2020 짱중요한유형 미적분 답지 정답

유형`01. 수열의 극한

01

01

= = =6

02

에서 a+0이면 발산하므로 a=0 = =;2B; ;2B;=3에서 b=6 ∴ a+b=6

03

= = = = =1

04

("√n¤ +3n-n)= = = = =;2#;

05

= =2-0₃₊₀=;3@; 2-5¥{;3!;}« 111111 3+2¥{;3!;}« lim n⁄¶ 2¥3« -5 3« ±⁄ +2 lim n⁄¶ 3 1+1 3 3 Æ…1+1+1_n lim n⁄¶ 3n "√n¤ +3n+n lim n⁄¶ ("√n¤ +3n-n)("√n¤ +3n+n) "√n¤ +3n+n lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1+1 2 2 Æ…1+1+1_n 2 lim n⁄¶ "√n¤ +2n+n 2n lim n⁄¶ "√n¤ +2n+n ("√n¤ +2n-n)("√n¤ +2n+n) lim n⁄¶ 1 "√n¤ +2n-n lim n⁄¶ b-;n@; 11132 2+;n!; lim n⁄¶ bn-2 2n+1 lim n⁄¶ an¤ +bn-2 2n+1 lim n⁄¶ 11 3 6-13+13 n n¤ 111111₁ 1-13 n¤ lim n⁄¶ 6n¤ -11n+3 n¤ -1 lim n⁄¶ (3n-1)(2n-3) n¤ -1 lim n⁄¶

06

= =12

07

= =3a=12 ∴ a=4

08

4n¤ -n<a«<4n¤ +2n에서 각 변을 n¤ 으로 나누면

4-

<

<4+

이때, {4- }= {4+ }=4이므로 =4 ∴ = =4

09

= =;3*;

10

= = =3

11

에서 a+0이면 발산하므로 a=0 = =;3B; ;3B;=4에서 b=12 ∴ a+b=12 b+;n&; 111 3+;n!; lim n⁄¶ bn+7 3n+1 lim n⁄¶ an¤ +bn+7 3n+1 lim n⁄¶ 6-0 2+0 3 6-14 n¤ 5 2+14_n lim n⁄¶ 6n¤ -3 2n¤ +5n lim n⁄¶ 1 8+14 n¤ 2 3-14 n¤ lim n⁄¶ 8n¤ +1 3n¤ -2 lim n⁄¶ a« 13_n¤ 1121₁ 1+1_n lim n⁄¶ a« n¤ +n lim n⁄¶ a« n¤ lim n⁄¶ 2 n lim n⁄¶ 1 n lim n⁄¶ 2 n a« n¤ 1 n 3a+2¥{;3!;}« 111111 1-{;3!;}« lim n⁄¶ a¥3« ±⁄ +2 3« -1 lim n⁄¶ 12-2¥{;3@;}n 1+{;3@;}n lim n⁄¶ 4¥3« ±⁄ -2« ±⁄ 3« +2« lim n⁄¶

01

⑤

02

②

03

③

04

②

05

②

06

12

07

4

08

④

0

1

본문009쪽

수열의 극한

09

②

10

③

11

12

12

③

13

③

14

110

15

①

16

③

17

③

18

⑤

19

③

20

②

21

4

22

15

23

④ 본문010`~`012쪽

12

= = =;5#;

13

= = =;2#;

14

("√an¤ +4n-bn) = = =;5!; a-b¤ +0이면 발산하므로 a-b¤ =0 ∴ a=b¤㉠㉠yy`㉠ = =;5!;에서 'a+b=20 ㉠을 위의 식에 대입하면 2b=20 ∴ b=10 ㉠에서 a=10¤ =100 ∴ a+b=110

15

= {;5!;- } =;5!;- =;5!;

16

= = =3

17

= =6a=4 ∴ a=;3@;

