           ××         A B det det               AX BX          v v 

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(1)

장 연습문제

예제 의 연습 A

 



 

   일 때 A X  X를 만족하는 고유치와 고유벡터 를 구하라

풀이

 



    

    



detAI    에서    

 

 

x

   

  



 

즉      따라서 v



 

 

x

   

  



 

즉     따라서 v

 일 때 v



 일 때 v

예제 의 연습



  

 





  

 

일 때 A X  B X을 만족하는 고유 치와 고유벡터를 구하라

풀이

특성방정식 detA B   det

 



 

   

 



 

 

     

  따라서         즉     

   

첫 번째 고유치  을 방정식 에 대입하면

 



   ×  

    × 

즉 

 

 이 되어

 일 때

 가 된다 따라서 첫 번째 고유벡터는   이다

두 번째 고유치  을 방정식 에 대입하면

(2)

 



   × 

    ×

즉  

 

 이 되어

 일 때

 가 된다 따라서 두 번째 고유벡터는   이다

 일 때    일 때   

예제 의 연습 방정식 MxK x O에서 강성행렬



   

  

 질량행렬



  

 

인 이자유도 스프링 질량 계에 대하여 고유진동수와 고유모 드를 구하라

풀이

K M 

 



  

    

 



 

  

    

    따라서 특성방정식은        특성방정식의 해를 구하면 고유치   를 얻는다

  즉  rads을 식 KMX O에 대입하면

 

   ×   

     ×

따라서 첫 번째 고유모드 x  이다 이 고유모드는

이 만큼 이동 할 때

이 같은 방향으로 동위상 만큼 이동한다는 의미이다

  즉  rads을 식 KMX O에 대입하면

 



   ×  

     ×

따라서 두 번째 고유모드 x   T이다 이 고유모드는

이 만큼

이동할 때

이 반대방향으로 반대위상 만큼 이동한다는 의미이다

 rads일 때 x  T rads일 때 x   T

예제 의 연습 질량과 스프링을 그림과 같이 연결하여 비감쇠 자유진동

이자유도계를 구성하였다 두 질량은 로 동일하며 세 개의 스프링 상수 또한 로 동일하다

이에 대한 운동방정식을 유도하라

(3)

이에 대한 고유진동수와 고유벡터를 구하라

풀이

 



 

 

    

    

     

 로부터

행렬식 det

    

      

     즉    

 일 때  rads

 



     

     

 

즉    이다 따라서  일 때  이 된다 따라서 첫 번째 고유벡터 v

 일 때  rads

 

      

     

 

즉      이다 따라서  일 때  이 된다 따라서 두 번째 고유벡터 v

 

 rads에서 고유벡터 v

 rads에서 고유벡터 v

 

예제 의 연습 그림과 같이   kg    Nm을 가진 이자유도계가 초기조건         

    

 을 가질 때 계의 응답을 구하라

(4)

풀이 앞에서 구한 고유진동수와 고유벡터는 다음과 같다

  즉  rads 첫 번째 고유벡터는   이다

  즉 

 rads 두 번째 고유벡터는   이다

진동응답   

cos 

 

cos

   에 초기조건을 대입하면

  cos cos 

  cos cos 

  sin 

 sin 

  sin 

 sin 

이 된다 이를 연립하여 풀면        

을 얻는다 따라서 다음

과 같은 해를 얻을 수 있으며 아래 그림과 같다 같은 위치에서 출발하여 반대 속 도로 움직이기 시작하였음을 알 수 있다

x 



cos 

 

cos

    답

예제 의 연습 질량이 각각  이고 스프링 상수가 각

(5)

각  인 자유진동 이자유도계를 그림과 같이 구성하였을 때 다음을 구하라

x

 

를 상태벡터로 하는 운동방정식

sin 

sin라 할 때 특성방정식 고유진동수와 고유벡터

초기조건      cm       일 때의 계의 시간응답

풀이

운동방정식 

 

   

이므로

 



 

 

    

 

 



 

 

    

     

     

따라서 특성방정식 Δ         

     답 특성방정식의 해를 구하면    

   rads일 때  

 

  따라서

 

 

   rads일 때  

 

  따라서

 

 

(6)

 rads에서 v



 rads에서 v

 

