Electromagnetics II 전자기학 2

(1)

Electromagnetics II 전자기학 2

Prof. Young Chul Lee

초고주파 시스템 집적연구실

제7장 : 정자기장1

(2)

Advanced RF System Integration (ARSI) Lab. Young Chul Lee 2

제7장 : 정자기장

■

7.1 ^서론

■

7.2 Biot-Savart의 법칙 - 벡터의 회전

- Stokes 정리

■

7.3 Ampere의 주회법칙-Maxwell 방정식

■

7.4 Ampere의 법칙의 응용

■

7.5 자속밀도-Maxwell 방정식

■

7.6 전전자기장에서의 Maxwell 방정식

■

7.7 자기 스칼라와 벡터포텐셜

■

7.8 Biot-Savart의 법칙과 Ampere의 법칙 유도

(3)

7.1 서 론

■ 정전기장과 정자기장

▪ E와 D에 의하여 특징지어지는 정전기장

▪ H와 B에 의하여 특징지어지는 정자기장

▪ 정전기장과 자기장 사이에는 유사성 - D=εE

- B= μH

- 유사성이란 등가의 유사한 양으로 바꾼다면 전기장에서 유도되었던 식들이 손쉽게 자기장에서의 대응식을 구하는데 사용할 수 있다는 것

■ 전기장과 자기장 사이의 관계

▪ 정전하 또는 정지상태의 전하에 의하여 정전기장이 발생.

▪ 전하가 일정한 속도로 움직이면 정자기장이 발생

▪ 일정한 전류의 흐름(즉, 직류)에 의해 정자기장이 발생

▪ 전류의 흐름은 영구자석에서의 자화전류, 진공관에서의 전자빔 전류나 전선에 흐르는 도전전류에 기인

■ 정자기장에는 두 개의 중요한 법칙

▪ Biot- Savart의 법칙과 Ampere의 주회법칙

▪ Coulomb의 법칙과 같이 Biot- Savart의 법칙은 정자기장에 관한 가장 일반적인 법칙

(4)

■ 전자기장의 상사성

(5)

7.2 Biot-Savart의 법칙

■

Biot- Savart의 법칙

2 2 2

R 4

sinα dH I

4 / 1

R sinα dH kI

R sinα dH I

p p dl k

dl dl

=

¥

▪ 미소전류소 I dl에 의한 P점에서의 미소자기장의 세기 dH는 I dl과 점 P와 전류소를 연결하는 직선과 전류소 사이의 각 α에 사인을 취한 값과의 곱에 비례하며, 점 P와 전류소 사이의 거리 R의 제곱에 반비례한다는 것을 나타낸다.

3

2

4 R

R I

R 4 dH I

p p

= ´

= dl ´ a

_R

dl

▪ dH의 방향: 오른손엄지(전류)이외의 나머지 손가락

▪ 자기장의 세기(H): H가 지면 밖/안으로 향하는 것을 나 로 표시

(6)

■

선전류, 면전류, 체적전류

ò ò ò

= ´

V 2

S 2

L 2

R 4 H J

R 4 H K

R 4 H I

p p p

R R R

a dv

a dS

a

dl

▪ 선전류

dv dS

dl K J

I = =

▪ 면전류

▪ 체적전류

▪ 미소전류소

(7)

■

선조도체(filamentary conductor) AB를 흐르는 직선전류에 의한 자기장

▪ dl에 의한 점P에서의 dH

φ 1 2

φ

3 φ 3

2 2

2 2 φ

/ 3 2 2

φ

z ρ

z 3

)a cos - 4 (cos

I

sin 4 a

I

cosec a cosec 4

H I

cosec ,

cot z

] a [

H 4

ρdza R

dl

za ρa

R , dza dl

R 4

R dH I

2

1 2

1

a pr a

a r

a a r

p

a a r

a r

r p

a a a a

= -

=

-

=

= +

=

´

-

=

= ´

ò ò ò

d d

d dz

z dz I dl

▪ 도선이 반무한이면, A (0,0,0), B (0,0,∞) - α₁=90^o, α₂=0^o,

a

φ

4 H I

= pr

▪ 도선이 무한이면, A (0,0,-∞), B (0,0,∞) - α₁=180^o, α₂=0^o,

a

r

a

_φ

=

_l

´

(8)

Example

■

예제 7-1

삼각형의 도체 루프에 10A의 전류가 흐르고 있다. 루프 1번 변에 의한 (0, 0, 5)에서 H를 구하라.

