1. 평면벡터의 연산
1 벡터의 연산
벡터의 덧셈과 뺄셈 01
1.1.삼각형 ABC에서 AB , ∠B , ∠C 이다.
점 P가 P B P C 를 만족시킬 때, P A 의 값은?
[3점][2012(가) /수능 8]
① ② ③
④ ⑤
정n각형의 벡터의 합이 영벡터인 경우 02
이차곡선의 벡터의 크기 03
2.2.타원
위의 점 P 와 두 초점 F , F′에 대하여
P F P F′의 최댓값은?
[3점][2017(가) 10월/교육청 10]
① ② ③
④ ⑤
3.3.타원
의 두 초점을 F F′이라 하자. 이 타원 위의 점 P 가 O P O F 을 만족시킬 때, 선분 PF 의 길이는 이다. 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[3점][2007(가) 수능(홀) 20]
벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기의 최대‧최소 04
4.4.AB , BC 인 직사각형 ABCD 에 대하여 네 선분 AB, CD, DA , BD 의 중점을 각각 E, F, G , H 라 하자. 선분 CF 를 지름으로 하는 원 위의 점 P 에 대하여 EG HP의 최댓값은?
[4점][2016(가) 10월/교육청 18]
① ②
③
④
⑤
5.5.그림과 같이 선분 AB 위에 AE DB 인 두 점 D , E 가 있다.
두 선분 AE DB 를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 AE , DB 가 만 나는 점을 C 라 하고, 선분 AB 위에 OA OB 인 두 점을 O, O라 하자. 호 AC 위를 움직이는 점 P 와 호 DC 위를 움직이는 점 Q 에 대하여
OP OQ
의 최솟값이 일 때, 선분 AB 의 길이는
이다. 의 값을 구하시오.
(단, OO 이고, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점][2016(가) 6월/평가원 28]
6.6.그림과 같이 평면 위에 반지름의 길이가 인 네 개의 원 , ,
, 가 서로 외접하고 있고, 두 원 , 의 접점을 A 라 하자. 원
위를 움직이는 점 P 와 원 위를 움직이는 점 Q 에 대하여
AP AQ의 최댓값은?
[4점][2013(B) 10월/교육청 21]
①
② ③
④
⑤ 부등식의 영역에서의 벡터의 성질의 활용 05
7.7.그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중 심각의 크기가
인 부채꼴 OAB에서 선 분 OA 의 중점을 M 이라 하자. 점 P 는 두 선분 OM 과 BM 위를 움직이고, 점 Q 는 호 AB 위를 움직인다. O R O P O Q 를 만족시키는 점 R가 나타내는 영역 전체의 넓이는?
[4점][2014(B) 삼사 15]
①
② ③
④ ⑤
2 벡터의 실수배
벡터의 실수배의 연산 01
벡터의 평행 02
벡터와 방향이 같은 단위벡터 03
8.8.좌표평면 위의 점 A 가 부등식 ≥
이 나타내는 영역에서
움직일 때, 벡터 O B O A
O A
의 종점 B 가 나타내는 도형의 길이는?
(단, O 는 원점이다.)
[3점][2004(자) /수능(홀) 20]
①
②
③
④
⑤
2. 평면벡터의 성분과 내적
1 위치벡터
01 위치벡터
위치벡터와 삼각형의 넓이의 비 02
9.9.넓이가 인 삼각형 ABC에 대하여 점 P 가
P A P B P C 을 만족시킬 때, 삼각형 PAB의 넓이를 구하시오.
[4점][2016(가) 5월/전북 27]
10.10.AB AC 인 이등변삼각형 ABC의 내부의 점 P 가
PA PB PC
를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016(가) 10월/경남 17]
ㄱ. PBPC ㄴ. PA ∙ BC
ㄷ. 삼각형 ABP 의 넓이가 이면 삼각형 ABC의 넓이는 이 다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
11.11.직사각형 ABCD 의 내부의 점 P 가
PA PB PC PD CA
를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016(가) 9월/평가원 16]
ㄱ. PB PD CP ㄴ. AP
AC
ㄷ. 삼각형 ADP의 넓이가 이면 직사각형 ABCD의 넓이는 이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
위치벡터를 이용한 점의 자취 03
12.12.그림과 같이 한 평면 위에서 서로 평행한 세 직선 , , 가 평행한 두 직선 , 와 A , B, C, X, O , Y 에서 만나고 있다.
O A , O B , O C 라
고 할 때, AP ( 는 실수)를 만족시키는 점 P 가 나타내 는 도형은?
[2점][2003(자) 6월/평가원 6]
① 직선 AY ② 직선 AO ③ 직선 AX
④ 직선 AB ⑤ 직선 CX
13.13.평면 위에 삼각형 OAB 가 있다.
O P O A O B ( ≥ , ≥ )를 만족하는 점 P 가 그리는 도 형에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은?
[4점][2005(가) 10월/교육청 9]
ㄱ. 일 때, 점 P 가 그리는 도형은 선분 AB 이다.
ㄴ. 일 때, 점 P 가 그리는 도형의 길이는 선분 AB 의 길이보다 크다.
