1. 개요
□ 연구목적
○ 비누막은 적은 재료로 최대의 효과를 내려는 최적화문제와 연관되어 있어 수학이나 과학에서 아주 중요한 연구 대상이다. 비누막의 성질을 탐구하여 그 속에 담겨 있는 수학, 물리, 화학, 생물, 지구과학, 기술․공학, 예술 등의 의미 있는 성질을 탐구하는 것이다.
□ 연구범위
○ 다양한 비누막 만들기 실험(효율적인 비누막 만들기)
○ 다양한 모양 틀(평면비누막, 입체비누막, 위상적 변형틀 비누막) 비누 막 생성 모습 관찰, 반복 실험을 통해 얻은 결과를 수학적으로 증명해 보고, 물리, 화학, 생물, 지구과학, 공학, 예술과 연결
○ 중고등학교 수업이나 학생이 실제로 활용할 수 있도록 연구 수준을 맞춤
○ 공기방울의 성질 연구 결과, 우리 주변의 비누막 활용까지 확대하지 않고, 비누막 연구 및 관찰 결과에 집중하여 보고서 정리
2. 연구 수행 내용
□ 이론적 배경 및 선행 연구
○ 1950년대에야 러시아 수학자 알렉산드로프는 물과 비누, 글리세린을 이용해 18시간 정도 유지되는 비눗방울과 비누막을 만들고 관찰해 거품의 기하학적 특징을 알아냈다. 바로 ‘거품의 모서리는 세 막으로만 이뤄지며, 이 때 세 막 가운데 이웃하는 두 막은 언제나
각도를 이루고, 한 점에서 는 네 모서리만 만난다’는 내용이다. 네 모서리가 만날 때의 각도는
다. 실험에서 나온 이 법칙은 100년이 넘은 지금가지도 잘 맞고 있다.
○ 철사를 비눗물에 담갔다 꺼내면 비누막이 만들어지는데, 비누막은 비눗방울과 달리 에워싸는 내부가 없다. 이 비누막은 철사를 경계로 하는 곡면 중에서 넓이가 가장 작은 것이다. 이런 특성에 의해 비누막의 평균곡 률은 영이 된다. 19세기 초 벨기에의 물리학자 플래토는 다양한 모양의 철사로 비누막 실험을 했다. 그리하여 그는 1847년 닫혀있는 철사 구조물을 넣으면 항상 막이 생긴다는 것을 증명하였다. 그렇다면 임의의 철사를 경계로 하는 최소넓이의 곡면이 존재한다는 것을 수학적으로 증명할 수
있는가? 이 문제를 플래토 문제라고 한다. 그는 이러한 실험을 통해 비누막 이 주어진 경로를 연결하면서 최소 넓이를 갖는 곡면(극소곡면)이라는 것을 알았지만 수학적으로 증명하지는 못했다. 이 문제는 미국의 수학자 더글러스와 헝가리의 수학자 라도가 독립적으로 풀어 냈다. 더글러스는 이 연구를 통해 1930년 수학의 노벨상이라 할 수 있는 필즈상을 받기도 했다. 비누막처럼 평균곡률이 0인 곡면을 극소곡면이라고 부른다. 최소의 넓이를 갖는다는 성질은 비누막으로 하여금 매우 안정적인 구조를 갖게 하기 때문에 극소곡면이 건축에 이용되기도 한다. 안정적인 완비극소곡면 은 수학의 많은 문제를 해결하는데 중요한 역할을 하였고, 물리학에서도 일반상대성 이론의 한 미해결 문제를 푸는데 결정적인 역할을 하였다.
□ 연구주제의 선정
○ 교과 영역에 구애됨 없이, 현실적인 문제를 다양한 관점에서 다룰 수 있는 주제를 찾도록 노력하였음 - 비누막 문제 과학(물리, 화학, 생물, 지구과학), 기술·공학, 수학, 인문·예술 등 STEAM의 모든 분야와 관련성을 맺고 있다고 판단하였음.
○ 주제는 쉬운 주제이나 생각보다 주변에 자료가 없어 너무나 단순한 관찰만 이루어지고 있어 실험 범위를 확대하는 방안 제시가 필요한 시점임.
○ 본 주제가 과학의 각 영역(물리, 화학, 생물, 지구과학)과 직접적인 관련이 있어 본교 각부 부장을 중심으로 연구 학생을 구성하였고, 분야별 연구 책임 학생이 되어 연구주제의 탐색과 선정, 문제해결 과정에서 이 학생을 중심으로 토의 과정을 거쳐 문제가 해결되도록 함
○ 가능하면 본교 학생들의 눈높이에 맞는 이론과 지식을 활용할 계획임
○ 지역 내 대학(전북대학교) 수학과 교수님을 전문가 자문위원으로 위촉하여 지속적인 자문과 지원을 받음
○ 참여 학생 간의 역할 배분, 연구 기간을 고려하여, 과제의 난이도와 범위를 합리적으로 조정하였음
□ 연구 방법
○ 문제 해결을 위한 실험 내용이나 방법을 다양하고 창의적으로 하려고 지속적인 고민을 함. 아울러 전문가 자문 등에 위상적 틀 실험까지 확대하 였고, 다양한 실험을 통해 의미 있는 결과를 도출할 수 있었음.
