제 5 장 확률변수와 확률분포

금융데이터분석

제 5 장 확률변수와 확률분포

 확률변수

 확률분포

 확률함수

 기대값과 분산

 결합확률분포

 공분산과 상관계수

1. 확률변수

확률변수 (random variable)

확률실험의 결과로 결정되는 수치를 취할 가능성을 확률로 표시할 수 있 는 변수를 말한다.

이산확률변수와 연속확률변수

이산확률변수(discrete random variable)

셀 수 있는 정수값을 취하는 변수를 말한다. (예: 가족중 남자의 수,한시간 동 안 어떤은행에 도착하는 고객의 수 등)

연속확률변수(continuous random variable)

일정한 실수구간 내에서 연속적인 값을 취할 수 있는 확률변수를 말한다. (예:

가족의 연간소득,증권의 수익률,체중,키,온도)

2. 확률분포

확률분포 (probability distribution)

실험의 가능한 모든 결과를 수치로 나타내고 각 결과에 대응하는 확률을 표, 그래프, 함수 등으로 나타낸 것.

이산확률분포와 연속확률분포

 이산확률분포(discrete probability distribution)란 이산확률변수의 확 률분포를 말한다. 예) 이항분포, 포아송분포, 초기하분포 등

연속확률분포(continuous probability distribution)란 연속확률변수의 확률분포를 말한다. 특정한 확률변수에서는 확률을 구할 수 없으며

(P(x=X)=0), 변수값의 일정 범위(P(a<X<b)에서 구함.

예) 균등분포,정규분포,지수분포,t분포,F분포,카이제곱(X²)분포 등

 주사위 한 개를 던지는 실험의 눈금수를 확률변수 X라고 할 때 확률분포를 나타내시오.

 동전을 세개를 한번에 던지는 실험에서

1)앞면을 H, 뒷면을 T라고 할 때 표본공간을 구하시오.

2)확률변수 X를 앞면이 나오는 수라고 정의할 때 확률분포를 표로 나타내 시오.

3. 확률함수

확률함수 (probability function)

확률변수 X가 어떤 특정한 실수값 x를 취할 확률을 일일이 나열하지 않고 x의 함수로 간편하게 나타낸 것을 말한다.

 확률함수는 대상이 되는 변수가 이산이냐 또는 연속이냐에 따라 확률질량 함수(probability mass function : pmf)와 확률밀도함수(probability density function : pdf)로 나뉜다.

 확률질량함수(PMF, probability mass function)



이산확률변수 X가 취할 수 있는 각각의 실수값에 확률을 대 응시키는 방법/규칙으로 일반적으로 P(X)로 나타냄



조건

 모든 실수값 x에 대하여 P(X=x)  0



 확률밀도함수(PDF, probability density function)



연속확률변수 X가 취할 수 있는 실수구간에 대하여 확률을 대응시키는 방법/규칙으로 일반적으로 f(X)로 나타냄



조건

 모든 x에 대하여, f(x)  0

 모든 X에 대한 확률의 합은 1이다. _න

−∞

∞

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1

෍

𝑥

𝑃(𝑋 = 𝑥) = 1

 확률변수 X가 1,2,3,4의 가능한 값을 갖는다고 하자.각 값의 대응하는 확률이 다음 과 같다.

1) 확률변수 X의 확률함수를 구하라.

2) 위에서 구한 함수는 확률질량함수인가?

 다음 함수는 확률밀도함수인가?

𝒇 𝒙 =

𝒙^𝟐

𝟑 (−𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐) 𝟎 (그 이외의 점)

X P(X)

1 1/10

2 2/10

3 3/10

4 4/10

4. 기대값(expected value)



기대값은 자료의 중심적 경향을 나타내 주는 수치적 척도 로써, 확률변수가 취할 수 있는 모든 값의 평균을 의미한다 .

 X가 이산변수인 경우:

 X가 연속변수인 경우:

𝐸[𝑋] = ෍ 모든⥂𝑥

𝑋𝑃(𝑋)

𝐸[𝑋] = න 모든⥂𝑥

𝑋𝑓(𝑋) 𝑑(𝑥)

기대값의 특성

a a

E ( ) 

) ( )

( bX bE X

E 

) ( )

( a bX a bE X E   

) ( )

( )

( X Y E X E Y

E   

) ( )

( )

( aX bY aE X bE Y

E   

(단, a와 b는 상수, X와 Y는 확률변수)

 다음은 어떤 가계의 하루 판매량과 확률을 나타낸 확률분포표이다. 하루 판매량의 기대값을 구하라.

