수학의 기초와 응용 V
부산가톨릭대학교 컴퓨터공학과
변 상 선
통계의 함정
• 심슨의 역설
• Yul-Simpson Effect
• 어느 대학에서 입학자 현황을 검토했다
• 남자: 8000명, 여자: 4000명
• 남자를 더 많이 뽑았다는 이유로 성차별로 고소당했다
• 그런데, 학과별로 남녀 성비를 다시 조사했더니, 모든 학과에서 꺼꾸로 여 자의 성비가 더 높았다
• 이것이 어떻게 가능할까?
통계의 함정
• 수학과와 법학과만 있는 대학을 가정
수학과 응시자수 합격자수 합격율 여자 100명 60명 60%
남자 100명 58명 58%
법학과 응시자수 합격자수 합격율 여자 100명 40명 40%
남자 3명 1명 33%
전체 응시자수 합격자수 합격율 여자 200명 100명 50%
남자 103명 59명 57%
통계의 함정
• 두 타자의 타율
2016년 타수 안타수 합격율 A선수 400타수 128안타 0.320 B선수 401타수 128안타 0.319
2017 타수 안타수 합격율 A선수 100타수 34안타 0.340 B선수 400타수 135안타 0.338
통산 타수 안타수 합격율 A선수 500타수 162안타 0.324 B선수 801타수 263안타 0.328
퍼센트의 함정
• 80%가 1%보다 과연 큰 것인가?
• 작은 회사의 주식 80% < 마이크로소프트웨어의 주식 1%
• 주식이 10% 올랐다가 다시 10% 떨어졌다
• 제자리로 돌아온 것인가?
• 주식이 90% 올랐다가 50% 떨어졌다
• 그래도 원래 가격보다 높은 가격일까?
평균과 중간값
•
Average vs. Median•
7 명이 근무하는 직장에서 사장이 7억원의 연봉을, 나머지 직원들은 5천만원의 연봉을 받는다•
평균 1억 4천 3백만원의 연봉•
오로지 사장만이 평균보다 높은 연봉을 나머지 직원은 평균의 1/3 정도•
만약, 사장 월급이 두 배로 오르면?•
평균이 2억 4천 3백만원•
즉, 직원들 월급은 그대로 인데, 평균은 1.7배 상승•
평균은 극값의 변화에 매우 민감•
중간값 (중앙값)•
크기 순서대로 나열했을 때, 중앙에 위치하는 값•
극값의 변화에 영향 없음굳이 도박을 하겠다면
• 마이클 조던과 3점슛 내기를 한다
• 마이클 조던이 나에게 점수 (상대를 이기는 점수) 를 정하라고 했다
• 몇 내기를 하는 것이 적당한가?
• 정답은 딱 3점내기
• 이유는 대수의 법칙
• 즉, 시행 횟수 또는 관찰 횟수가 많아질 수록 기대값에 가까워
지는 경향
굳이 도박을 하겠다면
• 카지노에서 도박하기
• 어떠한 종목이든, 카지노가 이길 확률이 매우 높음
• 만약, 운이 좋아 아니면 실력이 좋아 카지노 돈을 자꾸 따간다면
• 블랙리스트에 오르게 되고 그 지역 어떤 카지노에도 출입을 할 수 없게됨
• 즉, 애초에 카지노가 돈을 딸 수 밖에 없음
• 이런 상황에서 굳이 도박을 하겠다면?
• 가급적, 배팅 횟수를 줄여라
확률과 게임
• 확률과 극한도수수
• 시행횟수가 많아지면 극한도수 (limiting frequency)에 가까워짐
• 기대값 (expected value)
• 주사위를 던졌을 때 나오는 눈의 기대값은?
• 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + … + 6 * 1/6
• 각 값이 나올 확률을 가중치로 한 모든 값의 가중 평균
확률과 게임
• 도박
• 1달러를 내고 다음과 같은 게임을 한다
• 주사위를 던져서 6이 나오면 10달러를 받고, 그 이외의 눈이 나오면 아무 것도 받지 못한다
• 1/6 * 10 + 5/6 * 0 = 1.67
• 즉, 이 게임의 기대 상금은 1.67달러 이므로 1달러를 내고 할만한 게임임
• 만약, 2달러를 내야한다면?