- 다양한 방법으로 비눗물 만들기, 다양한 도구로 판 만들기
- 평면비누막 관찰 - 입체비누막 관찰
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위상적 변형틀 비누막○ 시제품 만들기
- 실험에 참가하지 않은 학생들도 언제나 실험결과를 볼 수 있도록 학교에 전시공간을 만들기
- 헬리코이드 등 우리가 실험한 것 중 의미 있다고 생각하는 것 중심으로 다양하게 비누막 모형 전시물 제작
□ 연구 활동 및 과정
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Ⅰ. 준비 과정 5월
- 선행자료 수집
- 비눗물 만들기 실험
방법1. 기존에 구입했던 비눗방울액 활용
방법2. 긴 물통, 물3ℓ, 주방세제500㎖, 식용유500㎖, 설탕500g, 물엿 500g 등 (문제점 : 식용유와 설탕 등이 들어있어 비눗물이 조금만 바닥에 떨어져도 끈적거리고 미끄러워진다. 씻기 힘들고, 뚜렷하게 비누막이 생성 되지 않음)
방법3. 물, 주방세제, 글리세린(여러가지 비율로 실시해 보았으나 5:1:1 일 때 가장 좋았음)
방법4. 증류수 500그램에다 10그램의 순수 건조 올레인산 나트륨을 용해시키고 15cc의 용액을 11cc의 글리세린과 혼합
- 비눗방울과 비누막의 차이를 인지하기 시작하였음.
- 기본 형태로 실험 장면 공개 및 토론(200명 대상)
Ⅱ. 평면비누막 관찰 6-7월(평면비누막 연구)
가. 플라스틱으로 다양한 모양(정삼각형, 이등변삼각형, 직각삼각형, 둔각 삼각형, 일반삼각형, 사각형, 오각형, 육각형, 일반적인 다각형) 만들기 방법1. 플라스틱 막대를 길이가 같게 여러 개 자른다. 플라스틱 막대를 아크릴 판 사이에 수직으로 세운 후 (본드, 또는 글루건)로 붙인다. 이때
플라스틱 막대가 삼각형, 사각형과 같은 도형의 꼭짓점을 이루도록 배치시 킨다. (처음에 글루건으로 붙여서 할 때는 무너짐. 빨대 안을 채우자고 해서 안에 글루건을 미리 채웠더니 아쉬우나마 실험을 계속할 수 있었다.)
방법2. OHP필름을 2장을 겹쳐 송곳으로 작은 구멍을 낸다. 그 구멍에 스테플러 심을 꽂은 후 유리테이프로 붙이면 비누막 실험을 할 수 있다.
방법3. 못으로 기둥을 만들어 두 밑면에 투명 필름을 붙여서 실험한다.
나. 비누막 생성 모습 관찰, 반복 실험
아크릴 판을 주방용 세제를 탄 물에 담갔다가 천천히 꺼낸다. 비눗물이 흘러내리면 플라스틱 막대를 잇는 비누막이 형성된다. 정삼각형, 이등변삼 각형, 직각삼각형, 둔각삼각형, 일반삼각형, 사각형, 오각형, 육각형, 일반 적인 다각형 순으로 다양하게 만들어 실험해본다. 비눗물에 넣어 조금씩 변화를 주면 사진과 같은 다양한 비누막 모양을 만들 수 있다. (사진 촬영) 다. 삼각형 틀
실험결과1. 증명
페르마의 점은 비누막에서도 찾아볼 수 있다. 비누막이 형성될 때는 가능 한 한 표면의 면적이 최소화되도록 작용하는 표면장력의 영향을 받는다. 따라서 비누방울은 그 모양이 공의 형태를 띠게 된다. 그러나 이러한 비누 방울이 모여 거품을 이룰 때는 비누방울의 가장자리가 120°의 각도로 삼각 교차를 하며 만나는 다른 형태가 된다. 이 ‘삼각교차점’은 세 직선이 120°의 각도로 만나는 점으로 ‘페르마의 점’이라 할 수 있다. 이를 응용하면 길이가 가장 짧은 연결 통로를 만들 수 있다.
실험결과. 한 변의 길이가 1인 정삼각형에서 실제 길이 재보기 예상 경로
거리의 합 2
다-1. 삼각형의 세 기둥의 높이를 달리 한 경우(아래 1,2번 그림)
곡선의 휘어진 정도에 대한 연구가 필요하다. 약 15˚각도로 휘어 만듦 다-2. 삼각형 판의 밑면을 곡면으로 한 경우(위 3,4번 그림)
곡면에 삼각형 모양의 기둥을 세워서 실험하였다. 곡선으로 나올 것을 예상하고 실험하였으나 기둥을 대칭적으로 세워서 결과가 일반적인 모양 과 같이 직선형으로 나왔다. 판이 너무 작아서 구체적인 모습을 관찰하기 어려웠다. 다음에 할 때는 더 큰 아크릴판을 활용하여야겠다.
라. 사각형 틀
실험결과1. 증명 [두 점 를 각각 회전이동시켜 증명]
사각형 틀을 만들어 비눗물에 넣었다 꺼내면 가운데 작은 띠가 생기고 그 띠의 양끝에서 각각 두 꼭짓점으로 연결하는 모습을 띤다. 이것이 표면 적을 가장 줄일 수 있기 때문이다. 두 대각선으로 생기지는 않는다. 이것은 정사각형의 네 꼭짓점을 연결하는 선 중에서 가장 짧은 것을 찾는 문제로 설명할 수 있다.