ㄷ. ≤ 일 때, 점 P 가 그리는 영역은 삼각형 OAB 를 포 함한다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
14.14.그림과 같이 O A , O B , ∠AOB 인 삼각형 OAB 가 있다. 연립부등식 ≥ , ≤ , ≥ 을 만족시키는
에 대하여 벡터 O P O A O B 의 종점 P 가 존재하는 영 역의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2009(가) 삼사 30]
B
A
°
O
2 평면벡터의 성분
평면벡터의 성분과 크기 01
15.15.두 벡터 , 에 대하여 벡터 의 모든 성 분의 합은?
[2점][2018학년(가) 수능 1]
① ② ③
④ ⑤
16.16.두 벡터 , 에 대하여 벡터 의 모든 성분 의 합은?
[2점][2017(가) 9월/평가원 1]
① ② ③
④ ⑤
17.17.두 벡터 에 대하여 벡터 의 모든 성분의 합은?
[2점][2017(가) 10월/전북 1]
① ② ③
④ ⑤
18.18.두 벡터 에 대하여 벡터 의 모 든 성분의 합은?
[2점][2017(가) 10월/경남 1]
① ② ③
④ ⑤
19.19.두 벡터 , 에 대하여 벡터 의 모든 성분의 합은?
[2점][2017(가) 7월/교육청 1]
① ② ③
④ ⑤
20.20.두 벡터 에 대하여 벡터 의 모든 성분의 합은?
[2점][2017(가) 6월/평가원 1]
① ② ③
④ ⑤
21.21.두 벡터 , 에 대하여 벡터 의 모든 성 분의 합은?
[2점][2016(가) 10월/경남 1]
① ② ③
④ ⑤
22.22.두 벡터 , 에 대하여 의 모든 성분의 합 은?
[2점][2017(가) 수능 1]
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
23.23.벡터 에 대하여 벡터 의 모든 성분의 합은?
[2점][2016(가) 6월/평가원 1]
① ② ③
④ ⑤
24.24.두 벡터 , 에 대하여 는?
[2점][2016(가) 10월/교육청 1]
① ② ③
④ ⑤
25.25.두 벡터 에 대하여 벡터 의 모든 성 분의 합은?
[2점][2016(가) 9월/평가원 1]
① ② ③
④ ⑤
26.26.두 벡터 과 에 대하여 의 값은?
[3점][2015(B) 10월/교육청 5]
① ② ③
④ ⑤
27.27.두 벡터 , 에 대하여 의 값은?
[2점][2016(가) 7월/교육청 3]
①
②
③
④
⑤
28.28.두 벡터 , 에 대하여 벡터 의 값은?
[2점][2017(가) 8월/영남권 1]
① ② ③
④ ⑤
29.29.좌표평면 위에 원점 O 를 시점으로 하는 서로 다른 임의의 두 벡터
OP , OQ 가 있다. 두 벡터의 종점 P , Q 를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동시킨 점을 각각 P′, Q′ 이라 할 때, <보기>
에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
[3점][2006(가) /수능(홀) 4]
ㄱ. OP OP′
ㄴ. OP OQOP′ OQ′ ㄷ. OP ⋅OQ OP′⋅OQ′
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
30.30.두 벡터 가 있다. 벡터 에 대하여 두 벡터 와 가 서로 평행할 때, 의 최솟값은?
[3점][2017(가) 6월/평가원 11]
① ② ③
④ ⑤
3 평면벡터의 내적
각도가 주어진 벡터의 내적 01
31.31.그림과 같이 한 변의 길이가 인 정 육각형 ABCDEF 가 있다. 두 벡터 AD ,
AE 의 내적 AD ∙ AE 의 값을 구하시 오.
[3점][2009(가) 10월/교육청 19]
32.32.AB 를 지름으로 하는 원 O 위의 한 점 P 에 대하여 AB ,
BP 일 때, 내적 AB ∙ AP 의 값은?
[3점][2002(자) 7월/부산 18]
P
A ∙ B
O
① ② ③
④ ⑤
33.33.세 점 O A B 에 대하여 두 벡터 OA , OB 가 다음 조 건을 만족시킨다.
(가) ∙
(나)
이때, 두 선분 OA , OB 를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이는?
[3점][2007(가) 10월/교육청 4]
①
②
③
④
⑤
34.34.평면 위에 한 변의 길이가 인 정 삼각형 ABC 와 정사각형 BDEC 가 그 림과 같이 변 BC 를 공유하고 있다. 이 때, AC∙ AD 의 값은?
[3점][2007(가) 삼사 6]
① ②
③
④
⑤
35.35.AD AB 인 직사각형 모양의 종이 A B C D 가 있다. 대 각선 A C 를 접는 선으로 하여 평면 A B C 가 평면 A C D 와 수직이 되 게 접는다.
접은 도형에서 내적 AB ⋅ D C
( 는 서로소인 자연수)일 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2004(가) 10월/교육청 22]
A
D E
C
B
36.36.그림과 같이 반지름의 길이가 인 반원의 호를 등분하여 양 끝점 과 각 분점을 왼쪽부터 차례로
P, P, P, P, P, P, P
이라 하자. 이 개의 점 중에서 임의로 선택한 서로 다른 두 점을 각각 P, P ≤ ≤ 이라 하고, 선분 PP의 중점을 O 라 하자.
