의 배수인 경우의 수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

8 8 8 8 8 8 8

8

세 숫자 , , 을 중복 사용하여 네 자리의 자연수를 만들 때,  과  가 모두 포함되어 있는 자연수의 개수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

9 9 9 9 9 9 9

9

문자 , , 에서 중복을 허용하여 세 개를 택하여 만든 단어를 전송하

려고 한다. 단, 전송되는 단어에  가 연속되면 수신이 불가능하다고

하자. 예를 들면   등은 수신이 불가능하고   등은 수신

이 가능하다. 수신 가능한 단어의 개수를 구하시오. [2점]

Ⅰ. 경우의 수 1. 순열과 조합

단원별/유형별

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10 10 10 10 10 10 10

10

    의 숫자가 하나씩 적힌 개의 공을 개의 상자 A, B, C 에 넣으려고 한다. 어느 상자에도 넣어진 공에 적힌 수의 합이  이상 이 되는 경우가 없도록 공을 상자에 넣는 방법의 수는? (단, 빈 상자의 경우에는 넣어진 공에 적힌 수의 합을 으로 한다.) [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

11 11 11 11 11 11 11

11

오른쪽 그림에 나타나는 수를 크기순으로 나열하 여 다음과 같은 수열을 만들었다.

     

     

    ⋯ 이 수열의 제항은?

① 

② 

③ 

④ 

⑤ 

사전식 배열 유형 4

12 12 12 12 12 12 12

12

집합

    의 네 원소를 배열하여 만든 순열



 

 

 

에 대하여 각 숫자 

의 오른쪽에 있는 수 중에서



보다 작은 것의 개수를 

    이라고 하고, 이들의 합



 

 

을  

 

 

 

로 나타내자.

예를 들면       

 

 

       이다. 집합

에 대한 개의 모든 순열 

 

 

 

마다 각각 정해지는

 

 

 

 

의 총합을 구하여라. [4점]

수능/평가원 확률과 통계

두 집단을 배열하는 순열 유형 5

13 13 13 13 13 13 13

13

남학생 명과 여학생 명이 함께 놀이 공원에 가서 어느 놀이기구를 타려고 한다. 이 놀이기구는 그림과 같이 한 줄에 개의 의자가 있고 모두 줄로 되어 있다. 남학생 명과 여학생 명이 짝을 지어 명씩 같은 줄에 앉을 때, 명이 모두 놀이기구의 의자에 앉는 방법의 수를 구하시오. [4점]

14 14 14 14 14 14 14

14

할머니, 할아버지, 어머니, 아버지, 영희, 철수 모두 명의 가족이 자동 차를 타고 여행을 가려고 한다. 이 자동차에는 앉을 수 있는 좌석이 그 림과 같이 앞줄에 개, 가운데 줄에 개, 뒷줄에 개가 있다. 운전석에 는 아버지나 어머니만 앉을 수 있고, 영희와 철수는 가운데 줄에만 앉 을 수 있을 때, 가족 명이 모두 자동차의 좌석에 앉는 경우의 수를 구 하시오. [4점]

15 15 15 15 15 15 15

15

다음 그림의 빈칸에 장의 사진 A, B, C, D, E, F를 하나씩 배치하 여 사진첩의 한 면을 완성할 때, A와 B가 이웃하는 경우의 수는? (단, 옆으로 이웃하는 경우만 이웃하는 것으로 한다.) [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

16 16 16 16 16 16 16

16

할아버지, 할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된 가족이 있다. 이

가족 명이 그림과 같은 개의 좌석에 모두 앉을 때, 할아버지, 할머니

가 같은 열에 이웃하여 앉고, 아버지, 어머니도 같은 열에 이웃하여 앉

는 경우의 수를 구하시오. [4점]

Ⅰ. 경우의 수 1. 순열과 조합

단원별/유형별

fcmath.tistory.com

17 17 17 17 17 17 17

17

어른 명과 어린이 명이 함께 놀이 공원에 가서 어느 놀이기구를 타 려고 한다. 이 놀이기구는 그림과 같이 앞줄에 개, 뒷줄에 개의 의자 가 있다. 어린이가 어른과 반드시 같은 줄에 앉을 때, 명이 모두 놀이 기구의 의자에 앉는 방법의 수를 구하시오. [4점]

같은 것이 있는 순열 유형 6

18 18 18 18 18 18 18

18

영문자 P, A, S, S를 일렬로 배열하는 방법의 수는? [1점]