시간응답   



sin 

 

sin에 초기조건

     cm      을 대입하면

  sin sin 

  sin sin 

   cos  cos 

   cos   cos 

이 된다 이를 연립하여 풀면         을 얻는다 따라서   



sin 

 

 

sin 



  coscos

  coscos 답

예제 의 연습 그림과 같이 질량관성모멘트

 kg m

 kg m 이고 축의 회전강성    kg m인 비틀림계의 고유진동수와 고유모 드를 구하라

풀이 자유물체도를 그린 후 운동방정식을 유도하면

    

     즉 행렬방정식 J K O

J 

 

 

   K 

 

   

    O

 

 

(7)

K J 

 



  

    

 



 

  

    

    따라서 특성방정식은       

특성방정식의 해를 구하면 고유치   를 얻게 된다

  즉  rads을 식 K JO에 대입하면

 



    

     ×

따라서 첫 번째 고유모드   이다

이 고유모드는 이 만큼 회전할 때 도 같은 방향으로 만큼 회전한다 는 의미 동위상 이다

  즉  rads을 식 K JO에 대입하면

 



    

     ×

따라서 두 번째 고유벡터    이다

이 고유벡터는 이 만큼 회전할 때 이 반대방향으로 만큼 회전한다 는 의미 반대위상 이다

 rads에서    rads에서    

예제 의 연습 그림과 같이 질량관성모멘트

 kg m

 kg m 이고 축의 회전강성   kg m인 비틀림계의 고유진동수와 고유모드를 구하라

풀이 자유물체도를 그린 후 운동방정식을 유도하면

    

(8)

    즉 행렬방정식 J K O

J 

 



 

   K 

 



  

    O

 



 K J 

 



  

    

 



 

  

    

    따라서 특성방정식은       

특성방정식의 해를 구하면 고유치   를 얻게 된다

  즉  rads을 식 K JO에 대입하면

 



    

     ×

따라서 첫 번째 고유모드   이다

이 고유모드는 이 만큼 회전할 때 도 같은 방향으로 만큼 회전한다 는 의미 동위상 이다

  즉  rads을 식 K JO에 대입하면

 



    

     ×

따라서 두 번째 고유벡터   이다

이 고유벡터는 이 만큼 회전할 때 이 반대방향으로 만큼 회전한다 는 의미 반대위상 이다

 rads에서    rads에서   

예제 의 연습 그림과 같이 길이가 인 자체질량을 무시할 수 있는

균일 강체봉에 연결되어 있는 각각 인 두 개의 진자가 강성이 인 스프

링으로 연성되어있다 이 스프링은 두 진자봉이 수직되어 있을 때는 변형되지 않으 며 봉의 중앙에 연결되어 있다

운동방정식을 유도하라 특성방정식을 구하라

이 계에 대한 고유진동수와 고유모드를 구하라

(9)

풀이

각 질량에 대한 자유물체도로부터

을 중심으로 한 모멘트 식  

⋅ 

    

을 중심으로 한 모멘트 식  

⋅ 

    

따라서 운동방정식 



 





   



 







 

이다

 ×

  ×



 ×

  × ×  

 ×

 

 ×



 ×

  × ×

 



 

 

  

  

   라 놓는다면

    

    

따라서 특성방정식        

      답 특성방정식의 해를 구하면    

(10)

   rads일 때 ×   따라서    

   rads일 때 ×   따라서    

 rads에서 v

 rads에서 v

 

예제 의 연습 그림과 같이 단순화된 이자유도계 자동차 모델에서 고

유진동수와 고유모드를 구하라 단   kg  m  m

 Nm  Nm

 kgm이다

풀이 자유물체도를 그려서 운동방정식을 구한다

        

     



즉        

      이를 행렬방정식으로 고치면

 

 



    

   

 

여기에 숫자를 대입하면

 

 





     ×   ×

  ×   ×  ×  ×

 

(11)

즉 

 

 





  

  



 

      라 가정할 때

     

    

 

행렬방정식       

      따라서   

   rads

   ×  

     ×



   

   rads

   ×  

     ×



   

 rads에서   rads에서  

참고 차 고유모드  는 아주 미소한 회전운동을 동반하는 수직방향의 병진운동을 의미한다

차 고유모드   는 아주 미소한 병진운동을 동반하는 회전운동 을 의미한다

또한 고유주파수에 대한 근사값은 아래와 같이 구할 수 있다

수직방향 등가강성질량

 



  rads

질량관성모멘트회전강성

 



  rads

예제 의 연습 그림과 같은 이자유도계에서

 

cos

   로 가진할 때 정상상태의 응답크기

을 구하라

(12)

