우석대학교 에너지전기공학과

미적분학

강의 (10)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

퀴즈2 검토 퀴즈 (2) 검토: 1) 다음의 극한값을 구하라 (1)

lim

𝑥→1 𝑥2+𝑥−2 𝑥2₋₁

=

0 0

부정형 (1): 분수함수 (인수분해) 

lim

𝑥→1 𝑥2+𝑥−2 𝑥2−1

= lim

𝑥→1 (𝑥−1)(𝑥+2) (𝑥−1)(𝑥+1)

= lim

𝑥→1 𝑥+2 𝑥+1

=

3 2 (2)

lim

𝑥→∞ 3𝑥+1 𝑥2_−2𝑥+1

=

∞ ∞ 부정형 (2): 분수함수 (분모의 최고차

𝑥

2 _{로 양변을 나눔)} 

lim

𝑥→∞ 3 𝑥+ 1 𝑥2 1−2_𝑥+1 𝑥2

=

0₁

= 0

(3)

lim

𝑥→0 4+𝑥−2 𝑥

=

0 0 부정형 (1): 무리함수 (무리수를 유리화) 

lim

𝑥→0 4+𝑥−2 𝑥

= lim

_𝑥→0 ( 4+𝑥−2)( 4+𝑥+2) 𝑥( 4+𝑥+2)

= lim

_𝑥→0 𝑥 𝑥( 4+𝑥+2)

= lim

_𝑥→0 1 ( 4+𝑥+2)

=

1 4 2) 다음에 주어진

𝑥

값에서, 함수

𝑓 𝑥 =

2𝑥2+2 𝑥+1 의 연속성을 확인하라. (1)

𝑥 = 0

함수값:

𝑓(0) = 2

함수값=극한값: x=0 에서 연속 극한값:

lim

𝑥→0 2𝑥2+2 𝑥+1

= 2

(지난주 강의 복습) 3-2. 삼각함수의 극한값 

𝑥 → 0

일 때

𝑓 𝑥 =

𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

, (𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛)

의 극한값: _𝑥→0

lim

𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

=

0 0  그림 (2) 에서

△

𝐴𝑂𝐵

의 중심각

𝑥

는

0 < 𝑥 <

𝜋 2 (1/4 분면)



𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑟

 각 도형의 면적관계:

△

𝐴𝑂𝐵 <

부채꼴

𝐴𝑂𝐵 < △𝐴𝑂𝑇

로 부터

𝑠𝑖𝑛 𝑥 <

𝑥 <

𝑡𝑎𝑛 𝑥

 위 식을

𝑠𝑖𝑛 𝑥

로 나누면 (※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

1/4 분면에서

𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≥ 0

)

1 <

_{𝑠𝑖𝑛 𝑥}𝑥

<

_{𝑐𝑜𝑠 𝑥}1 

𝑥 → 0

일 때, 위 부등식의 극한값:

lim

𝑥→0

1 <

𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

<

1 𝑐𝑜𝑠 𝑥

1 < lim

_𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

< lim

_𝑥→0 1 𝑐𝑜𝑠 𝑥

∴

1 < lim

𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

< 1

𝑥→0

lim

𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

=

1

𝑂 𝐵 𝐴 (그림 2) 𝑥 𝑟 𝐻 𝑇 부정형: case (1) 지난 시간 강의 복습

4. 지수함수의 극한 4-1. 지수함수  지수함수의 정의  실수

𝑥

에 대하여,

2

𝑥

, 5

𝑥 등 과 같이

𝑎

𝑥 의 값이 정해지는 함수.

𝑦 = 𝑎

𝑥

, (𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1)

로 표시되며,

𝑦

는

𝑎

를 밑(base)으로 하는

𝑥

의 지수함수라 함.  지수함수 그래프는 점(0,1)을 지나고,

𝑥

축

(𝑦 = 0)

이 점근선  지수함수에서

𝑎 > 1

인 경우와

0 < 𝑎 < 1

인 경우

< 단조증가:

𝑎 > 1

> < 단조감소:

0 < 𝑎 < 1

> 4. 지수함수의 극한 1 1 2 𝑦 𝑥 0 𝑦 = 2𝑥 1 1 0.5 𝑦 𝑥 0 𝑦 = 0.5𝑥

4-2. 지수함수의 극한값 (1)