①　 ②　 ③　 ④　 ⑤　

19 19 19 19 19 19 19

19

개의 문자 , , , , , , 를 일렬로 나열할 때, 끼리 또는 끼리 이웃하게 되는 모든 경우의 수를 구하시오. [4점]

20 20 20 20 20 20 20

20

     를 일렬로 배열하여 여섯 자리 자연수를 만들 때,

 보다 큰 자연수의 개수를 구하시오. [4점]

수능/평가원 확률과 통계

순서가 정해진 경우의 순열 유형 7

21 21 21 21 21 21 21

21

다음 표와 같이 개 과목에 각각 개의 수준으로 구성된 개의 과제가 있다. 각 과목의 과제는 수준 Ⅰ의 과제를 제출한 후에만 수준 Ⅱ의 과 제를 제출할 수 있다. 예를 들어 ‘국어 A → 수학 A → 국어 B → 영 어 A → 영어 B → 수학 B’ 순서로 과제를 제출할 수 있다.

수준 과목 국어 수학 영어

Ⅰ 국어 A 수학 A 영어 A

Ⅱ 국어 B 수학 B 영어 B

개의 과제를 모두 제출할 때, 제출 순서를 정하는 경우의 수를 구하시 오. [4점]

22 22 22 22 22 22 22

22

어느 회사원이 처리해야 할 업무는 A B를 포함하여 모두 가지이다.

이 중에서 A B를 포함한 가지 업무를 오늘 처리하려고 하는데, A 를 B보다 먼저 처리해야 한다. 오늘 처리할 업무를 택하고, 택한 업무 의 처리 순서를 정하는 경우의 수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

23 23 23 23 23 23 23

23

부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다. 이 카 드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 가 적혀 있는 카드는

가 적혀 있는 카드보다 왼쪽에 나열하고 홀수가 적혀 있는 카드는 작 은 수부터 크기 순서로 왼쪽부터 나열하는 경우의 수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

24 24 24 24 24 24 24

24

개의 본사와 개의 지사로 이루어진 어느 회사의 본사로부터 각 지사 까지의 거리가 표와 같다.

지사 가 나 다 라 마

거리(km)     

본사에서 각 지사에 A, B , C , D , E 를 지사장으로 각각 발령할 때, A 보다 B 가 본사로부터 거리가 먼 지사의 지사장이 되도록 명을 발령 하는 경우의 수는? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

Ⅰ. 경우의 수 1. 순열과 조합

단원별/유형별

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같은 것이 있는 순열의 활용 유형 8

25 25 25 25 25 25 25

25

서로 다른 공 개를 남김없이 서로 다른 상자 개에 나누어 넣으려고 할 때, 넣은 공의 개수가 인 상자가 있도록 넣는 경우의 수는? (단, 공 을 하나도 넣지 않은 상자가 있을 수 있다.) [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

26 26 26 26 26 26 26

26

 

 박자는 분음을 한 박으로 하여 한 마디가 네 박으로 구성된다. 예를

들어  

 박자 한 마디는 분 음표(♩) 또는 분 음표(♪)만을 사용하여

♩♩♩♩ 또는 ♪♩♪♩♩와 같이 구성할 수 있다. 분 음표 또는 분 음 표만 사용하여  

 박자의 한 마디를 구성하는 경우의 수를 구하시오. [4점]

27 27 27 27 27 27 27

27

어느 행사장에는 현수막을 개씩 설치할 수 있는 장소가 곳이 있다.

현수막은 A, B, C 세 종류가 있고, A는 개, B는 개, C는 개가 있 다. 다음 조건을 만족시키도록 현수막 개를 택하여 곳을 설치할 때, 그 결과로 나타날 수 있는 경우의 수는? (단, 같은 종류의 현수막끼리 는 구분하지 않는다.) [3점]

< 보 기 >

(가) A는 반드시 설치한다.

(나) B 는 곳 이상 설치한다.

①  ②  ③  ④  ⑤ 

28 28 28 28 28 28 28

28

어느 건물에서는 출입을 통제하기 위하여 각 자리가 ‘’과 ‘’로 이루어 진 자리 문자열의 보안카드를 이용하고 있다. 보안카드의 자리 문자 열에 ‘’의 개수가 개이거나 문자열의 처음 자리가 ‘’이면 이 건 물의 출입문을 통과할 수 있다. 예를 들어, 보안카드의 문자열이

‘’이거나 ‘’이면 이 건물에 출입할 수 있다. 이 건물

의 출입문을 통과할 수 있는 서로 다른 보안카드의 총 개수를 구하시

오. [4점]

수능/평가원 확률과 통계

29 29 29 29 29 29 29

29

어떤 사회봉사센터에서는 다음과 같은 가지 봉사활동 프로그램을 매 일 운영하고 있다.