• 연습문제 p. 122
플레이어로서의 자연
•
자연이 게임에 플레이어로 참여한다면?•
자연적 불확실성 (natural uncertainty)•
어떤 기업이 신제품의 도입을 고려함•
시장의 상황이 신제품에게 유리할 지 아니면 불리할 지 50:50의 확률인 경우시장 이득기대치
유리 불리
의사결정자 포기 0 0 0
실행 20 -10 5
확률 0.5 0.5
플레이어로서의 자연
•
상황의존 전략•
의사결정자가 컨설턴트를 불러서 조건이 유리한지 나쁜지를 물어서 사전에 알 수 있다고 가정•
컨설턴트에게 자문료로 얼마의 비용까지 지불해도 되는가?자연
유리 불리 이득 기대치
의사결정자
‘유리’하면 실행, ‘불리’하면 실행 20 -10 5
‘유리’하면 실행, ‘불리’하면 포기 20 0 10
‘유리’하면 포기, ‘불리’하면 실행 0 -10 -5
‘유리’하면 포기, ‘불리’하면 포기 0 0 0
확률 0.5 0.5
플레이어로서의 자연
• 당연히 의사결정자의 최선의 전략은
• ‘유리’하면 실행, ‘불리’하면 포기
• 이득 기대치는 10
• 즉, 컨설턴트가 유리하다 불리하다라고 정확하게 알려준다면 그냥 확 률에 의존하여 무조건 실행했을 때의 이득인 5에서 10으로 증대됨
• 따라서, 컨설턴트의 자문료가 5 미만이면 이 정보는 가치가 있음
• 정보의 가치는 5
해전의 사례
•
바람 (약풍, 강풍) 이 해전의 유불리를 좌우하는 예•
영국 해군 vs 스페인 해군•
영국 해군의 전략•
스페인 해군의 중앙으로 ‘항진’ 또는 전투를 피하기 위한 ‘우회’•
스페인 해군의 전략•
최대한 목적지로 ‘항진’ 또는 목적지를 변경 (우회)자연
약풍 강풍
스페인 스페인
항진 우회 항진 우회
영국 항진 1, -1 0, 0 -1, 1 1, -1 우회 -1, 1 0, 0 -1, 1 0, 0
확률 0.5 0.5
해전의 사례
•
기대이득의 계산•
(항진, 항진) 인 경우•
영국 => 0.5 * 1 + 0.5 * -1 = 0•
스페인 => 0.5 * -1 + 0.5 * 1 = 0•
(항진, 우회) 인 경우•
영국 => 0.5 * 0 + 0.5 * 1 = 0.5•
스페인 => 0.5 * 0 + 0.5 * -1 = -0.5•
(우회, 항진) 인 경우•
영국 => -1 * 0.5 + -1 * 0.5 = -1•
스페인 => 1 * 0.5 + 1 * 0.5 = 1•
(우회, 우회) => (0, 0)해전의 사례
• (항진, 항진)이 우월전략 균형 => 내시균형
스페인
항진 우회
영국 항진 0, 0 0.5, -0.5 우회 -1, 1 0, 0
위험 회피
•
모사품 그림을 구매하였음 (싸게 샀음, 얼마에 샀는 가는 모름)•
19세기 화가의 모사품이면 10,000 달러에, 20세기 화가의 모사품이면 2,000 달러에 되팔 수 있음•
0.25의 확률로 19세기 화가의 모사품이고, 0.75의 확률로 20세기 화가의 모사품인 것을 암•
어떤 사람이, 3,500 달러에 그림을 되팔라고 제안하였음•
확실한 3,500 달러와 최고 10,000 달러 혹은 최저 2,000 달러인 불확실한 재판매 가격 가운데 하 나를 선택해야 함•
즉, 3,500 달러를 받고 즉시 팔것이냐, 아니면 보류할 것이냐•
3,500 달러를 받고 즉시 팔면 기대 이득은 그냥 3,500 달러•
보류하면 0.25 * 10,000 + 0.75 * 2000 = 4,000 달러위험 회피
• 하지만, 판매자가 위험 회피적 (risk-avoiding) 이라면?
• 불확실성 자체가 불이익이라고 판단
• 위험 선호적(risk-loving) 또는 위험 중립적(risk-neutral) 이라면?
위험 회피
•
보험 가입•
그림이 10,000 달러의 가치가 있는 것을 알았고, 보관하기로 결정•
화재나 도난으로 잃게 될 가능성에 대비해서 보험에 들 것인가?•
자연을 상대로 한 게임•
사고의 확률을 1/1,000, 보험료를 12 달러로 가정•
위험 회피적이라면? 위험 중립적 또는 선호적이라면?자연 기대이득
사고 무사고
판매자 비보험 -10,000 0 -10
보험 -12 -12 -12
확률 0.001 0.999
