행렬의 고유값 문제

(1)

Ch. 8 선형대수학: 행렬의 고유값 문제

Ch. 8 선형대수학 (Linear Algebra):

행렬의 고유값 문제

(Matrix Eigenvalue Problems)

z

내용 : 고유값 문제, 여러 가지 행렬, 대각화를 통한 문제 해결법

(2)

Ch. 8 선형대수학: 행렬의 고유값 문제 8.1 고유값, 고유벡터

8.1 고유값, 고유벡터(Eigenvalues, Eigenvectors)

z

고유값, 고유벡터(Eigenvalues, Eigenvector)

z

고유값과 고유벡터를 구하는 방법

( ) λ

:^{특성행렬식} D

( )

( ) ( ) (

^{특성방정식}

)

^의^해인 ^가 ^의^고유값

계수행렬식 필요충분조건

가질 해를 않는 자명하지 인

제차선형연립방정식

A I

A 0

x

0 x I - A x

Ax

λ λ

0 det

0

:

=

−

=

⇒

=

⇒

≠

⇒

=

⇒

=

λ D

( )

(

Eigenvector

)

. Eigenvalue

한다 라 의

대응하는 에

벡터는 모든

아닌 이 인 고유값이면,

의 가 한다.

이라 의

를 스칼라 존재하면

가 벡터 이닌 이 인 만약

때, 행렬일 가

고유벡터 고유값

A

0 x Ax A

A

x 0

x Ax A

λ

λ λ

=

× n

n

(3)

Ex.1 행렬

에 대하여 고유값과 고유벡터를 구하는 모든 과정을 설명하라.

Step 1 고유값

Step 2 고유벡터

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

2 2

2 A 5

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

6 1

0 6 7 4

2 2 5

2

2 det 5

0 2

2

0 2 5

2

2 2 5

2 2

2 5

2 2 1

2 1 2

2 1

1 2 1

2 1 2

1

고유값 A의

I A

Ax x

Ax

- , λ λ

D

x x

x x -λ - x

x x

x x x -

x x x

x

=

−

=

⇒

= + +

=

−

− =

−

= −

−

=

−

− +

=

⇒ +

=

−

=

⇒ +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

⇒

=

λ λ λ

λ λ λ λ

λ

λ λ

λ

λ λ

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 2 x 1 고유벡터는

−1

λ = x₁=1

( ) (

²

)

⁰

2

0 2 5

2 1

=

−

− +

= +

x x

x x -λ -

λ

2 0

0 2 4

2 1

=

−

= +

−

x x

x

x x2 =2x1

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= − 1 x 2 고유벡터는

−6

λ= ^x¹⁼²

( ) (

²

)

⁰

2

0 2 5

2 1

=

−

− +

= +

x x

x x -λ -

λ 2 4 0

0 2

2 1

= +

x x

12

2

x =−x

8.1 고유값, 고유벡터

(4)

z

^고유값

z

고유벡터, 고유공간

z

전치의 고유값

8.1 고유값, 고유벡터

가진다.

고유값을 다른

서로 개의 많아야

이상, 하나

적어도 행렬은

따라서

근이다.

특성방정식의 의

고유값들은 의

정방행렬

n n

n

×

A A

( )

^{이라한다.}

해당되는 에

고유값 이것을

이루며, 벡터공간을

하나의 함께

벡터와 들은

벡터 해당되는 고유값에

같은 된다.따라서 고유벡터가

도 대하여 에

임의의 와

단 경우,

고유벡터인 대응하는

에 고유값 같은

의 행렬 가 와 만일

Eigenspace 0

λ

고유공간

λ

0 x

w x x w A

x w

k k

≠

≠ +

갖는다.

고유값을 같은

와 행렬 는 전치 의

정방행렬 A A^T A

(5)

Ex. 2 행렬

의 고유값과 고유벡터를 구하라.

특성방정식 : 고유값 :

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

0 2 1

6 1 2

3 2 2 A

0 45

2 21

3− + + =

−λ λ λ

(

^이중근

)

3 , 5 =−

= λ λ

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

−

=

5 2 1

6 4 2

3 2 7 5

5

I A

특성행렬 대한

λ 에

행을 간략화

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

0 0

0

7 48 7

0 24

3 2

7 x₃=−1

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

1 2 1

- 고유벡터는

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

= +

−

=

3 2 1

6 4 2

3 2 1 3

3

I A

특성행렬 대한

λ 에

행을 간략화

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ −

0 0 0

3 2 1

0 , 1 ₃

2 = x =

x

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡−

0 1 2 고유벡터는

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

1 0 3 고유벡터는 1

, 0 ₃

2 = x =

x

(6)

z

^{대수적 다중도(}

Algebraic Multiplicity

) : 특성다항식의 근으로서 고유값의 차수

z

기하적 다중도(

Geometric Multiplicity

)