18

=0, =0이므로 {2+ }{a+ }=2a=10 ∴ a=5 1 2« 1 3« lim n⁄¶ 1 2« lim n⁄¶ 1 3« lim n⁄¶ 5 6a-{1}n₆ 5 1+{1}n₆ lim n⁄¶ a_6« ±⁄ -5« 6« +5« lim n⁄¶ 3+0 1+0 1 3+{1}n₂ 3 1+15 4« lim n⁄¶ 3_4« +2« 4« +3 lim n⁄¶ 3 5« ±⁄ lim n⁄¶ 3 5« ±⁄ lim n⁄¶ 5« -3 5« ±⁄ lim n⁄¶ 4 'a+b 4 111111 Æ…a+;n$;+b lim n⁄¶ (a-b¤ )n¤ +4n "√an¤ +4n+bn lim n⁄¶ ("√an¤ +4n-bn)("√an¤ +4n+bn) "√an¤ +4n+bn lim n⁄¶ lim n⁄¶ '9 2 æ≠9+;n$;+;n¤:¡: 2+;n%; lim n⁄¶ "√9n¤ +4n+1 2n+5 lim n⁄¶ 'ƒ9+0 5-0 æ≠9+;n¤:¢:; 5-;n@; lim n⁄¶ "√9n¤ +4 5n-2 lim n⁄¶

19

수열 {a«}은 첫째항이 3이고 공비가 3인 등비수열이므로 a«=3¥3n-1 =3n ∴ = = =3

20

등비수열 {a«}의 첫째항이 a¡이고 공비가 3이므로 첫째항부터 제`n항까지의 합 S«은 S«= = (3« -1) = = {1- } = =5 ∴ a¡=10

21

등비수열 {a«}의 첫째항이 1이고 공비가 r`(r>1)이므로 a«=rn-1 , S«= = = = = =1-;r!; 즉, 1-;r!;=;4#;이므로 ;r!;=;4!; ∴ r=4

22

3n¤ +2n<a«<3n¤ +3n에서 각 변을 n¤ 으로 나누면 3+;n@;< <3+;n#; 이때, {3+;n@;}= {3+;n#;}=3이므로 =3 ∴ = =5_3=15

23

"√9n¤ +4<'ßna«<3n+2의 각 변을 제곱하면 9n¤ +4<na«<9n¤ +12n+4 위 등식의 각 변을 n¤ 으로 나누면 < < = =9 이므로 수열의 극한값의 대소 관계에 의해 =9 a« n lim n⁄¶ 9n¤ +12n+4 n¤ lim n⁄¶ 9n¤ +4 n¤ lim n⁄¶ 9n¤ +12n+4 n¤ a« n 9n¤ +4 n¤ a« 5_12 n¤ 1+;n@; lim n⁄¶ 5a« n¤ +2n lim n⁄¶ a« n¤ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ a« n¤ 1-;r!; 1 1-12 r« lim n⁄¶ r« -r« —⁄ r« -1 lim n⁄¶ r« —⁄ (r-1) r« -1 lim n⁄¶ r« —⁄ r« -1 1123_r-1 lim n⁄¶ a« S« lim n⁄¶ r« -1 r-1 a¡ 2 1 3« a¡ 2 lim n⁄¶ a¡ 13(3« -1)₂ 111123_3« lim n⁄¶ S« 3« lim n⁄¶ a¡ 2 a¡(3« -1) 3-1 7 3-13_3« 1113₁ lim n⁄¶ 3« ±⁄ -7 3« lim n⁄¶ 3« ±⁄ -7 a« lim n⁄¶

유형`01. 수열의 극한

03

24

= = =2 이때, b+0이면 0으로 수렴하므로 b=0 =;3A;=2에서 a=6 ∴ a+b=6

25

1+2+3+y+n= k= 이므로 = = = =;2!;