두 벡터 O P, OP의 내적 O P⋅O P의 값을 확률변수 라 할 때, E
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2014(B) 10월/교육청 27]
37.37.∠BAC 이고 ∠BCA 인 둔각삼각형 ABC 가 있다.
그림과 같이 ∠BAC 의 이등분선과 선분 BC 의 교점을 D, ∠BAC 의 외각의 이등분선과 선분 BC 의 연장선의 교점을 E 라 할 때, <보기>에 서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
[3점][2008(가) 삼사 7]
A
B D C E
°
ㄱ. AB AC AD ㄴ. AB∙ AD AC∙ AE ㄷ. AB∙ AC AD ∙ AE
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
벡터의 내적의 부호 02
38.38.오른쪽 그림의 어두운 영역에 속하 는 모든 점 A 에 대하여 두 벡터 O A 와 O B 의 내적이
O A ∙ O B ≤
을 만족시키는 점 B가 있다. 이러한 모 든 점 B 의 영역을 좌표평면 위에 바르 게 나타낸 것은? (단, 어두운 부분의 경 계선은 포함한다.)
[3점][2003(자) 9월/평가원 12]
① ②
③ ④
⑤
39.39.평면 위의 두 점 O, O 사이의 거리가 일 때, O, O를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 두 원의 교점을 A , B라 하자. 호 AOB 위의 점 P와 호 AOB 위의 점 Q 에 대하여 두 벡터 OP ,
OQ 의 내적 OP ⋅OQ 의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때,
의 값은?
[3점][2008(가) 9월/평가원 7]
40.40.좌표평면에서 원점 가 중심이고 반지름의 길이가 인 원 위의 세 점 에 대하여
O X ≤ 이고 O X ⋅O A≥
을 만족시키는 모든 점 X 의 집합이 나타내는 도형을 라 하자. <보 기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2017(가) 9월/평가원 19]
ㄱ. O A O A O A 이면 의 넓이는
이다.
ㄴ. O A O A 이고 O A O A 이면 는 길이가 인 선분이다.
ㄷ. O A⋅O A 인 경우에, 의 넓이가
이면 점 A 은
에 포함되어 있다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
41.41.그림과 같이 두 점 O, O를 중심으로 하는 반지름의 길이가 각각
인 두 원이 내접하고, 큰 원의 지름 AB 와 선분 OO가 수직이 다. 점 P 가 작은 원 위를 움직일 때, 두 벡터 OP , OA 의 내적
OP ∙ OA 의 최댓값 에 대하여 의 값을 구하시오.
[4점][2011(가) 10월/대전 30]
성분으로 주어진 평면벡터의 내적 03
42.42.두 벡터 , 에 대하여 ∙ 의 값은?
[2점][2016(가) 5월/전북 1]
① ② ③
④ ⑤
43.43.두 벡터 , 에 대하여 내적 ∙ 의 값을 구하시오.
[3점][2005(가) 10월/교육청 18]
44.44.두 벡터 과 에 대하여 내적 ∙ 의 값은?
[2점][2003(자) /수능(홀) 3]
① ② ③
④ ⑤
45.45.두 벡터 , 에 대하여 ∙ 을 만족시키 는 실수 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 6월/평가원 23]
46.46.좌표평면 위의 두 점 A , B 에 대하여 O B ∙ AB
일 때, 양수 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[3점][2012예비(B) 5월/평가원 23]
47.47.좌표평면 위의 네 점 O , A , B , C 에 대 하여 OA ∙ BC 의 값은?
[3점][2015(B) 9월/평가원 6]
① ② ③
④ ⑤
48.48.좌표평면 위의 점 A 와 벡터 에 대하여 점 P 가
OP OA (는 실수)
를 만족시킨다. 점 P 가 나타내는 직선과 직선 OA 가 이루는 예각의 크 기가 °가 되도록 하는 모든 실수 의 값의 합은? (단, O는 원점이 다.)
[4점][2016(가) 5월/전북 18]
① ② ③
④ ⑤
49.49.그림은 한 변의 길이가 인 정사 각형 개를 붙여 만든 도형이다.
개의 꼭짓점 중 한 점을 시점으로 하 고 다른 한 점을 종점으로 하는 모든 벡터들의 집합을 라 하자. 집합 의 두 원소 , 에 대하여 <보기>에 서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[3점][2008(가) 10월/교육청 8]
ㄱ. ⋅ 이면 , 의 값은 모두 정수이다.
ㄴ.
,
이면 ⋅ ≠ 이다.ㄷ. ⋅ 는 정수이다.
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
평면벡터의 수직 조건과 평행 조건 04
50.50.두 벡터 와 가 서로 수직일 때, 의 값 은?
[2점][2016(가) 8월/영남권 1]
① ② ③
④ ⑤
51.51.두 벡터 가 서로 수직일 때, 의 값은?
[2점][2011(가) 9월/평가원 2]
① ② ③
④ ⑤
52.52.두 벡터 에 대하여 이고, 두 벡터 와
가 서로 수직일 때, ∙ 의 값은?
[3점][2016(가) 9월/평가원 8]
①
②
③
④
⑤
53.53.서로 평행하지 않은 두 벡터 에 대하여 이고,
∙ 일 때, 두 벡터 와 가 서로 수직이 되도록 하는 실수 의 값은?
