Electromagnetics II 전자기학 2

(1)

Electromagnetics II 전자기학 2

Prof. Young Chul Lee

초고주파 시스템 집적연구실

제6장 : 정전 경계값 문제 3

(2)

6.5 저항과 정전용량

■

저항

▪

단면이 일정하지 않은 도체의 저항

ò ò

×

= ×

= σE ds

dl E I

R V

▪

저항 계산 과정

1. 적당한 좌표계를 선택한다.

2. 도체 양단 사이의 전위차를 V

_o

로 가정한다.

3. V를 구하기 위하여 Laplace 방정식 ∇

²

V의 해를 구한다. 다음 E= - ∇V로부터 E를, 그리고 I = ∫σE·dS로부터 I를 구한다.

4. 마지막으로 V

_o

/I에 의해 R을 구한다.

(3)

■

평행판 커패시터

▪ 평행판 커패시터와 가정자리 전계효과

가정자리 전계효과 평행판 커패시터

▪ 정전용량 C: 두 도체 사이의 전위차 V에 대한 한쪽 극판에 대전된 전하량의 크기의 비

dl E

ds E V

C Q

dl E V

V

¹

2 2 1

×

=

× -

= -

=

ò

e

▪ 정전용량 C는 커패시터의 물리적인 성질을 나타내며, 단위는 farads(F)로 표시한다.

(4)

▪ 주어진 두 도체의 정전용량을 얻기 위한 방법 1. 방법 1

(1) Q를 가정하고, Q의 항으로 V를 결정(Gauss 법칙 포함)

(2) V를 가정하고, V의 항으로 Q를 결정(Laplace 방정식 풀이 포함) 2. 방법 2

(1) 적당한 좌표계를 선택한다.

(2) 두 도체가 +Q와 -Q로 대전되어 있는 것으로 한다.

(3) Coulomb의 법칙이나 Gauss의 법칙을 사용하여 E를 구하고, V=-

∫

E·dI에 의해 V를 구한다.

V의 절대값만 필요하기 때문에 음의 부호는 무시해도 된다.

(4) 최종적으로 C = Q/V로부터 C를 구한다.

(5)

■

A. 평행판 커패시터

d εS V

C Q

dxa Q a

- dl

E V

Q a - ) (-a E

S Q

0 x x

1 2

x x

s s

=

= ú ×

û ù ê ë

- é

=

× -

=

ò

ò _S ^Qd _S

S

d

e e

r

(6)

▪ 비 유전률 계산 및 에너지

2 QV 1 2C ) Q εS ( d 2 Q

S 2ε

Sd dv εQ

S ε ε Q 2 W 1

2C QV Q

2 CV 1

2 W 1

C C

2 2

2 2 2

v 2 2

2 E

2 2

E 0 r

=

ò

e

(7)

▪ Capacitor 연구 동향 1

▪ DRAM (Memory Cell)

Cell

(8)

▪ Tunable Capacitor 1

Si-substrate BZN 1

IDC( M1: Pt ) BZN 2

L S

SiO₂ l

Si-substrate BZN 1

IDC( M1: Pt ) BZN 2

L S

SiO₂ l

0.0E+00 2.5E-13 5.0E-13 7.5E-13 1.0E-12 1.3E-12 1.5E-12 1.8E-12 2.0E-12 2.3E-12

0 5 10 15 20 25

DC Bias [V]

Ceff [F]

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

Tunability [%]

2.4GHz-Ceff 5.8GHz-Ceff 2.4GHz-C_t 5.8GHz-C_t 0.0E+00

2.5E-13 5.0E-13 7.5E-13 1.0E-12 1.3E-12 1.5E-12 1.8E-12 2.0E-12 2.3E-12

0 5 10 15 20 25

DC Bias [V]

Ceff [F]

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

Tunability [%]

2.4GHz-Ceff 5.8GHz-Ceff 2.4GHz-C_t 5.8GHz-C_t

▪ Structure and Device ▪ Measured results

▪ 세계 최저전압에서 최고 가변율

(2006 APL 발표)

(9)

▪ Tunable Capacitor 2

2E-10 3E-10 3E-10 4E-10 4E-10 5E-10 5E-10 6E-10 6E-10 7E-10 7E-10

0 1 2 3 4 5 6

DC Bias [V]

Capacitance [F]

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

Tunability[%]

C-Rect.

C-Finger T-Rect.