프로그램 A B C D

봉사활동 시간 시간 시간 시간 시간 철수는 이 사회봉사센터에서 일간 매일 하나씩의 프로그램에 참여하 여 다섯 번의 봉사활동 시간 합계가 시간이 되도록 아래와 같은 봉사 활동 계획서를 작성하려고 한다. 작성할 수 있는 봉사활동 계획서의 가 짓수는? [4점]

봉사활동 계획서 성명 :

참여일 참여프로그램 봉사활동시간

  

  

  

  

  

봉사활동시간 합계 시간

①  ②  ③  ④  ⑤ 

30 30 30 30 30 30 30

30

을 한 개 이하 사용하여 만든 세 자리 자연수 중에서 각 자리의 수의 합이 인 자연수는 , , , , 이다. 을 한 개 이하 사 용하여 만든 다섯 자리 자연수 중에서 각 자리의 수의 합이 인 자연수 의 개수를 구하시오. [4점]

최단 경로의 수 유형 9

31 31 31 31 31 31 31

31

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따 라 A지점에서 출발하여 P 지점을 지나 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

32 32 32 32 32 32 32

32

그림과 같은 모양의 도로망이 있다. 지점 A에서 지점 B까지 도로를 따라 최단 거리로 가는 경우의 수는? (단, 가로 방향 도로와 세로 방향 도로는 각각 서로 평행하다.) [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

33 33 33 33 33 33 33

33

그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라

A지점에서 출발하여 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는? [3점]

Ⅰ. 경우의 수 1. 순열과 조합

단원별/유형별

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34 34 34 34 34 34 34

34

그림과 같은 바둑판 모양의 도로 망이 있다. 갑은 A에서 C까지 굵은 선을 따라 걷고, 을은 C에 서 A까지 굵은 선을 따라 걸으며, 병은 B에서 D까지 도로를 따라 최단거리로 걷는다. 갑, 을, 병 세 사람이 모두 만나도록 병이 B에 서 D까지 가는 경우의 수를 구하

시오. (단, 갑, 을, 병은 동시에 출발하고 같은 속력으로 걷는다고 가정 한다.) [4점]

35 35 35 35 35 35 35

35

그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 A지점에서 출발하여 C지점을 지나지 않고, D지점도 지나지 않으면서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

36 36 36 36 36 36 36

36

직사각형 모양의 잔디밭에 산책로가 만들어져 있다. 이 산책로는 그림 과 같이 반지름의 길이가 같은 원 개가 서로 외접하고 있는 형태이다.

A 지점에서 출발하여 산책로를 따라 최단 거리로 B 지점에 도착하는 경우의 수를 구하시오. (단, 원 위에 표시된 점은 원과 직사각형 또는 원과 원의 접점을 나타낸다.) [4점]

37 37 37 37 37 37 37

37

다음과 같이 정사각형을 가로 방향으로 등분하여 [도형]을 만들고, 세로 방향으로 등분하여 [도형]를 만든다.

[도형]과 [도형]를 번갈아가며 계속 붙여 아래와 같은 도형을 만든 다. 그림과 같이 첫 번째 붙여진 [도형]의 왼쪽 맨 위 꼭짓점을 A라 하고, [도형]의 개수와 [도형]의 개수를 합하여  개 붙여 만든 도형 의 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 B

이라 하자.

꼭짓점 A에서 꼭짓점 B

까지 선을 따라 최단거리로 가는 경로의 수를



이라 할 때, 

 

의 값은? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

수능/평가원 확률과 통계

38 38 38 38 38 38 38

38

좌표평면 위의 점들의 집합

{   와  는 정수}가 있다. 집합



에 속하는 한 점에서

에 속하는 다른 점으로 이동하는 ‘점프’는 다 음 규칙을 만족시킨다.