𝑎 > 1

인 경우 

lim

𝑥→∞

𝑎

𝑥

_{= ∞}



lim

𝑥→−∞

𝑎

𝑥

_{= 0}



lim

𝑥→0

𝑎

𝑥

_{= 1}



lim

𝑥→1

𝑎

𝑥

_{= 𝑎}

(2)

0 < 𝑎 < 1

인 경우 

lim

𝑥→∞

𝑎

𝑥

_{= 0}



lim

𝑥→−∞

𝑎

𝑥

_{= ∞}



lim

𝑥→0

𝑎

𝑥

_{= 1}



lim

𝑥→1

𝑎

𝑥

_{= 𝑎}

4. 지수함수의 극한 1 1 𝑎 𝑦 𝑥 0 𝑦 = 𝑎𝑥 1 1 𝑎 𝑦 𝑥 0 𝑦 = 𝑎𝑥

예제) 다음의 극한값을 구하라. (1)

lim

𝑥→0

3

𝑥

_{= 3}

0

_{= 1}

(2)

lim

𝑥→∞ 4𝑥 2𝑥

=

∞ ∞ 

lim

𝑥→∞ 4𝑥 2𝑥

= lim

𝑥→∞ 4 2 𝑥

= lim

𝑥→∞

2

𝑥

₌

_∞

(3)

lim

𝑥→∞ 2𝑥 5𝑥

=

∞ ∞ 

lim

𝑥→∞ 2𝑥 5𝑥

= lim

𝑥→∞ 2 5 𝑥

= 0

(4)

lim

𝑥→∞

6

𝑥

_∙

1 3 𝑥

= ∞ × 0



lim

𝑥→∞

6

𝑥

_∙

1 3 𝑥

= lim

𝑥→∞ 6 3 𝑥

= lim

𝑥→∞

2

𝑥

_{= ∞}

확정형 부정형 (2) 기타형 부정형 (2) 4. 지수함수의 극한

5. 로그함수의 극한 5-1. 로그함수  로그의 정의  임의의 양수

𝑏

에 대해,

𝑎

𝑥

= 𝑏 , (𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1)

를 만족시키는 실수

𝑥

는 오직 하나 존재함.  이 임의의 양수

𝑏

에 대한

𝑥

값은,

𝑥 = 𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑏

로 표시됨.

𝑥

는

𝑎

를 밑(base)으로 하는

𝑏

의 로그

𝑏

는

𝑎

를 밑으로 하는 로그

𝑥

의 진수 예시)

3

𝑥

= 9

에서

𝑥

의 값을 구하라. 

3

𝑥

= 9 𝑥 = log

₃

9 = log

₃

3

2

= 2



𝑥

는 3을 밑으로 하는 9의 로그  9는 3을 밑으로 하는 로그

𝑥

의 진수 5. 로그함수의 극한

 로그함수

 양의 실수

𝑥

에 대하여

log

₂

𝑥 , log

₃

𝑥

등과 같이

log

_𝑎

𝑥

의 값이 정해지는 함수

𝑦 = log

_𝑎

𝑥 , (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)

 로그함수 그래프는 점(1, 0)을 지나고,

𝑦

축

(𝑥 = 0)

이 점근선  로그함수 에서

𝑎 > 1

인 경우와

0 < 𝑎 < 1

인 경우 < 단조증가:

𝑎 > 1

> < 단조감소:

0 < 𝑎 < 1

> 5. 로그함수의 극한 1 2 1 𝑦 𝑥 0

𝑦 = log

₂

𝑥

1 1 0.5 𝑦 𝑥 0

𝑦 = log

_0.5

𝑥

5-2. 로그함수의 극한값 (1)

𝑎 > 1

인 경우 

lim

𝑥→∞

log

𝑎

𝑥 = ∞



lim

𝑥→+0

log

𝑎

𝑥 = −∞



lim

𝑥→𝑎

log

𝑎

𝑥 = 1



lim

𝑥→1

log

𝑎

𝑥 = 0

(2)