T-Finger

▪ 가장자리전계 (Fringing E-field)를

이용한 가변율 증가

(10)

▪ LPF

L L3 R=

L=6.8 nH L

L1 R=

L=6.8 nH

L L2 R=

L=8.7 nH C C3 C=3.857 pF C

C2 C=3.857 pF C

C1 C=1.230 pF

C C4 C=1.230 pF

Term Term2 Z=50 Ohm Num=2 Term

Term1 Z=50 Ohm Num=1

550 um 250 um

C_total=1.3pF

515 um

-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5

-50 0

-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5

-50 0

dB(SI_LPF7..S(1,1)) dB(SI_LPF7..S(1,2)) dB(SI_LPF7..S(2,1)) dB(SI_LPF7..S(2,2))

dB(TRX_T2_72..S(1,1))dB(TRX_T2_72..S(1,2))dB(TRX_T2_72..S(2,1))dB(TRX_T2_72..S(2,2))

M-S11, S22

M-S21

S-S11, S22

S-S21

L

C

(11)

▪ Diplexer

Size: 3.45 x 4.0 x 0.7 mm³

(12)

■

B. 동축 커패시터 (동축 원통형 커패시터)

▪ 내경=a, 외경=b (b>a), 길이=L인 동축도체

▪ 두 도체 사이에 유전율이 ε인 균질의 유전체가 채워져 있고,

▪ 도체 1과 2에 +Q와 –Q인 전하가 균일하게 분포

- 반경이 ρ(a<ρ<b)인 임의의 Gauss 원통표면에 Gauss의 법칙을 적용,

a V b

Q C

a b

ln L ε π / 2

εL ln 2π

Q

dρρ ρL a

2π - Q

dl E V

ρL a 2π

E Q

ρL 2π εE dS

E ε Q

1

2 ρ ρ

1 2

ρ ρ

=

ú × û ù ê ë

= é

× -

=

×

=

ò ò

ò

e

(13)

■

C. 구형 커패시터

▪ 내부 구의 반경=a, 외부 구의 반경=b (b>a),

▪ 두 도체 사이에 유전율이 ε인 균질의 유전체가 채워져 있고,

▪ 내부와 외부 도체구에 각각 +Q와 –Q인 전하가 균일하게 분포 - 반경이 r (a<ρ<b)인 임의의 Gauss 원통표면에 Gauss의

법칙을 적용,

b a

V

^a

b

1 1

ε 4π V

C Q

1 1 ε π 4

Q

dra εr a

π 4 dl Q

E r a ε 4π E Q

r 4π εE dS

E ε Q

r 2 r

1 2

2 r

-

=

ú û ù ê ë

é -

=

ú × û ù ê ë

- é

=

× -

=

×

=

ò ò

ò

▪ b = ∞ (외부 도체가 무한히 큰 구형 커패시터) - C=4πεa

- 다른 한 전도체로부터 멀리 떨어져 있는 어떤 도체구, 즉 고립된 도체구의 경우

- 구와 같은 크기지만 불규칙한 모양의 도체라도 거의 같은 값의 정전용량을 가진다.

- 고립된 물체(고체)나 장비의 일부분에서의 기생

(14)

■

커패시터의 직렬, 병렬 연결

▪ 직렬 연결

- C1과 C2는 같은 전하량을 가짐.

2 1

C C

C C C

C 1 C

1 C

1 = +

+

=

▪ 병렬 연결

- 극판 사이의 전위차가 같음.

2

1

C

C = +

(15)

■

매질의 이완시간

▪ 매질이 균질일 때만 성립

σ RC ε

dl E

ds E V

C Q ds , σE

dl E I

R V

=

×

=

× =

×

=

= ò

ò

ò ^e

▪ 커패시터의 저항

- R: 극판의 저항이 아니라 극판 사이의 누설저항.

[평행판 커패시터] [원통형 커패시터] [구형 커패시터] [고립도체]

σS R d

d C S

=

= e

σL 2 ln(b/a) R

ln(b/a) L C 2

p pe

=

σ 4

(1/b) -

(1/a) R

(1/b) -

(1/a) C 4

p pe

=

σa 4 R 1

4 C

p pe

=

a

(16)

Example

■

예제 6-12

그림에 있는 커패시터 각각에 대한 정전용량을 구하라.

ε_r1 = 4, ε_r2 = 6, d = 5mm, S = 30 cm²로 하라.

(17)

풀이(1)

pF 26.53

= C + C

= C

2d S ε

= ε C 2d ,

S ε

= ε d

S/2 ε

= ε C (b)

pF 25.46 C =

+ C

C

= C C

d S ε

= 2ε C d ,

S ε

= 2ε d/2

S ε

= ε C (a)

2 1

r2 0 2

r1 0 r1

0 1

2 1

r2 0 2

r1 0 r1

0 1

(18)

6.6 영상법

■

영상법

▪ 1848년 Lord Kelvin에 의해 도입된 영상법은 일반적으로 도체가 존재할 때 전하에 의한 V, E, D와 ρ_S를 구하는데 사용.