실험결과2. 한 변의 길이가 1인 정사각형에서 실제 길이 재보기
예상 경로
거리의 합 3 3
라-1. 밑면은 아크릴판이고 다른 밑면은 다른 도구(?)로 하여 기둥 4개를 설치한 경우(아래 1,2번 그림)
마. 오각형 틀(위 3번 그림)
오각형 틀의 경우에 슈타이너 점이 세 개 생기는 모습을 관찰할 수 있다. 가운데 생기는 점의 경우 세 각도가 전부 120도와 유사한 양상이 보인다.
바. 육각형 틀(위 4번 그림)
육각형 틀의 경우에는 4개의 슈타이너 점이 생긴다.
실험결과. 한 변의 길이가 1인 정육각형에서 실제 길이 재보기
예상 경로
거리의 합 5
정사각형 점을 생각하면 오른쪽 거리 합이 가장 짧은 것으로 예상되지만 정육각형 점부터는 정육각형에서 한 선분만 잇지 않는 왼쪽 연결선이 가장 짧다. 정삼각형 세 점과 정사각형 네 점에서의 슈타이너 점을 토대로 정오 각형 점, 정육각형 점으로 확대해서 슈타이너 점을 예측할 수 있을까?
정오각형의 점 5개까지는 슈타이너 점이 존재하지만 정육각형 점에서부터 는 슈타이너 점이 존재하지 않는다. ≧ 이면 최단도로망은 정각형에서 어느 한 변은 뺀 것이 된다. 그럼 육각형의 6점에는 슈타이너 점이 항상 존재하지 않을까? 그렇지 않다. 정육각형이 아닌 평범한 육각형 점이라면 존재할 수 있다. 즉 점의 위치에 따라서 슈타이너 점의 존재가 달라질 수 있다.
바-1. 육각형 틀에서 비누막 하나를 터뜨린 경우(아래 1,2,3,4 그림)
8월
- 평면비누막 : 아크릴 판과 플라스틱으로 다양한 모양(다각형의 다양한 연결, 반복, 복합, 중복) 만들어 비누막 모습 관찰, 반복 실험
사. 정사각형 2개를 연결한 경우(위 5,6번 그림)
실험결과. 한 변의 길이가 1인 정육각형에서 실제 길이 재보기 예상 경로
거리의 합
첫 번째 경우에는 약 5.464가 나온다. 두 번째 경우는 약 4.66411, 세 번째는 약 4.62517로 세 번째 경우가 최소가 된다.
아. 정사각형 2개를 연결한 후 다시 위로 1개를 연결한 경우나 사각형을 대각선으로 연결한 경우
기둥이 너무 복잡하게 많아 실험 결과 실험결과가 잘 나오지 않는다. 다각형의 각 점들의 위치를 평면좌표로 나타내어 좌표를 이동해가면서 관찰해본다. 조금씩 변화를 주면 다양한 비누막 모양의 변화 과정을 관찰 할 수 있을 것이다. 또한 볼록다각형이 아닌 오목다각형의 다양한 경우를 평면좌표와 연결지면서 비누막 실험을 하고, 발견된 규칙성을 수학적으로 증명하면 의미있을 것이다. 만약 그 판들이 평행하지 않거나, 막대들이 판들에 수직이 아니거나 판이 구부러져 있다면 그 판에 형성되는 곡선은 직선이 아닐 것이지만 새로운 변분법 문제를 나타내줄 것이다.
Ⅲ. 입체비누막 관찰 1. 입체비누막 만들기(아래 1,2번 그림)
조노돔 셋트 등을 활용하여 여러 가지 방법으로 사면체, 삼각기둥, 육면 체, 팔면체, 십이면체, 십사면체, 이십면체, 준정다면체틀 등 다양한 입체도 형을 만들었다. 단, 너무 크면 수조에 들어가지 않으므로 수조의 크기에 유의하여 만들어야 한다.
2. 입체비누막 실험
가. 삼각기둥 틀에서의 실험(위 3,4번 그림)
삼각기둥에서 삼각형의 한 변의 길이에 비해 높이가 어느 정도 크게 하여 비누막 실험을 하였더니 안에 거의 삼각기둥 모양의 비누막이 생기더니 시간이 지남에 따라(관찰 결과 시간과 줄어드는 속도가 비례하는 것 같지 않다. 추후 초고속카메라를 활용하여 정확한 시간과 흐름을 측정할 필요가 있음) 한 점으로 줄어 위 아래 두 페르마 포인트가 생기고 이 두 점이 연결되고 각 꼭짓점에서 삼각기둥의 6개의 꼭짓점에 연결되는 모습을 가진 다. 삼각기둥에서 생기는 페르마 포인트(?)를 삼각형에 정사영하면 평면에 서 생기는 페르마 포인트와 같다. 삼각기둥에서 실제로 측정한 각은 109.5 도이다. 삼각기둥에서 삼각형의 한 변의 길이에 비해 높이를 줄여서 비누막 실험을 하였더니 비누막 안에 삼각형 모양의 비누막이 생기고 각 꼭짓점에 서 삼각기둥의 6개의 꼭짓점에 연결되는 모습을 가진다. 추후 연구에서는 삼각형의 한 변과 높이의 비가 어느 수준일 때 삼각형이 없어지고 한 점으 로 되었다가 어느 시점부터 두 점으로 분리되면서 높이가 생기는가를 연구 할 필요가 있다. 삼각기둥에서 생기는 각을 측정하면 그 위치를 찾을 수 있을 것 같다.
