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2019학년도 대학수학능력시험 대비
2018학년도 10월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설
• 수학 영역 •
수학‘가’형 정답
1 ⑤ 2 ② 3 ① 4 ③ 5 ⑤
6 ② 7 ② 8 ③ 9 ① 10 ④
11 ④ 12 ③ 13 ③ 14 ④ 15 ⑤
16 ① 17 ④ 18 ⑤ 19 ② 20 ①
21 ② 22 23 24 25 26 27 28 29 30
해 설
1. [출제의도] 벡터의 뺄셈을 계산한다.
이므로 모든 성분의 합은 2. [출제의도] 지수함수의 극한값을 계산한다.
lim
→
lim
→
×
3. [출제의도] 좌표공간에서 직선의 방정식을 이용하여 미지수의 값을 계산한다.
직선
, 가 원점을 지나므로
, 따라서
4. [출제의도] 확률의 덧셈정리를 이해한다.
P∪ P P에서
P
따라서 P
5. [출제의도] 접선의 기울기를 이해한다.
이라 하면 ′
이므로
′
×
6. [출제의도] 이항분포를 이해한다.
확률변수 는 이항분포 B
을 따르므로V ×
×
7. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이해한다.
cos
, sin
이므로
sin sin cos cos sin
×
×
8. [출제의도] 자연수의 분할을 이해한다.
따라서 구하는 분할의 수는 이다.
9. [출제의도] 부분적분법을 이해한다.
ln
ln
10. [출제의도] 쌍곡선의 성질을 이용하여 미지수의 범 위를 이해한다.
쌍곡선 과 쌍곡선
의 점근선 의 방정식은 각각 ± , ±
≤ ≤ 이므로 정수 의 개수는 이다.
11. [출제의도] 벡터의 내적과 벡터의 크기 사이의 관
계를 이해한다.
AB⋅BC 이므로 AB⊥BC이다.
선분 BC의 중점을 M이라 하면
AB ACAM 이므로 AM 따라서 직각삼각형 ABM에서
BM
AM AB 이므로BC BM BM [다른 풀이]
AB⋅BC 에서
AB⋅AC AB AB⋅ACAB 이고 AB 이므로
AB⋅AC AB
BCAC ABAC AB AC⋅AB
따라서 BC
12. [출제의도] 지수함수와 삼각함수가 포함된 부등식 을 이해한다.
(ⅰ) 이고 cos 인 경우
이고
이므로
(ⅱ) 이고 cos
인 경우
이고
이므로
따라서
또는 이므로
13. [출제의도] 정적분으로 정의된 함수를 이해하고 최 솟값을 구하는 문제를 해결한다.
′
에서
이고
의 좌우에서 ′의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로
는
에서 극소이면서 최소이다.
′
ln
ln
14. [출제의도] 모비율의 신뢰구간을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.
표본비율은 이고 표본의 크기가 충분히 크므로 모비율 의 신뢰구간은
×
≤ ≤
×
따라서 × ×
×
15. [출제의도] 조건부확률을 구하는 상황을 추측한다.
갑이 꺼낸 흰 공의 개수가 을이 꺼낸 흰 공의 개수보 다 많은 사건을 , 을이 꺼낸 공이 모두 검은 공인 사건을 라 하자.
갑이 꺼낸 흰 공의 개수가 을이 꺼낸 흰 공의 개수보 다 많으려면 갑이 꺼낸 흰 공이 개이고 을이 꺼낸 흰 공이 개이거나 갑이 꺼낸 흰 공이 개이고 을이 꺼낸 흰 공이 없어야 한다.
P
C
C
× C
C×C
C
C
× C
C
P∩
C
C
× C
C
따라서 P P
P∩
16. [출제의도] 정적분을 이용하여 입체도형의 부피 문 제를 해결한다.
점
≤ ≤
를 지나고 축에 수직인평면으로 자른 단면의 넓이는
× sin 이다.
따라서 구하는 입체도형의 부피는
sin
로 놓으면
이므로
sin
sin
×
cos
17. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 삼각함수의 극 한값을 추측한다.
BC BD sin 이므로 삼각형 BCD는 이등변삼각형이 다.
∠BCD ∠BDC
∠CBD
, ∠BDE DE sin cos, BE sin sin
따라서 사다리꼴 BCDE의 넓이는
sin cos sin × sin sin
sin sin cos
lim
→
lim
→
sin
× sin
× cos
× ×
18. [출제의도] 좌표평면 위의 점의 운동 상태와 관련 된 문제를 해결한다.