26

("√n¤ +an-bn) = = = =2 이므로 1-b¤ =0 =2 ∴ a=4, b=1 (∵ b>0) ∴ a+b=5 a 1+b (1-b¤ )n+a 11131113 Æ…1+;nA; +b lim n⁄¶ (1-b¤ )n¤ +an "√n¤ +an +bn lim n⁄¶ ("√n¤ +an-bn)("√n¤ +an+bn) "√n¤ +an +bn lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1+;n!; 111₂ lim n⁄¶ n¤ +n 2n¤ lim n⁄¶ n(n+1) 11113₂ 11111_n¤ lim n⁄¶ 1+2+3+y+n n¤ lim n⁄¶ n(n+1) 2 n ¡ k=1 2a a a+14+14 n n¤ 1112113₁ 3-13 n¤ lim n⁄¶ 2a a a+14+14 n n¤ 1112113₁ bn+3-13 n¤ lim n⁄¶ an¤ +2an+a bn‹ +3n¤ -1 lim n⁄¶ a(n+1)¤ bn‹ +3n¤ -1 lim n⁄¶

27

= = =4

28

= = =a=5

29

a«=S«-S«–¡=n¥3n -(n-1)¥3n-1 =(2n+1)¥3n-1 (`næ2) ∴ = =;3!; =;3@;

30

=2이므로 = = =;5$;

31

a«=8이므로 =0 ∴ = ∴ =;2*;=4

32

4n¤ +2<(2n+1)a«<4n¤ +3에서 4n¤ -1>0이므로 각 변을 4n¤ -1로 나누면 < < ∴ < < 이때, = =1이므로 =1

33

"√4n¤ +n <'∂a« <2n+3의 각 변을 제곱하면 4n¤ +n<a«<4n¤ +12n+9 위 등식의 각 변을 n¤ 으로 나누면

4+

<

<4+

+

{4+ }= {4+

+

}=4 이므로 수열의 극한값의 대소 관계에 의해 =4 a« n¤ lim n⁄¶ 9 n¤ 12 n lim n⁄¶ 1 n lim n⁄¶ 9 n¤ 12 n a« n¤ 1 n a« 2n-1 lim n⁄¶ 4n¤ +3 4n¤ -1 lim n⁄¶ 4n¤ +2 4n¤ -1 lim n⁄¶ 4n¤ +3 4n¤ -1 a« 2n-1 4n¤ +2 4n¤ -1 4n¤ +3 4n¤ -1 (2n+1)a« 4n¤ -1 4n¤ +2 4n¤ -1 a« 111_a« 14+2_3« lim n⁄¶ 3« a« a«+2¥3« lim n⁄¶ a« 3« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3¥2-2 2+3 a« 3¥14-2 n 11121_a« 14+3_n lim n⁄¶ 3a«-2n a«+3n lim n⁄¶ a« n lim n⁄¶ 2n+1 n lim n⁄¶ (2n+1)¥3« —⁄ n¥3« lim n⁄¶ a« S« lim n⁄¶ 0+a 1+0 2¥{;4#;}« +a 111112 1+{;4#;}« lim n⁄¶ 2¥3« +a¥4« 2¤ « +3« lim n⁄¶ 4-2¥{;4!;}« 111112 1-{;4!;}« lim n⁄¶ 4« ±⁄ -2 4« -1 lim n⁄¶ 4« ±⁄ -2 (2« +1)(2« -1) lim n⁄¶

24

④

25

②

26

⑤

27

4

28

5

29

③

30

④

31

4

32

②

33

④ 본문012`~`013쪽

01

주어진 급수 (a«-5)가 수렴하므로

(a«-5)=0, a«-5=0 ∴ a«=5

∴ (a«+5)= a«+5=10

02

급수 a«이 수렴하므로 a«=0 ∴ = =;2$;=2

03

{3a«-;4!;}이 수렴하므로 {3a«-;4!;}=0 3 a«-;4!;=0 ∴ a«=;1¡2; ∴ = =36

04

급수 {a«- }이 수렴하므로 {a«- }=0 a«- =b«이라 하면 a«=b«+ 이고 b«=0이므로 a«= {b«+ }=2 ∴ = = =2

05

급수 {;3{;-2} n 은 첫째항과 공비가` ;3{;-2이므로 급수가 수 렴하려면 -1<;3{;-2<1, 1<;3{;<3 ∴ ``3<x<9 따라서 구하는 정수 x의 값의 합은 4+5+6+7+8=30

