인터넷수능 짱이샘의 한 보충문제 제 강
[ ... Cool ] 32
꼭 알아두어야 할 그래프 ...
⎗
여러 가지 지수함수와 로그함수의 그래프
[그림1] 와 의 그래프
[그림2] 와 의 그래프
핵심유형 ⇨ 역함수의 성질
함수
≧
의 역함수를
라고 할 때, ∘ ∘ 을 만족하는 의 값을 구하시오.
생각
함수 의 역함수가 인데 함수, 가 복잡 하여 역함수를 구하기 쉽지 않다.
따라서 수학, 10-나에서 배운 것처럼 직접 역함수를 구해 계산하기보다는 역함수의 성질
⇔
을 이용하여 역함수의 함수값을 구하는 것이 편리하다.
Cool Idea!! 역함수에 관한 문제는 역함수의 성질을 이용하자!
풀이
함수 의 역함수가 이므로, ∘ ∘ 에서
∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘
∴ ∘ ∘
∘ ∘ 이 때,
×
∴
한마디
학년 때 배운 역함수에 대한 중요한 성질이므로 꼭 기억해
1 ,
두어야 한다 즉 함수. , , 가 일대일대응일 때
⑴ ⇔
⑵
⑶ ∘ ∘
⑷ ∘
, ∘
(
는 항등함수)⑸ ∘
⇔ , 인터넷수능 짱이샘의 한 보충문제 제 강
[ ... Cool ] 32
수능대박을 꿈꾸며... 짱이샘의 COOLMATH ^---^γ
- 2 - 1 [ 평가원 ]
함수 의 정의역을
, 함수 의 정의역을
라 할 때,
∩
의 원소 중 정수의 개수는? [3 점]① ② ③
④ ⑤
[1]
2 [ 수능 ]
두 실수 와 가 이 아닌 양수일 때 함수, 의 그래 프와 함수 의 그래프가 항상 만나는 경우를 <보 기 에서 모두 고른 것은> ? [3 ]점
.
ㄱ ＞ 이고 ＞
.
ㄴ ＞ 이고 ＜＜
.
ㄷ ＜＜ 이고 ＜＜
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
,
④ ㄱ ㄴ ⑤ ㄴ ㄷ,
[2]
3
다음 <보기 의 함수의 그래프 중에서 평행이동 또는 대칭이>
동에 의해 함수 의 그래프와 일치할 수 있는 것을 모 두 고르면? [3 ]점
.
ㄱ ⋅ ㄴ . .
ㄷ ㄹ . ,
① ㄱ ㄴ ② ㄱ ㄷ, ③ ㄷ ㄹ, , ,
④ ㄱ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄷ ㄹ, ,
[3]
4 [ 교육청 ]
좌표평면 위의 네 점 , , ,
를 연결하여 만든 직사각형이 있다. 로그함수
가 직사각형 와 만나기 위한 의 최댓값을
, 최솟값을
이라 할 때,
의 값을 구하시오. [점]
[4]
5
다음 그림과 같이 함수
의 그래프의 점 근선이 이고, 절편, 절편이 각각 , 일 때,
의 값을 구하시오. ( , ,,는 상수단 ) [3 ]점
O
[5]
6 [ 수능 ]
지수함수 의 역함수가
일 때 양수, 의 값을 구하시오. [3 ]점
[6]
7 [ 수능 ]
지수함수 의 그래프와 그 역함수의 그래프가 두 점에서 만나고 두 교점의, 좌표가 과 일 때, 의 값은? [3 ]점
① ② ③
④ ⑤
[7]
8 [ 평가원 ]
두 실수 에 관한 연립방정식
의 해의 개수는? [4 ]점① ② ③
④ ⑤
[8]
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[ ... Cool ] 33 ~ 35
9 [ 평가원 ]
＞ 일 때, <보기 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은> ? [4 점]
.
ㄱ 함수 의 그래프와 함수 의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다.
.
ㄴ 함수 의 그래프와 함수
의 그래프는 만난다.