▪ Poisson 방정식이나 Laplace방정식을 푸는 것이 아니고 도체의 표면이 등전위면 이라는 사실을 이용하는 것.

▪ 이 방법은 모든 정전기장 문제에 적용하지는 못하지만, 약간 복잡한 문제를 간단한 문제로 만들 수 있음.

영상이론은 접지된 무한한 완전도체평면 윗쪽에 존재하는 전하 구성

요소를 전하 구성요소 그 자체와 이들의 영상, 그리고 도체평면 대신에

등전위면으로 대치할 수 있다는 것을 나타낸 것이다.

(19)

▪ 영상법을 적용하기 위한 조건

1. 영상전하들은 도체영역 내에 존재해야 함.

2. 영상전하들은 도체표면의 전위가 0이나 상수가 되도록 위치해야 함.

(20)

■

A. 접지된 도체평면 위의 점전하

▪ 완전도체평면으로부터 h만큼 떨어진 지점에 놓여 있는 점전하 Q고려

▪ 점 P(x, y, z)에서 전기장

) ,

, ( ) , 0 , 0 ( ) , , (

) ,

, ( ) , 0 , 0 ( ) , , (

r 4

Qr - r

4 Qr

E E E

2 1

3 2 o

2 3

1 o

1 -

h z y x h

z y x r

h z y x h

z y x r

+

= - -

=

-

= -

=

+

= +

=

₊

pe

(21)

ú û ù ê ë

é

+ + +

+ + - +

- + +

- +

=

₂

+

₂ ₂ ₃_/₂ ₂ ₂ ₂ ₃_/₂

o

[ ( ) ]

) (

] ) (

[

) (

4 E Q

h z y

x

a h z ya

xa h

z y

x

a h z ya

xa

_x _y _z _x _y _z

pe

▪ z=0일 때 E는 단지 z성분만 가지므로 E는 도체표면에 수직이 됨.

▪ P점에서 전위

0, z At

] ) (

[

1 ]

) (

[

1 4

V Q

4 Q - 4

Q V V

V

0 z At

dl E - V

2 / 1 2 2

2 2

/ 1 2 2

2 o

2 o 1

o

£

ú û ù ê ë

é

+ + - +

- +

= +

+

=

+

=

³

×

=

- +

ò

h z y

x h

z y

x

r r

pe

(22)

▪ 유도된 전하의 면전하밀도

2 / 3 2 2 2

0 z n 0 n

s

] [

2 | E ε D

ρ

h y x

Qh +

= +

=

₌

p

▪ 도체평면에 유도된 총 전하량

h Q Qh

d Qh h

h d d Q

d d dxdy

y x

h y x

Qhdxdy ds

- + =

=

+ -

= - +

=

= +

=

+

= +

=

¥

¥ -

¥

¥ -

¥

¥ -

ò ò ò

2 0 / 1 2 2

0

2 2

/ 3 2 2 i

2

0 0 2 2 3/2

i

2 2

2

2 / 3 2 2 s 2

i

] | [

) 2 (

] 1 2 [

Q

] [

2 Q 2

, ρ

] [

ρ 2 Q

r

r p r

r p

f r r p

p

(23)

■

B. 접지된 도체평면 위의 선전하

▪ z=0인 접지된 도체평면으로부터 거리 h만큼 떨어진 지점에 위치한 전하밀도 ρ_L C/m인 선전하 고찰.

▪ Q를 ρ_L로 대치시킨 것을 제외하고는 점 전하와 동일한 영상시스템이 적용.

▪ 무한한 길이의 선전하 ρ_L이 x=0, z=h에 존재한다면 영상전하 –ρ_L은 x=0, z=-h에 있게 되며, 두 선전하는 y축에 평행함.

▪ 점 P(x, y, z)에서 전기장

ú û ù ê ë

é

+ +

+ - +

- +

-

= +

+

= - -

=

-

= -

=

+ -

= +

=

₊

2 / 3 2 2

o L 2

1

1 o

L 1

o L -

] ) (

[

) (

] ) (

[

) (

E 2

) ,

0 , ( ) , , 0 ( ) , , (

) ,

0 , ( ) , , 0 ( ) , , (

2 a 2 a

E E E

1 1

h z x

a h z xa

h z x

a h z xa

h z x h

y z

y x

h z x h

y z

y x

z x

pe r r

r

r pe

r r

pe r

r r

- z=0일 때 E는 단지 z성분만 존재하므로 E는 도체표면에 수직임.

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