점 P에서 한 번의 ‘점프’로 점 Q로 이동할 때, 선분 PQ의 길이는  또는



점 A  에서 점 B 까지 번만 ‘점프’하여 이동하는 경우의 수를 구하시오. (단, 이동하는 과정에서 지나는 점이 다르면 다른 경우 이다.) [4점]

39 39 39 39 39 39 39

39

그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이 의 거리가 모두 인 바둑판 모양의 도로망이 있다. 로봇이 한 번 움직일 때마다 길을 따라 거리 만큼씩 이 동한다. 로봇은 길을 따라 어느 방향 으로도 움직일 수 있지만, 한 번 통 과한 지점을 다시 지나지는 않는다.

이 로봇이 지점 O에서 출발하여  번 움직일 때, 가능한 모든 경로의

수는? (단, 출발점과 도착점은 일치하지 않는다.) [4점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

순열을 이용한 함수의 개수 유형 10

40 40 40 40 40 40 40

40

집합

       에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족 하는 함수  

→

의 개수를 구하시오. [4점]

(가) 함수  는 일대일 대응 (나)    

(다)  ≥  이면    ≤ 

41 41 41 41 41 41 41

41

집합

       에서

로의 함수 중에서 다음 두 조건 을 만족시키는 함수 의 개수를 구하시오. [4점]

(가) 함수  는 일대일 대응이다.

(나) 정의역 의 한 원소 에 대하여          이다.

Ⅰ. 경우의 수 1. 순열과 조합

단원별/유형별

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2 ^중복조합

중복조합 유형 1

42 42 42 42 42 42 42

42



H

의 값을 구하시오. [3점]

43 43 43 43 43 43 43

43

자연수  에 대하여

H



C

일 때,

H

의 값을 구하시오. [3점]

44 44 44 44 44 44 44

44

같은 종류의 주스 병, 같은 종류의 생수 병, 우유 병을 명에게 남 김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 병도 받지 못하는 사람이 있을 수 있다.) [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

45 45 45 45 45 45 45

45

그림과 같이 개의 포트를 가진 컴퓨터용 허브가 있다. 이 허브에 컴퓨 터

,

,

을 왼쪽부터 이 순서로 다음 조건을 만족시키도록 연결 하는 방법의 수를 구하시오. [4점]

컴퓨터 가 연결되는 포트와 컴퓨터   이 연결되는 포트 사이에는

개 이상의 포트가 비어 있다. (단,    이다.)

46 46 46 46 46 46 46

46

    

  

의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

[4점]

수능/평가원 확률과 통계

나누어 주는 방법 유형 2

47 47 47 47 47 47 47

47

사과 주스, 포도 주스, 감귤 주스 중에서 병을 선택하려고 한다. 사과 주스, 포도 주스, 감귤 주스를 각각 적어도 병 이상씩 선택하는 경우 의 수는? (단, 각 종류의 주스는 병 이상씩 있다.) [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

48 48 48 48 48 48 48

48

고구마피자, 새우피자, 불고기피자 중에서 개를 주문하는 경우의 수 가 일 때, 고구마피자, 새우피자, 불고기피자를 적어도 하나씩 포함 하여 개를 주문하는 경우의 수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

49 49 49 49 49 49 49

49

어느 상담 교사는 월요일, 화요일, 수요일 일 동안 학생 명과 상담하 기 위하여 상담 계획표를 작성하려고 한다.

[상담 계획표]

요일 월요일 화요일 수요일

학생 수(명)   

상담 교사는 각 학생과 한 번만 상담하고, 요일별로 적어도 한 명의 학 생과 상담한다. 상담 계획표에 학생 수만을 기록할 때, 작성할 수 있는 상담 계획표의 가짓수를 구하시오. (단, , , 는 자연수이다.) [4점]

50 50 50 50 50 50 50

50

점수가 표시된 그림과 같은 과녁에 개의 화살을 쏘아 점수를 얻는 경 기가 있다. 개의 화살을 모두 과녁에 맞혔을 때, 점수의 합계가 점 이상이 되는 경우의 수는? (단, 화살이 과녁의 경계에 맞는 경우는 없 다.) [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

51 51 51 51 51 51 51

51

사과, 감, 배, 귤 네 종류의 과일 중에서 개를 선택하려고 한다. 사과 는 개 이하를 선택하고, 감, 배, 귤은 각각 개 이상을 선택하는 경우 의 수를 구하시오. (단, 각 종류의 과일은 개 이상씩 있다.) [4점]

52 52 52 52 52 52 52

52

네 종류의 사탕 중에서 개를 선택하려고 한다. 초콜릿사탕은 개 이

하, 박하사탕은 개 이상, 딸기사탕은 개 이상, 버터사탕은 개 이상

을 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 각 종류의 사탕은 개 이상

씩 있다.) [4점]

Ⅰ. 경우의 수 1. 순열과 조합

단원별/유형별

fcmath.tistory.com

53 53 53 53 53 53 53

53

네 명의 학생 A, B, C, D에게 같은 종류의 초콜릿 개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? [3점]

(가) 각 학생은 적어도 개의 초콜릿을 받는다.

