실전북

(1)

제곱근의 뜻과 표현

2

^회 ^5쪽

THEME

01

01 a@=11, b@=10이므로

a@-b@=11-10=1 1

02 대각선의 길이를 x라 하면 피타고라스 정리에 의해 x@=2@+3@=13 / x=j13k

따라서 대각선의 길이는 j13k이다. j13k 03 ① 제곱근 2는 j2이다.

③ 3의 제곱근은 -j3이다.

④ 5의 음의 제곱근은 -j5이다.

제곱근의 뜻과 표현

1

^회 ^4쪽

THEME

01

01^x@=5 ^⑤

02^①j25k=5

② 1{-25}@3=25의 제곱근은 -5

③ -5

④ -5

⑤ {-5}@=25의 제곱근은 -5

따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ①이다. ① 03 {-13}@=169의 제곱근은 -13 ④ 04^{제곱근 4는}j4=2이므로 a=2

j16k=4이므로 4의 음의 제곱근은 -2 / b=-2

/ a+b=2+{-2}=0 ②

05^{④ 0.4^=}⁴_{9 의 제곱근은}^{- 2}₃ ^④ 06 {부피}=p\r@\10=10pr@{cm#}

10pr@=70p이므로 r@=7

/ r=j7 {? r>0} ①

07 ㄱ. 모든 자연수는 양수이므로 제곱근은 2개이다.

ㄴ. 음수의 제곱근은 없다.

ㄷ. 제곱근 16은 j16k=4이다.

ㄹ. 1{-1}@3=1의 음의 제곱근은 -1이다.

ㅁ. 제곱하여 2

5가 되는 수는 -q 25 w이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다. ③

01. ^{제곱근과 실수}

⑤ 양수의 제곱근은 2개, 0의 제곱근은 1개, 음수의 제곱근 은 없다.

따라서 옳은 것은 ②이다. ②

04 ① 0의 제곱근은 0이다.

② j25k=5의 제곱근은 -j5이다.

③ j16k=4의 제곱근은 -2이다.

④ {-3}@=9의 음의 제곱근은 -3이다.

⑤ 2는 {-2}@=4의 양의 제곱근이다.

따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다. ③, ⑤ 05^①q 116 w=1

4

② j36k=6

③ 1{-4}$3=116@2=16

④ 40.3^5=q 39 w=q 13 w

⑤ j0.25l=0.5

따라서 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 없는 것은 ④이다.

④

06 {-3}@=9의 양의 제곱근은 3 / a=3

q 181 w=1

9의 음의 제곱근은 -1 3 / b=- 13

/ ab=3\[- 13 ]=-1 -1

07 주원이의 말에 의해 A는 제곱인 수이거나 0이다.

유안이의 말에 의해 A=0 또는 A=1이다.

준형이의 말에 의해 A=1이다. 1

제곱근의 성질과 대소 관계

1

^회 ^6쪽

THEME

02

01^{③ -}1{-5}@3=-5 ③

02 x<0이므로 -x>0

① -136x@3=-{-6x}=6x

② -1{3x}@3=-{-3x}=3x

③ 1{-9x}@3=-9x

④ -r[ x16 ]@y=-[- x16 ]= x 16

⑤ 125x@3=-5x

따라서 옳은 것은 ⑤이다. ⑤

03 0<a<b<2에서 a-2<0, b-a>0, -b<0이므로 1{a-2}@3-1{b-a}@3-1{-b}@3

=-{a-2}-{b-a}-b

=-a+2-b+a-b

=2-2b ⑤

01. 제곱근과 실수

61

(2)

04 20-x가 20보다 작은 제곱인 수 또는 0이어야 하므로 20-x=0, 1, 4, 9, 16

/ x=20, 19, 16, 11, 4 따라서 M=20, m=4이므로

M-m=20-4=16 ⑤

05^③¹₃⁼q1

9 w이므로 q 1 9 w<q1

3 w / 1

3<q 13 w ③

06 j6<j50-2xl<1{-8}@3에서 6<50-2x<64 -44<-2x<14 / -7<x<22

따라서 구하는 정수 x는 -7, -6, y, 21의 29개이다.

29개 07^{⑴ 2<}j5<3이므로 j5 이하의 자연수는 1, 2이다.

/ f{5}=1+2=3

⑵ j1=1, j4=2, j9=3이므로 f{1}=f{2}=f{3}=1

f{4}=f{5}=f{6}=f{7}=f{8}=1+2=3 f{9}=f{10}=1+2+3=6

/ f{1}-f{2}+f{3}-f{4}+f{5}-f{6}+f{7}

-f{8}+f{9}-f{10}

=1-1+1-3+3-3+3-3+6-6

=-2 ⑴ 3 ⑵ -2

제곱근의 성질과 대소 관계

2

^회 ^7쪽

THEME

02

01 ①, ③, ④, ⑤ 2

② -2

따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다. ② 02 1{-2a}@3+1{3a}@3=2a+3a=5a ⑤ 03 18x=2\3@\x에서 소인수의 지수가 모두 짝수이려면

x=2\(자연수}@이어야 한다.

따라서 가장 작은 두 자리의 자연수 x는

2\3@=18 18

04^2<j5<3에서 2-j5<0, 3-j5>0이므로 4{2-j5}@6+4{3-j5}@6 =-{2-j5}+{3-j5}

=-2+j5+3-j5=1 ③ 05^4<jxk<6이므로 16<x<36

따라서 구하는 자연수 x는 17, 18, y, 35의 19개이다.

③ 06 q 425 w\j625k+1{-2}@3+15@2_--r[- 57 ]@y =

=2

5\25+2+5_[- 57 ]

=10+2-7=5 ②

무리수와 실수

1

^회 ^8쪽

THEME

03

01 ㄱ. j0.16l=0.4 ⇨ 유리수 ㄴ. j9-3=3-3=0 ⇨ 유리수 ㄷ. q 325 w ⇨ 무리수

ㄹ. -j81k=-9 ⇨ 유리수 ㅁ. 40.5^5=q 59 w ⇨ 무리수

따라서 무리수인 것은 ㄷ, ㅁ이다. ⑤

02 ④ 순환소수의 제곱근 중 유리수인 것이 존재한다.

0.1^의 제곱근 ⇨ -40.1^5=-q 19=- 13 ④ 03^⑤j2와 -j2의 합은 0이므로 무리수가 아니다. ⑤ 04^①j5-1-2=j5-3=j5-j9<0

/ j5-1<2

② 1+j2-2=j2-1=j2-j1>0 / 1+j2>2

③ j2<j3이므로 -j2>-j3 / 3-j2>3-j3

④ 3-{j5+2}=1-j5<0 / 3<j5+2

⑤ 3>j8이므로 3-j5>j8-j5

따라서 대소 관계가 옳은 것은 ①이다. ① 05^{a-b =3+}j2-4=j2-1

=j2-j1>0 / a>b yy ㉠

b-c =4-{j35k-2}=6-j35k

=j36k-j35k>0 / b>c yy ㉡

㉠, ㉡에서 c<b<a ⑤

06 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 j2이므로 ABZ=AQZ=j2

점 Q에 대응하는 수가 1이므로 점 A에 대응하는 수는

1-j2 1-j2

07^4<j19k<5이므로 -5<-j19k<-4 / -4<1-j19k<-3

07 1000a=2#\5#\a에서 소인수의 지수가 모두 짝수이려면 a=2\5\(자연수}@이어야 한다.

따라서 가장 작은 자연수 a는 2\5=10

또, 54보다 작은 제곱인 수 중 가장 큰 것은 49이므로 54-b=49 / b=5

/ a+b=10+5=15 ⑤

(3)

무리수와 실수

2

^회 ^9쪽

THEME

03

01^-j0.04l=-0.2, j16k=4이므로 유리수이다.

따라서 무리수는 j3, j6+2, j18k, p의 4개이다. 4개 02^{⑤ BC}Z@=1@+2@=5이므로 정사각형 ABCD의 넓이는 5이

다. ⑤

03 ④ 수직선은 유리수에 대응하는 점만으로는 완전히 메울 수

없다. ④

04^①1{-2}@3=2이므로 4-1{-2}@3=2 2-{j15k-2}=4-j15k=j16k-j15k>0 / 4-1{-2}@3>j15k-2

② q 12 w>q 13 w이므로 -q 12 w<-q 13 w / -q 12 w+1<-q 13 w+1

③ 2-{j10k-1}=3-j10k=j9-j10k<0 / 2<j10k-1

④ j3>j2이므로 j3+j5>j2+j5

⑤ 3-{5-j12k}=-2+j12k=-j4+j12k>0 / 3>5-j12k

따라서 대소 관계가 옳지 않은 것은 ②이다. ② 05^1<j2<2에서 -2<-j2<-1이므로

0<2-j2<1

따라서 2-j2는 0과 1 사이의 점 Q에 대응된다. ② 06^a+b=3+{j5+1}=4+j5>0

a-b=3-{j5+1}=2-j5=j4-j5<0 / 1{a+b}@3-1{a-b}@3 =a+b+{a-b}

=2a=2\3=6 6

07 직각삼각형 ABC에서 ACZ@={j2}@+{j2}@=4이므로 ACZ=2 / APZ=ACZ=2

따라서 점 P에 대응하는 수는 2+2=4이다. 4 4<j19k<5이므로 5<1+j19k<6

따라서 1-j19k와 1+j19k 사이에 있는 정수는

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5의 9개이다. ⑤

중단원 실력 확인하기 10 ~ 13쪽

THEME모아

01 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 x@=5이므로 x=j5

따라서 정사각형의 한 변의 길이는 j5`cm이다. j5`cm

02 ① j121k=11이므로 11의 제곱근은 -j11k이다.

② 제곱근 36은 j36k=6이다.

③ 음수의 제곱근은 없다.

④ 0의 제곱근은 0이다.

⑤ 1{-3}@3=3이므로 -1{-3}@3=-3이다.

따라서 옳은 것은 ①, ⑤이다. ①, ⑤ 03 {-25}@의 제곱근은 -1{-25}@3=-25 ④ 04 j81k=9이므로 9의 음의 제곱근은 -3이다.

/ a=-3

제곱근 16은 j16k이므로 b=j16k=4

1{-13}@3=13이므로 {-13}@의 양의 제곱근은 13이다.