(9)

풀이

[mA/m]

-59.1a

=

) 0)(-a -

29 4ππ (2/

= 10 )a

cosα -

(cosα 4π

= I H

-a

= a x a

= a

5 = ρ -

29 2/

= cosα -

0 = cos90

= cosα -

)a cosα -

(cosα 4π

= I H

y

y φ

1 2

y z

x ρ

l φ

2

0 1

φ 1 2

ρ

(10)

Example

■

예제 7-2

선조전류에 의한 (-3, 4, 0)에서의 H를 구하라.

(11)

풀이(1)

(mA/m) 28.65a

+ a 38.2

=

) a 3 + a (4 (-1))(1/5) -

4π (0

= 3 H

) a 4 + a (1/5)(-3

= a , a 4 + a -3

= A

) a 3 + a (1/5)(4

= ) a 4 + a (1/5)(-3 x

) (-a

= a x ) (-a

= a x a

= a

5 16 9

= ρ -

90 = α -

180 = α -

)a cosα -

(cosα 4π

= I H (1)

y x

z

y x

ρ y x

ρ

y x

z ρ

l φ

0 2

0 1

φ 1 2

z

ρ ρ

=

+

(12)

풀이(2)

(mA/m) a

a a

H H

H

(mA/m) 23.88a

= (3/5))a

- 4π (1

= 3 H

a

= a x a

= a

4 = ρ -

0 = α -

3/5

= cosα -

H (2)

z y

x z

x

z z

x

z y

x ρ

l φ

0 2

1 x

88 . 23 + 65

. 28 + 2

. 38

= +

=

4

(13)

벡터의 회전(Curl)

■

유체역학

- 회전 측정기(Curl meter)를 이용한 유속의 회전측정

■ 결론

▪ 벡터계가 비균일할 때만 회전한다.

▪ 회전의 크기는 비균일성 정도에 비례한다.

▪ 회전은 벡터 값 (크기와 방향을 동시에 표현)

(14)

■

회전과 선적분과의 관계

▪ 속도벡터 V=v

_z

a

_z

계에서의 선적분

▪ 폐곡선 경로 C1: 선적분=0

- 속도벡터와 변1과 2가 평행, 방향은 반대 - 다른 변은 직교

- 회전하지 않는다는 의미

▪ 폐곡선 경로 C2/3: 선적분 값을 가짐

- 적분값: 변1과 2 (각 변에서의 속도가 다름) - 회전한다는 의미

▪ 회전

- C2: + x 방향 (변1속도 > 변2속도) - C1: - x 방향 (변1속도 < 변2속도)

ò

c

v ^× dl

0 =

ò

c

v × dl

0 ¹

ò

c

v × dl

(15)

■ 수학적 표현 – (1)

▪ 임의의 벡터에 대한 회전을 수학적으로 표현한 식인 회전 (Curl)은 벡터이며, 회전 벡터의 방향성분은 방향에 수직인 면에 있는 작은 폐경로에 대해 그 임의의 벡터를 폐곡선 적분한 값으로 주어짐.

▪ 직교좌표계에서 임의의 벡터 F의 회전 (Curl)

curl F = [curl F]

_x

a

_x

+ [curl F]

_y

a

_y

+ [curl F]

_z

a

_z

z y

dl F F

curl

^c

z x y

D D

×

= ò

>

- D D

1 0

lim

,

] . [

y

x

z

F

a_x Δy

Δz 2

1

4

3

▪ curl의 x방향성분

- 구하고자 하는 회전 방향 성분과 미소 면적소를 둘러싼 폐경로를 따라 F를 적분함.