(나) 학생 A는 학생 B보다 더 많은 초콜릿을 받는다.

①  ②  ③  ④  ⑤ 

54 54 54 54 54 54 54

54

숫자 , , , 에서 중복을 허락하여 개를 택할 때, 숫자 가 한 개 이하가 되는 경우의 수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

55 55 55 55 55 55 55

55

흰색 탁구공 개와 주황색 탁구공 개를 명의 학생에게 남김없이 나 누어 주려고 한다. 각 학생이 흰색 탁구공과 주황색 탁구공을 각각 한 개 이상 갖도록 나누어 주는 경우의 수는? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

56 56 56 56 56 56 56

56

서로 다른 종류의 사탕 개와 같은 종류의 구슬 개를 같은 종류의 주 머니 개에 남김없이 나누어 넣으려고 한다. 각 주머니에 사탕과 구슬 이 각각 개 이상씩 들어가도록 나누어 넣는 경우의 수는? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

57 57 57 57 57 57 57

57

같은 종류의 사탕 개를 명의 아이에게 개 이상씩 나누어 주고, 같 은 종류의 초콜릿 개를 개의 사탕을 받은 아이에게만 개 이상씩 나 누어 주려고 한다. 사탕과 초콜릿을 남김없이 나누어 주는 경우의 수 는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

수능/평가원 확률과 통계

58 58 58 58 58 58 58

58

연필 자루와 볼펜 자루를 다음 조건을 만족시키도록 여학생 명과 남학생 명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 연필 끼리는 서로 구별하지 않고, 볼펜끼리도 서로 구별하지 않는다.) [4점]

(가) 여학생이 각각 받는 연필의 개수는 서로 같고, 남학생이 각각 받는 볼펜의 개수도 서로 같다.

(나) 여학생은 연필을 자루 이상 받고, 볼펜을 받지 못하는 여학생이 있 을 수 있다.

(다) 남학생은 볼펜을 자루 이상 받고, 연필을 받지 못하는 남학생이 있 을 수 있다.

59 59 59 59 59 59 59

59

세 명의 학생 A, B, C에게 같은 종류의 사탕 개와 같은 종류의 초콜 릿 개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어주는 경우의 수를 구하시 오. [4점]

(가) 학생 A가 받는 사탕의 개수는  이상이다.

(나) 학생 B가 받는 초콜릿의 개수는  이상이다.

(다) 학생 C가 받는 사탕의 개수와 초콜릿의 개수의 합은  이상이다.

정수해의 개수 - 방정식 유형 3

60 60 60 60 60 60 60

60

방정식       을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , 에 대하여 순서쌍     의 개수를 구하시오. [3점]

61 61 61 61 61 61 61

61

방정식         를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 순서쌍

   의 개수를 구하시오. [3점]

62 62 62 62 62 62 62

62

각 자리의 수가 이 아닌 네 자리의 자연수 중 각 자리의 수의 합이  인 모든 자연수의 개수는? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

Ⅰ. 경우의 수 1. 순열과 조합

단원별/유형별

fcmath.tistory.com

63 63 63 63 63 63 63

63

방정식       를 만족시키는   이상의 정수 , , 의 모든 순서쌍   의 개수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

64 64 64 64 64 64 64

64

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , , 의 모든 순서쌍

   의 개수는? [4점]

(가)          (나)  ≤ 이고  ≥ 이다.

①  ②  ③  ④  ⑤ 

65 65 65 65 65 65 65

65

방정식         를 만족시키는 양의 정수 , , , 의 모 든 순서쌍    의 개수는? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

66 66 66 66 66 66 66

66

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , 의 모든 순서쌍

   의 개수는? [4점]

(가)       

(나) 좌표평면에서 세 점        가 직선 위에 있지 않다.

①  ②  ③  ④  ⑤ 

67 67 67 67 67 67 67

67

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수  ,  ,  ,  ,  의 모든 순서쌍

    의 개수는? [4점]

(가)  ,  ,  ,  ,  중에서 의 개수는 이다.