/ c=13

/ a+b+c=-3+4+13=14 ③

05 ⑤ 1{-1}@3=1이고 1의 제곱근은 -1이다. ⑤ 06 j196k-1{-4}@3+q 1009 w_r[- 59 ]@y

=14-4+10 3 _5

9

=14-4+10 3 \9

5

=14-4+6

=16 ④

07 a>0이고, ab<0이므로 a>0, b<0

/ 1a@2+1b@2=a-b ①

08 3<a<5이므로 a-3>0, a-5<0 / 1{a-3}@3-1{a-5}@3 =a-3+{a-5}

=2a-8 ①

09 48n=2$\3\n에서 소인수의 지수가 모두 짝수이려면 n=3\k@ ( k는 자연수)이어야 한다.

n은 100 미만의 자연수이므로 3k@<100 / k@<100

3

k@=1, 4, 9, 16, 25이므로 n=3, 12, 27, 48, 75

따라서 가장 큰 자연수 n의 값은 75이다. ⑤ 10 32-n이 32보다 작은 제곱인 수, 즉 1, 4, 9, 16, 25가 되어

야 한다.

따라서 n의 값은 31, 28, 23, 16, 7이므로 n의 값이 될 수

없는 것은 ①이다. ①

11 0<a<1이므로 a=1

2 이라 하면 q 1a w=j2, a= 12, 1

a=2, ja=q 12 w, 1 a@=4 따라서 큰 수부터 차례로 나열하면

1 a@, 1

a, q 1a w, jak, a

이므로 세 번째에 오는 수는 q 1a w이다. q 1a w

01. 제곱근과 실수

63

(4)

12 j121k<j136k<j144k에서 11<j136k<12 / f{136}=11

j49k<j50k<j64k에서 7<j50k<8 / f{50}=7 j4=2이므로 f{4}=2

/ f{136}-f{50}+f{4} =11-7+2

=6 ④

13 j0.01l=0.1 q 8136 w=9

6=3 2 1+j16k=1+4=5

따라서 무리수는 j0.9k, j0.1k, -1+j8의 3개이다. ① 14 1(제곱인 수) 3는 유리수로 나타낼 수 있고, 그 외의 경우는 순

환하지 않는 무한소수, 즉 무리수이다.

100 이하의 자연수 중 제곱인 수는

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100의 10개 이므로 무리수에 대응하는 점은

100-10=90(개)이다. ⑤

15 ③ 순환소수는 모두 유리수이다. ③ 16^CAZ=CPZ=BDZ=BQZ=11@+1@3=j2

따라서 점 P에 대응하는 수는 2-j2, 점 Q에 대응하는 수 는 1+j2이다. P：2-j2, Q：1+j2 17 반지름의 길이가 1인 원의 둘레의 길이는 2p이므로 원을 한

바퀴 반을 굴렸을 때, 원이 굴러간 거리는 2p\3 2=3p 따라서 점 P가 수직선 위에 닿는 점에 대응하는 수는

-3+3p이다. ⑤

18^①j4<j5에서 2<j5이므로 -2>-j5

② j8<j9이므로 j8<3

③ j5+2-{j3+2}=j5-j3>0 / j5+2>j3+2

④ j7+2-{j7+j2}=2-j2=j4-j2>0 / j7+2>j7+j2

⑤ j2+1-3=j2-2=j2-j4<0 / j2+1<3

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤

19^{조건 ㈎에서}ja는 무리수이다.

조건 ㈏에서 ja<j17k이므로 a는 17보다 작은 자연수 중에

서 제곱인 수가 아닌 수이다. y❶

17보다 작은 자연수 중 제곱인 수는 1, 4, 9, 16의 4개이므 로 a는 모두 16-4=12(개)이다. y❷ 12개

채점 기준 배점

❶ a의 조건 구하기 3점

❷ a의 개수 구하기 3점

20 (음수)<0<(양수)이므로 양수와 음수로 나누어서 비교한다.

! 음수 중에서 a 찾기

j21k>j17k이므로 -j21k<-j17k

즉, 가장 작은 수 a는 -j21k이다. y❶

@ 양수 중에서 b 찾기

j11k, 4, j7, 3의 각 수를 제곱하면 11, 16, 7, 9 16>11>9>7이므로 4>j11k>3>j7

즉, 가장 큰 수 b는 4이다. y❷

/ a@-b@ ={-j21k}@-4@=21-16=5 y❸ 5

❶ a의 값 구하기 2점

❷ b의 값 구하기 2점

❸ a@-b@의 값 구하기 2점

21 피타고라스 정리에 의해 AGZ=11@+1@3=j2이고, APZ=AGZ=j2이므로 점 P에 대응하는 수는 -j2이다.

/ a=-j2 y❶

피타고라스 정리에 의해 ABZ=12@+1@3=j5이고, AQZ=ABZ=j5이므로 점 Q에 대응하는 수는 j5이다.

/ b=j5 y❷

/ a@b@ ={-j2}@\{j5}@

=2\5=10 y❸

10

❸ a@b@의 값 구하기 2점

22 처음 정사각형의 넓이는

{j480k}@=480{cm@} y❶

[1단계]에서 생기는 정사각형의 넓이는 1

2\480=240{cm@}

2\240=120{cm@}

2\120=60{cm@}

2\60=30{cm@} y❷

따라서 [4단계]에서 생기는 정사각형의 한 변의 길이는

j30k`cm이다. y❸

j30k`cm

❶ 처음 정사각형의 넓이 구하기 1점

❷ [4단계]에서 생기는 정사각형의 넓이 구하기 3점

❸ [4단계]에서 생기는 정사각형의 한 변의 길이 구하기 2점

(5)

근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈

1

^회 ^14쪽

THEME

04

01³j5\2q 35 w\[- 32 ]\j10k

=3\2\[- 32 ]\q5\ 35\10e

=-9j30k ①

02^{① -4}j10k_2j2=- 4j10k2j2 =-2j5

② j72k\q 12 w=q72\ 12 e=j36k=6

③ j10k_j15k=q 1015 w=q 23 w= j2

j3= j2\j3 j3\j3= j6

3

④ -j36k\[- 16j2 ]= 6 6j2= 1

j2= 1\j2 j2\j2= j2

2

⑤ j4\j36k=2\6=12

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤

03 j0.002l=q 2010000 e= j20k 100=2j5

100= j5 50

/ k= 150 ①

04 j225k=13@\5@3=13@2\15@2={j3}@\{j5}@=a@b@ ④ 05^①_j3³ ⁼_j3\j3^3\^j3 ⁼³^j3₃ ⁼j3

② 8

3j2= 8\j2 3j2\j2=8j2

6 =4j2 3

③ 10

3j5= 10\j5

3j5\j5=10j5 15 =2j5

3

④ 1

j3= 1\j3 j3\j3= j3

3

⑤ j5

j3= j5\j3 j3\j3= j15k

3

따라서 옳은 것은 ②이다. ②

06 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면 ABZ@={3x}@+x@=10x@

ABZ=110x@3=j10kx=2j5 / x= 2j5

j10k=2j50k 10 =10j2

10 =j2 따라서 직사각형의 둘레의 길이는

8x=8\j2=8j2 8j2

07^j_j5²⁴^k^{_A\ j}_j6¹⁰^k^{= j}_j5²⁴^k^\_A¹^{\ j}_j6¹⁰^k = 1

A\q 245 \ 10 6 e = 1

A\j8

=j6 / A= j8

j6= j48k 6 =4j3

6 =2j3

3 ①

02. 근호를 포함한 식의 계산

^THEME

04

근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈

2

^회 ^15쪽

01 j4\j6\j10k\j27k

=2\j6\j10k\3j3

=6j180k

=6\6j5

=36j5 36j5

02^j₂³⁵_j6^k^_[- j14k6j3 ]_[-q 548 w ]

=1 2 q35

6 w\[-6q 314 w ]\[-q 485 w ]

=1

2\{-6}\{-1}\q 356 \ 3 14\48

5 e

=3j12k

=3\2j3

=6j3 6j3

03 j84k =12@\3\73

=2j3j7=2ab 2ab

04 _j12k⁵ ⁼₂⁵_j3⁼⁵^j3_{6 이므로}^a=⁵₆ 1

5j2= j2

10이므로 b= 1 10 / ab= 56\ 1

10= 1

12 ①

05^①j2\j5=j10k

② j22k_j2=q 222 w=j11k

③ j42k

j7 \j2=q 427 \2e=j12k=2j3

④ j6_ j82 =j6\2 j8=2j6

2j2=j3

⑤ j3_j6\j12k=j3\ 1

j6\j12k=j6

따라서 계산 결과가 가장 작은 것은 ④이다. ④ 06^a=j2.5k=q 2510 w= 5

j10k b=j14.4l=q 14410 e= 12

j10k / ab= 5

j10k\ 12 j10k=60

10=6 ⑤

07 정사각형 A의 넓이가 2`cm@이므로 (정사각형 B의 넓이}=1

3\2=2 3{cm@}

(정사각형 C의 넓이}=1 3\2

3=2 9{cm@}

(정사각형 D의 넓이}=1 3\2

9= 2 27{cm@}

따라서 정사각형 D의 한 변의 길이는 q 227 w= j2

3j3= j6

9 {cm} ④

02. 근호를 포함한 식의 계산

65

(6)

근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈

2

^회 ^17쪽

THEME

05

01^{① 2}j27k+j3=6j3+j3=7j3

② 5j3-3j3={5-3}j3=2j3

③ j128k-j50k=8j2-5j2=3j2

④ j12k-j3=2j3-j3=j3

⑤ j3+2는 더 이상 간단히 할 수 없다.

따라서 옳은 것은 ④이다. ④

02 j27k+2j50k-j32k-j48k

=3j3+10j2-4j2-4j3

=6j2-j3 ③

03 j18k+j32k-ja =3j2+4j2-ja

=7j2-ja=5j2

ja=7j2-5j2=2j2=j8 / a=8 ⑤ 04 x=j7이므로

x+1

x=j7+ 1j7=j7+ j77 =8j7 7 따라서 x+1

x의 값은 x의 값의 8

7배이다. ③ 05 j48k-{-j5}@- 9j3 =4j3-5-3j3

=j3-5 ②

06 j32k[j8- 6j2 ]+2j2{j2+j32k}

=4j2{2j2-3j2}+2j2{j2+4j2}

=4j2\{-j2}+2j2\5j2

=-8+20=12 12

07 {j5-j12k}_j4-j3[ 2j9+6j5 j27k ]

= j5 j4- j12k

j4 - 2 j3-6j5

j9

= j5

2 -j3- 2j33 -2j5

=-5j3 3 -3j5

2 따라서 a=-5

3, b=-3 2이므로 a-b=-5

3-[- 32 ]=-5 3+3

2=-1

6 ③

근호를 포함한 식의 계산

1

^회 ^18쪽

THEME

06

01 j24k[ 1j6-3]+ aj3{j18k-j27k}

=2-6j6+aj6-3a

={2-3a}+{a-6}j6

이때 a-6=0이면 유리수가 되므로 a=6 6 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈

1

^회 ^16쪽

THEME

05

01 ³^j3₄ ^{- j}₆²⁺j2+ j32 =[- 16+1]j2+[ 34+1 2 ]j3 =5j2

6 +5j3

4 ②

02 j20k-aj5+j125k =2j5-aj5+5j5

={7-a}j5

따라서 {7-a}j5=j5이므로 7-a=1

/ a=6 ①

03 j20k+ 10j5-j45k =2j5+ 10j5-3j5

=2j5+2j5-3j5

=j5 j5

04^a=j24k-2j5=2j6-2j5 b= 3j6-j5= j62 -j5

/ j5a+j6b =j5{2j6-2j5}+j6[ j62 -j5]