[3점][2014(B) 9월/평가원 5]
① ② ③
④ ⑤
54.54.서로 직교하는 두 벡터 와 에 대하여 이고 일 때, 의 값은?
벡터의 내적의 성질 05
55.55.크기가 인 두 벡터 , 가 을 만족할 때, , 가 이루는 각 의 크기는? (단, ≤ ≤ )
[3점][2004(가) 9월/평가원 3]
①
②
③
④
⑤
56.56.두 벡터 에 대하여 일 때, 내 적 ∙ 의 값은?
[2점][2014(B) 삼사 3]
① ② ③
④ ⑤
57.57.두 벡터 가 , , 을 만족시킬 때,
∙ 의 값은?
[2점][2011(가) 삼사 3]
① ② ③
④ ⑤
58.58.좌표공간에서 원점에 대한 세 점 A B C 의 위치벡터를 차례로
, , 라 할 때, 이들 벡터 사이의 내적을 표로 나타내면 다음과 같 다.
∙
예를 들어, ∙
이다. 세 점 A B C 에 대하여 두 점 사이 의 거리의 대소 관계로 옳은 것은?[4점][2017(가) /수능 16]
① AB AC BC ② AB BC AC
③ AC AB BC ④ BC AB AC
⑤ BC AC AB
59.59.두 평면벡터 , 가
, ,
를 만족시킬 때, 두 평면벡터 , 가 이루는 각을 라 하자. cos 의 값은?
[3점][2016(가) 7월/교육청 9]
①
②
③
④
⑤
60.60.두 벡터 , 가 이루는 각의 크기가 이고, , 일 때, 의 값은?
[2점][2015(B) 삼사 3]
①
②
③
④
⑤ 61.61.두 벡터 가 이루는 각이 이다. 의 크기는 이고,
의 크기가
일 때, 의 크기는?[2점][1997(자) 수능(홀) 3]
① ② ③
④ ⑤
62.62.좌표평면에서 실수 와 두 벡터 에 대하여
일 때, 의 최솟값은?
[3점][2017(가) 10월/경남 11]
①
②
③
④ 1 ⑤
63.63.두 위치벡터 O A 와 O B 이 주어졌을 때, 다음을 만족시키는 점 C에 대한 위치벡터 O C 의 크기의 최댓값과 최솟값의 합 을 구하시오.
[4점][2003예비(가) 12월/평가원 24]
CA ⋅CB
64.64.좌표평면 위에 세 점 O A B 가 있다. 점 P
가 두 조건
P A ⋅ P B ≤ , O P ⋅ O A O B ≤ 를 만족할 때, 점 P가 존재하는 영역의 넓이는?
[4점][2004(가) 10월/교육청 13]
① ②
③ ④ ⑤
65.65.한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 에서 변 AB 를 로 내 분하는 점을 D 라 하고, 변 AC 를 과 으로 내분하는 점을 각각 E, F 라 할 때, BF D E 의 값은?
[3점][2013(B) 9월/평가원 11]
① ② ③
④ ⑤
66.66.그림과 같이 점 O 를 중심으로 하고, 길이가 인 선분 AB를 지름 으로 하는 반원이 있다. 이 반원의 내부에 AC 인 점 C를 잡고,
∆ABC의 내접원의 중심을 O′이라 하자. 선분 AO′의 연장선과 선분 BC의 교점을 N , 반원과의 교점을 P 라 하고, 선분 BC의 중점을 M , 선분 AM 의 연장선과 선분 BP 의 교점을 Q 라 하자. 옳은 것만을 <보 기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2010(가) 11월/대전 14]
ㄱ. AN ∙ BQ ㄴ. AN
AB
AC
ㄷ. AQ AM
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
67.67.평면에서 그림의 오각형 ABCDE가
AB BC , AE ED ,
∠B ∠E °를 만족시킬 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2010(가) /수능 14]
ㄱ. 선분 BE 의 중점 M 에 대하여 AB AE 와 AM 은 서로 평행하다.
ㄴ. AB∙ AE BC∙ ED ㄷ. BC ED BE
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
평면벡터의 내적의 성질의 활용 06
68.68.한 변의 길이가 인 정육각형 ABCDEF가 있다.
정육각형 ABCDEF 의 내부 또는 변 위의 점 P 가
P F P E∙P D P E
을 만족시킨다. FP의 값이 최대와 최소가 되도록 하는 점 P를 각각 P P라 하자. ∠PFP 라 할 때, tan
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.)[4점][2017(가) 10월/경남 29]
성분으로 주어진 내적의 최대 최소 07
69.69.좌표평면에서 두 벡터 , 에 대하여
을 만족시키는 두 실수 , 을 각각 좌표, 좌표로 하는 점 P 이 나타내는 도형을 라 하자. 도형 위를 움직이는 두 점 Q, R에 대하여 O Q ⋅O R 의 값이 최소일 때, 두 점 Q 와 R 사이의 거 리는? (단, O 는 원점이다.)
[4점][2017(가) 8월/영남권 15]
①
②
③
④
⑤
70.70.평면 위에 반지름의 길이가 인 원 가 있다. 원 위의 두 점 A , B 에 대하여 AB 이고, 이 평면 위의 점 P 가 다음 조건을 만 족시킨다.
(가) AP
(나) AB 와 AP 가 이루는 각의 크기를 라 할 때, cos 는 자연수이다.