점 P의 속력이 매초 이므로 초 후 호 AP의 길이 가 이고 따라서 선분 OP가 축의 양의 방향과 이 루는 각의 크기는 이다. 따라서 직선 OP의 방정식 은 tan 이고, 점 Q는 두 직선 과
tan 의 교점이므로 시각 에서의 점 Q의 좌표 는
tan tan tan
이다.따라서 점 Q의 속도는
tan sec tan sec
이다.점 P의 좌표가
일 때, 점 P는 원 위
의 점이므로 그 좌표는 P
이다.따라서 점 P의 좌표가
일 때의 시각을 이라
하면 tan
이므로 sec
이때 점 Q의 속도는
이므로
19. [출제의도] 중복조합을 이용하여 경우의 수를 증명 한다.
× , × , × , × 이라 하면
,
(단, , , , 에 대하여 , 는 음이 아닌 정수)
이다. 이때 가 짝수이므로 , , , 가 모 두 짝수이거나 , , , 중에서 개만 짝수이다.
(ⅰ) , , , 가 모두 짝수인 경우
2
, , , 가 모두 자연수이고 , , ,
는 음이 아닌 정수이므로 순서쌍
의 개수는 H ×H ⋯⋯ ㉠
(ⅱ) , , , 중에서 개만 짝수인 경우
, , , 중에서 자연수가 개이고 이 개이므로 순서쌍 의 개수는 C× H
이다. 이때 , , , 중 홀수인 두 수는 이 될 수 없으므로 순서쌍 의 개수는 H
이다. 따라서 순서쌍
의 개수는 C× H ×H ⋯⋯ ㉡
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 ㉠ ㉡이다.
따라서 , H ,
, HC , 이므로 이다.
20. [출제의도] 공간에서 직선의 위치관계를 이해하고 벡터의 크기와 내적을 추측한다.
ㄱ. AC, CE이므로 두 점 A, E는 점 C를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 구 위의 점이다. 따라서 선분 AE가 구의 지름이 될 때
AE는 최대이고 최댓값은 이다. (참) ㄴ. 그림과 같이 네 점 A, B, C, D가 평면 위에
있고 직선 DE가 평면 와 수직이면 AB⊥DE이 지만 두 선분 BC, CD가 수직이 아닐 때도 있다.
(거짓)
ㄷ. AB⊥CD이고 BC⊥CD이므로 직선 CD는 평면 ABC와 수직이다. CD ⊥DE이고 DE 이므로 점 E는 직선 CD와 수직이고 점 D를 지나는 평면
위에서 점 D를 중심으로 하고 반지름의 길이 가 인 원 위의 점이다.
점 A에서 평면 에 내린 수선의 발을 H라 하 면
AC⋅AE HD ⋅AH HD DE
HD ⋅AH HD ⋅HD HD ⋅DE
HD HD ⋅DE HD ⋅DE
≤ × ×cos
(단, 등호는 HD DE( )일 때 성립 한다.) (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
21. [출제의도] 역함수의 성질과 역함수의 미분법을 이 용하여 문제를 해결한다.
′
이므로 모든 실수 에 대하여 ′ ≤ 이다.
따라서 함수 는 실수 전체의 집합에서 감소한다.
⋯⋯ ㉠
두 곡선 , 의 임의의 한 교점을
라 하면 점 도 교점이다.
에서 그래프가 원점에 대하여 대칭이 므로 곡선 는 점 를 지난다.
따라서 곡선 는 두 점 , 를 지 난다.
≠ 이면 두 점 , 를 지나는 직선의
기울기는
이므로 ㉠에 모순이다.
따라서 이고 두 곡선 , 의 교점은 모두 직선 위에 있다.
에서
이고 방정식을 풀면
또는 또는
이므로
,
이다.
함수 라 하면
따라서 이므로 역함수의 미분법에 의하여
′ ′
이고, ′ ′ 이므로
′ ′
⋯⋯ ㉡
의 양변을 미분하여 정리하면
′ ′이므로 ′ ′
따라서 ㉡에서 ′
′
이므로
′ ′ ′
에서 ′
㉠에서 ′
′
22. [출제의도] 순열의 수를 계산한다.
명을 일렬로 세우는 경우의 수는 P
23. [출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 미분계 수를 계산한다.