나. 삼각기둥 변형 틀
밑면이 삼각형으로 이루어진 삼각기둥 대신 삼각형 내부에 한 점을 잡아 연결한 입체도형(왼쪽)을 만들어 비누막 실험을 하였더니 삼각형 내부의
점까지 연결한 직사각형 3개를 세워 놓은 모습으로 비누막이 만들어졌다.
밑면의 세 점과 내부 점의 위치를 조절하면서 실험해 보았는데 좀 더 정확한 연구가 필요하다. 삼각형의 세 변의 길이를 달리하면서 조사하는 것도 의미가 있다.
다. 사면체 틀
사면체 틀로 비누막 실험을 하면 생기는 극소곡면의 네 곡면이 중심에서 약
를 이루며 만난다.(1번째 그림)다-1. 사면체 틀에서 제4의 꼭짓점의 위치를 이동하면서 실험해 보는 것도 의미 있다.(2번째 그림)
다-2. 사면체 틀 변형
사면체 틀 실험에서 생기는 비누막에서 극소곡면끼리 만나는 선에 철사를 연결해 보는 실험을 하였다. 실험 결과는 원래의 사면체에서 생겼던 면이 그대로 생겼다.(3번째 그림)
다-3. 사면체 틀 속에 사면체면을 넣고 실험해 보았다. 내부에 선으로 이루어지지 않고 면으로 이루어진 도형이여서 의미있는 실험 결과는 얻지 못했으나 매우 의미 있는 실험 결과를 얻었다.(4,5번째 그림)
다-4. 다-3의 실험 후 면 대신 내부에 철사로 사면체를 만들어 보았다.
라. 정육면체(사각기둥 틀)
철사를 바라는 형태의 모양으로 만들어 한 정다면체의 일련의 변들로 만들어진 다각형모양의 철사로 된 틀을 이용하면 아름다운 모형을 얻는다. 특히 한 정육면체로 된 틀을 용액에 담그면 흥미롭다. 처음으로 얻는 결과 는 다른 곡면들의 체계가 교선을 따라 120°가 되는 지점에서 서로 만난다는 사실이다. 정육면체가 조심스럽게 움츠려들면 거의 평면인 곡면 13개가 만들어질 것이다. 그러고 나서 닫힌 다각형으로 둘러싸인 곡면만 남도록 다른 곡면을 터트려 없애도록 한다. 여러 가지 아름다운 곡면이 이와 같은 방법으로 만들어질 수 있을 것이다. 왜 그런 모양이 생기는가를 알아보기 위해 맞모금이 만나는 경우와 위 그림의 경우의 단면적을 구해서 비교해 볼 필요가 있다. 방울 6개가 3차원 좌표축을 따라 중심으로 합쳐질 때 6개가 한 점에서 만나 곡선이 이루는 각도가 인 일은 일어나지 않는다. 대신 면적이 최소인 구조가 나타나는 데 곡선이 이루는 각도는 이다. 라-1. 사각기둥 틀
사각기둥에서 사각형의 한 변의 길이에 비해 높이가 어느 정도 크게 하여 비누막 실험을 하였더니 안에 거의 사각기둥 모양의 비누막이 생기더니 시간이 지남에 따라(관찰 결과 시간과 줄어드는 속도가 비례하는 것 같지 않다. 추후 초고속카메라를 활용하여 정확한 시간과 흐름을 측정할 필요가 있음) 한 점으로 줄어 위 아래 4개의 페르마포인트가 생기고 이 네 점이 연결되고 각 꼭짓점에서 사각기둥의 8개의 꼭짓점에 연결되는 모습을 가진 다. 사각기둥에서 생기는 페르마 포인트(?)를 사각형에 정사영하면 평면에 서 생기는 페르마 포인트와 같다. 사각기둥에서 실제로 측정한 각은 120도 이다. 정사각기둥에서 삼각형의 한 변의 길이에 비해 높이를 줄여서 비누막 실험을 하였더니 비누막 안에 사각형 모양의 비누막이 생기고 각 꼭짓점에 서 사각기둥의 8개의 꼭짓점에 연결되는 모습을 가진다.
추후 연구에서는 사각형의 한 변과 높이의 비가 어느 수준일 때 사각형이 없어지고 한 점으로 되었다가 어느 시점부터 두 점으로 분리되면서 높이가 생기는가를 연구할 필요가 있다. 사각기둥에서 생기는 각을 측정하면 그 위치를 찾을 수 있을 것 같다.
라-2. 정육면체 틀의 변형
일반적인 정육면체와 비교했을 때 밑면 관찰시 생기는 정사각형의 크기가 더 작게 나왔다. 옆면에서 관찰 할 경우에도 가로부분의 길이가 더 짧아졌 다.(펜으로 그린 그림 참조)
마. 정육면체를 틀어서 실험(위 오른쪽 그림 4개)
정육면체와 비슷하게 나오지만 곡선의 휘어진 정도가 심해진다. 바. 정팔면체 틀
정팔면체의 내부에 육각형이 생기거나(1,2,3,4 그림) 오각형이 생긴다.(그 림5) 이론적으로는 각 면(삼각형)의 내심이 이동한 평행이동한 위치에 점이 생기고(그림6) 이것들이 연결되어 내부에 오각형이나 육각형 대신 한 점이 생기는 모습이 예상되나 실험에서는 잘 구현되지 않았다.