.
ㄷ 함수 의 그래프와 함수 의 그래프가 만나도록 하는 양의 실수 가 존재한다.
① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ,
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[9]
10 [ 평가원 ] 63쪽 2번 관련 유형
정의역이 ∣ ＜＜ 일 때 함수,
의 치역은? [4 ]점
① ∣ ＞ ② ∣ ＞
③∣ ＞ ④∣ ＞ 실수 전체의 집합
⑤
[10]
11 [ 수능 ] 함수
≧
의 역함수를
라고 할 때,
∘ ∘ ∘ ∘
을 만족하는 의 값을 구하시오. ( ,단
∘ 이다.) [4 ]점
[11]
12
함수 의 역함수를 라 할 때 방정식,
의 두 근이 , 이다 이 때. , 의 값은?
( , 는 상수단 ) [3 ]점
① ② ③
④ ⑤
[12]
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[ ... Cool ] 37
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- 4 - 13
함수
의 최소값은? [3 ]점①
②
③
④
⑤
[13]
14 [ 교육청 ]
두 함수 ,
의 역함수 를 각각 , 라 한다 두 함수. , 의 그래프가 점 에서 만나도록 두 실수 , 의 값을 정할 때, 의 값을 구하시오. [4 ]점
[14]
한 보충문제 지수함수 로그함수 총 정리 제 강
[ Cool ] , 39
15
오른쪽 그림에서 □는 한 변의 길이가 인 정사각형 이고 점 , 는 각각 곡선
, 위의 점이다. 이 때 변, 가 곡선 과 만 나는 점 의 좌표 에 대 하여 ⋅의 값을 구하시오.
단 정사각형의 각 변은
( , 축
또는 축에 평행하다.) [3 ]점
[15]
16
곡선 과 기울기가 인 직선이 두 점 에서 만난 다 두 점. 의 좌표는 각각 이고 선분 의 길이가 일 때 의 값을 구하시오. [3 ]점
[16]
17 [ 경찰대 ]
기울기가 인 직선 이 곡선 와 만나는 점을
, 직선 이 곡선 와 만나는 점을
라고 하자. 일 때, 의 값은? ( ,단
) [4 ]점
① ② ③
④ ⑤
[17]
18
두 곡선 ⋅ , 는 직선 에 대하여 대칭이다 이 때 두 상수. , , 에 대하여 의 값을 구하시오. [4 ]점
[18]
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[ Cool ] , 39
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- 6 - 19 [ 교육청 ]
의 그래프를 축 방향으로 만큼, 의 그 래프를 축 방향으로 만큼 평행이동하였더니 두 함수의 그 래프가 두 점에서 만났다 이 두 점 사이의 거리가. 일 때 상수, 의 값은? [4 ]점
①
②
③ ④
⑤
[19]
20 [ 수능 ]
다음 부등식을 만족시키는 두 자연수 의 순서쌍 의 개수를 구하시오. [4 ]점
≦
[20]
21
,
라 할 때 점,
는 오른쪽 그림의 색칠한 영역을 나타낸 다. 이 때, , 가 모두 정수인 순서쌍 의 개수를 구하시오. ( ,단 경계는 제 외한다.) [4 ]점
[21]
22 [ 교육청 ]
좌표평면에서
≤ 를 만족하는 점 에 대하여 의 최댓값을
, 최솟값을 이라 할 때,
의 값을 구하시오. [4 ]점[22]
O
1
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[ Cool ] , 40
23
인 실수 와 이 아닌 세 양수 에 대 하여 등식
이 성립할 때 다음 중, 의 대소 관계로 옳은 것 은? ( , 단
[3 ]점
① ②
③ ④
⑤
[23]
24 [ 교육청 ]
다음 그림은 함수 의 그래프이다.