: 고유값에 대응하는 일차독립인 고유벡터의 수

z

부족지수(

_Defect

)

: 대수적 다중도와 기하적 다중도의 차

Ex. 3 행렬

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 0 0

1 A 0

( )

1 : 부족지수

1 : 다중도 기하적

2 : 다중도 대수적

: 고유벡터 이중근

: 고유값 :

특성방정식 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⇒ ⎡

=

⇒

= 0

1 0

2 0 λ

λ

(7)

Ch. 8 선형대수학: 행렬의 고유값 문제 8.2 고유값 문제의 몇 가지 응용

8.2 고유값 문제의 몇 가지 응용

(Some Applications of Eigenvalue Problems)

Ex. 1 탄성막의 팽창

( )

( ) ( )

.

, Directions Princilpe

.

,

5 3

3 5

5 3

3 5

,

1

2 1

2 1 2

2 1 1 2

1 2

1

2 1 2

1 2

2 2 1

살펴보라 취하는지

꼴을 어떤 경계원은 변형하에서

이런 구하라

방향을 의

위치벡터 되는

방향이 정반대

또는 방향 같은 방향과 의

위치벡터 의

방향이

의 위치벡터 의

즉 경우

이 한다 가도록 로

점 표현된 로

성분식으로 또는

가 점

당겨 잡아 탄성막을 있는

평면상에 갖는

을 원

경계로서

x x

y Ax

y

P

Q x

x Q

x x y

x x y x

x y

y

x x P x

x x

x

주방향 +

= +

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

= +

( )

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

=

⇒

=

−

− =

−

1 , 1

2 1 , , 1

8

2 8, :

0 9 5 5

3

3 :5

²

x

x 일때고유벡터는

고유벡터는 때

일

고유값 특성방정식

λ λ

λ λ λ λ

λ

(8)

) ( 2 1 8

sin 2 , cos 8 :

2 8

) (

135 45

:

2 2 2 2

2 1

1

타원 좌표계 새로운

팽창 만큼 과 각각 주방향으로

방향 고유벡터의 방향

이루는 각을

의 와

방향과 축

양의 주방향

= +

∴

=

⇒

∗

z z

x

φ φ

o o

(9)

Ex. 2 Markov 과정에서 일어나는 고유값 문제

.

Markov

.

, 1

.

,

, Markov

때문이다 주기

설명해 모델을

장기 과정이 이런

이유는

되는 갖게 관심을 문제의

이러한 된다

고유벡터가 해당되는

이에 는 되며 갖게 을 고유값

는 행렬 확률 따라서 된다

문제가 고유값

경우의 다룰

문제를 극한상태

같은 와 즉

되는 값이 자신의 때

곱해질 와

확률행렬 결정짓는

공정을 가

상태벡터 과정에서

x

A x

Ax

A x

=

1 :

1 1 1

8 . 0 2 . 0 0

0 9 . 0 1 . 0

1 . 0 2 . 0 7 . 0

1 1 1 8 . 0 0 1 . 0

2 . 0 9 . 0 2 . 0

0 1 . 0 7 . 0

고유값 의

고유값

의 A

A A

A ⇒ ⇒

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⇒

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= ^T ^T

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 6 2

,

1일때 고유벡터는x λ

의미 접근됨을 로

비율이 거주지역의

공업 상업 가정하에 않는다는

변하지 가

확률행렬 A : : 2:6:1

(10)

z

정방행렬 에 대하여

•

대칭

(Symmetric)

:

•

반대칭

(Skew-Symmetric)

:

•

직교

(Orthogonal)

:

실수 정방행렬 는 대칭행렬 과 반대칭행렬 의 조합으로 표현할 수 있다.

8.3 대칭, 반대칭, 직교행렬

[ ]

ajk

= A

A A

^T =

A A

^T =−

−1

= A

A

^T

A R S

( ^A ^A

^T

) ^S ( ^A ^A

^T

)

R

= + = −

2 1 2 ,

1

Ex. 2

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

− +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

= +

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

0 0 . 6 5 . 1

0 . 6 0 5 . 1

5 . 1 5 . 1 0

0 . 3 0 . 2 5 . 3

0 . 2 0 . 3 5 . 3

5 . 3 5 . 3 0 . 9

3 4 5

8 3 2

2 5 9

S R A

8.3 대칭, 반대칭, 직교행렬

(Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices)

(11)

z

대칭행렬과 반대칭행렬의 고유값

•

대칭행렬의 고유값은 실수이다.