=2j30k-10+3-j30k

=j30k-7 ①

05^j¹⁰^k+j25k_j5 ^{- j}¹²^k+j18k_j6

={j10k+5}\j5

j5\j5 -{j12k+j18k}\j6 j6\j6

=5j2+5j5

5 -6j2+6j3 6

=j2+j5-j2-j3

=j5-j3 j5-j3

06 j3- 1 j3+ 1j3

=j3- 1 j3+ j33 =j3- 14j3

3 =j3- 34j3 =j3-3j3 12 =j3- j34 =3j3

4 ④

07 j20k[j3-q 25 w ]+ 3

j5{10j3+2j10k}

=2j5[j3- j2j5]+ 3j55 {10j3+2j10k}

=2j15k-2j2+6j15k+6j2

=4j2+8j15k

따라서 a=2, b=8이므로

a+b=2+8=10 ⑤

(7)

근호를 포함한 식의 계산

2

^회 ^19쪽

THEME

06

01^2{a-3j2}+5-4aj2 =2a-6j2+5-4aj2

={2a+5}+{-6-4a}j2 이때 -6-4a=0이면 유리수가 되므로

a=-3

2 ②

02^PQZ =193-{-1}0@+{-1-3}@3

=j32k=4j2 ④

03 ① 8-3j3-{2j3-2} =10-5j3

=j100k-j75k>0 / 8-3j3>2j3-2

② 1-j14k-{1-3j2} =-j14k+3j2

=-j14k+j18k>0 / 1-j14k>1-3j2

③ 3j3-{5j3-2} =-2j3+2

=-j12k+j4<0 / 3j3<5j3-2

④ j5+2-{j3+j5}=2-j3=j4-j3>0 / j5+2>j3+j5

⑤ 2-{j2+1}=1-j2<0 / 2<j2+1

따라서 대소 관계가 옳은 것은 ①이다. ① 04^①j0.005l=q 5010000 e= j50k

100=0.07071

② j0.5k=q 50100 e= j50k

10 =0.7071

③ j500k=j5\100l=10j5

④ j5000l=j50\100l=10j50k=70.71

⑤ j500000l=j50k\10000l=100j50k=707.1

따라서 j50k=7.071임을 이용하여 그 값을 구할 수 없는 것

은 ③이다. ③

05²j14k=j56k이고 7<j56k<8이므로 2j14k의 정수 부분은 7 / a=7

2j14k의 소수 부분은 2j14k-7 / b=2j14k-7 a=7, b=2j14k-7 06^ADZ=BCZ=11@+1@3=j2

BPZ=BCZ=j2이므로 점 P에 대응하는 수는 2-j2 / a=2-j2

AQZ=ADZ=j2이므로 점 Q에 대응하는 수는 1+j2 / b=1+j2

/ aj2+b+1

j2 =2-j2

j2 +1+j2+1 j2 =2j2-2

2 +2j2+2 2

=j2-1+j2+1

=2j2 ⑤

07^1<j2<2에서 2<j2+1<3 j2+1의 정수 부분은 2 / a=2

j2+1의 소수 부분은 j2+1-2=j2-1 / b=j2-1

/ j2a-2b =j2\2-2{j2-1}

=2j2-2j2+2

=2 2

02 PQZ=RSZ=11@+1@3=j2

PAZ=PQZ=j2이므로 점 A에 대응하는 수는 -2+j2 RBZ=RSZ=j2이므로 점 B에 대응하는 수는 3-j2 / ABZ ={3-j2}-{-2+j2}

=5-2j2 ③

03 A-B =5j2-2-5=5j2-7

=j50k-j49k>0 / A>B yy ㉠

B-C =5-{4j3-2}=7-4j3

=j49k-j48k>0 / B>C yy ㉡

㉠, ㉡에서 C<B<A ⑤

04 ① j0.0032l=q 32100@ e= j32k

100=0.05657

② j0.032l=q 3.210@ e= j3.2k

10 =0.1789

③ j320k=13.2\10@3=10j3.2k=17.89

④ j3200l=132\10@3=10j32k=56.57

⑤ j32000l=13.2\100@3=100j3.2k=178.9

따라서 옳은 것은 ④이다. ④

05^2<j5<3이므로 j5의 소수 부분은 j5-2 / a=j5-2

1<j3<2이므로 j3의 소수 부분은 j3-1 / b=j3-1

/ a-2b =j5-2-2{j3-1}=j5-2j3 ③ 06 (밑면의 가로의 길이) =j108k-2j3=6j3-2j3

=4j3 {cm}

(밑면의 세로의 길이) =j192k-2j3=8j3-2j3

=6j3 {cm}

따라서 직육면체 모양의 상자의 부피는

4j3\6j3\j3=72j3 {cm#} ④ 07 f{n}=8에서 jn k의 정수 부분이 8이므로

8<jn k<9 / 64<n<81

따라서 n은 자연수이므로 64부터 80까지의 자연수는 17개

이다. ④

67

(8)

12 ① j32k-j18k+7j12k+j27k =4j2-3j2+14j3+3j3

=j2+17j3

② 2j3-j48k-3j75k =2j3-4j3-15j3

=-17j3

③ 2j2+j18k-j50k =2j2+3j2-5j2=0

④ j5{j8+3}-3j5 =2j10k+3j5-3j5

=2j10k

⑤ j32k-{4-j8}j2 =4j2-{4-2j2}j2

=4j2-4j2+4=4

따라서 옳은 것은 ①이다. ①

13 ^2-_j2^j2⁼^{2-_j2\j2^j2}j2⁼²^j2-2₂ ^=-1+j2 따라서 a=-1, b=1이므로

ab={-1}\1=-1 ③

14^①^3-_j3^j6⁼³^j3-3j2₃ ⁼j3-j2

② j20k-2j45k-8j5 =2j5-6j5-8j5=-12j5

③ 6-3j3

j3 -3-j3

j3 =6j3-9

3 -3j3-3 3

=2j3-3-j3+1

=j3-2

④ 1-j2<0, 2-j2>0이므로

4{1-j2}@6-4{2-j2}@6 =-{1-j2}-{2-j2}

=-1+j2-2+j2

=2j2-3

⑤ 3 j2- 2

j8-j2 = 3j2- 2 2j2-j2

=3j2 2 -j2

2 -j2

=0

따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④

15 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 11@+1@3=j2이므로

CAZ=CPZ=BDZ=BEZ=EFZ=EQZ=j2

즉, 점 P에 대응하는 수는 -1-j2, 점 E에 대응하는 수는 -2+j2이다.

점 Q는 점 E에서 오른쪽으로 j2만큼 이동한 점이므로 점 Q에 대응하는 수는 {-2+j2}+j2=-2+2j2

따라서 a=-1-j2, b=-2+2j2이므로 2a+b =2{-1-j2}+{-2+2j2}

=-2-2j2-2+2j2=-4 ②

16 ① j18k>j16k에서 j18k>4 / -j18k<-4

② 3j5-2j11k=j45k-j44k>0 / 3j5>2j11k

③ 5j6+j7-{j7+6j5} =5j6-6j5=j150k-j180k<0 / 5j6+j7<j7+6j5

중단원 실력 확인하기 ^{20 ~ 23쪽}

THEME모아

01 ① {-3}@=9이므로 9의 제곱근은 -3이다.

② j3\j5\j6\j8=j3\j5\j2\j3\2j2=12j5

④ j2+{-j2}=0에서 0은 유리수이므로 무리수와 무리수 의 합이 항상 무리수인 것은 아니다.

02 j216k=16@\63=6j6 따라서 a=6, b=6이므로

a+b=6+6=12 12

03 j12k\j15k\j35k =2j3\j3\j5\j5\j7

=30j7

/ a=30 ③

04 _-2^j28k_j3^_[-3j7 j12k ]_ j2

6j3

= j28k

-2j3\[- j12k3j7]\ 6j3j2

=[- 12 ]\[- 13 ]\6\q 283 \12 7 \3

2 e

=j24k=2j6 2j6

05 jab k =j100k\1000kl

=1100@\10\k@3

=100kj10k ④

06^{⑤ j}_jabkâ^k ^{= j}_jabk\jabkâ^k\jabk ^{= 1}_abâ@b²⁼â_ab^jbk^{= j}_b^b^k ^⑤

07³j2\{-2j6}_ j32 =3j2\{-2j6}\ 2 j3

=-24 -24

08^{① a}jb=1a@\b3=1a@b2

② -1{-a}@b3=-1a@b2=-ajb

③ abja

jb =abja\jb

jb\jb = abjabkkb =ajabk

④ ajb-b1a@b2=ajb-abjb={a-ab}jb

⑤ 1ab@2+ja=bja+ja={b+1}ja

따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다. ②, ④ 09 ①, ②, ③, ⑤ j10k

④ j2+j8=j2+2j2=3j2

따라서 계산 결과가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다. ④ 10 j24k-2j6-5j5+j125k

=2j6-2j6-5j5+5j5=0 0

11⁸j2+3j5-j18k+j20k-j5

=8j2+3j5-3j2+2j5-j5

=5j2+4j5

따라서 a=5, b=4이므로

a-b=5-4=1 ④

(9)

④ (양수)>(음수)이므로 2j3>-j3

⑤ 3j3-4j2-{-j12k+j8} =3j3-4j2+2j3-2j2

=5j3-6j2

=j75k-j72k>0 / 3j3-4j2>-j12k+j8

따라서 대소 관계가 옳은 것은 ③이다. ③ 17^①j213k =j2.13\100k=10j2.13k

=10\1.459=14.59

② j2130l =j21.3\100k=10j21.3l

=10\4.615=46.15

③ j0.213l =q 21.3100 e= j21.3l 10

=4.615

10 =0.4615

④ j0.0213l =q 2.13100 e= j2.13l 10

=1.459

10 =0.1459

⑤ j21300l =j2.13\10000l=100j2.13l

=100\1.459=145.9

18^1<j3<2에서 -2<-j3<-1이므로 1<3-j3<2

/ a={3-j3}-1=2-j3

2<j7<3에서 -3<-j7<-2이므로 2<5-j7<3

/ b={5-j7}-2=3-j7

/ 4a+j7b =4{2-j3}+j7{3-j7}

=8-4j3+3j7-7

=1-4j3+3j7 1-4j3+3j7 19 (직사각형의 넓이) =j24k\j12k=2j6\2j3

=12j2 y❶

삼각형의 높이를 h라 하면 (삼각형의 넓이) =1

2\j18k\h

=1

2 \3j2\h

=3j2

2 h y❷

이때 3j2

2 h=12j2이므로 h=12j2\ 23j2=8

따라서 삼각형의 높이는 8이다. y❸

8

❶ 직사각형의 넓이 구하기 2점

❷ 삼각형의 높이를 미지수로 놓고 삼각형의 넓이 구

하기 2점

❸ 삼각형의 높이 구하기 2점

20 j10k[j2-1-j5 j2 ]- a

j5{6j5+3}

=j20k-j5+5-6a- 3aj5

=2j5-j5+5-6a-3a 5 j5

={5-6a}+[1-3a

5 ]j5 y❶

이때 1-3a

5 =0이면 유리수가 되므로 5-3a=0 / a=5

3 y❷

5 3

❶ 주어진 식 간단히 하기 3점

❷ a의 값 구하기 3점

21^{⑴ 2}j7=j28k이므로 5<j28k<6

-6<-j28k<-5에서 1<7-j28k<2 즉, 7-2j7의 정수 부분은 1이다.