X P(X)

0 0.2

1 0.3

2 0.4

3 0.1

기대값은 확률분포의 집중경향을 나타내는데 반하여 분산(variance) 또는 표준편차(standard deviation)는 확률변수들이 기대값을 중심으로 얼마나 흩어져 있는가를 나타내는 산포도(degree of dispersion)의 측정치이다

5. 분산(Variance)

𝑉𝑎𝑟[𝑋] = ෍ 모든⥂𝑥

𝑋 − 𝐸 𝑋 ²𝑃(𝑋)

𝑉𝑎𝑟[𝑋] = න 모든⥂𝑥

𝑋 − 𝐸 𝑋 ²𝑓(𝑋) 𝑑(𝑥) 이산확률분포

연속확률분포

분산의 특징

𝑉𝑎𝑟(𝑎) = 0

𝑉𝑎𝑟(𝑎 ± 𝑥) = 𝑉𝑎𝑟(𝑥) 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑥 ± 𝑏) = 𝑎²𝑉𝑎𝑟(𝑥)

𝑉𝑎𝑟(𝑥 ± 𝑦) = 𝑉𝑎𝑟(𝑥) + 𝑉𝑎𝑟(𝑦)(단, 𝑋와 𝑌가 독립)

𝑉𝑎𝑟 𝑥 ± 𝑦 = 𝑉𝑎𝑟 𝑥 + 𝑉𝑎𝑟 𝑦 ± 2𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦)(단, 𝑋와 𝑌가 종속) 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑥 ± 𝑏𝑦) = 𝑎²𝑉𝑎𝑟(𝑥) + 𝑏²𝑉𝑎𝑟(𝑦)(단, 𝑋와 𝑌가 독립)

𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑥 ± 𝑏𝑦) = 𝑎²𝑉𝑎𝑟(𝑥) + 𝑏²𝑉𝑎𝑟(𝑦) ± 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)(단, 𝑋와 𝑌가 종속)

 다음은 어떤 가계의 하루 판매량과 확률을 나타낸 확률분포표이다. 하루 판매량의 분산과 표준편차를 구하라.

X P(X)

0 0.2

1 0.3

2 0.4

3 0.1

5. 결합확률분포

) ,

( )

, (

.

,

y Y x X P Y

X P

y Y

x X

Y X







말한다 함수를

발생시키는 확률을

대응하는 취할때

를 실수값 가

변수 실수값

가 변수

결합확률함수란 의

와 이산변수

두

 결합확률함수

− 모든 실수값 𝑥, 𝑦에 대하여 𝑃(𝑋, 𝑌) ≥ 0이다.

− 두 변수 𝑋와𝑌가 취할 수 있는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이다.

결합확률함수의 조건

 결합확률분포

둘이상의 확률변수가 서로 연관된 확률분포로서 확률변수 X와

Y의 값의 모든 쌍에 대하여 결합확률 𝑷(𝑿_𝒊, 𝒀_𝒋) = 𝑷(𝑿 = 𝒙 ∩ 𝒀 = 𝒚)를 나타낸 것.

주변확률함수

 

 

x y

Y X P Y

P

Y X P X

P

Y X

모든 모든

같다 다음과

주변확률함수는 의

와 이산확률변수

두

) , ( )

(

) , ( )

(

.

 X와 Y의 관계

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))(𝑌 − 𝐸(𝑌))]

= 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)

공분산(Covarience): 두 변수 간의 선형관계 여부를 측정하는 척도

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) > 0 X와 Y가 정의 선형관계

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) < 0 X와 Y가 부의 선형관계

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0 X와 Y는 선형관계 없음

6. 공분산과 상관계수

변수 X와 Y의 관계

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))(𝑌 − 𝐸(𝑌))]

= 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)

𝜌_𝑋𝑌 = 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 𝜎_𝑋𝜎_𝑌

𝜎_𝑋: 변수 𝑋의 표준편차 𝜎_𝑌: 변수 Y의 표준편차

공분산의 단점은 X와 Y가 선형관계가 있는지, 그리고 그것이 정의 관계인지 부의관계 인지는 알려주지만, 공분산의 값이 얼마나 커야 밀접한 선형관계에 있는지를 제시 못함.