에 대한 방정식 의 세 실근의 비가
일 때 세 실근의 합은, ? [4 ]점
①
② ③
④ ⑤
[24]
25
에 대한 방정식 이 실근 을 갖지 않기 위한 상수 의 값의 범위는? [4 ]점
① ≧ ② ③ ＜＜
④ ⑤ ≦
[25]
26 [ 교육청 ]
함수 의 그래프 위의 두 점 의 좌표가 각 각 일 때 보기에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은, ? ( , 단 ) [4 ]점
. ㄱ
ㄴ .
＜
.
ㄷ ∣ ∣일 때,
＜이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
,
④ ㄱ ㄴ ⑤ ㄴ ㄷ,
[26]
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[ Cool ] , 40
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- 8 - 27
등식
을 만족하는 서로 다른 두 실수 에 대 하여 보기에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4 ]점. ㄱ
.
ㄴ .
ㄷ
① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ,
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[27]
28
함수 이라 하고, 의 역함수를
라 하자 다음. <보기 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은> ? ( , ＞ ＜＜단 ) [4 ]점
.
ㄱ ＜
.
ㄴ
.
ㄷ ＜
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄴ,
,
④ ㄱ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[28]
29
자연수 과 이 아닌 양의 실수 에 대하여
∣
이라 할 때 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은, ? [4 ]점 .
ㄱ
.
ㄴ 이면
⊂
이다. .ㄷ
⊂
이면 이다.① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ,
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
[29]
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[1] ②
에서 ＞ ∴ ＜ ＜
∴
＜ ＜ 에서 ＞ ∴＞
∴
＞ 따라서,
∩
＜ ＜ 이므로 정수, 는 2, 3이 므로 2개이다.[2] ⑤
… ㉠, … ㉡ 에 대하여 .
ㄱ 이고 일 때 와 의 값에 따라 만나는 경우 도 있으나, , 의 그래프와 같이 만나지 않는 경우도 있으므로 항상 만난다고는 할 수 없다.
.
ㄴ 이고, 일 때 아래 그래프와 같이 항상 만, 날 수 밖에 없다.
.
ㄷ 이고 일 때 아래 그래프와 같이 항상, 만날 수 밖에 없다.
[3] ②
.
ㄱ ⋅ ⋅ ⋅ 는 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
.
ㄴ 이므로 평행이동 또는 대칭이동에 의 해 함수 의 그래프와 일치할 수 없다.
.
ㄷ 와 는 서로 역함수이므로, 의 그래 프를 직선 에 대하여 대칭이동한 후, 축의 방향으로
만큼 평행이동한 것이다. .
ㄹ
이므로 이 함수의 그래프는 오른쪽 그, 림과 같다 즉 평행이동 또는 대칭이. ,
동에 의해 함수 의 그래프와 일치할 수 없다.
-1 O 1
[5] [6]
의 역함수를 구하기 위해 를 서로 바꾸면
양변에 밑이 인 로그를 취하면
∴
따라서 이 식이,
와 같으므로,
에서
∴ ∵
[7] ③
의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 의 그 래프와 직선 의 교점과 같고 두 교점의, 좌표가 1, 3 이므로 교점의 좌표는 이다.
에서 이므로
∴
에서 이므로
∴ (∵ )
∴
[8] ④
연립방정식
…… ㉠…… ㉡ 라 하면, 은 원의 중심이㉠ 이고 반지름이 인 원이다. 을 로그의 성질을 이용해 정리
㉡ 하면
∴ 또는
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- 10 -
즉,
이제 를 바꾸면 이므로 함수 의 역함수는
따라서 두 함수의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다. 참
▷ .
ㄴ 이면 두 함수 , 의 그래프는 만나지 않으므로 두 함수, , 의 그래프는 만나지 않는다.
이 때,
이므로 두 함수 ,
의 그래프는 만나지 않는다. ▷ 거짓
. 함수
ㄷ 의 그래프는 점 을 지난다. 이 때, 보다 큰 양수 에 대하여
라 하면 이
고 함수 의 그래프는 점 을 지나므로 두 함수의
그래프가 만난다. ▷ 참
따라서 옳은 것은, ㄱ ㄷ, 이다.