/ a=1 y❶

⑵ b=7-2j7-1=6-2j7 y❷

⑶ a

6-b = 1 6-{6-2j7}

= 1 2j7

= j7

14 y❸

⑴ 1 ⑵ 6-2j7 ⑶ j714

❸ a

6-b의 값 구하기 2점

22 큰 정사각형의 둘레의 길이가 12+4j3이므로 한 변의 길이는 {12+4j3}\1

4=3+j3 y❶

작은 정사각형의 둘레의 길이가 12-4j3이므로 한 변의 길 이는

{12-4j3}\1

4=3-j3 y❷

따라서 한 변의 길이의 차는

{3+j3}-{3-j3} =3+j3-3+j3

=2j3 y❸

2j3

❶ 큰 정사각형의 한 변의 길이 구하기 2점

❷ 작은 정사각형의 한 변의 길이 구하기 2점

❸ 한 변의 길이의 차 구하기 2점

69

(10)

다항식의 곱셈과 곱셈 공식

1

^회 ^24쪽

THEME

07

01 {x-2}{x+2}+{x-3}@

=x@-4+x@-6x+9

=2x@-6x+5 ①

02 {2x-3y}{Ax-y} =2Ax@+{-2-3A}xy+3y@

=6x@+Bxy+3y@

에서 2A=6, -2-3A=B이므로 A=3, B=-11

/ A-B=3-{-11}=14 ⑤

03 {x+4}{x-2}=x@+2x-8 이므로 a=-8

{2x-1}{x+3}=2x@+5x-3 이므로 b=5

/ a+b=-8+5=-3 -3

04 ① {a+b}@=a@+2ab+b@

② {-a+b}@ =9-{a-b}0@={a-b}@

③ {-a-b}@ =9-{a+b}0@={a+b}@

④ {-x+a}@ ={-x}@+2\{-x}\a+a@

=x@-2ax+a@

⑤ {a+b}{a-b}=a@-b@

{-a+b}{-a-b} ={-a}@-b@=a@-b@

/ {a+b}{a-b}={-a+b}{-a-b}

따라서 옳은 것은 ⑤이다. ⑤

다른 풀이 ⑤ {a+b}{a-b}

=9{-1}\{a+b}09{-1}\{a-b}0

={-a-b}{-a+b}

05

위의 두 직사각형에서 색칠한 부분의 넓이가 서로 같으므로 길을 제외한 화단의 넓이는

{5a-3-4}{2a+5-2}

={5a-7}{2a+3}

=10a@+a-21 ③

06 {2x-y}@-{x+3y}{ax+y}

=4x@-4xy+y@-9ax@+{1+3a}xy+3y@0

=4x@-ax@-4xy-{1+3a}xy+y@-3y@

={4-a}x@-{5+3a}xy-2y@

이때 xy의 계수가 1이므로

-{5+3a}=1, -5-3a=1, 3a=-6

/ a=-2 ①

2a+5

5a-3 2 4

2a+5

5a-3 2 4

03. 다항식의 곱셈과 곱셈 공식

다항식의 곱셈과 곱셈 공식

2

^회 ^25쪽

THEME

07

01 {2x-3y+4}{3x+4y-3}의 전개식에서 xy의 계수는 2x\4y=8xy, -3y\3x=-9xy의 계수의 합이다.

따라서 xy의 계수는 8+{-9}=-1 ② 02 {a-2x}{2x+a}=a@-4x@이므로

a@=9 / a=3 ( ? a는 자연수) ② 03 {x-a}{x-2} =x@-{a+2}x+2a

=x@+bx+8 이므로 2a=8, -{a+2}=b에서

a=4, b=-6 / ab=-24 ① 04 {2x-1}{2x-2}+{x-2}@

=4x@-6x+2+x@-4x+4

=5x@-10x+6 ③

05 ① {x-6}@=x@-12x+36

② {-x+7}{-x-7}={-x}@-7@=x@-49

④ {-x+4}{x-3}=-x@+7x-12

⑤ {x+3y}{x-4y}=x@-xy-12y@

따라서 옳은 것은 ③이다. ③

06^DGZ =5x+y-{x-y}

=5x+y-x+y

=4x+2y 이므로

( fHIGD의 넓이)

={4x+2y}@

=16x@+16xy+4y@

또, ( fEBFI의 넓이)=3x{x-y}=3x@-3xy 따라서 구하는 넓이는

( fHIGD의 넓이)+( fEBFI의 넓이)

=16x@+16xy+4y@+3x@-3xy

=19x@+13xy+4y@ ⑤

07 x+2y=A라 하면

{x+2y-4}{x+2y+3} ={A-4}{A+3}

=A@-A-12

={x+2y}@-{x+2y}-12

=x@+4xy+4y@-x-2y-12 따라서 상수항을 포함한 모든 항의 계수의 합은

1+4+4-1-2-12=-6 -6

5x+y A 3x

E

B F

I C

G D H

4x+2y 4x+2y x-y

07 x@+5x+4=0이므로

{x+1}{x+2}{x+3}{x+4}+4

={x+1}{x+4}{x+2}{x+3}+4

={x@+5x+4}{x@+5x+6}+4

=4 ①

(11)

곱셈 공식의 활용

2

^회 ^27쪽

THEME

08

01 ① 99@={100-1}@

⇨ {a-b}@=a@-2ab+b@

② 101@={100+1}@

⇨ {a+b}@=a@+2ab+b@

③ 72\68={70+2}\{70-2}

⇨ {a+b}{a-b}=a@-b@

④ 99\101={100-1}\{100+1}

⇨ {a+b}{a-b}=a@-b@

⑤ 201\203={200+1}\{200+3}

⇨ {x+a}{x+b}=x@+{a+b}x+ab

따라서 가장 편리한 계산은 ⑤이다. ⑤

곱셈 공식의 활용

1

^회 ^26쪽

THEME

08

01 98\102={100-2}\{100+2}이므로

③ {a+b}{a-b}=a@-b@을 이용하면 편리하다. ③ 02 _x^y⁺^x_y⁼^x@+y@_xy ⁼^{x-y}@+2xy_xy

=25+10

5 =7 ③

03 [x- 1x ]@=[x+ 1x ]@-4=9-4=5 ① 04 {2+5j2}{3j2-4} =6j2-8+30-20j2

=22-14j2 따라서 a=22, b=-14이므로

a+b=22+{-14}=8 ③

05^x=2+j3, y=2-j3이므로 x+y=2+j3+2-j3=4 xy={2+j3}{2-j3}=4-3=1 / x@+4xy+y@ ={x+y}@+2xy

=4@+2\1=18 ⑤

06 _3-¹_j8^-_j8-j7¹ ⁺_j7-j6¹ ^-_j6-j5¹ ⁺_j5-2¹

=3+j8

9-8- j8+j7

8-7 + j7+j6

7-6 - j6+j5

6-5 + j5+2 5-4

=3+j8-j8-j7+j7+j6-j6-j5+j5+2

=3+2=5 ③

07 1003\997+998@ ={10#+3}{10#-3}+{10#-2}@

=10^-9+10^-4\10#+4

=2\10^-4\10#-5 따라서 a=2, b=4, c=5이므로

a+b+c=2+4+5=11 11

02 a@+b@ ={a-b}@+2ab

=36+2=38 ⑤

03^{3-3j3}{a+5j3} =3a+15j3-3aj3-45

={3a-45}+{15-3a}j3 이때 15-3a=0이면 유리수가 되므로 a=5 b=3a-45=15-45=-30

/ a-b=5-{-30}=35 ⑤

04^j_j6+j5^6-^j5^{- j}_j6-j5⁶⁺^j5⁼^{^j6-j5}@_6-5 ^-^{^j6+j5}@_6-5 ={11-2j30k}-{11+2j30k}

=-4j30k ①

05^x=_j5+2¹ ⁼_{j5+2}{j5-2}^j5-2 =j5-2 y= 1

j5-2= j5+2

{j5-2}{j5+2}=j5+2 이므로

x+y=j5-2+j5+2=2j5 xy={j5-2}{j5+2}=5-4=1 / x@+y@ ={x+y}@-2xy

={2j5}@-2

=20-2=18 ③

06^x=_3-²_j7⁼_{3-^2{3+_j7}{3+j7}^j7} ⁼³⁺j7이므로 x-3=j7

양변을 제곱하면 {x-3}@={j7}@

x@-6x+9=7 / x@-6x=-2

/ {x@-6x+3}{x@-6x+5} ={-2+3}{-2+5}

=3 ③

07 x=0이므로 x@-2x-1=0의 양변을 x로 나누면 x-2- 1x=0 / x-1

x=2 / x@- 1x+x+ 1

x@ =[x@+ 1x@]+[x- 1x ]

=[x-1

x ]@+2+[x-1 x ]

=4+2+2=8 ④

THEME모아

01 {a+b}{a-b}=a@-b@

① {a-b}{-a+b}=-a@+2ab-b@

② {a-b}{a-b}=a@-2ab+b@

③ {-a+b}{a+b}=b@-a@

④ {-a+b}{-a-b}={-a}@-b@=a@-b@

⑤ {a-b}{-a-b}=-a@+{-b}@=-a@+b@

따라서 전개식이 같은 것은 ④이다. ④

03. 다항식의 곱셈과 곱셈 공식

71

(12)

02 {x-3y}@-{2x+3y}{3x-2y}

=x@-6xy+9y@-{6x@+5xy-6y@}

=x@-6xy+9y@-6x@-5xy+6y@

=-5x@-11xy+15y@

따라서 xy의 계수는 -11이다. ①

03 {3x+5y}{2x-ay} =6x@+{-3a+10}xy-5ay@

=6x@+bxy-10y@

에서 -5a=-10, -3a+10=b이므로 a=2, b=4

/ a+b=2+4=6 6

04^⑤[ 12x+2 3 ][

1 2x-2

3 ] =[ 12x]@-[ 23 ]@

=1 4x@-4

9 ⑤

05 구하는 직사각형의 넓이는 오른쪽 그림 의 색칠한 부분의 넓이이므로

{7a+2b}{7a-2b} ={7a}@-{2b}@

=49a@-4b@

① 06 x@+5x-2=0에서 x@+5x=2

/ {x+1}{x+2}{x+3}{x+4}

={x+1}{x+4}{x+2}{x+3}

={x@+5x+4}{x@+5x+6}

={2+4}\{2+6}

=48 48

07 97\103={100-3}\{100+3}이므로

③ {a+b}{a-b}=a@-b@을 이용하는 것이 가장 편리하다.