마-1. 정팔면체 안에 정팔면체 틀
면을 따라서 생기나 면이 너무 많아서 의미 있는 결과를 찾기 어려웠다. 그러나 좀 더 연구하면 의미 있는 결과가 나올 것이라 예상된다. 사. 오각기둥 틀 또는 오각기둥의 변형(뿔대) (위 오른쪽 그림 3개)
정오각기둥에서는 정오각형의 한 변의 길이에 비해 높이를 조절하였더니 내부에 중간 높이에 정오각형이 생기고 이 정오각형의 각 꼭짓점이 위 아래의 정오각형과 연결되었다. 이 정오각형을 밑면의 정오각형에 정사영 시키면 평면비누막 실험과 같은 결과가 생긴다. 그리고 이 중간 정오각형의
각 점을 옆면의 사각형에 정사영시키면 역시 사각형의 평면 비누막 실험과 같을 것 같다. 위와 아래 중 어느 하나의 정오각형의 크기를 바꾸었을 때도 실험 결과를 보면 이와 같은 결론이 예상된다.
높이를 크게 하면 옆면의 사각형에서의 평면비누막 실험에서 가운데 선분 이 위 아래쪽으로 나누어지면서 연결점이 4개로 늘어난다. 이를 고려할 때 내부에 오각기둥이 생길 것을 예상할 수 있다. 이 때 생기는 각을 측정하 는 것은 추후에 연구해보아야겠다.
추후 연구에서는 오각형의 한 변과 높이의 비가 어느 수준일 때 내부 오각기둥이 없어지고 오각형이 되는 지 연구할 필요가 있다. 오각기둥에서 생기는 각을 측정하면 그 위치를 찾을 수 있을 것 같다.
사-1. 육각기둥 틀
육각기둥에서 모든 변의 길이를 같게 하였더니 중간에 정육각형이 하나 생기고 이 점들이 원래 육각기둥의 점들과 연결됨을 알 수 있다. 높이를 달리하거나 위 아래 밑면을 달리해 보는 실험과 그 결과 연구가 필요하다. 아. 정십이면체 틀(아래 왼쪽 그림 5개)
평면에서의 정오각형 비누막 실험에서 생기는 정오각형이 그대로 정십이 면체의 무게중심 쪽으로 이동하여 생기는 정오각형을 연결하여 크기가 축소된 정십이면체가 생김을 알 수 있다.
자. 정이십면체 틀(위 오른쪽 그림 2개)
정이십면체 역시 평면에서의 정삼각형 비누막 실험에서 생기는 점 20개가 연결되어 새로운 작은 정이십면체가 생길거라 예상하고 실험하였으나 계 속적으로 마지막에 무너져 버렸다. 처음에는 빨대가 너무 굵고 크기가 작아서 실패했으나 이를 보완해도 여전히 실패하고 터져서 20개의 각 면에
막을 형성할 뿐이었다. 어쩌면 면을 따라서 생기는 비누막이 최소일 수도 있다. 좀 더 섬세한 실험을 해봐야겠다.
차. 정육면체에 정사각뿔 연결(아래 왼쪽 그림 7개)
오각형 모양의 옆면에서 서로 마주보는 두 개의 옆면을 관찰 시 오각형 모양의 비누막이 관찰되었고, 다른 두 개의 평면에서는 4개의 페르마 포인 트가 형성되었다. 위에서 관찰시 정사각뿔의 네 옆 모서리를 따라 비누막이 형성되었고, 마지막 사진은 형성된 상태에서 비눗물에 도형을 한번 더 담군 뒤 형성된 모양이다.
카. 십사면체 틀(위 오른쪽 그림 6개)
꺼내는 방향에 따라 생기는 모양이 달라져 연구가 어려웠다. 삼각형 모양 으로 꺼내기 시작하여 약간 옆으로 돌려서 꺼내면 비누막이 더 잘 완성되었 다. 생긴 비누막을 설명하자면, 맨 처음에 점으로 꺼냈을 때는 아무 모양도 없이 면을 따라서 비누막이 생겼다. 그래서 사각형으로 꺼냈더니 마찬가지 로 면을 따라서 생겼다. 하지만 삼각형으로 꺼냈을 때는 반대편 삼각형과 함께, 삼각기둥을 넣었을 때와 비슷한 모양으로 나왔다.
타. 모서리가 잘린 십사면체 틀(아래 왼쪽 그림 6개)
삼각형 모양으로 꺼내기 시작하여 약간 옆으로 돌려서 꺼내면 비누막이 더 잘 완성되었다. 처음에 점 또는 사각형 쪽으로 꺼냈을 때는 위와 마찬가
지로 면을 따라서 생겼지만, 삼각형 쪽으로 꺼냈을 때는 4개의 삼각형에서 점이 와서 가운데에 정사각형 모양의 비누막이 형성되었다.