O
[10] ③
로 놓으면
즉, 의 그래프는
의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
오른쪽 그림에서 일 때
이므로 함수,
에서
따라서, 함수 의 치역은 이거든 ...
^^
⎘ 분수함수
의 그래프
⑴
의 그래프를
축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
정의역 :
⑵ ≠ 는 실수 치 역 : ≠ 는 실수 점
⑶ 에 대하여 대칭이다. 점근선 :
⑷ ,
일대일대응이 되므로 역함수를 갖는다.
⑸
[11]
함수 의 역함수가 이므로,
∘ ∘ ∘ ∘ 에서
∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘
∘ ∘ ∘ ∘
∴ ∘ ∘ ∘ ∘
∘ ∘ ∘ ∘ 이 때,
×
⋅ 따라서,
[12] ②
와 의 그래프가 직선 에 대하여 대칭 이므로 방정식 의 근은 방정식 의 근과 같다.
∴
⇔
⋯⋯ ⋯⋯㉠㉡ 따라서 ㉡ ㉠- 에서 ,
∴
× [13] ①
따라서, 는 일 때 최소값,
이다.[14]
두 함수 ,
의 그래프는 모두 점 을 지나므로
,
,
∴
이 때 진수가, 로 같고 밑이 와
로 다르므로 두 값, 이 같으려면 진수 는 이어야 한다.
따라서, 에서 이므로 이 값을,
에 대입하면
∴
[15]
점 의 좌표를 이라 하면 점 의 좌표는
이 때 점, 와 점 의 좌표가 같으므로
, , ∴ 따라서 점, 의 좌표는 이고 점 와 점 의 좌표 가 같으므로 점 의 좌표를 이라 할 때, 점 는
의 그래프 위에 있다.
∴
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즉 점, 의 좌표는 이 므로
,
∴ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
[16]
곡선 과 기울기가 인 직선이 만나는 두 점은
이므로
……… ㉠
∴
∵㉠
이므로 ……… ㉡ 을 에 대입하면
㉡ ㉠ ⋅
∴
∴
[17] ⑤
이고 직선, 의 기울기가 이므로
,
곡선 이 점 를 지나고 곡선,
이 점 를 지나므로
… ①
… ② 식 ①에서 식 ②를 빼면
, ,
,
⋅ , 이 므로 두 함수, ⋅ , 의 그래프는 두 함수 , 의 그래프를 각각 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
이 때 두 함수, , 는 서로 역함수이므로 두, 함수의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다.
따라서 두 함수, ⋅ , 의 그래프는 직선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만 큼 평행이동한 직선에 대하여 대칭이므로 구하는 직선의 방 정식은 즉, 이다.
∴
[19] ①
조건을 만족하는 두 함수는
,
또한 두 함수는 서로 역함수이고 두 함수의 그래프가 만나 는 교점은 두 함수 와 의 그래프와의 교 점과 같고 두 점 사이의 거리는 이다.
만나는 두 점을 , ( ＜ 라 하면)
∴ ⋯ ㉠
한편,
⋯ ㉢ ⋯ ㉡에서 ㉢ ㉡하면 ∴
⋯ ㉣ 따라서, ㉠과 ㉣를 연립하면 ,
이므로, ㉡에 서
∴
[20]
≦ ( 는 자연수 에서)
≦ … ㉠)
ⅰ
일 때 즉,
, 인 경우 에서
㉠
≦ ,
≦ ,
≦
∴ ≦
이 때, 모두 자연수이고 이므로 순서쌍 는
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- 12 -
는
∴가지 따라서 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 구하는 순서쌍의 개수는
개( ) [21]
주어진 부등식의 영역에서
,
,
이 때,
,
이므로 ∴ … ㉠
∴ … ㉡
에서
∴ … ㉢ 따라서, ㉠ ㉡ ㉢, , 에서
)
ⅰ 일 때, 이므로 , , ,… ∴ 개 )
ⅱ 일 때, 이므로 , ∴ 개 )
ⅲ 일 때, 이므로 ∴ 개 )
ⅳ ≧ 일 때, ≧ 이므로 의 값은 없다. 이므로 구하려는 순서쌍, 의 개수는
개( ) [22]
)
ⅰ ≥ , ≥ 인 경우
≥ , ≥ 이고 ≤ 이므로 ≤
이다. )
ⅱ ≥ , 인 경우
≥ , 이고
≤ 이므로 ≥
이다. )
ⅲ , ≥ 인 경우
, ≥ 이고
≤ 이므로 ≤ 이다. )
ⅳ , 인 경우
, 이고 ≥
이므로 ≥
이다.