③ 08 {x-y}@ ={x+y}@-4xy

=16-12=4 ③

09 {j3-j2}@ ={j3}@-2\j3\j2+{j2}@

=3-2j6+2

=5-2j6 ④

10 _j2+1¹ ^-_j2-1¹ ^{= j}_{^2-1-{j2+1}{j2-1}^j2+1}

=-2

1 =-2 ①

11^{x =}_j3+j2¹ ⁼_{j3+j2}{j3-j2}^j3-j2

=j3-j2 y = 1

j3-j2= j3+j2 {j3-j2}{j3+j2}

=j3+j2 이므로

x+y=j3-j2+j3+j2=2j3 xy={j3-j2}{j3+j2}=1

7a

2b

/ x@+3xy+y@ ={x+y}@+xy

={2j3}@+1

=12+1=13 13

12 {3x+A}{x-2}=3x@-5x+B이므로 3x@+{A-6}x-2A=3x@-5x+B 따라서 A-6=-5, -2A=B이므로

A=1, B=-2 y❶

{x-5}{Cx+1}=Dx@-9x-5이므로 Cx@+{1-5C}x-5=Dx@-9x-5 따라서 1-5C=-9, C=D이므로

C=2, D=2 y❷

A=1, B=-2, C=2, D=2

❶ A, B의 값 각각 구하기 5점

❷ C, D의 값 각각 구하기 5점

13 x=0이므로 x@+6x+1=0의 양변을 x로 나누면 x+6+1

x=0 / x+1

x=-6 y❶

[x-1

x ]@ =[x+1 x ]@-4

={-6}@-4

=32 y❷

/ x-1

x=-j32k=-4j2 y❸

-4j2, 4j2

❶ x+x!의 값 구하기 3점

❷ [x-x!]@의 값 구하기 4점

❸ x-x!의 값 구하기 3점

14 오른쪽 그림에서 DFZ=ADZ=y이므로

CJZ=FCZ=x-y y❶ EGZ=EIZ=y-{x-y}=-x+2y

y❷ BGZ =EBZ-EGZ=FCZ-EGZ

={x-y}-{-x+2y}

=2x-3y y❸

따라서 직사각형 ㈎의 넓이는

GHZ\BGZ=EIZ\BGZ ={-x+2y}{2x-3y}

=-2x@+7xy-6y@ y❹ -2x@+7xy-6y@

❶ CJZ의 길이 구하기 2점

❷ EGZ의 길이 구하기 2점

❸ BGZ 의 길이 구하기 2점

❹ 직사각형 ㈎의 넓이 구하기 4점 x

A y

E I

B J C

F G H

D

㈎

(13)

인수분해의 뜻과 공식

1

^회 ^30쪽

THEME

09

01 a@b-3ab@=ab{a-3b}

따라서 인수는 ㄱ, ㄷ이다. ②

02^①f=[ -22 ]@={-1}@=1

② 4x@+fx+1={2x}@+fx+1@에서 f=2\2\1=4

③ 9x@+fxy+1

4y@={3x}@+fxy+[1 2y]@에서 f=2\3\1

2=3

④ f=[6

2 ]@=3@=9

⑤ 4y@+fy+1

4={2y}@+fy+[1 2 ]@에서 f=2\2\1

2=2

따라서 f 안에 들어갈 양수 중 가장 큰 것은 ④이다. ④ 03 0<a<2에서 a+2>0, a-2<0이므로

1a@+4a+43=1{a+2}@3=a+2 1a@-4a+43=1{a-2}@3 =-{a-2}

=-a+2

/ 1a@+4a+43+1a@-4a+43 =a+2-a+2=4 ④ 04 16x@-4 =4{4x@-1}

=4{2x+1}{2x-1}

따라서 인수가 아닌 것은 ②이다. ②

05 ⑤ 2x@+5x-3={x+3}{2x-1} ⑤ 06 {2x+3}@-{x+2}@ ={2x+3+x+2}{2x+3-x-2}

={3x+5}{x+1}

따라서 a=3, b=5, c=1이므로

a+b+c=3+5+1=9 ⑤

07 6x@-5x-6={3x+2}{2x-3}

3x@-19x-14={3x+2}{x-7}

즉, 세 이차식의 공통인 인수는 3x+2이므로 3x@-10x+a ={3x+2}{x+m}

=3x@+{3m+2}x+2m 3m+2=-10에서 m=-4

따라서 a=2m이므로 a=2\{-4}=-8 ②

04. ^인수분해

인수분해의 뜻과 공식

2

^회 ^31쪽

THEME

09

01 2a@{a-1}의 인수가 아닌 것은 ④ a@-1이다. ④

02 9x@+{k+3}xy+16y@

={3x}@+{k+3}xy+{4y}@

에서 k+3=-2\3\4 k+3=-24

/ k=-27 또는 k=21 ①

다른 풀이 k+3=-2j9\16l=-24 / k=-27 또는 k=21

03 6x@+x-2={3x+2}{2x-1}

2x@-5x+2={2x-1}{x-2}

따라서 두 다항식의 공통인 인수는 2x-1이다.

① 04 ① ma@+mb=m{a@+b}

② 4x@-4x+4=4{x@-x+1}

③ x@+2x-3={x+3}{x-1}

④ x$-1 ={x@+1}{x@-1}

={x@+1}{x+1}{x-1}

따라서 인수분해가 바르게 된 것은 ⑤이다.

⑤ 05 4x@+ax-12 ={2x-3}{2x+A}

=4x@+{2A-6}x-3A 이므로 -3A=-12에서 A=4 / a=2A-6=8-6=2 2x@-x+b ={2x-3}{x+B}

=2x@+{2B-3}x-3B 이므로 2B-3=-1에서 B=1 / b=-3B=-3\1=-3

/ a-b=2-{-3}=5 ⑤

06 {2x+y+1}@-{x-y+1}@

=9{2x+y+1}+{x-y+1}09{2x+y+1}-{x-y+1}0

={3x+2}{x+2y}

{3x+2}{x+2y}

07 3x@+Ax-5 ={3x+a}{x+b}

=3x@+{a+3b}x+ab ab=-5이므로 A=a+3b의 값은

! a=1, b=-5일 때

A=a+3b=1+3\{-5}=-14

@ a=-1, b=5일 때 A=a+3b=-1+3\5=14

# a=5, b=-1일 때

A=a+3b=5+3\{-1}=2

$ a=-5, b=1일 때

A=a+3b=-5+3\1=-2

따라서 !~$에서 A의 최댓값은 14, 최솟값은 -14이므 로 구하는 차는

14-{-14}=28 ⑤

04. 인수분해

73

(14)

복잡한 식의 인수분해

1

^회 ^32쪽

THEME

10

01 y+x@{x-y}-x =x@{x-y}-{x-y}

={x@-1}{x-y}

={x+1}{x-1}{x-y}

따라서 인수인 것은 ④이다. ④

02 2{2x+y}@-30x-15y+7

=2{2x+y}@-15{2x+y}+7 2x+y=A로 치환하면 (주어진 식) =2A@-15A+7

={A-7}{2A-1}

={2x+y-7}{4x+2y-1} ⑤ 03 2x-y=A로 치환하면

6{2x-y}@-7{2x-y}x-3x@

=6A@-7Ax-3x@

={2A-3x}{3A+x}

={4x-2y-3x}{6x-3y+x}

={x-2y}{7x-3y}

따라서 두 일차식의 합은

{x-2y}+{7x-3y}=8x-5y ⑤

04 16x@-8xy+y@-z@ ={4x-y}@-z@

={4x-y+z}{4x-y-z} ② 05 {x+1}{x+2}{x+3}{x+4}+1

={x+1}{x+4}{x+2}{x+3}+1

={x@+5x+4}{x@+5x+6}+1 x@+5x=A로 치환하면

(주어진 식) ={A+4}{A+6}+1

=A@+10A+25={A+5}@

={x@+5x+5}@ ④

06 ㄱ. a#-a@b-a+b =a@{a-b}-{a-b}

={a-b}{a@-1}

={a-b}{a+1}{a-1}

ㄴ. {x+1}@-{x-1}@

=9{x+1}+{x-1}09{x+1}-{x-1}0

=2x\2=4x

ㄷ. 2xy-x@-y@+4 =4-{x@-2xy+y@}

=2@-{x-y}@

={2+x-y}{2-x+y}

={x-y+2}{-x+y+2}

ㄹ. 2x-1=A로 치환하면

6{2x-1}@-{2x-1}-2 =6A@-A-2

={2A+1}{3A-2}

={4x-2+1}{6x-3-2}

={4x-1}{6x-5}

따라서 인수분해가 바르게 된 것은 ㄴ, ㄹ이다. ③

복잡한 식의 인수분해

2

^회 ^33쪽

THEME

10

01 x{y-1}-2{y-1}-2x+4

={x-2}{y-1}-2{x-2}

={x-2}{y-1-2}

={x-2}{y-3} ②

02 {x-y}{x-z}+{y-x}{y-z}

={x-y}{x-z}-{x-y}{y-z}

={x-y}9{x-z}-{y-z}0

={x-y}{x-y}

={x-y}@ ①

03 x-1=A, x+3=B로 치환하면 3{x-1}@-2{x-1}{x+3}-5{x+3}@

=3A@-2AB-5B@

={A+B}{3A-5B}

={x-1+x+3}{3x-3-5x-15}

={2x+2}{-2x-18}

=-4{x+1}{x+9}

따라서 인수인 것은 ①이다. ①

04 9x@+y@-16z@+6xy

=9x@+6xy+y@-16z@

={3x+y}@-{4z}@

={3x+y+4z}{3x+y-4z}

` {3x+y+4z}{3x+y-4z}

05 x{x+1}{x+2}{x+3}-15

=x{x+3}{x+1}{x+2}-15

={x@+3x}{x@+3x+2}-15 x@+3x=A로 치환하면 (주어진 식) =A{A+2}-15

=A@+2A-15

={A+5}{A-3}

={x@+3x+5}{x@+3x-3}

따라서 두 이차식의 합은

{x@+3x+5}+{x@+3x-3}=2x@+6x+2 ⑤ 07 x에 대하여 내림차순으로 정리하면

xy+x-y@+2y+3 =x{y+1}-{y@-2y-3}

=x{y+1}-{y+1}{y-3}

={y+1}{x-y+3}

{y+1}{x-y+3}

(15)

