9.2 처짐

(1)

Mechanic

cs of Materials

s, 7^th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-1

(2)

Mechanic

9.1 소개

- 하중을 - 처짐의 - 부정정

9.2 처짐

- 처짐(d

cs of Materials

개

을 받는 보의 허용한계 확 구조물의 해

짐곡선의 미

eflection) v

변형  처짐 확인

해석에 필수적

미분방정식

는 y _방향으

es M. Gere &

제 9

짐곡선 (defle 적임

으로의 변위

Barry J. Goo

장 보의

ection curve

dno

처짐

)

Pa

age 09-2

(3)

Mechanic

회전각 

곡률반지

cs of Materials

 : 축과 처짐 지름  _{: 곡률}

짐곡선의 접선 률중심 O 에서

es M. Gere &

선이 이루는 서 곡선까지의

Barry J. Goo

각; 반시계 의 거리

dno

방향이 양 (경

경사각/처짐각

제 9 장

Pa

각으로도 불림

보의 처짐

age 09-3

림)

(4)

Mechanic

곡률은 

처짐곡선

dv tan dx 

같은 방법

회전각이

 1

  

한편 회전 Note: 

 1

  

선형 탄성

cs of Materials

1 d

ds

 

  

선의 기울기는

n , arc   

법으로 cos 

이 작은 경우,

d dx

 

전각이 작으면

 는 라디안으

2 2

d v

 dx

성재료, Hook

 ; 곡률의 부

는 처짐곡선의

ctan dv dx

, sin dx

  ds

ds  dx

면   tan 

으로 측정됨

ke 의 법칙을

es M. Gere &

부호는 다음 그 의 1 차도함수

dv

  ds

dv

  dx _

을 따르는 재료

Barry J. Goo

그림의 규약을 수

2 2

d d v dx dx

 _

료

dno

을 따름.

Pa

age 09-4

(5)

Mechanic

 1

  

여기서 부

dV dx  

 불균

이 경우는

2 x 2

EI d v dx

따라서,

x

d EI dx

 



2 2

d EI dx

 



cs of Materials

M

 EI _ d

²

dx

부호규약을 고

, dM

q V

dx 

일 단면보 는 EI 가 x v  M

2 x 2

d v V dx

 

 

2 x 2

d v dV I dx dx

 

 

2 2

v M

x  EI _; _처

고려한 평형식

V

의 함수이므

V q

dx  

es M. Gere &

처짐곡선의 기 식은,

로

Barry J. Goo

기본 미분방정

dno

정식

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-5

(6)

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-6

 균일 단면보

이 경우는 EI 가 상수이므로,

2 3 4

2

,

3

,

4

d v d v d v

EI M EI V EI q

dx  dx  dx  

, , ''''

EIv   M EIv   V EIv   q (굽힘모멘트방정식, 전단력방정식, 하중방정식)

 곡률에 대한 엄밀 식 (회전각, 처짐값이 클 경우)

1 d d (arctan ) v dx

ds dx ds

 



   

한편 ds

²

 dx

²

 dv

²

 ds  [ dx

²

 dv

^{2 1/ 2}

] _

2 1/ 2

1 [1 ( ) ]

ds dv

dx dx v

    

             

또한 (arctan )

²

1 ( )

d v v

dx v

 

  

그러므로

2 3/ 2

1 [1 ( ) ] v

 v



  

 

(7)

Mechanic

9.3 굽힘

EIv

적분을 통

cs of Materials

힘 모멘트 방

, M EIv

  

통해 처짐, 회

단순지지

방정식의 적

, '''' V EIv

 

회전각 산정

지점

es M. Gere &

적분에 의한

  q

 적분상수

Barry J. Goo

한 처짐 계산

수는 경계조건

고정단

dno

산

건으로부터 결

결정

제 9 장

Pa

연속조건

보의 처짐

age 09-7

(8)

Mechanic

 예제

문제 - 단순보 - 중앙점 - 지지 지 풀이

모멘트

cs of Materials

9-1

보 AB 의 처짐 에서의 최대 지점에서의 회

트를 구하기 위

짐곡선의 방정 대처짐 

max

회전각  

_A

,

위한 자유물체

es M. Gere &

정식



B

_구하기

체도

Barry J. Goo

dno

Pa

age 09-8

(9)

제 9 장 보의 처짐

2

2 ( ) 2 2 2

qL x qLx qx

EIv   M  x  qx        

2 3

4 6

1

qLx qx

EIv     C , 중앙점에서 처짐각은 0 _{(대칭조건) } 0 2

v        L  ^

3

1

24 C   qL

2 3 3

4 6 24

qLx qx qL

EIv   

_

3 4 3

12 24 24

2

qLx qx qL x

EIv     C , 좌측 지지점에서 처짐이 0  ^v   ⁰ ^ ⁰  C

₂

 0

3 2 3

( 2 )