파. 준정다면체 틀(위 오른쪽 그림 6개)
보기에는 매우 부족해 보이나 모양은 확실히 구현되었다. 두께는 20면체 와 비슷하나 크기가 크고 모양이 간단해서 성공 가능성이 높아졌다. 삼각형 모양으로 꺼내기 시작하여 약간 옆으로 돌려서 꺼내면 비누막이 더 잘 완성되었다. 점 또는 육각형 쪽으로 꺼냈을 때는 위와 마찬가지로 면을 따라서 비누막이 생겼지만, 삼각형 쪽으로 꺼냈을 때는 삼각형에서 각각 네 점이 와서 정사면체를 이루고, 그 정사면체의 페르마 포인트가 생겨 각각 연결되었다.
하. 정육면체의 각 면에 대각선 연결한 틀(아래 1번 그림)
처음 실험을 할 때는 안쪽에 생기는 커다란 정사면체 안으로 막이 생길 것이라 예상하고 시작했지만 바깥쪽에 생기는 네 개의 사면체에 각각 한 개씩의 점을 포함하는 막이 생성되었다.
하. 삼각형 3개, 사각형 2개, 오각형 1개인 입체도형(위 2,3,4번 그림) 비누막이 성공적으로 생성되었다. 오각형의 반대쪽에 있는 삼각형에서는 마치 그 삼각형을 밑면으로 하는 사면체에서의 페르마 포인트와 유사하게 점이 생기고, 나머지 면에서도 비슷하게 점이 생겨 연결되었다.
거. 밑면이 삼각형, 다른 밑면이 사각형인 틀(아래 1,2번 그림)
각각 밑면의 삼각형과 사각형을 정사영 시키면 평면의 경우와 비슷하게 형성됨을 알 수 있다.
너. 삼각기둥 두 옆면에 대각선을 낸 경우(위 3,4번 그림) 두 면이 직각인 정삼각뿔과 정사각뿔이 형성되었다.
- 입체비누막 : 직육면체 벽돌을 상하 좌우 앞뒤 각각의 방향으로 하나씩 건너뛴 채 배열해 거품 막을 연결하면 어떻게 될까?
실제로 해보니 이렇게 만드는 것에 실패하였다. 모든 면에 비누막이 다 생성이 돼서 만들어야하는데 그것이 잘 안되었다. 추후 좀 더 섬세하게 만들어 다시 시도해야 할 것 같다.
Ⅳ. 위상적 변형틀 비누막
자문을 통해 극소곡면에 대한 이해를 넓히고 위상적틀 실험을 계속하였다. 가. 나선형 곡선(Helicoid) (아래 1,2번 그림)
나선형 곡선에는 같은 높이의 중심축과 나선 위의 점을 연결한 선분을 연속적으로 이어놓은 것처럼 비누막이 생긴다.(이를 이용하여 Ⅴ. 시제품 제작함) 만일 곡선이 원이면 평면 원판을 얻는다.
나선형 틀에서 경계선을 연속적으로 변화해가면서 실험 반복, 극소곡면 은 원판과 같은 위상적 특성을 항상 유지할까? 관찰, 사진 촬영
나. Catenoid(위3번 그림)
만일 합동인 원형 철사 두 개를 나란히 배열하면 비누용액 속에 넣었다 꺼내면 어떻게 될까? 또 용액에서 꺼내기 전후 이 원형 철사 두 개의 거리를 조절하면 어떻게 될까? 실험 결과 원형 철사 두 개 사이에 막이 그림과 같이 나왔다. 이 옆면이 Catenoid이다. 이 두 원 사이의 거리를 가깝게 하면 약간 다른 모습(급격한 곡선)이 나온다. Helicoid와 Catenoid는 후에
수학자들에 의해 isomorphism이 있다는 것이 증명되었다.(즉, Helicoid를 찢지 않고 잘만 반죽하면 Catenoid를 만들 수 있다.)
위 실험에서 한 원형 철사 쌍 몇 개를 서로 교차하거나 다양하게 배열하면 어떻게 될까? 경계선인 원을 연속적으로 변형하면 어떻게 될까? 그 극소곡 면은 원판과 같은 위상적 특성을 항상 유지할까? 실험 결과 그렇지 않다.
원판처럼 더 이상 단연결인 곡면이 되지 않고 한쪽 면만을 갖는 뫼비우스의 띠가 되기도 한다. 변형 정도에 따라 원판이 되기도 하고, 뫼비우스의 띠가 되기도 하는 특징을 조사해 보았다.
다. 철사로 만든, 일정한 형태를 가지지 않는 입체 비누막
철사를 이용해 여러 형태를 만드는데, 어떤 형태로 철사를 구부려야 할까, 또 어떤 모양의 비누막이 나올 것인지 예측하는 것이 재미있었다.
라. 뫼비우스의 띠 (아래 왼쪽 그림들)
철사를 이용해 면이 없는 뫼비우스의 띠 모양을 만들어 보았다.
마. 두 점 사이를 선분 1개, 합동인 반원 2개로 연결한 경우(위 오른쪽 그림 2개)
오른쪽 그림과 동일하게. 중앙의 지지대를 중심으로 두 개의 철사 사이에 하나의 공통된 막이 생기며, 그 막이 끝나는 지점에서 두 개로 갈라져
각 철사로 이어진다. 두 반원 사이의 각이 에서 까지 연속적으로 변화하면서 관찰해보는 것도 의미가 있다. 어느 각 이상으로 증가하면 두 개의 원판을 자른 모양으로 연속적으로 변화한다.
