7주차
수학문제해결 교육
살펴볼 내용
문제해결의 의미
수학적 발견술과 폴리아의 문제해결의 과정
수학적 모델링
문제와 문제해결의 의미
문제
- 성취해야 할 목표가 있고 그 목표에 도달하는데 장애 물이 있으며, 적어도 문제를 해결하려는 사람에게는 그것을 해결하는 방법이 없기 때문에 사고를 요구하 는 상황
문제 해결
- 장애물을 제거하거나 돌아가는 길을 찾아내어 즉각 적으로 도달할 수 없었던 목표에 도달하는 것
- 문제에 도전하는 과정으로 문제를 형식화하고 목표 를 분명히 하여 해결 계획을 세우고 이를 수행한 다 음 결과를 평가하는 활동
문제의 유형
쿠루릭과 루드닉(Krulick & Rudnic, 1984)
질문(question) : 단순한 회상만으로 해결되는 문제
연습문제(exercise) : 이미 학습한 계산기능이나 알 고리즘 구사능력을 강화시키기 위한 문제
문제(problem) : 사고활동을 필요로 하는 문제
폴리아(G.Polya)
결정 문제(답을 구하는 문제)
- 어떤 대상을 작도하거나 찾는 문제 즉, 답을 구하는 문제
- , , .
증명 문제
- 어떤 주장이 옳은지 그른지 판단하고 정당화하는 문 제
- , .
Erkki Pehkonen
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- 출발 상황(주어진 자료, 조건)과 목표 상황(구하고자 하는 것)이 모두 닫혀 있는 문제
- 불필요한 조건이나 자료가 전혀 없이 하나의 답이 반 드시 존재하는 교과서에 제시된 전형적인 문제
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- 문제의 출발 상황이나 목표 상황 등이 열려 있는 문 제
- 답의 존재성이나 주어진 명제의 진위 여부가 결정되 지 않은 형태의 문제 즉, “~이 존재하는가” 혹은 “~
이 참인지 거짓인지 판단하고 증명하여라”로부터 실 생활에서의 문제까지 포괄
좋은 문제란? (수학교육의 관점에서)
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다음 문제는 어떤 유형의 문제라고 할 수 있는가? 좋 은 문제라고 할 수 있는가 없는가? 왜 그런가?
문제해결 행동과 관련된 요인(A.H.Shoenfeld)
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자원(resource)
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- 문제와 관련된 수학적 배경지식, 직관, 알고리즘 등
발견술(heuristic)
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- 유추, 일반화, 특수화, 보조 문제 이용하기, 거꾸로 풀기 등
통제력(control)
- .
- 계획하기, 의사 결정 등
- 무엇을 얼마만큼 아느냐도 중요하지만 그것을 효과 적으로 이용할 수 있느냐 하는 것이 그 이상으로 중 요할 수 있다.
신념 체계(belief system)
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- 수학은 소수의 뛰어난 사람만이 하는 것이다, 수학 문제의 풀이와 답은 한 가지 밖에 없다 등.
수학적 발견술
발견술(heuristics)이란
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파푸스(Pappus) : “발견술이란 원론을 공부한 후에 수학 문제를 푸는 능력을 얻고자 하는 사람들이 사용 하도록 하기 위한 특별한 가르침이며 오직 이것에만 쓰일 수 있는 것이다.”
파푸스(분석법) 데카르트 라이프니츠 폴리 아
분석(법)
수학적 발견술 가운데 가장 강력하고도 오래된 것
BC 3세기경 가 처음 체계적으로 정리
거꾸로 풀기, 역행적 추론
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풀이계획을 과정
종합(법)
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- 분석에 의해 발견된 풀이 계획을 과정
증명하는 문제에서의 분석
- 명제의 증명 방법을 찾고자 하는 경우에 결론이 증명 되었다고 가정하고 방법
답을 구하는 문제에서의 분석
- 구하고자 하는 답을 이미 구한 것으로 가정하고 그로 부터 유도될 수 있는 명제를 도출하기를 계속하여 이 미 답을 알고 있는 명제에 도달하는 방식으로 결론이 성립할 방법
데카르트 : 모든 문제를 해결할 수 있는 보편적인 방 법 모색
첫째, 어떤 문제이든 수학 문제로 환원하라.
둘째, 어떤 수학 문제이든 대수 문제로 환원하라.
셋째, 어떤 대수 문제이든 한 방정식의 풀이로 환원 하라.
라이프니츠 : 모든 문제를 해결할 수 있는 일반적인 알고리즘을 찾고자 함.
폴리아의 문제해결 과정과 전략(발문과 권고)
: 발견술에 대한 연구와 자신의 사고 과정에 대한 분 석을 토대로 문제해결에 전형적으로 유용한 발문과 권고 형태로 구성된 발견술을 연구 개발하여 체계적 으로 서술
폴리아의 문제해결 과정과 전략
문제 해결의 4단계 제시
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각 단계별로 유용한 발문과 권고 제시
우정호 역 “어떻게 문제를 풀 것인가?(How to solve it?)” 참고
문제 이해
- 문제를 이해하는 단계로서 문제에서 구하고자 하는 것, 주어진 것 등을 알고, 용어의 뜻을 파악하며, 문 제를 분석한다.
