장 연습문제
예제 의 연습 A
일 때 A X X를 만족하는 고유치와 고유벡터 를 구하라
풀이
detAI 에서
x
즉 따라서 v
x
즉 따라서 v
일 때 v
일 때 v
답예제 의 연습
일 때 A X B X을 만족하는 고유 치와 고유벡터를 구하라
풀이
특성방정식 detA B det
따라서 즉
첫 번째 고유치 을 방정식 에 대입하면
×
×
즉
이 되어
일 때
가 된다 따라서 첫 번째 고유벡터는 이다두 번째 고유치 을 방정식 에 대입하면
×
×
즉
이 되어
일 때
가 된다 따라서 두 번째 고유벡터는 이다 일 때 일 때 답
예제 의 연습 방정식 MxK x O에서 강성행렬
질량행렬
인 이자유도 스프링 질량 계에 대하여 고유진동수와 고유모 드를 구하라
풀이
K M
따라서 특성방정식은 특성방정식의 해를 구하면 고유치 를 얻는다
즉 rads을 식 KMX O에 대입하면
×
×
따라서 첫 번째 고유모드 x 이다 이 고유모드는
이 만큼 이동 할 때
이 같은 방향으로 동위상 만큼 이동한다는 의미이다 즉 rads을 식 KMX O에 대입하면
×
×
따라서 두 번째 고유모드 x T이다 이 고유모드는
이 만큼이동할 때
이 반대방향으로 반대위상 만큼 이동한다는 의미이다 rads일 때 x T rads일 때 x T 답
예제 의 연습 질량과 스프링을 그림과 같이 연결하여 비감쇠 자유진동
이자유도계를 구성하였다 두 질량은 로 동일하며 세 개의 스프링 상수 또한 로 동일하다
이에 대한 운동방정식을 유도하라
이에 대한 고유진동수와 고유벡터를 구하라
풀이
답
로부터행렬식 det
즉
일 때 rads
⋅
⋅
즉 이다 따라서 일 때 이 된다 따라서 첫 번째 고유벡터 v
일 때 rads
⋅
⋅
즉 이다 따라서 일 때 이 된다 따라서 두 번째 고유벡터 v
rads에서 고유벡터 v
rads에서 고유벡터 v
답예제 의 연습 그림과 같이 kg Nm을 가진 이자유도계가 초기조건
을 가질 때 계의 응답을 구하라풀이 앞에서 구한 고유진동수와 고유벡터는 다음과 같다
즉 rads 첫 번째 고유벡터는 이다
즉
rads 두 번째 고유벡터는 이다진동응답
cos
cos
에 초기조건을 대입하면 cos cos
cos cos
sin
sin
sin
sin
이 된다 이를 연립하여 풀면
을 얻는다 따라서 다음
과 같은 해를 얻을 수 있으며 아래 그림과 같다 같은 위치에서 출발하여 반대 속 도로 움직이기 시작하였음을 알 수 있다
x
cos
cos
답예제 의 연습 질량이 각각 이고 스프링 상수가 각
각 인 자유진동 이자유도계를 그림과 같이 구성하였을 때 다음을 구하라
x
를 상태벡터로 하는 운동방정식
sin
sin라 할 때 특성방정식 고유진동수와 고유벡터초기조건 cm 일 때의 계의 시간응답
풀이
운동방정식
이므로
답
따라서 특성방정식 Δ
답 특성방정식의 해를 구하면
rads일 때 ⋅
따라서
rads일 때 ⋅
따라서
rads에서 v
rads에서 v
답시간응답
sin
sin에 초기조건 cm 을 대입하면
sin sin
sin sin
cos cos
⋅ cos ⋅ cos
이 된다 이를 연립하여 풀면 을 얻는다 따라서
sin
sin
coscos
coscos 답
예제 의 연습 그림과 같이 질량관성모멘트
kg⋅ m
kg⋅ m 이고 축의 회전강성 kg⋅ m인 비틀림계의 고유진동수와 고유모 드를 구하라풀이 자유물체도를 그린 후 운동방정식을 유도하면
즉 행렬방정식 J K OJ
K
O
K J
따라서 특성방정식은
특성방정식의 해를 구하면 고유치 를 얻게 된다
즉 rads을 식 K JO에 대입하면
×
따라서 첫 번째 고유모드 이다
이 고유모드는 이 만큼 회전할 때 도 같은 방향으로 만큼 회전한다 는 의미 동위상 이다
즉 rads을 식 K JO에 대입하면
×
따라서 두 번째 고유벡터 이다
이 고유벡터는 이 만큼 회전할 때 이 반대방향으로 만큼 회전한다 는 의미 반대위상 이다
rads에서 rads에서 답
예제 의 연습 그림과 같이 질량관성모멘트
kg⋅ m
kg⋅ m 이고 축의 회전강성 kg⋅ m인 비틀림계의 고유진동수와 고유모드를 구하라풀이 자유물체도를 그린 후 운동방정식을 유도하면
즉 행렬방정식 J K OJ
K
O
K J
따라서 특성방정식은
특성방정식의 해를 구하면 고유치 를 얻게 된다
즉 rads을 식 K JO에 대입하면
×
따라서 첫 번째 고유모드 이다
이 고유모드는 이 만큼 회전할 때 도 같은 방향으로 만큼 회전한다 는 의미 동위상 이다
즉 rads을 식 K JO에 대입하면
×
따라서 두 번째 고유벡터 이다
이 고유벡터는 이 만큼 회전할 때 이 반대방향으로 만큼 회전한다 는 의미 반대위상 이다
rads에서 rads에서 답
예제 의 연습 그림과 같이 길이가 인 자체질량을 무시할 수 있는
균일 강체봉에 연결되어 있는 각각 인 두 개의 진자가 강성이 인 스프