′ × 이므로 ′
24. [출제의도] 로그함수의 그래프의 성질을 이해한다.
A , B log, C
log
이므로 삼각형 ACB의 무게중심의 좌표는
이고
에서
따라서 B , C 이므로 삼각형 ACB의 넓이는
× ×
25. [출제의도] 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법 을 이해한다.
,
이므로
따라서 lim
→ ∞
lim
→ ∞
26. [출제의도] 정규분포의 표준화를 이해한다.
P
≥
P
≤
에서
이므로
P
≥
P
≥
이므로P
≤ ≤
, 이므로
27. [출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 도형 문제를 해결한다.
포물선 의 방정식은 이고 포물선 의 방정식은 이다.
두 점 A, B에서 의 준선 에 내린 수선의 발을 각각 E, F라 하고, 두 점 C, D에서 의 준선
에 내린 수선의 발을 각각 G, H라 하자.
AE BF AF BF 이고 점 A와 점 B의 좌 표는 각각 , 이므로
CG DH CF DF 이고 점 C와 점 D의 좌표는 각각 , 이므로
따라서
이므로
28. [출제의도] 수학적 확률을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.
처음에 스티커가 붙어 있는 카드를 A, B, 스티커가 붙어 있지 않은 카드를 C, D, E라 하자.
(ⅰ) 스티커가 개 붙어 있는 카드가 장일 경우 첫 번째 시행에서 A, B를 모두 꺼내고, 두 번 째 시행에서도 A, B를 모두 꺼내야 하므로 그 확률은
C
C
× C
C
(ⅱ) 스티커가 개 붙어 있는 카드가 장일 경우 1) 첫 번째 시행에서 A, B를 모두 꺼내는 경우
두 번째 시행에서는 A, B 중에서 장, C, D, E 중에서 장을 꺼내야 한다.
이 경우의 확률은
C
C
× C
C×C
2) 첫 번째 시행에서 A, B 중에서 장, C, D, E 중에서 장을 꺼내는 경우
첫 번째 시행에서 A, B 중에서 꺼낸 카드를 X, 꺼내지 않은 카드를 Y라 하면 두 번째 시행에서는 X를 반드시 꺼내고 나머지 장 을 Y, C, D, E 중에서 꺼내야 한다.
이 경우의 확률은
C
C×C
× C
C×C
따라서 스티커가 개 붙어 있는 카드가 장일 확률은
3
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 확률은
, 이므로
29. [출제의도] 공간도형의 성질을 이용하여 문제를 해 결한다.
선분 BP의 중점 M을 지나고 직선 AH와 평행한 직 선이 선분 AB와 만나는 점을 E라 하자. 이때 점 M 은 원 의 중심이고, 직선 ME는 선분 BP의 수직이 등분선이므로 BE PE이다. 이때 삼각형 APB에서
AP AB , ∠PAB 이므로
BP , BM BP 삼각형 APB와 삼각형 MEB는 서로 닮음이므로
ME
BM , BE ME
따라서 PE BE
직선 ME는 원 의 중심 M을 지나고 원 를 포함 하는 평면에 수직인 직선이므로 원 위의 임의의 점 Q에 대하여 QE BE 이다.
따라서 점 Q는 점 E를 중심으로 하고 반지름의 길 이가 인 구 위의 점이다.
이 구가 평면 에 의해 잘려서 생기는 두 부분 중 점 B가 속한 부분(원 포함)을 라 하면 점 P가 원 위를 움직일 때 원 가 나타내는 도형이 이 다.
원 위의 점 Q는 도형 위의 점이므로 선분 XQ 의 길이는 선분 XQ가 구의 중심 E를 지날 때 최대 이고, 최댓값은
XE EQ
XA AE , 이므로
30. [출제의도] 삼각함수의 성질과 정적분을 이용하여 문제를 해결한다.
부등식 ≤ 를 만족시키는 의 범위는 곡선
가 직선 와 만나거나 아래쪽에 그려 지는 실수 의 범위와 같다. 따라서 직선 와 곡선 가 만나는 점의 좌표 중 가장 작은 값 이 이다.
(ⅰ) ≤
일 때
점 A의 좌표가 일 때, 점 A를 지나고 축 에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 좌 표가 가장 작은 점은 A이다.
따라서 이다.
(ⅱ)
≤ 일 때
점 B의 좌표가 일 때, 점 B를 지나고 축 에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 좌 표가 가장 작은 점은 B′이다.