따라서, 라 하면 최댓값은 , 을 지날 때이므로
, 최솟값은
에서 접할 때이므로
이다.
∴
[23] ④
에서
, 이므로 세 함수
,
의 그래프는 다음 그림과 같다. 이 때 직선, 와 세 함수의 그래프의 교점의 좌표 를 각각 라 하면, 주 어진 그림에서
[24] ②
함수 와 의 그래프를 방정식
의 세 실근의 비가 가 되도록 그려보면 다음과 같다.
세 실근의 비가 이므로 세 실근을,
라 하자.
이 때, 는 와 의 교점의 좌표이고,
와 는 와 의 교점의 좌표들이다. 즉,
… ①
… ②
… ③ 을 얻을 수 있다.
- 에서
② ① … ④ - 에서
③ ④ … ⑤ 와 에서
④ ⑤ 이므로
∴
(∵ ) 따라서 세 실근은,
이므로 그 합은, 이 다.
[25] ④
라 하면 ≧
이 때, 에서
… ㉠
주어진 방정식이 실근을 갖지 않으려면，에 대한 이차방정 식 ㉠이 허근을 갖거나 또는 두 근이 모두 보다 작아야 한 다 즉. , 라 하면
허근을 가질 때 )
ⅰ
＜ 에서 ∴ ＜＜)
ⅱ 두 근이 모두 보다 작을 때 대칭축이
① 보다 작아야
하므로
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⋅
∴
실근을 가지므로
②
≧ , ≧ ∴ ≦ 또는 ≧
③ 에서의 함수값이 양수이어야 하므로
＞ ∴ ＜
에서 공통범위를 구하면 , ,
① ② ③
≦
따라서, ⅰ), ⅱ)에서 구하는 의 값의 범위는 ＜
[26] ④ .
ㄱ 곡선 위의 두 점 ,
라 하면, 오른쪽 그림과 같이
는 직선 의 기울기이고,
는 직선 의 기울기이므로
참
▷ . 곡선
ㄴ 와 축의 교점을 이라 하면 다음 그, 림과 같이
의 값은 직선 의 기울기이고,
의 값은 직선 의 기울기이므로
＜
참
▷
. (반례)
ㄷ 이면
＞ ▷ 거짓 따라서 보기 중에서 옳은 것은 ㄱ ㄴ, 이다.
[27] ③ .
ㄱ
로 놓으면∴
▷ 참따라서 옳은 것은 ㄱ ㄷ, 이다. [28] ①
이면 역함수 이다. .
ㄱ
＜＜이고 ＞이므로 ＜
＜이고 ＜＜이므로 ＜ 즉, ＜＜이므로 ＜
. (반례)
ㄴ ＞인 경우 과 의 그래 프가 서로 다른 두 점 ,
＜
에서 만날 때,＜＜＜인 에 대하여 ＜
. (반례)
ㄷ 이고,
,
일 때
, 이므로
따라서 옳은 것은, ㄱ뿐이다. [29] ③
.
ㄱ
∣
∣
∣
또,
∣
∣
∣
∴
참[ ] .
ㄴ , 일 때로 나누어 의 그래프를 이 용하여
,
으로 나타내면 다음과 같다.인터넷수능 짱이샘의 한 보충문제 제 강 제 강
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- 14 -
∣
∣-
∣
이므로
⊂
이지만
[거짓] 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ ㄴ, 이다.