06

{;4!;} n-3 =16+4+1+;4!;+…=112316 =:§3¢: 1-;4!; ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 -4 -2 2a« 11-4_n 111111_3a« 11-2+_n ;n!; lim n⁄¶ 2a«-4n 3a«-2n+1 lim n⁄¶ 2n n-1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2n n-1 2n n-1 2n n-1 lim n⁄¶ 2n n-1 ¶ ¡ n=1 3 113 ;1¡2; 3 a« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 2a« -11+4 n 11111_a« 12+2_n lim n⁄¶ -2a«+4n a«+2n lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1

07

a¡=2_{, a™=;3$;, a«≠¡¤ =a«a«≠™에서}

수열 {a«}은 첫째항이 2이고 공비가 ;3@;인 등비수열이므로 a«= =6

08

= = { - } = [{;1!;-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y +{ - }+{ - }] = {;1!;- } =1

09

급수 {;5{;} n 은 첫째항과 공비가` ;5{;이므로 급수가 수렴하려면 -1<;5{;<1에서 -5<x<5 따라서 모든 정수 x의 개수는 -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 의 9이다.

10

이 수렴하므로 =0 ∴ = { +9}=9

11

급수 {a«- }이 수렴하므로 {a«- }=0 a«- =b«이라 하면 a«=b«+ 이고 b«=0이므로 a«= {b«+ }=5

12

급수 (2a«-3)이 수렴하므로 (2a«-3)=0 2a«-3=b«이라 하면 lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 5n n+1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 5n n+1 5n n+1 5n n+1 lim n⁄¶ 5n n+1 ¶ ¡ n=1 a« n lim n⁄¶ a«+9n n lim n⁄¶ a« n lim n⁄¶ a« n ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 1 n+1 lim n⁄¶ 1 n+1 1 n 1 n 1 n-1 lim n⁄¶ 1 k+1 1 k n ¡ k=1 lim n⁄¶ 1 k(k+1) n ¡ k=1 lim n⁄¶ 1 n(n+1) ¶ ¡ n=1 2 1123 1-;3@; ¶ ¡ n=1

01

⑤

02

2

03

36

04

2

05

③

06

⑤

07

③

08

①

0

2

본문015쪽

급수

09

⑤

10

9

11

5

12

③

13

16

14

①

15

16

16

① 본문`016쪽

∴ = = = { - } = [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y +{ - _}+{ - _}] = {1- }=1

17

급수 a«이 수렴하므로 a«=0 ∴ = =;1@;=2

18

급수 이 수렴하므로 =0 ∴ = =;2%;

19

급수 (3« a«-2)가 수렴하므로 (3« a«-2)=0 3« a«-2=b«이라 하면 3« a«=b«+2이고 b«=0이므로 3« a«= (b«+2)=2 ∴ = = =10