원 위의 점 Q에 대하여 AP∙ AQ 의 최댓값을 구하시오.
[4점][2017(가) 7월/교육청 29]
71.71.좌표평면에서 중심이 O 이고 반지름의 길이가 인 원 위의 한 점 을 A 중심이 O 이고 반지름의 길이가 인 원 위의 한 점을 B 라 할 때, 점 P 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) O B ⋅O P O A ⋅O P (나) P AP B
P A ⋅P B 의 최솟값은 이고, 이때 O P 이다. 의 값을 구하시오.
[4점][2017(가) 6월/평가원 29]
72.72.좌표공간에 세 점 O A B 가 있다.
점 P 가 O B ⋅O P O P ≤ 를 만족시키며 움직일 때,
P Q P Q ⋅O A ≥
을 만족시키는 점 Q 에 대하여 BQ의 최댓값과 최솟값을 각각 ,
이라 하자.
일 때, 의 값을 구하시오.(단, 는 유리수이다.)
[4점][2017(가) 9월/평가원 29]
내적의 정의를 이용한 최대 최소 08
73.73.한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC의 꼭짓점 A 에서 변 BC에 내 린 수선의 발을 H 라 하자. 점 P 가 선분 AH 위를 움직일 때,
P A ⋅P B의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2013(가) /수능 26]
74.74.그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중 심각의 크기가
인 부채꼴 OAB가 있다.
호 AB 위를 움직이는 두 점 P Q 에 대하 여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?
[3점][2007(가) 삼사 12]
ㄱ. O P O Q 의 최솟값은
이다.ㄴ. O P O Q 의 최댓값은
이다.ㄷ. O P ∙ O Q 의 최댓값은 이다.
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
75.75.그림과 같이 평면 위에 정삼각형 ABC와 선분 AC를 지름으로 하는 원 가 있다. 선분 BC 위의 점 D를 ∠DAB
가 되도록
정한다. 점 가 원 위를 움직일 때, 두 벡터 AD CX 의 내적
AD ∙ CX 의 값이 최소가 되도록 하는 점 X를 점 P 라 하자.
∠ACP
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자 연수이다.)
[4점][2011(가) /수능 22]
B O
A
Q P
내적의 기하학적 의미의 활용 09
76.76.그림과 같이 AB 인 삼각형 ABC 에 내접하는 원의 중심을 I 라 하고, 점 I 에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 D 라 하자. BD 일 때, BA ∙ BI 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 10월/교육청 25]
77.77.그림과 같이 삼각형 ABC 에 대하여 꼭짓점 C 에서 선분 AB 에 내 린 수선의 발을 H 라 하자. 삼각형 ABC 가 다음 조건을 만족시킬 때,
CA ∙ CH 의 값은?
[4점][2016(가) 7월/교육청 19]
A H B
C
(가) 점 H 가 선분 AB 를 으로 내분한다.
(나) AB ∙ AC
(다) 삼각형 ABC 의 넓이는 이다.
① ② ③
④ ⑤
78.78.두 점 A , B 와 타원
위를 움직이는 점 P 에 대하여, AB∙ AP 가 최대가 되는 점 P 에서의 접선의 방정식은
이다. 의 값을 구하시오.
[4점][2010(가) 11월/대전 21]
79.79.그림은 AB , AD
인 직사각형 ABCD 와 이 직사각형 의 한 변 CD 를 지름으로 하는 원을 나타낸 것이다. 이 원 위를 움직이 는 점 P 에 대하여 두 벡터 AC , AP 의 내적 AC ∙ AP 의 최댓값 은? (단, 직사각형과 원은 같은 평면 위에 있다.)[4점][2010(가) 10월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
80.80.그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 의 내부에 선분 AB와 선분 BC에 접하고 반지름의 길이가 인 원 과 선분 AD 와 선분 CD 에 접하고 반지름의 길이가 인 원 가 있다. 원 과 선 분 AB 의 접점을 P 라 하고, 원 위의 한 점을 Q 라 하자.
P C ⋅P Q 의 최댓값을
라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.)
[4점][2017(가) 10월/교육청 28]
81.81.평면에서 그림과 같이 AB 이고 BC
인 직사각형 ABCD 와 정삼각형 EAD가 있다. 점 P 가 선분 AE 위를 움직일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4점][2010(가) 9월/평가원 14]
ㄱ. CB CP의 최솟값은 이다.
ㄴ. CA ∙ CP 의 값은 일정하다.
ㄷ. D A CP의 최솟값은
이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
82.82.한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD에서 변 AB와 변 AD에 모 두 접하고 점 C를 지나는 원을 라 하자. 원 위를 움직이는 점 X 에 대하여 두 벡터 AB , CX 의 내적 AB∙ CX 의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 자연수이다.)[4점][2015(B) 삼사 29]
4 평면벡터의 방정식
평면상 직선의 방정식 01
83.83.좌표평면 위의 점 을 지나고 벡터 에 평행한 직 선이 축과 만나는 점을 A 축과 만나는 점을 B 라 할 때, AB의 값을 구하시오.