(나)           

①  ②  ③  ④  ⑤ 

68 68 68 68 68 68 68

68

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , , 의 모든 순서쌍

   의 개수를 구하시오. [4점]

(가)          (나)  ≠ 

수능/평가원 확률과 통계

69 69 69 69 69 69 69

69

연립방정식

         

        

을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , , 의 모든 순서쌍    

의 개수는? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

70 70 70 70 70 70 70

70

네 개의 자연수 , , ,  중에서 중복을 허락하여 세 수를 선택할 때, 세 수의 곱이  이하가 되도록 선택하는 경우의 수는? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

71 71 71 71 71 71 71

71

자연수  에 대하여   

을 만족시키는 보다 큰 자연수 , ,  의 순서쌍   의 개수가 일 때,  의 값을 구하시오. [4점]

72 72 72 72 72 72 72

72

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , 의 모든 순서쌍 (  )의 개수를 구하시오. [4점]

(가)       

(나) ^× ^은 의 배수이다.

73 73 73 73 73 73 73

73

다음 조건을 만족시키는  이상의 자연수 , , , 의 모든 순서쌍

       의 개수를 구하시오. [4점]

(가)         

(나) , , 는 모두  의 배수이다.

Ⅰ. 경우의 수 1. 순열과 조합

단원별/유형별

fcmath.tistory.com

정수해의 개수 - 부등식 유형 4

74 74 74 74 74 74 74

74

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , 의 모든 순서쌍

  의 개수는? [4점]

(가)       

(나)       

①  ②  ③  ④  ⑤ 

75 75 75 75 75 75 75

75

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , , 의 모든 순서쌍

   의 개수는? [4점]

(가)         

(나)      ≤ 

①  ②  ③  ④  ⑤ 

76 76 76 76 76 76 76

76

 ≤  ≤  ≤  ≤  ≤ 을 만족시키는 자연수 , , , 의 모든 순 서쌍    의 개수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

77 77 77 77 77 77 77

77

세 정수  ,  ,  에 대하여

 ≤    ≤    ≤    ≤  를 만족시키는 모든 순서쌍   의 개수는? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

78 78 78 78 78 78 78

78

다음 조건을 만족시키는 자연수 , , 의 모든 순서쌍   의 개 수를 구하시오. [4점]

(가)  ×  × 는 홀수이다.

(나)  ≤  ≤  ≤ 

수능/평가원 확률과 통계

79 79 79 79 79 79 79

79

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 

, 

, 

의 모든 순서쌍



 

 

의 개수를 구하시오. [4점]

㈎   , 일 때,    _≥ 이다.

㈏ ≤ 

80 80 80 80 80 80 80

80

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 

, 

, 

, 

의 모든 순서쌍



 

 

 

의 개수는? [4점]

㈎     일 때,    _≥ 이다.

㈏ ≤ 

➀  ➁  ➂  ➃  ➄ 

조합을 이용한 함수의 개수 유형 5

81 81 81 81 81 81 81

81

집합

     에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수

 

→

의 개수를 구하시오. [3점]

㈎ 함수  의 치역의 원소의 개수는 이다.

㈏    인 의 원소 의 개수는 이다.

82 82 82 82 82 82 82

82

집합    에서 집합    로의 함수 중에서 다음 조건 을 만족하는 함수  의 개수는? [4점]

(가) 함수  의 치역의 원소의 개수는 이다.

(나) 합성함수  ∘  의 치역의 원소의 개수는 이다.

①  ②  ③  ④  ⑤ 

83 83 83 83 83 83 83

83

    에서         로의 함수 중에서 

＜

일

때, 

 ≥ 

를 만족시키는 함수  의 개수를 구하시오. [4점]

Ⅰ. 경우의 수 1. 순열과 조합

단원별/유형별

fcmath.tistory.com

순열과 조합의 빈칸 추론

유형 7

84 84 84 84 84 84 84

84

자연수  에 대하여 원소가  개인 집합

에서  개의 원소를 뽑는 경 우의 수

C

를 다음과 같은 방법으로 구하였다.

를 원소가  개이고 서로소인 두 집합  와  로 나누고, 다음과 같은 경우를 생각한다.