20

급수 (2a«-5)가 수렴하므로 (2a«-5)=0 2a«-5=b«이라 하면 a«=;2!;(b«+5)이고 b«=0이므로 a«= ;2!;(b«+5)=;2%; 따라서 r=;2%;이므로 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 5¥2+2¥0 2-1 5¥3« a«+2{;4#;}« 11221111 3« a«-1 lim n⁄¶ 5a«+2¥4—« a«-3—« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 a« 12+25-_5« ;3!; {;5#;}« 111111112 10+4 {;5$;}« lim n⁄¶ a«+5« ±¤ -3« —⁄ 2¥5« ±⁄ +4« ±⁄ lim n⁄¶ a« 5« lim n⁄¶ a« 5« ¶ ¡ n=1 3a« 2+11-_n¤ ;n@; 1111112 a«+1+;n@; lim n⁄¶ 2n¤ +3a«-2n (a«+1)n¤ +2n lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 1 n+1 lim n⁄¶ 1 n+1 1 n 1 n 1 n-1 lim n⁄¶ 1 k+1 1 k n ¡ k=1 lim n⁄¶ 1 n(n+1) ¶ ¡ n=1 2 n(2n+2) ¶ ¡ n=1 2 na« ¶ ¡ n=1 유형`02. 급수

05

a«=;2!;(b«+3)이고 b«=0이므로 a«= ;2!; (b«+3)=;2#; 따라서 r=;2#;이므로 = = = =;4(;

13

급수 이 수렴하므로 =0 ∴ = = =16

14

급수 {na«- }이 수렴하므로 {na«- }=0 na«- =b«이라 하면 a«= + 이고 b«=0이므로 a«= { + }=;2!; ∴ (a«¤ +2a«+2)={;2!;}2 +2¥{;2!;}+2=:¡4£:

15

등비수열 {a«}의 공비를 r (`r>0)라 하면 a¡+a™=a¡+a¡r=a¡(1+r)=20 ∴ a¡= yy`㉠ a«= = =;3$; ∴ 3a¡r¤ =4(1-r) yy`㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 3{ }r¤ =4(1-r) 15r¤ =(1-r)(1+r)<sub>, r¤ =;1¡6; ∴ r=;4!; (`∵ r>0)</sub> r=;4!;을 ㉠에 대입하면 a¡=16

16

등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¢-a™=2d=4 ∴ d=2 즉, 수열 {a«}은 첫째항이 4, 공차가 2인 등차수열이므로 a«=4+(n-1)¥2=2n+2 20 1+r a¡r¤ 1-r a£ 1-r ¶ ¡ n=3 20 1+r lim n⁄¶ n¤ +1 2n¤ +n b« n lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ n¤ +1 2n¤ +n b« n n¤ +1 2n+1 n¤ +1 2n+1 lim n⁄¶ n¤ +1 2n+1 ¶ ¡ n=1 4 12 ;4!; a« 1+4-_4« ;3!; {;4#;}« 1111111 ;4!;+3 {;4#;}« lim n⁄¶ a«+4« ±⁄ -3« —⁄ 4« —⁄ +3« ±⁄ lim n⁄¶ a« 4« lim n⁄¶ a« 4« ¶ ¡ n=1 ;4(;-0 1+0 ;4(;-{;3@;} n 1+{;3@;} n lim n⁄¶ {;2#;} n+2 -1 {;2#;} n +1 lim n⁄¶ r« ±¤ -1 r« +1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶

17

②

18

②

19

10

20

⑤

21

③

22

⑤

23

② 본문`017쪽

01

두 점 P(n, f(n))과 Q(n+1, f(n+1)) 사이의 거리 a«은 a«="√(n+1-n)¤ +√{2(n+1)¤ -2n¤ }¤ a«="√16n¤ +16n+5 ∴ lim n⁄¶ =limn⁄¶ =lim n⁄¶ =4

02

OP’="√n¤ +n, OQ’=n ∴ (OP’-OQ’)= ("√n¤ +n-n) ∴ (OP’-OQ’)= ∴ (OP’-OQ’)= ∴ (OP’-OQ’)= =;2!;

03

선분 P«Q«의 길이는 점 P«의 y좌표이므로 x=4_{일 때 y='∂nx의 함숫값이다. 즉,} P«Q«”=2'n, ∂P«≠¡Q«≠¡=2'∂n+1이므로 'n(∂P«≠¡Q«≠¡-∂P«Q« )= 2'n('∂n+1-'n) 'n(∂P«≠¡Q«≠¡-∂P«Q« )= =1