06 ① a@-b@-{a-b}@ ={a+b}{a-b}-{a-b}@

={a-b}{a+b-a+b}

=2b{a-b}

② x@+xy-x-y =x{x+y}-{x+y}

={x+y}{x-1}

③ ab@-b@-4a+4 =b@{a-1}-4{a-1}

={a-1}{b@-4}

={a-1}{b+2}{b-2}

④ x@-xy-2y@-z{x+y} ={x+y}{x-2y}-z{x+y}

={x+y}{x-2y-z}

⑤ {y-z}{z-x}@+{x-z}@{x-y}

={y-z}{x-z}@+{x-z}@{x-y}

={x-z}@{y-z+x-y}

={x-z}#`

07 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 x@+y@+2xy+3x+3y+2

=x@+{2y+3}x+y@+3y+2

=x@+{2y+3}x+{y+1}{y+2}

={x+y+1}{x+y+2}

따라서 a=1, b=1, c=1, d=1이므로

a+b+c+d=1+1+1+1=4` ②

인수분해 공식의 활용

1

^회 ^34쪽

THEME

11

01 5\7.5@-5\2.5@=5\{[email protected]@}

=5\{7.5+2.5}{7.5-2.5}

=5\10\5

=250 250

02^x-y=3+j2-{3-j2}=2j2이므로 x@-2xy+y@ ={x-y}@

={2j2}@=8 8

03 x@-y@+3x-3y

={x+y}{x-y}+3{x-y}

={x-y}{x+y+3}

=2j3\{j3-3+3}

=6 ③

04 주어진 직사각형의 넓이의 합은 3x@+7x+2 3x@+7x+2={x+2}{3x+1}

따라서 새로 만든 큰 직사각형의 가로, 세로의 길이는 x+2, 3x+1이므로

(둘레의 길이) =29{x+2}+{3x+1}0

=8x+6 ⑤

05 3a@+5a-12={a+3}{3a-4}이므로 직사각형의 세로의 길이는 3a-4이다.

따라서 구하는 정사각형의 넓이는

{3a-4}@=9a@-24a+16 ④

06 [1-1

2@ ][1-1

3@ ][1-1

4@ ][1-1 5@ ]

= [1-1

2 ][1+1 2 ][1-1

3 ][1+1 3 ][1-1

4 ][1+1 4 ] \[1-1

5 ][1+1 5 ]

=1 2\3

2\2 3\4

3\3 4\5

4\4 5\6

5

=3 5

3 5 07 둘레의 길이의 합이 120`cm이므로

4{a+b}=120에서 a+b=30 넓이의 차가 600`cm@이므로 a@-b@={a+b}{a-b}=600 30{a-b}=600 / a-b=20 / (둘레의 길이의 차} =4{a-b}

=4\20=80{cm} ⑤

인수분해 공식의 활용

2

^회 ^35쪽

THEME

11

01 5.5@\20.5-4.5@\20.5

=20.5\{[email protected]@}

=20.5\{5.5+4.5}{5.5-4.5}

=20.5\10\1=205 ①

02^x=_j3+j2¹ ⁼_{j3+j2}{j3-j2}^j3-j2 =j3-j2 y= 1

j3-j2= j3+j2

{j3-j2}{j3+j2}=j3+j2 이므로 x+y=2j3, x-y=-2j2

/ x@-y@ ={x+y}{x-y}

=2j3\{-2j2}=-4j6 ② 03 주어진 직사각형의 넓이의 합은

x@+5x+6={x+2}{x+3}

따라서 새로 만든 큰 직사각형의 한 변의 길이가 될 수 있는

것은 ②이다. ②

04 4x-8y+xy-y@-16 ={y+4}x-{y@+8y+16}

={y+4}x-{y+4}@

={y+4}{x-y-4}

따라서 직사각형의 가로의 길이는 y+4, 세로의 길이는 x-y-4이므로

(둘레의 길이) =29{y+4}+{x-y-4}0

=2x 2x

04. 인수분해

75

(16)

05 (부피) =p\6.5@\12-p\3.5@\12

=12p{[email protected]@}

=12p{6.5+3.5}{6.5-3.5}

=12p\10\3

=360p{cm#} 360p`cm#

06 36$-1 ={36@}@-1={36@+1}{36@-1}

={36@+1}{36+1}{36-1}

={36@+1}{36+1}{6@-1}

={36@+1}{36+1}{6+1}{6-1}

={36@+1}\37\7\5

따라서 약수가 아닌 것은 ②이다. ②

07^x=2+j3, y= 1

2+j3=2-j3이고 x@+4xy-4x+4y@-8y+4

={x+2y}@-4{x+2y}+4 x+2y=A로 치환하면

(주어진 식) =A@-4A+4={A-2}@

={x+2y-2}@

={2+j3+4-2j3-2}@

={4-j3}@

=16-8j3+3

=19-8j3 ⑤

THEME모아

01 ① x@+2x+1={x+1}@

③ x@+4x+4={x+2}@

④ 9x@+24xy+16y@={3x+4y}@

⑤ 25x@-70x+49={5x-7}@

따라서 완전제곱식으로 인수분해할 수 없는 것은 ②이다.

② 02 3x@-2x-5={x+1}{3x-5}

따라서 A=1, B=-5이므로

5A+B=5+{-5}=0 ④

03 2x@-{3a+1}x-6 ={x-2}{2x+b}

=2x@+{b-4}x-2b -2b=-6에서 b=3

b-4=-{3a+1}에서 -1=-{3a+1}

3a=0 / a=0

/ a+b=0+3=3 3

04 ① 4x@-y@={2x+y}{2x-y}

② x@+5x-6={x+6}{x-1}`

③ 4x@-12x+9={2x-3}@

⑤ {x-1}{x-2}-2=x@-3x=x{x-3}

따라서 인수분해가 바르게 된 것은 ④이다. ④ 05 x@-ax+12 ={x-2}{x+m}

=x@+{m-2}x-2m 이므로 -2m=12에서 m=-6 / a=-m+2=-{-6}+2=8 2x@-7x+b ={x-2}{2x+n}

=2x@+{n-4}x-2n 이므로 n-4=-7에서 n=-3 / b=-2n=-2\{-3}=6

/ a+b=8+6=14 ⑤

06 이서： {x+3}{x-2}=x@+x-6

⇨ x의 계수는 1

이준： {x+4}{x-5}=x@-x-20

⇨ 상수항은 -20

따라서 처음 이차식은 x@+x-20이므로

x@+x-20={x+5}{x-4} ②

07 x-2=A로 치환하면

{x-2}@+3{x-2}-4 =A@+3A-4

={A+4}{A-1}

={x-2+4}{x-2-1}

={x+2}{x-3} ④ 08 a@+2a+2b-b@ =a@-b@+2a+2b

={a+b}{a-b}+2{a+b}

={a+b}{a-b+2}

ab-a+b@-b =a{b-1}+b{b-1}

={b-1}{a+b}

따라서 두 다항식의 1이 아닌 공통인 인수는 a+b이다.

a+b 09 x@-y@+z@+2xz =x@+2xz+z@-y@

={x+z}@-y@

={x+y+z}{x-y+z}

따라서 두 일차식의 합은

{x+y+z}+{x-y+z}=2x+2z ③ 10 ㄱ. x@-2xy+y@-25 ={x-y}@-5@

={x-y+5}{x-y-5}

ㄴ. 5x@+4xy-9y@={x-y}{5x+9y}

ㄷ. x{y-1}-y{y-1}={x-y}{y-1}

ㄹ. x-y=A로 치환하면

{x-y}{x-y-4}+3 =A{A-4}+3

=A@-4A+3

={A-1}{A-3}

={x-y-1}{x-y-3}

따라서 x-y를 인수로 갖는 것은 ㄴ, ㄷ이다. ③

(17)

11 {x-3}{x-2}{x+2}{x+3}-84

={x-3}{x+3}{x-2}{x+2}-84

={x@-9}{x@-4}-84

=x$-13x@-48

={x@+3}{x@-16}

={x@+3}{x+4}{x-4}

따라서 인수가 아닌 것은 ①이다. ①

12 36@-4@={36+4}{36-4}=40\32이므로

a@-b@={a+b}{a-b}를 이용하면 가장 편리하다. ③ 13 A =12\70-12\65=12\{70-65}

=12\5=60 B =1102@-408+2@3

=1102@-2\102\2+2@3

=1{102-2}@3=100

/ A+B=60+100=160 ①

14 2@)-1 ={2!)+1}{2!)-1}

={2!)+1}{2%+1}{2%-1}

=1025\33\31

따라서 2@)-1은 30과 40 사이의 두 자연수 31, 33으로 나 누어떨어지므로 두 자연수의 합은

31+33=64 ①

15^{x =}_3-¹_j8⁼_{3-_j8}{3+j8}³⁺^j8 ⁼³⁺²j2 y = 1

3+j8= 3-j8

{3+j8}{3-j8}=3-2j2 이므로 x+y={3+2j2}+{3-2j2}=6 xy ={3+2j2}{3-2j2}=9-8=1

/ x@y+xy@ =xy{x+y}=1\6=6 ⑤ 16 새로 만든 직사각형의 넓이는 2x@+3x+1이므로

2x@+3x+1={x+1}{2x+1}

따라서 새로 만든 직사각형의 둘레의 길이는

29{x+1}+{2x+1}0=6x+4 ①

17 도형 ㈎의 넓이는

{3x-4}@-5@ ={3x-4+5}{3x-4-5}

={3x+1}{3x-9}

두 도형 ㈎, ㈏의 넓이가 같고, 도형 ㈏의 가로의 길이가 3x+1이므로 세로의 길이는 3x-9이다. ③ 18^ABZ를 지름으로 하는 반원의 넓이는 1

2 \p\18@{cm@}

ACZ=ABZ-CBZ=36-16=20{cm}이므로 ACZ를 지름으로 하는 반원의 넓이는 1

2\p\10@{cm@}

따라서 색칠한 부분의 넓이는 p

2 {18@-10@} = p

2 {18+10}{18-10}=

p

2 \28\8

=112p{cm@} ③

19 ⑴ x@+18x+81={x+9}@ y❶

⑵ 1 4a@-4

9b@ =[1

2a]@-[2 3b]@

=[1 2 a+

2 3 b][

1 2 a-

2

3 b] y❷

⑶ a{b+1}-b-1 =a{b+1}-{b+1}

={a-1}{b+1} y❸

⑴ {x+9}@ ⑵ [1 2a+2

3b][1 2a-2

3b]

