Electromagnetics II 전자기학 2

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Advanced RF System Integration (ARSI) Lab. Young Chul Lee 1

Electromagnetics II 전자기학 2

Prof. Young Chul Lee

초고주파 시스템 집적연구실

Advanced RF System Integration (ARSI) Lab http://cms.mmu.ac.kr/wizuniv/user/RFSIL/

제9장 : Maxwell Equations

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9.1 서론

9.2 패러데이의 법칙

9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력 9.4 변위전류

9.5 Maxwell 방정식 9.6 시변 포텐셜

9.7 시정현장 (Time-Harmonic Fields)

제9장 : Maxwell Equations

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Advanced RF System Integration (ARSI) Lab. Young Chul Lee 3 James Clerk Maxwell (1831.6.13 ~ 1879.11.5)

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James Clerk Maxwell

▪ 1831년: 6월13일 스코틀랜드 에든버러에서 출생

▪ 1846년: 타원에 관한 독창적인 논문 발표

▪ 1847년: 에든버러 대학에 입학하여 철학을 공부

▪ 1850년: 영국 캐임브리지 대학

▪ 1854년: 영국 캐임브리지 대학 트리니티 칼리지 졸업

▪ 1855~1872년: 눈이 색을 감지하는 것에 대한 연구

▪ 1860년: 영국 킹스 칼리지의 교수

▪ 1864년: 맥스웰 방정식 발표

▪ 1866년: 통계적 방법을 이용한 맥스웰-볼츠만 기체운동이론 (열역학 및 통계물리학 발전에 크게 기여)

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▪ 1859년: 토성의 고리는 고체 알갱이로 이루어졌다는 것을 수학적으로 증명

▪ 컬러사진 발명

맥스웰의 이름을 딴 하와이의 제임 스 클러크 맥스웰 망원경

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Maxwell Equations

Gauss’s law

Faraday’s law

Gauss’s law magnetism

Ampere’s law

“인류역사상 가장 위대한 식”

“지극히 간단하고도 우아하며 심오한 대칭성과 수학적 아름다움을 가지고 있는 식”

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Gauss’s law

▪ 전기장은 전하에 의해 만들어지며 발산한다.

▪ 자기 홀 (N 또는 S) 극 은 존재하지 않는다.

즉, N극의 방향, S극의 방향만 존재한다.

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Faraday’s law

▪ 자기 장의 변화에 전기장이 발생하며, 이로 인해 도선에 전류가 흐르게 할 수 있으며, 발전기의 발명의 원리를 제공

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Modified Ampere’s law

▪ 전류나 전기장의 변화에 의해 자기장이 발생한다.

▪ Ampere의 법칙에서는 전류가 흐를 때만 주변에 자기장이 만들어진다.

▪ 맥스웰은 전류가 흐르지 않고 전기장의 세기만 변해도 주변에 자기장이 만들어진다는 것을 발견.

- 전기장의 변화도 전류로 보아 변위전류라 함.

- 자기장을 만들어내는 것은 실제로 전하가 움직여 가는 실제 전류와 실제로 전하는 움직여가지 않지만 전기장의 세기가 변해서 만들어지는 변위전류의 두 가지가 있다.

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Maxwell Equations의 의의

전기 자기

빛

▪ 전기와 자기는 본질적으로 같은 것이며 이들이 만들어내는 장의 출렁임, 즉 전자기파가 바로

‘빛’이다.

▪ 전기와 자기의 통합 및 전자기파의 예측

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9.2 Faraday’s Law

■

Faraday의 전자유도 실험

▪ 오스테드(Oersted)의 실험

- 도선에 흐르는 전류(a_z)가 자계를 발생시켜 나침반을 움직임(a_Φ) [1820]

▪ Faraday의 실험 (Michael Faraday, Joseph Henry)

- 전류가 자계를 발생시킨다면, 자계도 전류를 발생시켜야 한다는 가정을 증명 [1831]

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▪ 패러데이의 전자유도 법칙: 루프도선에 쇄교하는 자속이 시간에 따라 변할 때만 자계는 루프도선에 전류를 발생시킴.

▪ 쇄교자속이 변할 때 루프에는 전류가 발생되며, 전류의 방향은 자속이 증가하는냐(전류전원:On)

▪ Faraday의 실험 모델

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▪

유도 전계가 수신 고리의 경로 C를 따라서 자유전자를 움직이는데 한 일.

▪

유도 기전력은 이를 발생시키는 자속의 변화를 상쇄하려는 방향을 갖는다.