미지의 것(구하고자 하는 것)은 무엇인가?
주어진 것은 무엇인가?
조건은 무엇인가?
조건은 미지의 것을 구하기에 충분한가? 불필요한 조건은 없는가?
문제 상황을 그림으로 나타내 보어라.
필요한 경우 그림에 적절한 기호를 붙여 보아라.
제시된 조건을 여러 부분으로 분해하여 보아라.
계획 작성
- 문제에서 주어진 것과 구하고자 하는 것 사이의 관계 를 파악하는 단계로서, 주어진 것과 구하고자 하는 것 사이의 관련성을 즉각적으로 발견할 수 없을 때에 는 보조문제를 고려할 필요가 있다.
전에 그 문제를 본 적이 있는가?
약간 다른 형태로 된 같은 문제를 본 적이 있는가?
관련된 문제를 알고 있는가?
도움이 될 것 같은 어떤 사실이나 정리를 알고 있는 가?
미지인 것을 잘 살펴보아라.
친숙한 문제 중 미지인 것이 같거나 유사한 문제를 생각해 보아 라.
관련된 문제로 전에 풀어 본 적이 있는 문제가 있다면, 그 결과나 방법을 이 문제 해결에 활용할 수는 없을까?
문제를 달리 진술할 수 있을까?
정의로 되돌아가 보자. 이 용어의 정의가 무엇이었는지 다시 생 각해 보자.
이 문제와 관련된 보다 쉬운 문제를 생각해 낼 수 있을까?
문제를 보다 일반적인 형태로 변형할 수 있을까?
문제를 보다 특수한 문제로 변형할 수 있을까?
문제를 부분적으로 풀 수 있는가?
조건 가운데 일부분만 남기고 다른 것을 버려 보아라. 그렇게 하 면 미지인 것은 어느 정도까지 정해지는가?
자료로부터 무엇인가 유용한 것을 이끌어낼 수 없을까?
미지인 것을 결정하는데 적절한 다른 자료를 생각해 보자.
자료는 모두 사용했는가?
조건은 모두 사용했는가?
문제에 포함된 핵심 개념을 모두 고려했는가?
계획의 실행
- 해결 계획을 실행하는 단계
풀이 계획의 각 단계를 조심스럽게 실행하여라
각 단계가 올바른지 명확히 알 수 있는가?
그것이 옳다는 것을 증명할 수 있는가?
반성
- 문제 해결의 전 과정을 검토하고 반성하는 단계
결과를 점검해 보아라.
풀이 과정을 점검해 보아라.
결과를 다른 방법으로 이끌어 낼 수 있는가? 보다 나 은 해법은 없는가?
결과나 방법을 어떤 다른 문제에 활용할 수 있는가?
문제의 자료, 조건, 구하고자 하는 것 등을 일반화, 특수화, 유추 등을 통해 변형하여 새로운 문제를 만 들어볼 수는 없는가?
* 반성은 자신의 사고 과정을 대상으로 하는 인식활동 이라는 점에서 ‘메타인지적인 사고’라고 할 수 있다.
주어진 자료는 미지의 것(사각형)을 결정하기에 충 분한가?
그림을 그려보아라.
주어진 문제와 유사하거나, 주어진 문제를 해결하는 데 도움이 될 만한 문제나 결과를 알고 있는가?
자신이 그린 그림이 문제를 해결하기에 적절한지 생 각해 보아라.
주어진 조건은 사각형의 결정조건이 될 수 있는가?
수학적 모델링
수학적 모델링(mathematical modelling)이란
. (일종의 문제 해결)
비수학적 문제 상황에서 출발
따라서 다른 과목(분야)이나 일상생활과 수학의 연 결성을 강조
학교수학에서 새로운 수학적 개념을 도입할 때, 혹 은 학습한 수학적 개념을 새로운 상황에 적용할 때 유용
수학적 모델링의 과정
① ,
② ,
③ ,
④ .
※ 수학적 모델 : . .
수학적 모델링의 수학교육적 의의(Niss, 1989)
새로운 수학적 개념과 방법을 이해한다.
실생활 또는 다른 교과에서 수학의 응용을 이해한다.
창의적 사고와 문제해결 태도, 활동, 능력을 기른다.
수학을 활용하여 실생활 또는 다른 교과와 연결된 맥 락을 비판적이고 합리적으로 사고하려는 태도를 기 른다.
수학이 이미 완성된 산물이 아니라 인간 활동의 결과 로 만들어진 것임을 이해한다.
<2009(2011) 개정 교육과정의 ‘교수-학습방법’>