⑶ {a-1}{b+1}

❶ 완전제곱식을 이용하여 인수분해하기 2점

❷ 제곱의 차를 이용하여 인수분해하기 2점

❸ 공통인 인수로 묶어 인수분해하기 2점

20 1503@-497@3 =1{503+497}{503-497}3 y❶

`=j1000\6l

=120@\153

=20j15k y❷

20j15k

❶ 인수분해 공식을 이용하여 나타내기 3점

❷ 1503@-497@3을 계산하기 3점

21 a@{a+b}-b@{a+b} ={a+b}{a@-b@}

={a+b}{a+b}{a-b}

={a+b}@{a-b} y❶ {a+b}@{a-b}=20이므로

{j5}@{a-b}=20 5{a-b}=20

/ a-b=4 y❷

4

❶ a@{a+b}-b@{a+b}를 인수분해하기 3점

❷ a-b의 값 구하기 3점

22 ⑴ 두 액자의 둘레의 길이의 합이 28이므로 4a+4b=28

/ a+b=7 yy ㉠ y❶

⑵ 큰 액자의 넓이가 작은 액자의 넓이보다 21만큼 크므로 a@-b@=21

{a+b}{a-b}=21 ㉠에 의해 7{a-b}=21 / a-b=3 yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면

a=5, b=2 y❷

⑴ 7 ⑵ a=5, b=2

❶ a+b의 값 구하기 2점

❷ a, b의 값 각각 구하기 4점

04. 인수분해

77

(18)

05. 이차방정식의 뜻과 풀이

이차방정식의 뜻과 해

1

^회 ^40쪽

THEME

12

01^{ㄱ. 이차식}

ㄴ. x{x+5}=1+x@에서

x@+5x=1+x@, 5x-1=0 ⇨ 일차방정식 ㄷ. 이차방정식

ㄹ. {x+1}{x-1}=-x@에서 x@-1=-x@

2x@-1=0 ⇨ 이차방정식 ㅁ. 3x-x@=x@-1에서

-2x@+3x+1=0 ⇨ 이차방정식 ㅂ. x{x@+1}=6x+1에서 x#+x=6x+1

x#-5x-1=0 ⇨ 이차방정식이 아니다.

따라서 이차방정식인 것은 ㄷ, ㄹ, ㅁ이다. ③ 02 {x-1}{4x+1}={a-1}x@-x에서

4x@-3x-1={a-1}x@-x {a-5}x@+2x+1=0

따라서 x에 대한 이차방정식이 되기 위한 조건은

a-5=0 / a=5 a=5

03 ① 3@-3\3+5=0

② 3@-8\3=-12

③ 3@+2\3+1=0

④ 2\3@-5\3-3=0

⑤ 2\3@+3-1=0

따라서 x=3을 해로 갖는 것은 ④이다. ④ 04 x=1을 x@+ax-3=0에 대입하면

1+a-3=0 / a=2

x=1을 3x@-4x-b=0에 대입하면 3-4-b=0 / b=-1

/ ab=2\{-1}=-2 ①

05 x=a를 x@+4x+3=0에 대입하면 a@+4a+3=0에서 a@+4a=-3 / 2a@+8a-3 =2{a@+4a}-3

=2\{-3}-3=-9 ①

06 x=a, x=b를 각각 주어진 이차방정식에 대입하면 a@-a-1=0에서 a@-a=1

b@-b-1=0에서 b@-b=1

/ {a@-a-3}{b@-b+2} ={1-3}{1+2}

={-2}\3=-6 ② 07 x=p를 x@-6x+1=0에 대입하면

p@-6p+1=0

양변을 p로 나누면 p-6+1

p=0 / p+1 p=6 [p-1

p ]@ =[p+1

p ]@-4=6@-4=32

이차방정식의 뜻과 해

2

^회 ^41쪽

THEME

12

01 ⑤ x@+4x={x+2}{x-3}에서 x@+4x=x@-x-6

5x+6=0 ⇨ 일차방정식

따라서 이차방정식이 아닌 것은 ⑤이다. ⑤ 02 x{4-ax}=6x@-5에서

4x-ax@=6x@-5, {a+6}x@-4x-5=0 따라서 x에 대한 이차방정식이 되기 위한 조건은

a+6=0 / a=-6 ④

03 ① 3\1@-7\1+2=0

② 3\2@-7\2+2=0

③ 3\3@-7\3+2=0

④ 3\4@-7\4+2=0

⑤ 3\5@-7\5+2=0

따라서 이차방정식 3x@-7x+2=0의 해가 될 수 있는 것은

② x=2이다. ②

04 x=1을 x@+ax-5=0에 대입하면

1+a-5=0 / a=4 4

05^x=-¹_{2 을}ax@-2=0에 대입하면 1

4a-2=0, 1

4a=2 / a=8 x=-1

2 을 2x@-bx-3=0에 대입하면 1

2+1

2b-3=0, 1 2b=5

2 / b=5

/ a+b=8+5=13 ⑤

06 x=-2를 x@+ax+b=0에 대입하면

4-2a+b=0 / -2a+b=-4 yy ㉠ x=4를 x@+ax+b=0에 대입하면

16+4a+b=0 / 4a+b=-16 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=-8

/ a+b={-2}+{-8}=-10 ①

07 x=a를 x@-4x-1=0에 대입하면 a@-4a-1=0 / a@-4a=1 x=b를 2x@-3x-4=0에 대입하면 2b@-3b-4=0 / 2b@-3b=4

/ a@-4a+4b@-6b ={a@-4a}+2{2b@-3b}

=1+2\4=9 ③

이때 0<p<1이므로 p-1 p<0 / p-1

p=-j32k=-4j2 ②

x=0을 x@-6x+1=0에 대입하면 성립하지 않으므로 p=0이다.

즉, 양변을 p로 나누어도 주어진 등식은 성립한다.

(19)

인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이

1

^회 ^42쪽

THEME

13

01 x@+2x-15=0에서 {x+5}{x-3}=0

/ x=-5 또는 x=3 ③

02 x=-4를 x@-2x+a=0에 대입하면 16+8+a=0 / a=-24

즉, x@-2x-24=0에서 {x+4}{x-6}=0 / x=-4 또는 x=6

따라서 다른 한 근은 x=6이므로 b=6 / a

b=-24

6 =-4 -4

03 2x@-9x-5=0에서 {2x+1}{x-5}=0 / x=-1

2 또는 x=5

이때 두 근 중 작은 근이 x=-1 2 이므로 x=-1

2 을 x@+3x+k=0에 대입하면 [-1

2 ]@+3\[-1

2 ]+k=0 1

4-3

2+k=0 / k=5

4 ③

04 x@+x-2=0에서 {x+2}{x-1}=0 / x=-2 또는 x=1

x@-x-6=0에서 {x+2}{x-3}=0 / x=-2 또는 x=3

따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-2이다. ① 05 ① x@-1=0에서 {x+1}{x-1}=0

/ x=-1 또는 x=1

② x{x+2}=0 / x=0 또는 x=-2

③ x@+6x+9=0에서 {x+3}@=0 / x=-3

④ x@-4x-5=0에서 {x+1}{x-5}=0 / x=-1 또는 x=5

⑤ {x+2}{x-2}=0 / x=-2 또는 x=2

따라서 중근을 갖는 것은 ③이다. ③

06 x=1을 {a-2}x@+{a@+3}x-6a+5=0에 대입하면 {a-2}+{a@+3}-6a+5=0

a@-5a+6=0, {a-2}{a-3}=0 / a=2 또는 a=3

이때 a=2이면 이차방정식이 아니므로 a=3 즉, x@+12x-13=0에서 {x+13}{x-1}=0 / x=-13 또는 x=1

따라서 다른 한 근은 x=-13이므로 b=-13

/ ab=3\{-13}=-39 -39

07 9x@-30x+a=0에서 x@-10 3 x+a

9=0

인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이

2

^회 ^43쪽

THEME

13

01 3x@+7x=6에서 3x@+7x-6=0 {x+3}{3x-2}=0

/ x=-3 또는 x=2 3 따라서 -3과 2

3 사이에 있는 정수는 -2, -1, 0이므로 구 하는 합은 {-2}+{-1}+0=-3 -3 02 x=-5를 x@+ax+20=0에 대입하면

25-5a+20=0, 5a=45 / a=9 즉, x@+9x+20=0에서 {x+5}{x+4}=0 / x=-5 또는 x=-4

따라서 다른 한 근은 x=-4이므로 b=-4

/ a+b=9+{-4}=5 ④

03 3x@-5x-2=0에서 {3x+1}{x-2}=0 / x=-1

3 또는 x=2

이때 두 근 중 큰 근이 x=2이므로 x=2를 3x@+{a-5}x-8=0에 대입하면 12+2{a-5}-8=0

2a-6=0 / a=3 ③

04 x@-2x-3=0에서 {x+1}{x-3}=0 / x=-1 또는 x=3

2x@-3x-5=0에서 {x+1}{2x-5}=0 / x=-1 또는 x=5

2

두 이차방정식의 공통인 근이 x=-1이므로 공통이 아닌 근은 각각 x=3, x=5

2 이다.