(ⅰ)  와  중 한 집합에서만 두 개의 원소를 뽑는 경우 (ⅱ)  와  각 집합에서 원소를 한 개씩 뽑는 경우

(ⅰ)의 경우의 수는 ㈎ 이고 (ⅱ)의 경우의 수는 ㈏ 이다. (ⅰ)과 (ⅱ) 둘 중에서 한 가지 경우만 일어날 수 있으므로 합의 법칙에 의하여

C_ ㈎ ＋ ㈏ 이다.

위에서 (가)와 (나)에 알맞은 것은? [3점]

(가) (나)

① C_×_C_{ }C_×_C_

② _C_{ }C_×_C_

③ _C_{ }C_×_C__C_

④ _C_ 

C

×

C

⑤ 

C



C



C

85 85 85 85 85 85 85

85

자연수 에 대하여 등식



C



C



C



C

이 성립함을 다음과 같이 증명하였다.

  C_{  }은 집합     ⋯    의 부분집합 중에서 원소의 개수가    인 부분집합의 개수이다. 이것을 다른 방법으로 세어보자.

(ⅰ) 집합  의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 ㈎ 이고 원소의 개수 가    인 부분집합의 개수는 C_이다.

(ⅱ) 집합  의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 ㈏ 이고 원소의 개수 가    인 부분집합의 개수는   C_이다.

(ⅲ) 집합  의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 ㈐ 이고 원소의 개수 가   인 부분집합의 개수는   C_이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) 중에서 한 가지 경우만 일어날 수 있으므로 합의 법칙에 의하여 C__{  }C__{  }C__{  }C_{  }이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은? [4점]

(가) (나) (다)

①       

②       

③         

④       

⑤         

수능/평가원 확률과 통계

86 86 86 86 86 86 86

86

부터 까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다. 다음은 이 카드 중에서 동시에 장을 선택할 때, 카드에 적힌 어느 두 수도 연 속하지 않는 경우의 수를 구하는 과정이다.

두 자연수 , ( ≤  ≤  )에 대하여 부터  까지 자연수가 하나 씩 적혀 있는  장의 카드에서 동시에  장을 선택할 때, 카드에 적힌 어느 두 수도 연속하지 않는 경우의 수를   이라 하자.

장의 카드에서 장의 카드를 선택할 때, 가 적힌 카드가 선택되는 경 우와 선택되지 않는 경우로 나누면    에 대하여 다음 관계식을 얻 을 수 있다.

      ㈎ ,      

  에 8이 적힌 카드가 선택되는 경우와 선택하지 않는 경우로 나누 어 적용하면

      ㈎ ,          

이다. 이와 같은 방법을 계속 적용하면    



  



  

이다. 여기서

    ㈏    

이므로

    ㈐ 이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가) (나) (다)

①  C_ 

②    C_ 

③  C_ 

④  C_ 

⑤    C_ 

87 87 87 87 87 87 87

87

다음은 모든 자연수  에 대하여 등식

  







C



C

  

  

가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(1)   일 때, (좌변)= 

C_

C_

 C_

C_

 

, (우변) 

  

 



이므로 주어진 등식은 성립한다.

(2)   일 때, 등식



  



  C_

C_

 

  

가 성립한다고 가정하자.

    일 때,

  



  

  C_

  C_

 ㈎ 



  



  C_{  }

  C_{  } 이다.

자연수  에 대하여

  C_{  } ㈏ ⋅C_  ≤  ≤  이므로

  





  C_{  }

  C_{  }

 ㈐ 



  



  C_

C_ 이다.

따라서

  



  

  C_

  C_

 ㈎  ㈐ ×_{  }



C_

 

   이다.

그러므로 모든 자연수 에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가) (나) (다)

①    

  

  

  

②    

  

  

  

③    

  

  

  

④      

  

  

  

⑤      

  

  

  

Ⅰ. 경우의 수 1. 순열과 조합

단원별/유형별

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88 88 88 88 88 88 88

88

다음은 집합

       과 함수  

→

에 대하여 합성함수  ∘ 의 치역의 원소의 개수가 인 함수 의 개수를 구하는 과정이다.

함수 와 함수  ∘ 의 치역을 각각 와 라 하자.

    이면 함수  는 일대일 대응이고, 함수  ∘  도 일대일대응이 므로    이다.

또한  ≤ 이면  ⊂ 이므로   ≤ 이다.

그러므로    즉   인 경우만 생각하면 된다.

(ⅰ)   인 의 부분집합 를 선택하는 경우의 수는

㈎ 이다.