바. 정육면체에서 두 변(다른 평면의 두 변)을 제거한 경우
대각선을 따라 하나의 선이 생기며, 그 선을 중심으로 세 개의 서로 다른 곡면이 생긴다.(아래왼쪽 그림 1,2,3,4,5)
사. 정육면체에서 네 변(한 평면에서 2개, 반대쪽 2개)을 제거한 경우 위 오른쪽 그림과 같이 완만한 곡면을 이룬다.(enneper surface와 유사)
Ⅴ. 시제품 만들기 11월
<새로운 헬리코이드 제작>
제작과정
큰 기둥에 구멍을 뚫은 후, 일정한 크기로 자른 철사를 꽃아 글루건을 이용해 고정. 그 후 철사의 끝부분을 따라 새로운 철사를 두른 후 다시 글루건을 이용해 고정, 철사를 고정하는 과정에서 철사가 기둥에 수직으로 꽂히지 않아, 새로운 철사를 두를 때 많은 어려움
<비누막 모형 전시물 제작>
6개의 큰 기둥을 고정하는 과정에서 아크릴 판과 기둥이 잘 붙지 않아 어려움을 겪음. 또한 비누막을 표현하기 위해 굵은 철사로 기둥을 세웠는 데, 이 과정에서도 아크릴 판과 철사를 고정하기 위해 많은 시간을 들였다, 결국 스티로폼 공을 반절로 잘라 이 문제를 해결할 수 있었다.
Ⅴ. 연구비 사용 내역
세 목 항 목 산 출 내 역 금 액
연 구 장 비 재 료 비
재 료 비 및 전 산 처리·관 리비
․연구 관련 교구(프로그램) 구입
비누막 탐구활동 기구,지오픽스 - 정다면체 세트,입체 비누막 관찰 기구,포디 프레임,대형 다면체 주사위,대형 다면체 주사위 세트 (5개, LR 7694) 대형 투명다면체세트/러닝리소스,플레이 매쓰 - 정다면체 순환(기본형)
․연구 관련 실험재료 구입
1차: 미니수조,비누방울액,철사( 꽃철사0.5,,0.7,1.2,2.0 각 2개),빨대 - 일자빨 대 5mm, 6mm,철사(A,B,C,D,E 각 10개),물감,삼푸,소포제,글리세린,햇님 문구글구건,스틱,짐보리 비눗방울 자동버블팬 (비누방울 분사기),푸스테 픽스 비누방울 5 ㅣ,비누방울만들기(초대형)/9822,비누방울발생기 키 트,3학년-과학교과서 실험(저절로 비눗방울)/9823,
2차 : 주방세제 2.5kg, 철사 2mm 두께, 50m, 아크릴판 2mm, 3mm, 글리세린 3차 : 비누방울액(크게만들기) 5ㅣ,비누방울액(일반놀이) 5ㅣ,비누방울액
(노래방) 5ㅣ,아크릴판 3mm, 120*120 4차 :아크릴판 3mm, 120*120
3,019,440
시 작 품 제작비
․연구 관련 시제품 제작 : 아크릴판 3mm, 120*120, 철사 1mm두께 ,2mm두께,한지
종이 60*90, 한지종이 60*90,지관통(10개들이) 두께 7.25 길이 55cm 431,000
연 구 활 동 비
여비 ․국내여비 352,440 352,440
인쇄·복 사·사무 용품 등
․보고서(부록) 인쇄, 제본 500,000원
비누막이 제시하는 최적화 해법 탐구(부록)
․연구관련 참고자료 복사 비누막이 제시하는 최적화 해법 탐구(1)(2)(3)
․연구자료 보관용 면장철 연구자료 보관용 면장철 80P, 내지 A4 20매
1,100,000
기 술 정 보 활 동
․전문가 자문수당 200,000원×4회=800,000원
․참고도서 50,000원×20권=1,000,000원
STEAM 교육론 : 융합인재교육,STEAM PUZZLE 덧셈스도쿠 2,497,120
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3. 연구 결과 및 시사점
□ 연구 결과
○ 문제 해결을 위한 실험 내용이나 방법을 다양하고 창의적으로 하려고 지속적인 고민을 하였고, 아울러 전문가 자문 등에 위상적 틀 실험까지 확대하였고, 다양한 실험을 통해 의미 있는 결과를 도출할 수 있었다. 대부 분의 경우 의미 있는 결과를 얻을 수 있었다. 우리가 실험한 것 중 본문에 수록한 실험은 다음과 같다. 각 경우 추후 연구해야 할 연구 소재들이 많이 제공되었다.