[3점][2017(가) 6월/평가원 25]
84.84.함수
의 그래프는 그림과 같다. 함수 의
그래프 위의 두 점 P , Q
을 지나는 직선의 방향벡터 중 크기가
인 벡터를 라 하자. 의 값 은?[3점][2016(가) 7월/교육청 13]
O
① ② ③
④ ⑤
한 점과 법선벡터가 주어진 직선의 방정식 02
85.85.좌표평면 위의 점 을 지나고 벡터 에 수직인 직선 이 축, 축과 만나는 점의 좌표를 각각 , 라 하자. 의 값을 구하시오.
[3점][2018학년(가) 수능 25]
평면상 두 직선이 이루는 각의 크기 03
86.86.좌표평면에서 두 직선
,
이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[3점][2016(가) 6월/평가원 12]
①
②
③
④
⑤
두 직선의 평행 조건과 수직 조건 04
방향벡터와 법선벡터의 위치 관계 05
벡터를 이용한 원의 방정식
06
3. 평면운동
1 속도와 가속도
평면 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 01
87.87.좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 에서의 위치
가
이다. 시각 에서 점 P의 속력은?
[3점][2017(가) /수능 10]
①
② ③
④
⑤
88.88.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치 가
cos , sin 이다. 시각
에서의 점 P 의 속력이 일 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 10월/경남 25]
89.89.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 좌표가 각각
sin cos 일 때, 점 P 의 속력의 최댓값은? (단,
≥ )
[3점][2012(가) 삼사 4]
① ②
③ ④
⑤
90.90.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 ( )에서의 위치 P 가
sin , cos 이다. 시각 ( )에서 점 P 의 속도 와 OP 가 서로 평행 할 때, cos 의 값은? (단, O는 원점이다.)
[4점][2018학년(가) 수능 16]
①
②
③
④
⑤
91.91.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치가
sin cos sin cos
이다. 점 P 의 속력의 최댓값을
라 할 때, 의 값을 구하시오.
(단, 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2010(가) 11월/대전 30]
평면운동에서 점의 속도와 가속도의 크기 02
92.92.수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 에서의 위치 가
cos
이다. 점 P 의 시각
에서의 가속도의 크기를 구하시오.
[4점][2015(B) 7월/교육청 26]
등속 원운동에서의 속도와 가속도 03
93.93.좌표평면 위의 반지름의 길이가 인 원 와 이 원 위를 움직이는 점 P 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 점 P 는 원 위를 시계 반대 방향으로 매초 의 속력 으로 움직인다.
(나) 원 는 축의 양의 방향으로 매초 의 속력으로 움 직인다.
원 는 중심이 원점에서, 점 P 는 점 에서 동시에 출발할 때, 원 의 중심과 점 P 를 지나는 직선이 직선 와 만나는 점을 Q 라 하자. 출발한 후
초가 되는 순간, 점 Q 는 직선 위를 매초 의 속력으로 움직인다. 의 값을 구하시오.
[4점][2009(가) 10월/교육청 30]
시간에 대한 길이의 변화율 04
94.94.원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P , Q 의 시 각 에서의 위치 P, Q는 다음과 같다.
P , Q ln 두 점 P , Q 가 서로 반대 방향으로 움직이는 시각 의 범위가
일 때, 실수 의 값은?
[3점][2012(가) 3월/교육청 9]
① ②
③
④
⑤
95.95.좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 °이고 반지름의 길 이가 인 부채꼴 OAB가 있다. 점 P가 점 A 에서 출발하여 호 AB를 따라 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때, ∠AOP °가 되는 순간 점 P의 좌표의 시간(초)에 대한 변화율은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 28]
①
②
③
④ ⑤
96.96.그림과 같이 지면에서 회전 주심 O 까지의 높이가 m 이고 반지 름의 길이가 m 인 원 모양의 관람차가 (rad/분)의 일정한 속력으로 시계반대방향으로 돌고 있다. 개의 관람차량 중 한 차량에 탑승하고 있는 칠수가 A 지점을 통과하는 순간 점 H 와 칠수 사이의 거리의 시 간에 대한 변화율은 (m/분)이다. 의 값은? (단, 점 H 는 중심 O 에 서 지면에 내린 수선의 발, ∠AOH , 관람차량의 크기는 무시한 다.
[4점][2011(가) 10월/대전 21]
①
②
③
④
⑤
97.97.길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 두 점 P Q 가 점 B 에서 동시에 출발하여 다음 조건을 만족시키면서 반원 위를 움직인다.
(가) ∠QAB ∠PAB
(나) 선분 BP 의 길이의 시간(초)에 대한 변화율은
이다.
점 P 가 점 B 에서 출발하여 초가 되는 순간 선분 AQ 의 길이의 시간 (초)에 대한 변화율은 이다. 의 값을 구하시오.
(단, ≤ ∠PAB
이다.)
[4점][2008(가) 10월/교육청 30]
98.98.좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가
이고 반지름의 길 이가 인 부채꼴 OAB가 있다. 점 P 가 점 A 에서 출발하여 호 AB 위를 시계 반대 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때, 축 위의 점 Q 는 PQ
를 만족시키면서 축 위를 움직인다.O A
B
Q P
∠POA
가 되는 순간, 점 Q 의 좌표의 시간(초)에 대한 변화율을
라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2012(가) 4월/교육청 30]
99.99.곡선 ≥ 과 곡선 의 접선
이 있다. 곡선 위의 점 P에서 축에 평행한 직선 을 그어 접선과 만나는 점을 Q 라 하자.점 P가 점 A 을 출발하여 곡선 위를 매초 의 일정한 속력으로 점 B 까지 이동할 때, 시간(초)에 대한 선분 PQ의 길이의 순 간변화율의 최댓값을 구하시오.