•

반대칭행렬의 고유값은 순 허수이거나 영이다.

z

직교변환(

Orthogonal Transformation

)

z

내적값

z

길이 또는 노름(Norm) :

( A

^는 ^직교행렬

)

Ax y

=

Ex. 각도 만큼 평면회전

은 직교변환이다.

θ

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

2 1 2

1

cos sin

sin cos

x x y

y

θ θ

θ y θ

[ ] ( ^a, ^b )

b a b

a

²

1

2

1 ⁿ의임의의벡터

n n

T

R

b b b a a a

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

• L M

a a a a

a

= • = ^T

(12)

z

내적의 불변

직교변환은 벡터의 내적값을 보존한다.

또한 벡터의 길이 또는 노름(norm)도 보존한다.

z

열과 행벡터의 직교성

실수 정방행렬이 직교일 필요충분조건은 열벡터 (또한 행벡터들)이 정규

직교계(Orthonormal System)를 형성하는 것이다.

z

직교행렬의 행렬식

직교행렬의 행렬식의 값은 또는 이다.

z

직교행렬의 고유값

직교행렬의 고유값은 실수 또는 공액복소수이고 절대값은 1이다.

a

n

a

₁, L,

( )

⎩⎨

⎧

=

= ≠

=

•

j k

k j

k T j k

j 1

a

0

a a a

+1 -1

(13)

Ch. 8 선형대수학: 행렬의 고유값 문제 8.4 고유벡터의 기저. 대각화. 2차형식

8.4 고유벡터의 기저. 대각화. 2차형식

(Eigenbases. Diagonalization. Quadratic Forms)

z

고유벡터의 기저

z

대칭행렬

대칭행렬은 고유벡터로 구성된 정규직교 기저를 갖는다.

된다.

기저가 의

은 , , 고유벡터 는

행렬 이

, 가지면 고유값을

다른 서로 개의 가

행렬 만일

n

R

n n

n

x x

A

L

1

×

(14)

z

상사변환(Similarity Transformation)

z

상사행렬의 고유값과 고유벡터

z

행렬의 대각화

8.4 고유벡터의 기저. 대각화. 2차형식

( P )

AP P

A

ˆ = ⁻¹

n

×

n

정칙행렬

된다.

고유벡터가 의

대응되는 고유값에

같은 는 고유벡터이면

의 가

갖는다.

고유값을 같은

와 는 상사이면 에

가

A x

P y A

x

A A A

A

ˆ ˆ

ˆ

−1

=

X A X D X

A AX X D

A

m m

n n

1

−

=

×

또한

행렬이다.

하는 열벡터로 고유벡터들을

이들 는 여기서

된다.

원소가 주대각선의

고유값들이 의

되고, 대각행렬이

는

가지면 기저를

고유벡터의 가

행렬 만일

(15)

Ex. 4

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

3 . 9 8 . 1 7 . 17

5 . 5 0 . 1 5 . 11

7 . 3 2 . 0 3 . 7

.

A

A를대각화하라 행렬

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⇒

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⇒

=

⇒

= +

−

2 . 0 2 . 0 8 . 0

7 . 0 2 . 0 3 . 1

3 . 0 2 . 0 7 . 0

, 4 3 1

1 1 3

2 1 1

4

1 2 3

1 1 1 3

1

0 4 3

0 12

1 2

3

X , X

- , - -

, λ - , λ λ

: 고유벡터

: 고유값 -

:

특성방정식 λ λ λ

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

= ⁻

0 0 0

0 4 0

0 0 3

0 12 3

0 4 9

0 4 3

2 . 0 2 . 0 8 . 0

7 . 0 2 . 0 3 . 1

3 . 0 2 . 0 7 . 0

1AX X D

(16)

z 2차 형식. 주축으로의 변환

z

주축정리

치환 에 의하여 2차 형식은 주축형식 또는 표준형으로 변환될 수 있다.