따라서 점 B′의 좌표가 이다.
두 점 B, B′은 직선
에 대하여 대칭이 므로
에서 이다.
(ⅲ) ≤ 일 때
점 C의 좌표가 일 때, 점 C를 지나고 축 에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 좌 표가 가장 작은 점은 C′이다.
따라서 점 C′의 좌표가 이다.
점 C는 곡선 sin 위의 점이고 점 C′은 직 선 위의 점이므로
sin 에서 sin 이다.
(ⅳ) ≤ 일 때
점 D의 좌표가 일 때, 점 D를 지나고 축 에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 좌 표가 가장 작은 점은 D′이다.
따라서 점 D′의 좌표가 이다.
점 D는 직선 위의 점이고 점 D′은 곡선 sin 위의 점이므로
sin 이다.
함수 sin
≤ ≤
의 역함수를라 하면 이다.
(ⅴ) 일 때
점 E의 좌표가 일 때, 점 E를 지나고 축 에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 좌 표가 가장 작은 점은 E이다.
따라서 이다.
함수 는 에서 불연속이므로 이고 그래프는 그림과 같다.
cos
한편 위의 그림에서
sin
≤ ≤
직선 대칭
㉠
축 대칭
㉡
평행이동
㉢
이므로
빗금 친 부분의 넓이
×
sin
따라서
, 이므로 ×
수학‘나’형 정답
1 ⑤ 2 ② 3 ③ 4 ② 5 ④
6 ④ 7 ⑤ 8 ① 9 ③ 10 ⑤
11 ① 12 ① 13 ④ 14 ④ 15 ⑤
16 ③ 17 ② 18 ① 19 ② 20 ③
21 ② 22 23 24 25 26 27 28 29 30
해 설
1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 지수를 계산한다.
×
2. [출제의도] 도함수를 이용하여 미분계수를 구한다.
에서 ′
따라서 ′
3. [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 집합의 원소의 개수를 구한다.
∩
4. [출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 정적분을 계산 한다.
5. [출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계를 이용하여 주어진 수열의 합을 구한다.
× ×
6. [출제의도] 함수의 좌극한과 우극한을 구한다.
lim
→
lim
→
7. [출제의도] 이산확률분포의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 확률을 구한다.
에서 ,
P ≤ P
8. [출제의도] 로그의 뜻과 성질을 이용하여 로그의 값 을 구한다.
에서 log
log log
log log log log
×
9. [출제의도] 표준정규분포를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.
축구공 개의 무게를 라 하면 확률변수 는 정규 분포 N 을 따르므로
P ≥ P
≥
P ≥ P ≤ ≤
10. [출제의도] 조건부확률을 이용하여 주어진 확률을 구한다.
P P P
P ∩
P
P ∩
P ∩ P ∩
P ∩
따라서 P ∩
4
11. [출제의도] 무리함수의 그래프를 이용하여 조건을 만족시키는 정수의 개수를 구한다.
함수의 그래프가 점 B 을 지날 때
, …… ㉠ 함수의 그래프가 점 D 을 지날 때
, …… ㉡
㉠, ㉡에서 ≤ ≤ 이므로 정수 의 개수는 이 다.
12. [출제의도] 정적분을 활용하여 점이 움직인 거리를 구한다.
시각 에서의 점 P의 속도 는
에서 이므로
에서 까지 점 P가 움직인 거리를 라 하면
=
13. [출제의도] 독립시행의 확률을 이용하여 조건을 만 족시키는 확률을 구한다.
동전 한 개를 던져 앞면이 나오는 횟수를 라 할 때, 얻은 점수의 합이 이하가 되려면 또는 이 므로 구하는 확률은
P P C
C
14. [출제의도] 집합의 연산법칙을 이용하여 실생활 문 제를 해결한다.
이 학급 학생 중에서 A, B, C를 택한 학생의 집합을 각각 , , 라 하면 ,
모든 학생은 서로 다른 가지 프로그램을 반드시 택 하도록 하였으므로 모든 학생이 A 또는 B를 택하였 고, A, B를 모두 택한 학생들은 C를 택하지 않았으 므로
∪ , ∪ ∩
∪ ∩에서
∩이므로 ∩ 따라서
15. [출제의도] 함수가 연속이 되는 조건을 이용하여 문제를 해결한다.