- 다양한 방법으로 비눗물 만들기, 다양한 도구로 판 만들기
- 평면비누막 관찰 : (정)삼각형 틀, 이등변삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각 형, 일반삼각형, 사각형, 오각형, 육각형, 일반적인 다각형, 삼각형의 세 기둥의 높이를 달리 한 경우, 삼각형 판의 밑면을 곡면으로 한 경우, 정사각 형 2개를 연결한 경우, 평면좌표와 연결
- 입체비누막 관찰 : 조노돔 셋트 등을 활용하여 입체도형 만들기, 삼각기 둥 틀, 삼각기둥 변형 틀, 사면체 틀, 사면체 틀에서 제4의 꼭짓점의 위치를 이동하면서 실험, 사면체 틀 변형, 정육면체(사각기둥 틀), 사각기둥 틀, 정육면체 틀의 변형, 정육면체를 틀어서 실험, 정팔면체 틀, 정팔면체 안에 정팔면체 틀, 오각기둥 틀 또는 오각기둥의 변형(뿔대), 육각기둥 틀, 정십 이면체 틀, 정이십면체 틀, 정육면체에 정사각뿔 연결, 십사면체 틀, 모서리
비
Successful STEM Education,Successful K-12 Stem education,최적화 이 론 1(선형계획),도시교통 (알기쉬운),도시교통 프로젝트의 평가,도시교 통 운영론,거품의 과학,자연 예술 과학의 수학적 원형,뫼비우스의 띠, 예술과 과학,예술 속의 과학,예술을 꿀꺽 삼킨 과학,레오나르도 다빈치 위대한 예술과 과학,뇌과학 여행자,예술의 도시에서 뇌를 보다,융합이 란 무엇인가,과학기술과 공간의 융합,제로에서 시작하는 공학을 위한 수학 물리 교실,미술 과학을 탐하다 : 우리가 궁금해 하는 그림 속 놀 라운 과학 이야기,미술관에 간 화학자,우주 진화하는 미술관,미분 가능 하지 않은 함수의 최적화,꿀벌의 민주주의,꿀벌이 사라지고 있다,경이 로운 꿀벌의 세계,수학자 위의 축구공,우리가 찾아 낸 축구공 속의 과 학,차돌이와 10명의 외계인 친구들,플로렌 축구공 만들기,종이접기건축 3D 입체조형 30,조합적 곡면위상론(제4판),스페인 건축 DNA: 가우디부 터 칼라트라바 까지 : 곡면의 건축 두 번째 이야기,네트워크 개론 : 쉽 게 배우는 네트워크 기본 원리,네트워크 이론과 응용(개정판),융합인재 우리는 함께 간다,미래기업의 성장엔진 융합인재의 조건,융합형 인재에 주목하라 10선 시리즈,융합인재교육을 위한 SCIENCE(사이언스)
2차 : 자연의 기하학,생활 주변의 과학,수학퍼즐과 논리 패러독스,말이 필요없는 증명,신성 기하학,수학캠프,수학으로 이루어진 세상,수학 시 트콤,문명과 수학,수학비타민 플러스
․회의비(간식비 포함) 6회 630,000 연 구
수당
교 사 지 도 수당
․책임지도교사 수당 200,000원×7개월=1,400,000원
․공동지도교사 수당 100,000원×7개월=700,000원 2,100,000
간접비 전시 자료용 물품 구입 500,000
합 계 10,000,000
가 잘린 십사면체 틀, 준정다면체 틀, 정육면체의 각 면에 대각선 연결한 틀, 삼각형이 3개, 사각형이 2개, 오각형이 하나인 입체도형, 밑면이 삼각형, 다른 밑면이 사각형인 틀, 삼각기둥 두 옆면에 대각선을 낸 경우, 직육면체 벽돌을 상하 좌우 앞뒤 각각의 방향으로 하나씩 건너뛴 채 배열해 거품 막을 연결
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위상적 변형틀 비누막 : 나선형 곡선(Helicoid), Catenoid, 철사로 만든, 일정한 형태를 가지지 않는 다양한 입체 비누막, 뫼비우스의 띠, 두 점 사이를 선분 1개, 합동인 반원 2개로 연결한 경우, 정육면체에서 두 변(다른 평면의 두 변)을 제거한 경우, 정육면체에서 네 변(한 평면에서 2개, 반대쪽 2개)을 제거한 경우□ 시사점
○ 고민한 만큼 다양한 실험 소재를 찾을 수 있었고, 각 실험마다 의미 있는 결과를 찾을 때마다 올리는 환호성이 이 학생들이 다시 비누막을 찾게 하는 결과를 낳았다.
○ 각 실험마다 의미있는 관찰 결과를 찾았고, 이에 대한 추후 체계적인 연구가 필요함을 실험에 참가한 학생들이 느꼈다. 아마도 이 학생들 중 추후 비누막 연구를 연구하는 학생도 나올 것 같다.
○ 차후 유사한 연구를 한다면 무조건 입체도구를 사려고 하지 말고 가능하면 학교에 있는 각종 물건을 넣어보는 것도 안목을 키우는 데 도움이 될 것이다. 즉 비눗방울만 만들면 별도의 예산 없이도 쉽게 실험을 할 수 있을 것이다.
4. 홍보 및 사후 활용
○ 실험에 참가하지 않은 학생들도 언제나 실험결과를 볼 수 있도록 학교에 전시공간을 만들어 헬리코이드 등 우리가 실험한 것 중 의미 있다고 생각하는 것 중심으로 다양하게 비누막 모형 전시물을 제작하였다.
○ 각 실험마다 충분히 의미 있는 연구 소재를 찾았다고 생각한다. 후속 연구가 필요하다.
○ 이러한 연구 결과에 대한 이해도를 높이는 전략이나 방법, 내용 등을 연구 발표함으로써 다른 학교나 교육 기관의 수업 개선에도 도움이 될 수 있을 것이다.
5. 참고문헌
○ 시드니 퍼코위츠, 거품의 과학, (주)사이언스북스, 2008