24 v qx L Lx x

  EI  

_

4 max

5 2 384

L qL

v EI

  ^{ }   

 

^

3

(0) ( )

A B

24 v v L qL

     ^  ^  EI

_

(10)

Mechanic

 예제

문제 - 처짐곡 - 자유단

풀이

모멘트

cs of Materials

9-2

곡선의 방정식 단의 처짐 

B

트를 구하기 위

식

, 회전각 

B

위한 자유물체

es M. Gere &

B

체도

Barry J. Goo

dno

Pa

age 09-10

(11)

2 2

qL qx

EIv   M    qLx 

2 2 3

2 2 6

1

qL x qLx qx

EIv       C , 고정단에서 처짐각은 0 _ ^v   ⁰ ^ ⁰  C

₁

 0

2 2 3

2 2 6

qL x qLx qx

EIv    

_

2 2 3 4

4 6 24

2

qL x qLx qx

EIv      C , 고정단에서 처짐은 0 _ ^v   ⁰ ^ ⁰  C

2

 0

2

2 2

(6 4 )

24 v qx L Lx x

  EI  

_

3

( ) 6

B

v L qL

   ^  EI

_

4

( ) 8

B

v L qL

    EI

_

(12)

Mechanic

 예제

문제 - 단순보 - 지지 지 - 최대 처

cs of Materials

9-3

보 AB 의 처짐 지점에서의 회 처짐 

max

_{, 보}

짐곡선의 방정 회전각  

_A

,

보의 중앙점

es M. Gere &

정식



B

_구하기

C _{에서 처짐}

Barry J. Goo

짐 

C

_구하기

dno

기

Pa

age 09-12

(13)

Mechanic

풀이

EIv

  

 

  



cs of Materials

Pbx

M L

M Pbx L

 

  

( ) P x a

 

es M. Gere &

하중

(0

(a



Barry J. Goo

중 좌측면 (FB

중 우측면 (FB

)

) x a

x L

 



dno

BD)

제 9 장

Pa

보의 처짐

age 09-13

(14)

2 1

2 2

2

(0 ) 2

( )

2 2

EIv Pbx C x a

L

Pbx P x a

EIv C a x L

L

     

 

       



3

1 3

3 3

2 4

(0 ) 6

( )

6 6

EIv Pbx C x C x a

L

Pbx P x a

EIv C x C a x L

L

     

 

       



B.C. (1)  ( a

^

)   ( a

^

) (2) v a (

^

)  v a (

^

) (3) v (0)  0 (4) v L ( )  0

(1)

2 2

1 2

2 2

Pba Pba

C C

L   L  _

1 2

C  C

(2)

3 3

1 3

=

2 4

6 6

PbA Pba

C a C C a C

L   L   _

1 2

C  C _이므로 C

₃

 C

₄

(3) C

₃

  0 C

₄

(4)

2 2

1 2

( )

6 Pb L b

C C

L

   

(15)

2 2 2

3

2 2 2

( ) (0 ) 6

( )

( ) ( )

6 6

v Pbx L b x x a

LEI

Pbx P x a

v L b x a x L

LEI EI

      

 

        





2 2 2

2

2 2 2

( 3 ) (0 ) 6

( )

( 3 ) ( )

6 2

v Pb L b x x a

LEI

Pb P x a

v L b x a x L

LEI EI

       

 

         





2 2

( ) ( )

(0) 6 6

A

Pb L b Pab L b

v LEI LEI

   ^  ^  ^

_

2 2

(2 3 ) ( )

( ) 6 6

B

Pb L bL b Pab L a

v L LEI LEI

  ^  ^ ^  ^

_



A

_를 b 에 대해 미분하여 b  L / 3 _{에서 최대값}  

_max ²

³

A

27 PL

  EI _{이 됨.}

하중이 중앙점 우측에 작용한다는 가정하에 처짐각이 0 이 되는 점에서 

max

_{가 구해짐}

(16)

Mechanic

즉 처짐각

따라서 

cs of Materials

각이 0 _{이 되}

 

max

v

x

  

되는 위치는

1

(

2 x x

9 Pb L



es M. Gere &

2

1

3 L b

x 



2 2 3/ 2

) 3

b LEI



Barry J. Goo

b

2

(a 

( a  b )

dno

) b

Pa

age 09-16



(17)

참고: 

_max

_{의 값은} b 의 위치에 따라 변하며 

_max

_{의 최대값은} b  L / 2 일 때 

max



max ³

48 PL

  EI

중앙점의 처짐

2 2

(3 4 )

2 48

C

L Pb L b

v EI

   ^{ }      ^ ( a  b )

_

특별한 경우: 보의 중앙점에 하중이 작용하는 경우 ( a   b L / 2)

2 2

( 4 )

16 v P L x

   EI  0

2 x L

   

 

 

2 2

(3 4 )