함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면
에서 연속이어야 하므로 lim
→
lim
→
에서 ±
(ⅰ) 일 때
에서 또는 (ⅱ) 일 때
에서 또는
(ⅰ), (ⅱ)에서 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 의 값은 , , 으로 그 합은
16. [출제의도] 조건부확률의 뜻을 이용하여 조건부확 률을 구하는 문제를 해결한다.
주머니에서 임의로 꺼낸 개의 공 중에서 흰 공이
개, 검은 공이 개일 확률은
C
C×C
검은 공에 적힌 수가 흰 공 개에 적힌 수의 합보다 큰 경우는 다음 표와 같다.
흰 공에 적힌 두 수 검은 공에 적힌 수
또는 또는
또는 또는
또는
또는
또는
따라서 검은 공에 적힌 수가 흰 공 개에 적힌 두 수 의 합보다 클 확률은
C
따라서 구하는 확률은
17. [출제의도] 필요조건이 되도록 하는 정수의 합을 구하는 문제를 해결한다.
두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 하자.
≤ 에서 이므로
가 이기 위한 필요조건이므로 ⊂ (ⅰ) ∈ 일 때
이 을 근으로 가지므 로
, 즉
, ,
이때 이 되어 ⊂ 를 만족시킨다.
(ⅱ) ∅일 때
이차방정식 의 판별식을 라 하면
에서
(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 정수 의 값의 합 은 이다.
18. [출제의도] 이산확률분포에서 조건을 만족시키는 의 최솟값을 구하는 과정을 증명한다.
전체 공의 개수는 ⋯
이므로 P
확률변수 의 평균은 E
P
×
×
×
E
≥ 에서 의 최솟값은 이다.
,
, 이므로
19. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 등비급수의 합 을 구하는 문제를 해결한다.
그림 에서 새로 색칠된 부분의 넓이를 이라 하자.
그림 에서 색칠된 부분의 넓이는 정사각형 ABCD의 넓이에서 반지름의 길이가 인 반원의 넓이와 직각이등변삼각형 GEF의 넓이를 뺀 값과 같으므로
× ×
그림 에서 선분 GF의 중점을 O, 선분 GF과 선분 BC의 교점을 H라 하고 선분 OH의 길이를 라 하면
HB HF , CH 이므로 삼각형 OHC에서 ,
두 정사각형 ABCD, ABCD의 닮음비는
이
므로 모든 자연수 에 대하여
이 성립한다. 따라서 수열 은 첫째항이 이고 공 비가
인 등비수열이므로
lim
→ ∞
∞
20. [출제의도] 도함수와 함수의 조건을 이용하여 함수 의 그래프의 개형을 추론한다.
조건 (나)에서 ≥ 이므로 방정식
이 실근을 갖지 않으려면 이어야 한다.
ㄱ. 이면 조건 (가)에서 ′ 이므로 함수 의 그래프는 다음과 같다.
따라서 방정식 은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참)
ㄴ. (반례) 이고 일 때, 이면 그림과 같이 방정식 은 서로 다른 두 실 근을 갖는다. (거짓)
ㄷ. 함수 가 에서만 미분가능하지 않으려면
이어야 한다.
또, ′ 이므로 함수 의 그래프는 다음과 같다.
이때 함수 는 인 실수 에 대하 여 에서만 미분가능하지 않다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
21. [출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 이해하여 함수를 추론한다.
함수 의 그래프는 함수
의 그래프를
축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 그래프이므로
5
조건 (가)에서
에서
…… ㉠
에서
…… ㉡
㉠, ㉡에서
≠이므로 따라서
일 때
이므로 함수
은 에서 최댓값
×
를 갖는다.
조건 (나)에서
이므로
22. [출제의도] 순열의 수와 중복순열의 수를 계산한다.
P∏ ×
23. [출제의도] 등비중항의 성질을 이해한다.
등비중항의 성질에 의하여
,
, 는 양수이므로
24. [출제의도] 수열의 극한의 대소 관계를 이해하여 수열의 극한값을 구한다.
부등식
의 양변에 을 곱하면
lim
→ ∞
lim
→ ∞
이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim
→ ∞
25. [출제의도] 미분과 적분의 관계를 이해하여 함숫값 을 구한다.
에서 를 대입하면
, 는 실수이므로
의 양변을 에 대하여 미분하면 이므로
26. [출제의도] 중복조합의 수를 이용하여 함수의 개수 를 구한다.