“Lenz의 법칙”

“시변 자계가 전계를 발생시킨다.”

■

유도기전력 (Electromotive force : emf),

권선수 가 N인 루프

▪ 변압기전력 (transformer emf: V^tr_emf) - 정지된 루프에 쇄교하는 시변 자계

▪ 운동기전력 (motional emf: V^m_emf)

- 정자계 B 내에서 루프가 운동하는 경우, 이 때 자계 B에 쇄교하는 루프면적이 시간에 따라변함.

▪ 시변 자계 B 내에서 루프가 운동하는 경우 - V_emf= V^tr_emf + V^m_emf

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9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력

■

A: 변압 기전력

▪ 둘레 C, 면적 S, 권선 N=1인 원형 도선루프가 시변 자계 B(t) 내에 있을 경우, 고정된 S에서 자계가 시간에 따라 변할 때 생기는 변압 기전력

▪ emf 극성

- 오른손법칙: ds가 엄지방향, 네 손가락이 가리키는 적분로 C의 방향은 V^tr_emf의 (+)단자 에서 (-)단자 표시

▪ 루프에 흐르는 전류

“V^tr 의 극성과 이에 따르는 전류 I의 방향은 렌츠의 법칙 (Lenz’s law)

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■

패러데이 법칙의 미분형

▪ 루프의 단자 1, 2를 연결된 페회로로 간주

(16)

■

B: 정자장 내에서 움직이는 루프 (운동에 의한 기전력)

(17)

■

C: 시변장 내에서 움직이는 루프

▪ 변압 기전력과 운동에 의한 기전력이 모두 존재

)

× (

× +

=

×

• )

× ( +

• =

• = V

_emf

B dt u

E dB

dl B

u dt dS

dl dB E

L

L s

∇ -

∇

∫

∫ ∫

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■ 연습문제 9.1

그림에서 B=0.5a_z [Wb/m²], R=20 ohm, l=10cm, 막대가 u=8a_z [m/s]의 일정한 속도로 움직일 때, 다음을 구하라.

(a) 막대에서의 유도전압 (b) 저항에 흐르는 전류

(c) 막대에 작용하는 운동에 의한 힘 (d) 저항에 소비되는 전력

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Advanced RF System Integration (ARSI) Lab. Young Chul Lee 19 풀이

mW 8

0.4x20x10 VI

P (d)

(mN) -1ax

) 0.5a - x 0.2(0.1a

=

Iιιx

= q(ι(ι/t)

= q(uxB)

= F (c)

mA 20 0.4/20

/R V

= I (b)

0.4V

= 8x0.5x0.1

= UB

= (uxB)dl

= V (a)

3 -

z y

emf emf

=

∫ ^ι

(20)

■ 연습문제 9.3

다음의 자기회로가 4 cm²의 일정한 단면을 가지고 있다. 120V 60Hz의 발전기와 연결되어 있다. 2차 코일에 유도되는 기전력 V2를 계산하시오.

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Advanced RF System Integration (ARSI) Lab. Young Chul Lee 21 풀이

V 72 500 =

120 300 N =

V N

= V

N N V

V

dt -N2 d

= dt V

-N1 d

= V

1 2 1 2

1 2 1

2

2 1

=

, ψ

ψ

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9.4 변위전류

• Ampere’s law in static electric field

• Ampere’s law in time-varying electric field

• proof of Ampere’s law:

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■ 예제 9.4

극판 면적이 5cm²이고 극판사이의 간격이 3mm인 평행판 커패시터에 50sin10³t의 전압이 인가됨. ε =2ε₀ 일 때, 변위전류를 계산하시오.

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풀이

[nA]

t 147.4cos10

= t 50cos10 3x10 x10

/36π36π)x5 2x(10

= I

dt C dV dt =

dV d

= εS S J

= I

dt dV d

= ε dt

= dD J

d ε V

= εE

= D

3 3

-

4 - 4

- d

d d

d

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9.5 Maxwell Equations

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9.6 시정현장 (Time-Harmonic Fields)

■ 시정현장 : 시간에 대해 주기적으로 혹은 sin 함수(정현파)의 형태로 변하는 장

■

페이저 해석

▪ 전원이 주기적 시간함수로 표현되는 선형 시스템을 포함하는 문제를 해결하는데 유용한 수학적 방법.

- Source가 시간에 따라 정현적으로 변할 경우, 페이져를 이용하여 미적분 방정식을 정현함수를 사용하지 않고 선형방정식으로 변환시켜 해법을 간단하게 함.

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