(ⅱ) (ⅰ)에서 선택한 집합 에 대하여, 의 원소 중 에 속하지 않은 원소를 라 하자.

    이므로 집합 에서   를 선택하는 경우의 수는

㈏ 이다.

(ⅲ) (ⅰ)에서 선택한  ^ _ _ _ _와 (ⅱ)에서 선택한

  에 대하여,  ∈이며    이므로

 ^{ }  _  _  _  _⋯ ＊ 이다.

＊ 을 만족시키는 경우의 수는 집합 에서 집합 로의 일대일 대응의 개수와 같으므로

㈐ 이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수  의 개수는 ㈎ × ㈏ × ㈐ 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 , , 이라 할 때,      의 값은? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

89 89 89 89 89 89 89

89

자연수  에 대하여          을 만족시키는 음이 아닌 정 수     의 모든 순서쌍     의 개수를 

이라 하자.

다음은 

  





의 값을 구하는 과정이다.

음이 아닌 정수     가          을 만족시키려면 음이 아닌 정수  에 대하여

    이어야 한다.

    인 경우는 ⑴ 음이 아닌 정수  _에 대하여

  _   인 경우이거나 ⑵ 음이 아닌 정수  에 대하여

  _    _ 인 경우이다.

⑴      _인 경우 :

        을 만족시키는 음이 아닌 정수

   의 모든 순서쌍     개수는

㈎ 이다.

⑵       _  인 경우 :

        을 만족시키는 음이 아닌 정수

   의 모든 순서쌍     개수는

㈏ 이다.

⑴, ⑵에 의하여          을 만족시키는 음이 아닌 정수

   의 모든 순서쌍     의 개수 은

_ ㈎  ㈏ 이다. 자연수  에 대하여

  





㈏ _{  }C_ 이므로

  





_ ㈐ 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각  g이라 하고, (다)에 알맞 은 수를  이라 할 때,   g   의 값은? [4점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

수능/평가원 확률과 통계

90 90 90 90 90 90 90

90

다음은 명의 사람이 각자 세 상자

,

,

중 개의 상자를 선택하 여 각 상자에 공을 하나씩 넣을 때, 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수를 구하는 과정이다. (단,  은 의 배수인 자연수 이고 공은 구별하지 않는다.)

세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우는 ‘(ⅰ) 세 상자에 공이 들 어가는 모든 경우’에서 ‘(ⅱ) 세 상자에 모두 같은 개수의 공이 들어가는 경우’와 ‘(ⅲ) 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우’를 제외하면 된다.

(ⅰ)의 경우 :

명의 사람이 각자 세 상자 중 공을 넣을 두 상자를 선택하는 경우의 수는

명의 사람이 각자 공을 넣지 않을 한 상자를 선택하는 경우의 수와 같다.

따라서 세 상자에서 중복을 허락하여 개의 상자를 선택하는 경우의 수인

㈎ 이다.

(ⅱ)의 경우 : 각 상자에 

개의 공이 들어가는 경우뿐이므로 경우의 수는 이다.

(ⅲ)의 경우 :

두 상자 ,  에 같은 개수의 공이 들어가면 상자  에는 최대 개의 공 을 넣을 수 있으므로 두 상자 ,  에 각각 

개보다 작은 개수의 공이 들 어갈 수 없다. 따라서 두 상자 ,  에 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 ㈏ 이다.

그러므로 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는

C_× ㈏  이다.

따라서 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수는

㈐ 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , g, 이라 할 때,

 g



 의 값은? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

Ⅰ. 경우의 수 2. 이항정리

단원별/유형별

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1 ^이항정리

  

의 전개식 유형 1

91 91 91 91 91 91 91

91

다항식   

의 전개식에서 

의 계수는? [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

92 92 92 92 92 92 92

92

다항식   

의 전개식에서 

의 계수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

93 93 93 93 93 93 93

93

  

의 전개식에서 



의 계수를 구하시오. [3점]

94 94 94 94 94 94 94

94

다항식   

의 전개식에서  의 계수가  일 때,  의 값을 구하 시오. [3점]

95 95 95 95 95 95 95

95

다항식   

의 전개식에서 

의 계수가 일 때, 자연수 의 값을 구하시오. [3점]

96 96 96 96 96 96 96

96

다항식   

의 전개식에서 

의 계수가 일 때, 의 계수는?

(단,  는 상수이다.) [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2 2 2 2 2 2

2 ^{이항정리 Ⅰ 경우의 수}