조건 (가)에서 함수 의 치역에 속하는 집합 의 원소
개를 택하는 경우의 수는 C × ×
× ×
…… ㉠ 치역에 속하는 개의 수에 각각 대응하는 집합 의 원소의 개수를 각각 , , 라 하고 조건 (나)를 만 족시키려면
(, , 는 자연수)
′ , ′ , ′ 로 놓으면
′ ′ ′ (′, ′, ′은 음이 아닌 정수) 이때 순서쌍 ′ ′ ′의 개수는
HCC ×
×
…… ㉡
㉠, ㉡에서 구하는 함수 의 개수는 ×
27. [출제의도] 조합을 이용하여 경우의 수를 구한다.
장의 카드 중 숫자 , , 이 적힌 카드가 적어도 한 장씩 포함되는 경우는 다음과 같다.
(ⅰ) , , 인 경우
×C×C×C (가지) (ⅱ) , , 인 경우
×C×C×C (가지)
위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는
[다른 풀이]
전체 경우의 수는 CC (가지)
장의 카드 중 숫자 또는 또는 이 포함되지 않 는 경우는 , , , , , 이 므로 이 경우의 수는 ×C×C (가지)
따라서 구하는 경우의 수는 (가지) 28. [출제의도] 일대일 대응을 이용하여 조건을 만족시
키는 함수를 구하는 문제를 해결한다.
조건 (다)에서 ∈, ∈ 즉 ∈∩이고 역함수의 성질에 의하여 ∘ 이므로
∘ , 즉
이때 의 개수가 이므로 ,
조건 (가)에서 함수 는 일대일 대응이고 조건 (나) 에서 ≠ 이므로 ,
따라서 이므로 × ×
29. [출제의도] 적분을 활용하여 조건을 만족시키는 함 수의 적분값을 구하는 문제를 해결한다.
함수 는 이차함수이고 조건 (가)에서
이므로 함수 의 그래프는 직선
에 대하여 대칭이다.
조건 (나)에서
이므로 이고, 함수 의 그래프는 축과 두 점
, 에서 만난다.
위의 그림에서 곡선 와 축으로 둘러싸인 부 분의 넓이를 , 곡선 와 축 및 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 하면
이므로
따라서
,
이다.
, 이므로
30. [출제의도] 다항함수의 미분을 활용하여 조건을 만 족시키는 함숫값을 구하는 문제를 해결한다.
등식 ′ …… ㉠ 에서 ′ 이다.
이는 곡선 위의 점 에서의 접선
′ 가 점 P 을 지남을 뜻한다.
즉 P 에서 곡선 에 그은 접선의 접점 이 이다.
조건에서 등식 ㉠을 만족시키는 실수 의 값이 하 나뿐이므로
′ …… ㉡
인 모든 실수 에 대하여 ㉡이 성립하므로
′ ,
즉 함수 의 그래프는 점 A 에서 직선
에 접하므로
(은 상수) …… ㉢
따라서 두 점 P , A 에 대하여 ㉢을 만 족시키는 삼차함수 의 그래프는 다음과 같이
가지이다.
[그림1] 일 때
[그림2] 일 때
[그림3] 일 때
[그림1], [그림2]에서는 보다 작은 모든 실수 에 대하여 등식 ㉠을 만족시키는 이 아닌 실수 가 존 재하므로 조건을 만족시키지 않는다.
[그림3]에서 인 상수 에 대하여 등식 ㉠을 만족시키는 실수 의 값이 하나뿐이기 위한 필요충 분조건이 이려면 함수 의 그래프가 점 을 지나야 한다. 즉,
이므로
[참고]
에서
′
이므로 등식 ′ 에서
또는 …… ㉠ 이 등식을 만족시키는 실수 의 값이 하나뿐이려 면 에 대한 이차방정식 ㉠이 중근 을 가지거나 실 근을 갖지 않아야 한다.
(ⅰ) ㉠이 중근 을 가지는 경우
에서 ,
따라서 조건을 만족시키는 실수 는 하나뿐이 므로 라는 조건을 만족시키지 않는다.
(ⅱ) ㉠이 실근을 갖지 않는 경우
㉠의 판별식을 라 하면
…… ㉡ ①
, 즉 이면 부등식 ㉡의 해 는
이때 실수 의 범위가 이어야 하므로
,
②
, 즉 이면 부등식 ㉡의 해
는
6
이때
이므로 조건을 만족시키지 않는 다.
위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 ,
이므로