따라서 p=3, q=5 2 이므로 p+q=3+5

2=11 2

11 2 05 -x@+12x+a=0, 즉 x@-12x-a=0이 중근을 가지려면

-a=[-12

2 ]@ / a=-36 ② 06 x@+5x-14=0에서 {x+7}{x-2}=0

/ x=-7 또는 x=2 이 식이 중근을 가지려면 a

9=[-5

3 ]@이어야 하므로 a=25

즉, 9x@-30x+25=0에서 {3x-5}@=0이므로 x=5

3 / k=5 3 / k

a=5

3_25=5 3\ 1

25= 1

15 ②

05. 이차방정식의 뜻과 풀이

79

(20)

이차방정식의 근의 공식

1

^회 ^44쪽

THEME

14

01 3{x-1}@-9=0에서 {x-1}@=3 x-1=-j3 / x=1-j3

따라서 a=1, b=3이므로 a+b=1+3=4 ④ 02 서로 다른 두 근을 가지려면

a-3

4 >0이어야 하므로 a-3>0 / a>3 ⑤ 03 3x@+x-3=0에서 x@+1

3x=1 x@+1

3x+ 1

36=1+ 1

36 , [x+1 6 ]@=37

36 따라서 p=1

6 , q=37 36 이므로 p+q=1

6+37 36=43

36 ①

04 ax@-2x-4=0에서 근의 공식을 이용하면 x=1-j1+4al

a

따라서 a=4, 1+4a=b이므로 b=17

/ a+b=4+17=21 ①

05 주어진 이차방정식의 양변에 10을 곱하면 2x@+5x-5=0 / x=-5-j65k

4 ④

06 {x-3}{x+1}-1=0에서 x@-2x-4=0 / x=1-j5 yy ㉠

6x-5>2{x+2}에서 6x-2x>4+5 4x>9 / x>9

4 yy ㉡

따라서 ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 x의 값은 1+j5 ③ 이때 두 근 중 양수인 근이 x=2이므로

x=2를 x@-{a-1}x+a=0에 대입하면 4-2{a-1}+a=0 / a=6

즉, x@-5x+6=0에서 {x-2}{x-3}=0 / x=2 또는 x=3

따라서 다른 한 근은 x=3이다. ③

07 2x@-4x+a=0, 즉 x@-2x+a

2 =0이 중근을 가지려면 a

2={-1}@=1 / a=2

a=2를 두 이차방정식에 각각 대입하면 x@-3x-10=0, {x+2}{x-5}=0 / x=-2 또는 x=5

3x@+5x-2=0, {x+2}{3x-1}=0 / x=-2 또는 x=1

3

따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-2이다. ①

07 x-y=A로 치환하면

{x-y}{x-y+5}-7=0에서 A{A+5}-7=0, A@+5A-7=0 / A= -5-j53k2

이때 x>y에서 x-y>0이므로 A>0

/ x-y= -5+j53k2 ②

이차방정식의 근의 공식

2

^회 ^45쪽

THEME

14

01 ¹3 {x-1}@=4에서 {x-1}@=12

x-1=-2j3 / x=1-2j3 ④ 02 3x@-6x-15=0에서 x@-2x=5

x@-2x+1=5+1, {x-1}@=6 따라서 a=-1, b=6이므로

a+b={-1}+6=5 ③

03 2x@+4x-1=0에서 x@+2x-1 2=0 x@+2x=1

2 , x@+2x+1=1

2+1, {x+1}@=3 2 x+1=- j62 / x=-1- j6

2 따라서 a=1, b=3

2 , c=6이므로 abc=1\3

2\6=9 ④

04 3x@+4x+a=0에서 x=-2-j4-3al 3

따라서 b=-2이고 4-3a=13이므로 a=-3

/ a+b={-3}+{-2}=-5 ①

05 주어진 이차방정식의 양변에 6을 곱하면 x@-4x=2{5x-4}, x@-14x+8=0 / x=7-j41k

따라서 p=7, q=41이므로

p+q=7+41=48 ④

06 {2x-1}@-2x-x@-5={x+1}{x-1}에서 4x@-4x+1-2x-x@-5=x@-1

2x@-6x-3=0 / x=3-j15k 2 / a+b= 3-j15k2 +3+j15k

2 =3 3

07 주어진 이차방정식을 정리하면 x@-4x+4=2x+2, x@-6x+2=0 / x=3-j7

이때 k=3+j7이고 2<j7<3이므로 5<3+j7<6 따라서 구하는 정수 n의 값은 5이다. ③

(21)

THEME모아

01 ㄱ. 3x@-4x=x@-3에서 2x@-4x+3=0 ⇨ 이차방정식

ㄴ. 2x{x-2}=4+2x@에서 2x@-4x=4+2x@

-4x-4=0 ⇨ 일차방정식 ㄷ. x@+2x+1 ⇨ 이차식

ㄹ. 2x-4x@=x{2x-3}에서 2x-4x@=2x@-3x -6x@+5x=0 ⇨ 이차방정식

ㅁ. 5

x@+2x+5=0 ⇨ 이차방정식이 아니다.

ㅂ. 2x-3=x@에서

-x@+2x-3=0 ⇨ 이차방정식

따라서 이차방정식은 ㄱ, ㄹ, ㅂ의 3개이다. ③ 02 ① {-5}@-2\{-5}-15=0

② 3\2@+7\2+2=0

③ 4\[1

3 ]@-13\1

3+3=0

④ 3\3@-5\3-2=0

⑤ 2\1@+1-3=0

따라서 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은 ⑤이

다. ⑤

03 x=-1을 3x@+ax+b=0에 대입하면

3-a+b=0 / a-b=3 yy ㉠ x=1

3 을 3x@+ax+b=0에 대입하면 1

3+1

3a+b=0 / a+3b=-1 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

/ ab=2\{-1}=-2 ①

04 x=a를 x@+3x+1=0에 대입하면 a@+3a+1=0이므로 a@+3a=-1 / 2a@+6a+3 =2{a@+3a}+3

=2\{-1}+3=1 ②

05 x=a를 x@-3x+1=0에 대입하면 a@-3a+1=0, a-3+1

a=0 / a+1

a=3 a@+1

a@=[a+1

a ]@-2=3@-2=7 / a$+ 1

a$ =[a@+ 1a@ ]@-2

=7@-2=47 47

06 {x+3}8{2x-5}=-12에서 {x+3}{2x-5}-3=-12

2x@+x-6=0, {x+2}{2x-3}=0 / x=-2 또는 x=3

2

따라서 구하는 곱은 {-2}\3

2=-3 ②

07 x=2를 x@-ax+a-7=0에 대입하면 2@-a\2+a-7=0 / a=-3 즉, x@+3x-10=0이므로

{x+5}{x-2}=0 / x=-5 또는 x=2

따라서 다른 한 근은 x=-5이므로 상수 a의 값과 다른 한

근의 합은 {-3}+{-5}=-8 ①

08 일차항의 계수와 상수항을 바꾸면 x@+{k-1}x-k=0

이 식에 x=-3을 대입하면 9-3{k-1}-k=0 -4k=-12 / k=3

즉, 처음 이차방정식은 x@-3x+2=0이므로 {x-1}{x-2}=0

/ x=1 또는 x=2

따라서 두 근의 합은 1+2=3 3

09 x=-2를 {a-1}x@+{a@-3}x-6a+2=0에 대입하면 4{a-1}-2{a@-3}-6a+2=0

4a-4-2a@+6-6a+2=0 -2a@-2a+4=0, a@+a-2=0 {a+2}{a-1}=0

/ a=-2 또는 a=1

이때 a=1이면 이차방정식이 아니므로 a=-2 즉, {-2-1}x@+{4-3}x-6\{-2}+2=0에서 -3x@+x+14=0, 3x@-x-14=0

{x+2}{3x-7}=0 / x=-2 또는 x=7

3 따라서 다른 한 근은 x=7

3 이다. x=7

3 10 x@-3x+2=0에서 {x-1}{x-2}=0

/ x=1 또는 x=2

이때 두 근 중 작은 근이 x=1이므로 x=1을 2kx@+{k+3}x-5=0에 대입하면 2k+{k+3}-5=0, 3k-2=0 / k=2

3

2 3 11 x=-2를 3x@+3x+a=0에 대입하면

3\{-2}@+3\{-2}+a=0 6+a=0 / a=-6

x=-2를 x@+bx-8=0에 대입하면 {-2}@-2b-8=0

-2b-4=0 / b=-2

/ a+b={-6}+{-2}=-8 ①

05. 이차방정식의 뜻과 풀이

81

(22)

12 ㄱ. x@=14x-49에서 x@-14x+49=0 {x-7}@=0 / x=7

ㄴ. x@=1에서 x=-1

ㄷ. {x-2}@=2에서 x-2=-j2 / x=2-j2 ㄹ. 4x@+4x+1=0에서 {2x+1}@=0 / x=-1

2 따라서 중근을 갖는 것은 ㄱ, ㄹ이다. ③ 13 x@-12x+k=0이 중근을 가지므로

k=[-12 2 ]@=36

따라서 36x@=5에서 x@= 5 36

/ x=- j56 ①

14 {x-5}@=k-4가 중근을 가지므로 k-4=0에서 k=4

따라서 {x-5}@=0에서 x=5이므로 a=5

/ a+k=5+4=9 ④

15 2x@-6x+m=0에서 x=3-j9-2ml

2

따라서 n=3이고, 9-2m=3에서 m=3

/ 2m+n=2\3+3=9 ④

16 ¹5 {x+1}@=0.2{x+1}+

1

2 의 양변에 10을 곱하면 2{x+1}@=2{x+1}+5

2x@+4x+2=2x+2+5 2x@+2x-5=0

/ x= -1-j11k2 ②

17 x@+0.1x-0.2=0의 양변에 10을 곱하면 10x@+x-2=0, {2x+1}{5x-2}=0 / x=-1

2 또는 x=2 5 / a=2

5 1 2x@+4

3x+5

6=0의 양변에 6을 곱하면 3x@+8x+5=0, {x+1}{3x+5}=0 / x=-1 또는 x=-5

3 / b=-5

3 / ab=2

5\[-5 3 ]=-2

3 ①

18 {12x+1}@+{12x+1}-6=0에서 12x+1=X로 치환하면

X@+X-6=0, {X+3}{X-2}=0 / X=-3 또는 X=2

즉, 12x+1=-3 또는 12x+1=2이므로

x=-1

3 또는 x= 1 12 따라서 두 근의 차는 1

12-[-1 3 ]= 5

12 이므로

p=12, q=5에서 p+q=12+5=17 ③ 19 x@-5x-9=0의 한 근이 x=m이므로

m@-5m-9=0 / m@-5m=9 y❶ x@-7x-5=0의 한 근이 x=n이므로

n@-7n-5=0 / n@-7n=5 y❷ / m@+2n@-5m-14n =m@-5m+2{n@-7n}

=9+2\5=19 y❸

19

❶ m@-5m의 값 구하기 2점

❷ n@-7n의 값 구하기 2점

❸ m@+2n@-5m-14n의 값 구하기 2점

20 x@-6x+k=0이 중근을 가지므로 k=[-6

2 ]@=9 y❶

k=9를 {k-7}x@-5x-3=0에 대입하면 2x@-5x-3=0, {2x+1}{x-3}=0 / x=-1

2 또는 x=3 y❷

x=-1

2 또는 x=3

❶ k의 값 구하기 3점

❷ 이차방정식의 근 구하기 3점

21 x@-4x-7=0에서 x@-4x=7

x@-4x+4=11, {x-2}@=11 y❶ 따라서 p=-2, q=11이므로

p+q=-2+11=9 y❷

9

❶ {x+p}@=q의 꼴로 나타내기 3점

❷ p+q의 값 구하기 2점

22^AEZ=x라 하면 ABZ=DCZ=AEZ=x이므로 ADZ：DCZ=ABZ：DEZ에서

6：x=x：{6-x} y❶

x@=6{6-x}, x@+6x-36=0 / x=-3-j9+36l=-3-3j5 이때 x>0이므로 x=-3+3j5

따라서 선분 AE의 길이는 -3+3j5이다. y❷ -3+3j5

❶ 닮음을 이용하여 비례식 세우기 3점

❷ 선분 AE의 길이 구하기 3점