풀이 계의 운동방정식을 구하면 다음과 같다

 



 

 

     

cos

가진력을

 



 로 표현하면 응답도  

  형태로 나타낼 수

있다 이들을 운동방정식에 대입하여 다음을 얻는다

     



 

 

 

  



여기서     이다 따라서 정상상태 응답의 크기는 다음과 같다

 

 



 



 

 



 



답 윗 식에 

 을 적용하고 무차원 진동수    에 대한 식으로 정리하 면 다음과 같은 식이 유도되며 이를 그리면 다음과 같다

(13)

주파수응답함수





    

  

 





    

윗 식에서 분모가 인 값은   이므로 이 두 값에서 그래프는 무한대로 발 산한다 따라서 이 계는 두 개의 공진주파수를 갖고 있다

예제 의 연습   kg

 kg m   m  Nm

(14)

 Nm으로 구성된 자전거 모델에 대하여 오른편 끝단에서 가진력

  cos 가 발생된다고 하자 진동변위가 최소화되는 위치를 찾아라

풀이 우선 운동방정식을 구하면 다음과 같다

        

          



          

         이 된다 이를 행렬 방정식으로 표현하면 다음과 같다

 



    

    

 

가진력  

 라 가정하면  

 와     라 놓을 수 있다 이를 대입하 여 해를 구할 수 있다

     

    

 

 

 

 

 

    

 

      

   이 된다 해 와

를 분리하여 구하면 다음과 같다

 

 



  

  

진동변위가 최소화되는 위치를 찾기 위하여  

      에 두 해를 대입하면 다음과 같은 위치를 얻게 된다 이 위치는 가진력의 가진주파수에

(15)

상관없이 진동이 이 되는 점이다

   

  

 Nm 는 상관없음   kg

 kg m   m    rads 일 때 위치 를 구하면 다음과 같다

       

     

 

따라서 질량중심에서 양의 방향으로 이동점에서는 진동이 거의 측정되지 않 으므로 기계장착 위치로 적합하며 진동측정점으로는 부적합하다

질량중심에서 양의 방향으로 이동점 답

(16)

연습문제



  

  

일 때 을 이용하여

x   x를 만족하는 고유치와 고유벡터를 구하라

풀이

결과

이를 정리하면  일 때 v



 일 때 v

이 된다

 일 때 v



 일 때 v



  

 





  

 

일 때 을 이용하여

  

를 만족하는 고유치와 고유벡터를 구하라

풀이

결과

 일 때 v



 일 때 v

 

  kg     N ms    Nm인 그림 와 같은 이자유도계에 대하여

cos N

 로 가진할 때 응답을 그려라 단

(17)

  m    ms   m   의 초기조건을 갖는다

를 이용한 그래프

를 이용한 그래프

별도의 함수 화일

(18)

다음과 같은 운동방정식으로 표현되는 이자유도계의 시간응답을 나타고 자 한다

  

 



    

    

 

cos

단 초기조건             x

   

를 상태 로 하고 x를 유도하라

의 관계식에 관한 새로운 함수 를 정의하는 을 작성하라 새

로운 함수명은 반드시 로 명명하라

에서 작성된 을 불러들여 초기조건을 포함하는 방정식의 변위 해를 구

하는 을 작성하고 초 동안의 변위를 그려라

이용 풀이

 









 





 

이므로



 









 

 









 





    cos

    cos

(19)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.5

0 0.5 1

Time (s)

Displacement (m)

x1(t) x2(t)

다음과 같은 운동방정식으로 표현되는 이자유도계의 시간응답을 나타고자 별도의 함수 화일

(20)

한다

  

 

    

    

cos

단 초기조건            

 











 





 

를 상태 로 하고 를 유도하라

의 관계식에 관한 새로운 함수 를 정의하는 을 작성하라

새로운 함수명은 반드시 을 사용하라

에서 작성된 을 불러들여 초기조건을 포함하는 방정식의 변위 해를 구

하는 을 작성하라 이용

풀이  











 





 

이므로



 









 

 









 



     cos



   

(21)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Time (s)

Displacement (cm)

x1(t) x2(t)

Figure

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References

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