[4점][2014(B) 7월/교육청 26]
O
P Q
100.100.지면에서 회전 중심축까지의 높이가 이고, 길이가 인 풍 력 발전기의 날개가 축을 중심으로 일정한 속력으로 시계반대방향으로 돌고 있다. 지면에서 날개 끝까지의 높이가 가 될 때, 시간(초)에 따 른 높이의 변화율이 이고, 풍력 발전기의 날개가 한 바퀴 도 는데 걸리는 시간을 초라 하자.
( 는 서로소)일 때,
의 값을 구하시오. (단, 축은 지면과 평행하고 축과 날개의 두 께는 고려하지 않는다.)
[4점][2009(가) 7월/교육청 30]
101.101.높이가 m 인 번지점프대에 길 이가 m 인 원기둥 모양의 탄력줄이 연결되어 있다. 이 탄력줄은 힘을 주어 길이가 늘어나도 원기둥 모양이 유지되 며 그 부피는 변하지 않는다고 한다.
어떤 사람이 탄력줄을 매고 점프대를 출 발한 후 m 였던 탄력줄의 길이가
m 로 되는 순간에 탄력줄의 길이가 늘어나는 속도는 m초이고, 탄력줄 의 반지름의 길이는
m 이다. 이 순
간에 탄력줄의 반지름의 길이의 변화율 을
m초 라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2005(가) 10월/교육청 30]
시간에 대한 넓이의 변화율 05
102.102.좌표평면에서 축 위를 움직이는 점 P 의 시각 ( )에 서의 좌표는
이다. 점 P 를 지나고 축에 수직인 직선이 곡선 sin 와 만나는 점을 Q 라 할 때, 점 P 를 중심으로 하고 선분 PQ 를 반지름으로 하는 원의 넓이를 라 하자.
인 순간, 넓이 의 에 대한 변화율은?
[4점][2007(가) 10월/교육청 28]
① ②
③
④
⑤
103.103.한 변의 길이가
인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원 으로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매 초
씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하면서 반지름의 길이 가 늘어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가
이 되는 순간, 정삼각형 에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이 이다. 이때, 상 수 의 값을 구하시오.[4점][2011(가) 7월/교육청 24]
104.104.두 곡선 과 축 위의 점 P 가 있 다. 점 P를 지나고 축과 평행한 직선이 두 곡선 과 만나는 점을 각각 A B라 하자. 또, 점 B를 지나고 축과 평행한 직 선이 곡선 과 만나는 점을 C라 하고, 점 C를 지나고 축과 평 행한 직선이 곡선 과 만나는 점을 D라 하자. 점 P 가 점
를 출발하여 축의 양의 방향으로 매초 의 일정한 속도로 움직인다.
점 P 가 점 를 지나는 순간, 삼각형 ADC의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율은?
[4점][2013(B) 3월/교육청 14]
① ln
② ln
③ ln
④ ln
⑤ ln
105.105.그림과 같이 좌표평면에서 원 위의 점 P는 점 A 에서 출발하여 원 둘레를 따라 시계 반대 방향으로 매초
의
일정한 속력으로 움직이고 있다. 점 Q 는 점 A 에서 출발하여 점 B 을 향하여 매초 의 일정한 속력으로 축 위를 움직이고 있 다. 점 P 와 점 Q 가 동시에 점 A 에서 출발하여 초가 되는 순간, 선분 PQ , 선분 QA , 호 AP 로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 라 하자.
출발한 지 초가 되는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은?
[4점][2008(가) 수능(홀) 29]
①
②
③
④
⑤
106.106.좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 O 와 네 점 A B C D 을 꼭짓점으로 하는 정사각형 ABCD 가 있다. 원 O 의 중심이 축을 따라 양의 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직인다. 초 후 원의 내부와 정사각형 ABCD의 내부가 겹치는 부분의 넓이를 라 하자. 원 O의 중심이
을 지나는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은?(단, ≤ ≤ )
[4점][2012(가) 7월/교육청 19]
O
A
B C
D
①
②
③
④
⑤
107.107.그림과 같이 좌표평면 위의 반지름의 길이가 인 사분원 OAB 에 대하여 각 AOB를 이등분하는 직선이 사분원과 만나는 점을 C 라 하자. 두 점 P , Q 는 점 C에서 동시에 출발하여 사분원의 둘레를 따라 각각 시계 방향, 시계 반대 방향으로 매초
의 일정한 속력으로 움직
인다. 두 점 P , Q 가 점 C에서 출발하여 초 가 되는 순간, 선분 PQ 를 한 변으로 하고 사분원 OAB 에 내접하는 직사각형의 넓이 를 라 하자. 출발한 지 초가 되는 순간, 넓이 의 시간(초) 에 대한 변화율은?