2 2

2 1 1

2 2 2

2 22 1 2 21

1 1 2

1 12 2 1 11

1 1 1

: 2

n nn n

n n

n

n n

n n n

j n

k jk j k

T n

x a x

x a x x a

x x a x

a x x a

x x a x

x a x a

x x a Q

, x , x

+ + +

+ +

+ + +

+

+ + +

=

∑∑

= =

L

L L L L L L L L L L L L

L L

L

x Ax

x

의성분 으로구성된 차형식

벡터

직교행렬 하는

열벡터로 을

고유벡터 대응하는

고유값에

고유값 의

대칭행렬 행렬

표준형

, , ,

:

) (

: , , ,

:

2 1 2

1

2 2

2 2 2 1 1

n n

n n T

x x

x y y

y Q

L L

L

X

A Dy

y λ λ

λ

λ λ

λ

+ + +

=

Xy

x

=

(17)

Ex. 5 2차 형식. 대칭계수행렬

Ex. 6 주축으로의 변환. 원뿔곡선

다음 2차형식이 나타내는 원뿔곡선의 유형을 찾아내고, 그것을 주축으로 변환하라.

[ ]

₁² ₁ ₂ ₂²

2 1 2

1 3 10 2

2 6

4

3 x x x x

x x x

T x ⎥= + +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ Ax x

( )

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ +

= +

=

+ 5 2

5 3

2

1 5

5 10 6

4 이므로 c_jk a_jk a_kj 로하는행렬A에대응하는대칭행렬C

[ ]

₁² ₁ ₂ ₂²

2 1 2

1 3 10 2

2 5

5

3 x xx x

x x x

T x ⎥= + +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ Cx x

128 17

30

17 ₁²− ₁ ₂+ ₂² =

= x xx x

Q

( )

2 1 8

32 2

32 2, :

0 15 17

:

17 , 15

15 17

2 2 2 2

2 1

2 2 2

1 2 2

2 1

= +

∴

+

=

⇒

=

⇒

=

−

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

y y

Q -

x x

λ

λ 고유값

특성방정식

x A

(18)

Ch. 8 선형대수학: 행렬의 고유값 문제 8.5 복소행렬과 그 형태

8.5 복소행렬과 그 형태(Complex Matrices and Forms)

z

표기법

Ex.

z

정방행렬 에 대하여

•

에르미트 행렬(Hermitian Matrix) :

•

반에르미트 행렬(Skew-Hermitian Matrix) :

•

유니타리 행렬(Unitary Matrix) :

[ ] a

jk

=

A

A A

^T =

A A

^T =−

−1

= A

A

^T

[ ] [ ] ( )

[ ]

^에^대한 ^{전치행렬이며,} ^에^대한 ^{공액전치행렬}

행렬 엳는 대치하여 로

공액복소수 대응되는

에 실수 는 , 여기서 원소

각 의

A A

A

A A

:

kj T

jk

jk jk

jk

a

iβ α a

iβ α a a

a

=

−

=

+

=

α β

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ +

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ +

= −

⎥ ⇒

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= +

i i

i _T

5 2 1

6 4 3

5 , 2 6

1 4 3

5 2 6

1 4

3 A A

A

(19)

z

^고유값

•

에르미트 행렬(대칭행렬)의 고유값은 실수이다.

•

반에르미트 행렬(반대칭행렬)의 고유값은 순허수이거나 0이다.

•

유니타리 행렬(직교행렬)의 고유값은 절대값 1을 가진다.

z

내적 :

z

내적의 불변성

z

유니타리 계() : 다음을 만족하는 복소벡터들의 집합

8.5 복소행렬과 그 형태

b a b a

• = ^T

않는다.

변하지 노름이

및 내적

후의 변환 전과 변환 대하여는 에

갖는 를 행렬 유니타리

즉,

A y

=

Ax

변환 유니타리

( )

⎩⎨

⎧

=

= ≠

=

•

j k

k j

k T j k

j 1

a

0

a

(20)

z

열과 행벡터의 유니타리계

복소 정방행렬이 유리타리 행렬일 필요충분조건은 열벡터(또는 행벡터)가 유니타리 계를 형성하는 것이다.

z

유니타리 행렬의 행렬식

유니타리 행렬의 행렬식은 절대값 1을 가진다. 즉,

z

고유벡터의 기저

에르미트, 반에르미트 또는 유니타리 행렬의 고유벡터들은 상에서 유니타리 계 의 기저가 된다.

1 det

A

=

C

n

(21)

z

에르미트와 반에르미트 형식

n n nn n

n n

j n

k jk j k

T

n

x x a x

x a x

x a x x a x

x a

x x a

, x , x

+ + +

+ +

=

∑∑

= =

L L

L

1 1 2

2 1

2 21 1

1 1

1 11 1 1

1

ˆ

:

Ax x

x

의성분 에대한형식

벡터

행렬의 고유값 문제

Ch. 8 선형대수학 (Linear Algebra):