04

곡선 y= 이 직선 y=;4!;x와 만나는 점의 x좌표는 방정식 =;4!;x의 근과 같으므로 x¤ =4n _{∴ x=2'n (∵ x>0)} 이때, P«{2'n, }, P«≠¡{2'∂n+1, }이므로 l«=y«≠¡-y«= ∴ 'nl«= 'n¥ ∴ 'nl«= ∴ 'nl«= ∴ 'nl«= ∴ 'nl«= ∴ 'nl«= 1₁ =;4!; 2{Æ…1+1+1}_n lim n⁄¶ n 2("çn¤ +n+n) lim n⁄¶ n¤ +n-n¤ 2("çn¤ +n+n) lim n⁄¶ ("√çn¤ +n-n)("√çn¤ +n+n) 2("çn¤ +n+n) lim n⁄¶ "√çn¤ +n-n 2 lim n⁄¶ '∂n+1-'n 2 lim n⁄¶ lim n⁄¶ '∂n+1-'n 2 '∂n+1 2 'n 2 n x n x 2'n '∂n+1+'n lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 1 æ≠1+1+1_n lim n⁄¶ n "√n¤ +n+n lim n⁄¶ ("√n¤ +n-n)("√n¤ +n+n) "√n¤ +n+n lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 5 Æ…16+:¡n§:+13_n¤ 11111112₁ "√16n¤ +16n+5 n a« n

01

④

02

③

03

③

04

①

0

3

본문019쪽

그래프를 이용한 수열의 극한

= = = =:™4∞:-;2%;=:¡4∞:

21

급수 이 수렴하므로 =0 ∴ = = =3

22

= [1_{;3@;} n-1 ]= =3

23

a«=[ 에서 + + + + + +y =;9#;+ + + + + +y ={;9#;+ + +y}+{ + + +y} = + =;8@0&;+;8¶0;=;4!0&; ;8¶1; 1113 1-;8¡1; ;9#; 1113 1-;8¡1; 7 9fl 7 9› 7 9¤ 3 9fi 3 9‹ 7 9fl 3 9fi 7 9› 3 9‹ 7 9¤ a§ 9fl a∞ 9fi a¢ 9› a£ 9‹ a™ 9¤ a¡ 9 3(`n은 홀수) 7(`n은 짝수) 1 1123 1-;3@; ¶ ¡ n=1 9_2« —⁄ 3« ±⁄ ¶ ¡ n=1 2+4 0+2-0 a« 12+4_n 111112_b« 12+2-_n ;n#; lim n⁄¶ a«+4n b«+2n-3 lim n⁄¶ b« n lim n⁄¶ b« n ¶ ¡ n=1 :™4∞:-;2%; 1+0 :™4∞:-;2%; 1+{;5@;}n lim n⁄¶ {;2%;} n+2 -{;2%;}n+1 {;2%;} n +1 lim n⁄¶ r« ±¤ -r« ±⁄ r« +1 lim n⁄¶

P’R’=2n, QR”= 즉, 삼각형 PRQ의 넓이 S«은 S«=;2!;_ _2n='n 선분 PQ의 길이 l«은 l«=Æ…4n¤ +;n!; ∴ = ∴ = =;2!;

08

원 x¤ +y¤ =n¤ 에 접하며 기울기가 n이고 y절편이 양수인 직선의 방정식은 y=nx+n "√n¤ +1 즉, P«(-"√n¤ +1, 0), Q«(0, n "√n¤ +1 )이므로 l«=P«Q«” l«="√(n¤ +1)+n¤ (n¤ +1) l«="√n› +2n¤ +1 l«="√(n¤ +1)¤ =n¤ +1 ∴ = =;2!;