48 v Px L x

  EI  0

2 x L

   

 

 

2 A B

16 PL

    EI

3

max ^C

48 PL

    EI

(18)

Mechanic

9.4 전단

 예제

문제 - 4 계 미 - 자유단

풀이

'''' EIv 

EIv  ( V L

EIv   ( M L EIv  2

cs of Materials

단력과 하중

9-4

미분방정식을 단의 처짐 

_B

0

( q q L

   L

0

( )

2

2 q L x L  ) 0

L  _ C

0

( )

6 q L x

 L 

) 0

L  _ C

0

( )

4

24 q L x L 

중 방정식의

이용한 처짐 , 회전각 

_B

) L x

L



C

1

V

 

1

0 C 

3

C

2

M

 

2

0 C 

4

C

3



es M. Gere &

적분에 의

짐곡선의 방정

B

Barry J. Goo

의한 처짐 계

정식

dno

계산

Pa

age 09-18

(19)

0 5

3 4

( )

120 EIv q L x C x C

  L   

(0) 0 (0) 0 v   v  _

3 3

0 0

3

4

24 120

q L q L

C   C 

3 2 2 3

0

(4 6 4 )

24 v q x L L x Lx x

   LEI   

_

2

3 2 2 3

0

(10 10 5 )

120 v q x L L x Lx x

  LEI   

_

3

( )

0 B

24 v L q L

     EI ( )

⁰ ⁴

B

30 v L q L

    EI

_

(20)

Mechanic

 예제

문제 - 3 계 미 - 돌출부

풀이

EIv

  

 

  



cs of Materials

9-5

미분방정식을 부 끝단의 처짐

2 V P

V P

  

 

이용한 처짐 짐 

C



0 x

L x



  



es M. Gere &

짐곡선의 방정



3 2 L x L



   

Barry J. Goo

정식

dno

Pa

age 09-20

(21)

 

1

2

0 2

3

2 EIv M Px C x L

EIv M Px C L x L

       

   

        

  



(0) 0

M

A

 EIv  _, 3 2 0

C

M  EIv    L   

  ^ C

¹

 0 _,

2

3 2 C   PL

 

0 2

(3 2 ) 3

2 2

EIv M Px x L

P L x L

EIv M L x

      

    

        

  



 

2 3

4

0 4

(3 ) 3

2 2

EIv Px C x L

Px L x L

EIv C L x

      

    

        

  



B 점에서 회전각은 연속  v L '(

^

)  v L '(

^

) _

2

3 4

4 PL C PL C

     _

₄ ₃

3

²

4 C  C  PL _(k)

(22)

 

3

3 5

2

4 6

0 12

(9 2 ) 3

12 2

EIv Px C x C x L

Px L x L

EIv C x C L x

      

    

        

  



(0) 0

A

v

   _, 

_B

 v L ( )  0 _ C

₅

 0 _,

2

3

12 C  PL _{, (k)식에의해}

₄

5

²

6 C  PL

( ) 0

B

v L

   _을 BC 구간의 식에 대입하면

3

6

4 C   PL

 

2 2

3 2 2 3

( ) 0 12

(3 10 9 2 ) 3

12 2

v Px L x x L

EI

P L

v L L x Lx x L x

EI

    

   

         

  





3

2 8

C

L PL

v EI

   ^   ^   

^

9.2 처짐

9.1 소개

- 하중을 - 처짐의 - 부정정

9.2 처짐

- 처짐(d

개

을 받는 보의 허용한계 확 구조물의 해

짐곡선의 미

eflection) v

변형  처짐 확인

해석에 필수적

미분방정식

는 y 방향으

제 9

짐곡선 (defle 적임

으로의 변위

장 보의

ection curve

처짐

)

회전각 

곡률반지

 : 축과 처짐 지름  : 곡률

짐곡선의 접선 률중심 O 에서

선이 이루는 서 곡선까지의

각; 반시계 의 거리

방향이 양 (경

경사각/처짐각

각으로도 불림

림)

곡률은 

처짐곡선

dv tan dx 

같은 방법

회전각이

 1

  

한편 회전 Note: 

 1

  

선형 탄성

1 d

ds

 

  

선의 기울기는

n , arc   

법으로 cos 

이 작은 경우,

d dx

 

전각이 작으면

 는 라디안으

d v

 dx

성재료, Hook

 ; 곡률의 부

는 처짐곡선의

ctan dv dx

, sin dx

  ds

ds  dx

면   tan 

으로 측정됨

ke 의 법칙을

부호는 다음 그 의 1 차도함수

dv

  ds

dv

  dx 

을 따르는 재료

그림의 규약을 수

d d v dx dx

 

료

을 따름.

 1

  

여기서 부

dV dx  

는 y _방향으

 : 축과 처짐 지름  _{: 곡률}

  dx _

 _

 EI _ d

x  EI _; _처

] _