상관계수(correlation coefficient)

−1 ≤ 𝜌_𝑋𝑌 ≤ 1

𝑖𝑓 𝜌_𝑋𝑌 = 1, 𝑋와 𝑌가 완전 정(+)의 상관 𝑖𝑓 0 < 𝜌_𝑋𝑌 < 1, 𝑋와 𝑌가 정(+)의 상관 𝑖𝑓 𝜌_𝑋𝑌 = 0, 𝑋와 𝑌가 무상관

𝑖𝑓 − 1 < 𝜌_𝑋𝑌 < 0, 𝑋와 𝑌가 부(-)의 상관 𝑖𝑓 𝜌_𝑋𝑌 = −1, 𝑋와 𝑌가 완전 부(+)의 상관

예제1: 결합확률분포표를 이용해서 다음을 계산하시오.

X

Y 200 100 0 주변확률

100 0.1 0.1 0.2 0.4

0 0.1 0.3 0.2 0.6

주변확률 0.2 0.4 0.4 1.0

[ 결합확률분포표 ]

1) 변수 X와 Y의 기대값을 구하시오.

2) 변수 X와 Y의 분산 및 표준편차를 구하시오.

예제1: 결합확률분포표를 이용해서 다음을 계산하시오.

X

Y 200 100 0 주변확률

100 0.1 0.1 0.2 0.4

0 0.1 0.3 0.2 0.6

주변확률 0.2 0.4 0.4 1.0

[ 결합확률분포표 ]

3) 공분산과 상관계수를 구하고 의미를 설명하시오

예제2: 투자자 김씨는 내년에 주식X 또는 펀드 Y에 투자할 계획을 가지고 있다. 각 대안에 100만원을 투자하였을 때 예상되는 각 경제상황에 다른 연간 수익과 확률을 나타낸 확률분포가 다음과 같다.

경제상황 확률 주식X 펀드 Y

불황 0.2 -200 200

보통 0.5 100 80

호황 0.3 250 -100

[ 수익의 확률분포표 ]

3) 확률변수 X와 Y의 합의 기대값을 구하라

1) X와 Y의 기대수익을 구하라.

2) X와 Y의 분산과 표준편차를 구하라.

예제2: 투자자 김씨는 내년에 주식X 또는 펀드 Y에 투자할 계획을 가지고 있다. 각 대안에 100만원을 투자하였을 때 예상되는 각 경제상황에 다른 연간 수익과 확률을 나타낸 확률분포가 다음과 같다.

경제상황 확률 주식X 펀드 Y

불황 0.2 -200 200

보통 0.5 100 80

호황 0.3 250 -100

[ 수익의 확률분포표 ] 4) 확률변수 X와 Y의 공분산을 구하라.

5) 확률변수 X와 Y의 상관계수를 구하라.

예제3: 투자자 강씨는 주식 A와 B를 소유하고 있다. 이들 두 주식에 대한 예상수익률을 확률변수 X와 Y라고 정의할 때 결합확률분포가 다음가 같다고 하자.

X Y 5% 10%

0% 0.25 0.25 5% 0.25 0.25

[ 수익률의 결합확률분포표 ] 1) 확률변수 X와 Y의 주변확률을 구하라.

3) 확률변수 X와 Y의 기대수익률을 구하라.

2) 확률변수 X와 Y의 독립성을 판정하라.

예제3: 투자자 강씨는 주식 A와 B를 소유하고 있다. 이들 두 주식에 대한 예상수익률을 확률변수 X와 Y라고 정의할 때 결합확률분포가 다음가 같다고 하자.

X Y 5% 10%

0% 0.25 0.25 5% 0.25 0.25

[ 수익률의 결합확률분포표 ]

4) 확률변수 X와 Y의 분산과 표준편차을 구하라

5) Cov(X,Y)과 𝜌_𝑋𝑌를 구하라.

6) E(X+Y)를 구하라.

7) Var(X+Y)를 구하라.