0 < 𝑎 < 1

인 경우 

lim

𝑥→∞

log

𝑎

𝑥 = −∞



lim

𝑥→+0

log

𝑎

𝑥 = ∞



lim

𝑥→𝑎

log

𝑎

𝑥 = 1



lim

𝑥→1

log

𝑎

𝑥 = 0

1 𝑎 1 𝑦 𝑥 0

𝑦 = log

_𝑎

𝑥

1 1 𝑎 𝑦 𝑥 0

𝑦 = log

_𝑎

𝑥

5. 로그함수의 극한

예제1) 다음 로그함수의 극한값을 구하라. (1)

𝑦 = log

_0.5

𝑥

i)

lim

𝑥→+0

log

0.5

𝑥 = ∞

ii)

lim

𝑥→∞

log

0.5

𝑥 = −∞

iii)

lim

𝑥→0.5

log

0.5

𝑥 = 1

iv)

lim

𝑥→1

log

0.5

𝑥 = 0

(2)

𝑦 = log

₂

𝑥 − 1

(※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

점근선

𝑥 = 1

) i)

lim

𝑥→1+0

log

2

𝑥 − 1 = −∞

ii)

lim

𝑥→∞

log

2

𝑥 − 1 = ∞

iii)

lim

𝑥→3

log

2

𝑥 − 1 = 1

iv)

lim

𝑥→2

log

2

𝑥 − 1 = 0

5. 로그함수의 극한 1 1 0.5 𝑦 𝑥 0

𝑦 = log

_0.5

𝑥

2 3 1 𝑦 𝑥 0

𝑦 = log

₂

(𝑥 − 1)

1 점근선

 극한값

𝑒

(자연상수) 의 정의 

𝑥

가

0

에 한없이 접근할 때 함수

𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥

1 𝑥 의 극한값

lim

𝑥→0

1 + 𝑥

1 𝑥

= 𝑒

 맥로린(Maclaurin) 급수 전개식:

1 + 𝑥

𝑛

= 1 + 𝑛𝑥 +

𝑛(𝑛−1) 2!

𝑥

2

₊

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2) 3!

𝑥

3

_{+ ⋯}

예시:

1 + 𝑥

3

= 1 + 3𝑥 +

3(3−1)_2!

𝑥

2

+

3(3−1)(3−2)_3!

𝑥

3

= 1 + 3𝑥 + 3𝑥

2

+ 𝑥

3  맥로린급수 전개식에서

𝑛 =

1 𝑥 을 대입하고, 극한값을 구하면,

1 + 𝑥

1 𝑥

= 1 +

1 𝑥

∙ 𝑥 +

1 2!

∙

1 𝑥 1 𝑥

− 1 ∙ 𝑥

2

₊

1 3!

∙

1 𝑥 1 𝑥

− 1

1 𝑥

− 2 ∙ 𝑥

3

_{+ ⋯}

= 1 + 1 +

(1−𝑥)_2!

+

(1−𝑥)(1−2𝑥)_3!

+ ⋯

lim

𝑥→0

1 + 𝑥

1 𝑥

= lim

𝑥→0

2 +

(1−𝑥) 2!

+

(1−𝑥)(1−2𝑥) 3!

+ ⋯ = 2 +

1 2!

+

1 3!

+ ⋯ = 2.718281828 …

 이 무리수 2.718281828 … 를 자연상수

𝑒

라 함. 1 5. 로그함수의 극한

예제2) 다음의 극한값을 구하라. (1)

lim

𝑥→0 ln(1+𝑥) 𝑥

=

0 0 

lim

𝑥→0 ln(1+𝑥) 𝑥

= lim

_𝑥→0 1 𝑥

∙ ln(1 + 𝑥) = lim

_𝑥→0

ln(1 + 𝑥)

1 𝑥

※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

lim

𝑥→0

(1 + 𝑥)

1 𝑥

= 𝑒

∴

lim

𝑥→0

ln(1 + 𝑥)

1 𝑥

= ln 𝑒 = 1

(2)

lim

𝑥→0

(1 + 3𝑥)

1 𝑥

= (1 + 0)

∞ 

lim

𝑥→0

(1 + 3𝑥)

1 𝑥

= lim

𝑥→0

1 + 3𝑥

1 𝑥× 3 3

= lim

𝑥→0

1 + 3𝑥

1 3𝑥 3

∴

lim

𝑥→0

(1 + 3𝑥)

1 𝑥

= 𝑒

3 부정형(1) 기타형

𝑒

5. 로그함수의 극한