링으로 연성되어있다 이 스프링은 두 진자봉이 수직되어 있을 때는 변형되지 않으 며 봉의 중앙에 연결되어 있다
운동방정식을 유도하라 특성방정식을 구하라
이 계에 대한 고유진동수와 고유모드를 구하라
풀이
각 질량에 대한 자유물체도로부터
을 중심으로 한 모멘트 식 ⋅
⋅
을 중심으로 한 모멘트 식 ⋅
⋅
따라서 운동방정식
이다
×
×
×
× ×
×
×
×
× ×
답 라 놓는다면
따라서 특성방정식
답 특성방정식의 해를 구하면
rads일 때 × 따라서
rads일 때 × 따라서
rads에서 v
rads에서 v
답예제 의 연습 그림과 같이 단순화된 이자유도계 자동차 모델에서 고
유진동수와 고유모드를 구하라 단 kg m m
Nm Nm
kgm이다풀이 자유물체도를 그려서 운동방정식을 구한다
↑
즉
이를 행렬방정식으로 고치면
여기에 숫자를 대입하면
× × × × × ×
즉
라 가정할 때
행렬방정식
따라서
rads
×
×
rads
×
×
rads에서 rads에서 답
참고 차 고유모드 는 아주 미소한 회전운동을 동반하는 수직방향의 병진운동을 의미한다
차 고유모드 는 아주 미소한 병진운동을 동반하는 회전운동 을 의미한다
또한 고유주파수에 대한 근사값은 아래와 같이 구할 수 있다
수직방향 등가강성질량
rads
질량관성모멘트회전강성
rads
예제 의 연습 그림과 같은 이자유도계에서
cos
로 가진할 때 정상상태의 응답크기
을 구하라풀이 계의 운동방정식을 구하면 다음과 같다
cos
가진력을
로 표현하면 응답도
형태로 나타낼 수있다 이들을 운동방정식에 대입하여 다음을 얻는다
여기서 이다 따라서 정상상태 응답의 크기는 다음과 같다
답 윗 식에
을 적용하고 무차원 진동수 에 대한 식으로 정리하 면 다음과 같은 식이 유도되며 이를 그리면 다음과 같다주파수응답함수
윗 식에서 분모가 인 값은 이므로 이 두 값에서 그래프는 무한대로 발 산한다 따라서 이 계는 두 개의 공진주파수를 갖고 있다
예제 의 연습 kg
kg m m Nm Nm으로 구성된 자전거 모델에 대하여 오른편 끝단에서 가진력
cos 가 발생된다고 하자 진동변위가 최소화되는 위치를 찾아라
풀이 우선 운동방정식을 구하면 다음과 같다
즉
이 된다 이를 행렬 방정식으로 표현하면 다음과 같다
가진력
라 가정하면
와 라 놓을 수 있다 이를 대입하 여 해를 구할 수 있다
즉
이 된다 해 와
를 분리하여 구하면 다음과 같다
진동변위가 최소화되는 위치를 찾기 위하여
≤ ≤ 에 두 해를 대입하면 다음과 같은 위치를 얻게 된다 이 위치는 가진력의 가진주파수에상관없이 진동이 이 되는 점이다
Nm 는 상관없음 kg
kg m m rads 일 때 위치 를 구하면 다음과 같다 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
따라서 질량중심에서 양의 방향으로 이동점에서는 진동이 거의 측정되지 않 으므로 기계장착 위치로 적합하며 진동측정점으로는 부적합하다
질량중심에서 양의 방향으로 이동점 답
연습문제
일 때 을 이용하여
x x를 만족하는 고유치와 고유벡터를 구하라풀이
결과
이를 정리하면 일 때 v
일 때 v
이 된다 일 때 v
일 때 v
답
일 때 을 이용하여
를 만족하는 고유치와 고유벡터를 구하라풀이
결과
일 때 v
일 때 v
답 kg N ms Nm인 그림 와 같은 이자유도계에 대하여
cos N
로 가진할 때 응답을 그려라 단 m ms m 의 초기조건을 갖는다
를 이용한 그래프
를 이용한 그래프
별도의 함수 화일
다음과 같은 운동방정식으로 표현되는 이자유도계의 시간응답을 나타고 자 한다
cos단 초기조건 x
를 상태 로 하고 x를 유도하라의 관계식에 관한 새로운 함수 를 정의하는 을 작성하라 새
로운 함수명은 반드시 로 명명하라
에서 작성된 을 불러들여 초기조건을 포함하는 방정식의 변위 해를 구
하는 을 작성하고 초 동안의 변위를 그려라
이용 풀이
이므로
cos
cos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.5
0 0.5 1
Time (s)
Displacement (m)
x1(t) x2(t)
다음과 같은 운동방정식으로 표현되는 이자유도계의 시간응답을 나타고자 별도의 함수 화일
한다
cos단 초기조건
를 상태 로 하고 를 유도하라
의 관계식에 관한 새로운 함수 를 정의하는 을 작성하라
새로운 함수명은 반드시 을 사용하라
에서 작성된 을 불러들여 초기조건을 포함하는 방정식의 변위 해를 구
하는 을 작성하라 이용
풀이
이므로
cos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1
Time (s)
Displacement (cm)
x1(t) x2(t)