▪ curl의 물리적의미

- 선적분: 벡터계의 비균일성을 나타냄.

- 둘러싸인 면적의 크기와 회전값과는 무관

- 면적소의 극한: 선택한 폐경로의 형태/크기에 무관

▪ 벡터의 회전: 벡터를 폐경로를 따라 선적분한 수식의 점형식 표현

(16)

■ 수학적 표현 – (2)

z z y

y x

x

a F a F a

F

F =

₀

+

₀

+

₀

z y

dl F F

curl ^c

z x y

D D

×

=

ò

>

- D D

1 0

lim,

] . [

▪ 직교좌표계에서 벡터계의 회전

z y

dya F

dza F dya

F dza

F _z _y _z _y

z

y D D

-

× +

× + -

×

=

ò ò ò ò

>

- D D

1 2 3 4

0

lim,

y

x

z

F

a_x Δy

Δz 2

1

4

3

y

x

z

F

a_x Δy

Δz 2

1

4

3

- 변 1과 2에서의 F 값은 식1의 성분으로, - 무한히 작은 폐경로를 가정하면,

변 3과 4에서의 F의 값은 원점에서의 값과 y/z 방향으로의 변화율이 조합된 항.

dy y F dF

F_z |_at_.₃= _z₀ + ^z D

dz z F dF

F_y |_at_.₄= _y₀ + ^y D

- (1)

(17)

- 회전의 x 성분

z y

dy dz z

F dF dz

dy y F dF

dy F dz F F

curl

y y

z z

yo zo

z x y

D D

D +

- D

+ +

+

× -

=

ò ò ò ò

>

- D D

1 2 3 0 4 0

0 ,

] [

lim ]

. [

z y

dy dz z

dz dF dy y

dFz y

z

y D D

D -

D

=

ò ò

>

- D D

3 4

0 ,

) (

lim

dz dF dy

dF z

y

z dz y

z dF dy y

dF F

curl ^z ^y

z y

z

x y = -

D D

D D -

D D

= Dlim,D ->0

] . [

- 적분값이 적분하는 변의 길이와 피적분함수를 곱한 값으로 근사한다면,

-단위벡터 a

_y

와 a

_z

에 수직인 폐경로 C1과 C2를 택하고 상기와 같은 방법으로 해석

dx dF dz

F dF

curl . ]

_y

=

^x

-

^z

[

dy dF dx

F dF

curl . ]

_z

=

^y

-

^x

[

(18)

▪ curl F

z y x

y z x

x

z y

a

dy dF dx

a dF dx dF dz

a dF dz

dF dy

F dF

curl . = ( - ) + ( - ) + ( - )

z y x

F F F

dz d dy

d dx

d

a a a XF F

curl. =Ñ =

▪ 직교좌표계

▪ 원통좌표계

▪ 구좌표계

z z

F F F

dz d d

d d

d

a a

a XF

F curl

f r

r f r

r r

. =Ñ = 1

f f

f q

q f q

q q

F r

rF F

d d d

d dr

d

r a r a a

XF r F

curl

r r

sin sin sin

. =Ñ = ₂ 1

(19)

▪ 폐환선에 대한 선적분과 표면적분과의 관계

- 폐면 S를 미소면적소 ΔS로 나누어, 벡터회전의 정의를 적용

aN

S

N S

S H dL H

×

´ Ñ D =

×

´ Ñ D =

×

ò ò

D D

) (

N: 표면에 수직방향으로 오른나사가 진행하는 방향

dL

_Δs

: 폐곡로가 미소면적소의 둘레

a

_N

: Δs에 수직하며, 오른나사가 진행하는 방향

스토크스의 정리 (Stokes theorem)

(20)

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