[4점][2011(가) 3월/교육청 20]
①
②
③
④
⑤
108.108.그림과 같이 좌표평면에서 원 위의 점 P가 점
에서 출발하여 원점을 중심으로 매초
(라디안)의 일정한 속력 으로 원 위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점 P 에서 축에 평 행한 직선을 그을 때, 원과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 라 하자. 점 P 가 점
을 지나는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2007(가) 수능(홀) 30]
109.109.그림과 같이 원점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 이 있다. 직선
와 원이 제사분면에서 만나는 점을 A 라 하 자. 점 P 는 원점 O 를 출발하여 축을 따라 양의 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직인다. 점 P 가 원점 O를 출발하여 초가 되는 순 간, 점 P 를 지나고 직선
에 평행한 직선이 제사분면에서 원 과 만나는 점을 Q라 하자.세 선분 AO, OP , PQ 와 호 QA 로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 할 때, 점 Q의 좌표가 가 되는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율 을 구하시오. (단, )
[4점][2015(B) 4월/교육청 30]
O
A
Q
P
110.110.밑면의 지름의 길이가 이고 높이가 인 원기둥이 있다. 그림 과 같이 평행한 두 선분 AB 와 DC 는 서로 다른 두 밑면의 지름이고, 두 선분 DA 와 AB 는 수직이다.
점 P 가 매초 의 일정한 속력으로 원기둥의 옆면을 따라 점 A 에서 출발하여 선분 CB 위의 점을 지나 점 D 까지 최단거리로 움직인다. 점 P 에서 선분 AB 를 포함하는 밑면에 내린 수선의 발을 H 라 하고, 삼 각형 PAH 의 넓이를 라 하자.
점 P 가 점 A 에서 출발한 지 초가 되는 순간, 넓이 의 시간 (초)에 대한 변화율은
이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2010(가) 10월/교육청 30]
111.111.그림과 같은 원모양의 시계가 있다. 시계의 중심을 O , 길이가 인 시침의 끝점을 P , 길이가 인 분침의 끝점을 Q 라 할 때, 삼각형 OPQ 의 넓이를 라 하자. 시 정각이 되는 순간, 넓이 의 시간(분) 에 대한 순간변화율은
이다. 의 값을 구하시오.
(단, 와 는 서로소인 자연수이고, 세 점 O P Q 가 일직선 위에 있 는 경우는 으로 한다.)
[4점][2010(가) 7월/교육청 30]
시간에 대한 부피의 변화율 06
112.112.그림과 같이 높이가 cm 이고 윗면 은 반지름이 cm , 아랫면은 반지름이
cm 인 원으로 된 원뿔대 모양의 물통에 물 이 가득 차 있었다. 이 물통의 바닥에 구멍이 나서 바닥에서부터 수면까지의 높이가 cm 일 때 매초
cm의 양으로 물이 새어 나가고 있다. 일 때 높이의 순간 변화 율은? (단위는 cmsec)[4점][1997(자) 수능(홀) 23]
①
× ②
×
③
× ④
×
⑤
×
시간에 대한 각의 변화율 07
113.113.반지름의 길이 m 인 원판에 기대어 있는 막대 O P 의 한끝은 아 래 그림과 같이 평평한 지면 위의 한 점 O 에 고정되어 있다. 원판이 지 면과 접하는 점을 Q라 하자. 원판의 중심이 오른쪽으로 지면과 평행하 게 등속도 m /초로 움직인다. O Q m 되는 순간, 막대 O P 가 지 면과 이루는 각의 크기 의 시간에 대한 순간변화율은? (단, 단위는 라 디안/초이다)
[2점][1996(자) 수능(홀) 30]
①
②
③
④
⑤
114.114.지점 O 와 지점 E 사이의 거리는 m 이다. 오른쪽 그림과 같이 갑은 지점 O 에서 출 발하여 선분 OE에 수직인 반직선 OS 를 따라 초속 m 의 일정한 속력으로 달리고, 을은 갑이 출발한 지 초가 되는 순간 지점 E 에서 출발 하여 선분 OE 에 수직인 반직선 EN 을 따라 초 속 m 의 일정한 속력으로 달리고 있다. 갑과 을의 지점을 연결하여 만든 선분과 선분 OE 가 만나서 이루는 각을 (라디안)라 할 때, 갑이 출발한 지 초가 되는 순간 의 변화율은?
[4점][2006(가) /수능(홀) 29]
①
라디안/초 ②
라디안/초
③
라디안/초 ④
라디안/초
⑤
라디안/초
2 속도와 거리
평면운동에서 점이 움직인 거리 01
115.115.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치 가
cos sin cos ≤ ≤ 이다.
점 P가 에서 까지 움직인 거리 (경과 거리)를 라 할 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2010(가) /수능 30]
116.116.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 ≤ ≤ 에서의 위 치 가
cos ,
sin 일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?[4점][2017(가) 7월/교육청 19]
ㄱ.
일 때, 점 P 의 속도는 이다.
ㄴ. 점 P 의 속도의 크기의 최솟값은 이다.
ㄷ. 점 P 가 에서 까지 움직인 거리는 이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
117.117.좌표평면 위를 움직이는 점 P 이 시각 에서의 위치
가
이다. 출발 후 시각 에서 속력이 최소가 될 때, 시각 에서
까지 점 P 가 움직인 거리는
이다. 의 값을 구하시 오. (단, , 는 유리수이다.)[4점][2017(가) 8월/영남권 26]
