학습목표

학습목표

 1차 모멘트





 2차 모멘트











2차 모멘트 (1)

 정의





 질량관성모멘트(Mass moment of inertia)





 각운동에 대핚 관성력 성분을 나타낼 때 적용

미소면적 dA에 어떤 주어짂 축으로부터 거리의 제곱을 곱 핚 후 전체면적에 대하여 적분핚 것



 ^



xx A

y dA I x dA

I

,

2차 모멘트 (2)

 평행축 이동정리 (Parallel axis theorem)

임의의 축 o-o에 대핚 A의 2차 모멘트는 A의 도심을 지나 는 축 c-c에 대핚 2차 모멘트와 o-o 축에서 도심까지의 거 리에 A를 곱핚 것과 같다.

2 c cc

oo

I Ax

I  

어떤 도형의 도심을 지나는 축에 대핚 2차 모멘트를 알면 임의의 축에 대핚 2차 모멘트를 계산핛 수 있다.

2차 모멘트 (3)

 평행축 이동정리 유도



 

2

2 2

2 2

2

c cc

c A c A

A

A c

oo A

Ax I

dA x

XdA x

dA X

dA X

x dA x I



























∵ 도심에서부터의 1차 모멘트이므로 0

dA A

x y

O

C x

x_c

C

X

2차 모멘트 (4)

 예제 3.6 : 원의 x, y축에 대한 2차 모멘트







 x, y축에 대하여 동일 :

 면적 요소 :

 I_xx의 정의 :

yy

xx

I

I 













a a a d

dy y a

y

I

xx a

cos cos

sin 2

2

2 2

2 2

2 2

2



















dy y a xdy

dA  



 sin a y 

x y

x

dy

0 a

2차 모멘트 (5)

 예제 3.7 : 직사각형 단면의 2차 모멘트







 면적 요소 :

 I_xx, I_yy의 정의 :

 도심에 대핚 2차 모멘트 :

hdx bdy

dA  ,

x y

h

0 b

dy dx

3 3

3 0

2 2

3

0 2 2

h hdx b

x dA

x I

bdy bh y

dA y I

b yy A

h xx A





















2 2 ,

y h x

 b



12 12

3 2

,

3 2

,

h Ax b

I I

Ay bh I

I

c yy

yy c

c xx

xx c













평행축 정리 적용

2차 모멘트 (6)

 예제 3.8 : 직각삼각형 단면의 2차 모멘트







 면적 요소 :

 I_xx, I_yy의 정의 :

 도심에 대핚 2차 모멘트 : x

y

dx

dy

b h

x

h y x b b x

y  h , 

 

4

12

3 0

2 2

3 0

2 2

h ydx b

x dA

x I

dy bh x b y dA

y I

b yy A

h xx A























ydx dy

x b

dA  (  ) ,

36 3

2 12

2 3 3

2 ,

bh h

bh Ay bh

I

I

 



 



 







2차 모멘트 (7)

 예제 3.9 : 일반삼각형 단면의 2차 모멘트









 1, 2 직각삼각형으로 나눔

 I_xx :

 I_yy :

x y

b h

c

1 2

0

 

12 12

3 3

2

1

b c h ch

I I

I





  

 

3 2

1

4

yy yy

yy

h b c I

I I

I     

3 2

2 2

, 2

3 2 2

36 



 

  









b c ch hc

y A I

I

여기서,

2차 모멘트 (8)

 예제 3.10 : 단순 수선면의 2차 모멘트









 4개씩의 직사각형, 직각삼각형으로 나눔

 각 도형의 x축에 대핚 2차 모멘트는 모두 같다.

x y

L/4 L/2

L/2 L/4

B/2 B/2

0

 

3 3

Re

2 4 12 4 1 2

4 3 4 1

4

 

 



 

 



 



 







B L B

L

I I

I

2차 모멘트 (9)

 극관성 모멘트(Polar Moment of Inertia)





 

A

A

r dA x y dA I I

J  

 



 

 ^ J

M 

dA A

x y

x

r y

M 회전축

ω

2차 모멘트 (10)

 예제 3.11 : 원의 극관성 모멘트







 극관성 모멘트의 정의 :

cf) 원의 x, y축에 대핚 2차 모멘트는 동일

x y

r dr

a a

2 2

4 0

2

2

a

rdr r

dA r

J

A

  





  

, 4 2

4

4

a

I a I

J _  _이므로

_

_ 

2차 모멘트 (11)

 질량관성모멘트(Mass moment of inertia)









 관성반경(Radius of gyration)



 원판 : 0.707r, 링 : r, 선박 x축 : 0.4B, 선박 y, z축 : 0.25L

 

 ^



zz

x y dV

I



2 2

4

2

2

zz

r mk

m r l

I     

2차 모멘트 (12)

 예제 3.12~13 : 원통, 반원통의 질량관성모멘트









 각각의 질량 :

 원통의 질량관성모멘트 :

 반원통의 질량관성모멘트 :

r L L

r

m , 2

2

2

 

 

2 4

2 1 2 r L mr I

 



 



   

2 4

2 1 2

2

1 r L mr I

  

 



 

   질량이 ½ 이므로 질량관성

모멘트의 크기는 ½ 임

x r

x r

2차 모멘트 (13)

 예제 : 3.14 : 구의 x축에 대한 질량관성모멘트







 x축에 수직핚 미소원판에 대핚 질량관성모멘트 :

 dx 변환 :

 미소질량관성모멘트 적분 :

 

r dx

dJ 2

cos 

 







 r d

ds

dx   cos  cos

 

2

2 0

5 2 5

0

4

5 2

cos 2 cos

2 cos

mr

d r

d r r

dJ J







  

^{     } 

^{ }

x y

dx ds r

θ

학습 Review

 1차 모멘트

 1차 모멘트 정의

 면적, 체적, 질량의 중심

 대표 거리

 2차 모멘트

 2차 모멘트 정의

 면적, 체적, 질량의 분포 특성

 질량관성모멘트

 평행축 이동정리

 중심을 통과하지 않는 임의의 축에 대핚 질량관성모멘트

 극관성모멘트

 회전 중심축에 대핚 질량관성모멘트

 관성반경

 질량관성모멘트를 거리로 표시  선박의 회전운동에 대핚 관성표현

 단위질량당 질량관성모멘트의 제곱근