09

y= 을 y=- +3에 대입하면 =- +3, 2n¤ =-x¤ +3nx x¤ -3nx+2n¤ =0, (x-n)(x-2n)=0 ∴ x=n 또는 x=2n 즉, A«(n, 2), B«(2n, 1)이므로 l«="√(2n-n)¤ +(1-2)¤ ="√n¤ +1 ∴ (l«≠¡-l«) ∴= ("√(n+1)¤ +1-"√n¤ +1) ∴= ("√n¤ +2n+2-"√n¤ +1) ∴= ∴= ∴= ∴=1

10

원 O«은 점 (3n, 4n)을 중심 으로 하고 y축에 접하므로 반 지름의 길이는 3n이다. 원의 중심 (3n, 4n)과 점 (0, -1) 사이의 거리는 "√9n¤ +(4n+1)¤ 이므로 y O 4n -1 (x-3n)¤ +(y-4n)¤ =9n¤ 3n bn an x 2+;n!; 2 1 æ≠1+;n@;+15+æ≠1+15_{n¤ n¤} lim n⁄¶ 2n+1 "√n¤ +2n+2+"√n¤ +1 lim n⁄¶ n¤ +2n+2-(n¤ +1) "√n¤ +2n+2+"√n¤ +1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ x n 2n x x n 2n x n¤ +1 2n¤ lim n⁄¶ l« 2n¤ lim n⁄¶ 1 Æ…4+:;¡;:_n‹ lim n⁄¶ n Æ…4n¤ +;n!; lim n⁄¶ S«¤ l« lim n⁄¶ 1 'n 1 'n 유형`03. 그래프를 이용한 수열의 극한

07

05

호 PQ의 길이가 p이므로 ∠POQ=h라 하면 2« _h=p ∴ h= 한편, OQ”=OP”=2«이고

직각삼각형 OHQ에서 OH”=2« cos 이므로

HP”=OP”-OH”=2« -2« cos

HP”=2« {1-cos } 따라서

(OQ”_HP” )= [2« _2« {1-cos }] yy`㉠ 이때, =t로 놓으면 n⁄¶일 때, t ⁄0+이므로 ㉠은 =p¤ =p¤ =p¤ =p¤ _ { } 2 _ =p¤ _1¤ _;2!;=

06

P«(4«, 2« ), P«≠¡(4« ±⁄ , 2« ±⁄ )이므로 L«="√(4« ±⁄√ -√4« )¤ √+(√2« ±⁄ √-2« )¤ L«="√(3_√4« )¤ √+(2« )¤ L«="√9_16« +4« 따라서 { } ¤ = { } ¤ = = = =16

07

점 Q의 좌표가 Q{ 1 , 1}이므로 'n 9_16+4_0 9+0 9_16+4_{;4!;}n 9+{;4!;}n lim n⁄¶ 9_16« ±⁄ +4« ±⁄ 9_16« +4« lim n⁄¶ "√9_16« ±⁄ +4« ±⁄ "√9_16« +4« lim n⁄¶ L«≠¡ L« lim n⁄¶ p¤ 2 1 1+cos t lim t⁄0+ sin t t lim t⁄0+ sin¤ t t¤ (1+cos t) lim t⁄0+ 1-cos¤ t t¤ (1+cos t) lim t⁄0+ (1-cos t)(1+cos t) t¤ (1+cos t) lim t⁄0+ p¤ (1-cos t) t¤ lim t⁄0+ p 2« p 2« lim n⁄¶ lim n⁄¶ p 2« p 2« p 2« p 2«

05

①

06

16

07

⑤

08

④

09

③

10

4

11

① 본문019`~`021쪽

a«="√9n¤ +(4n+1)¤ +3n, b«="√9n¤ +(4n+1)¤ -3n ∴ = ∴ = ∴ = ∴ = =;2*;=4

11

l«=√A«B«="√8n¤ -16 ∴ = =2'2

12

A«(2n, '∂2n), B«(2n, '∂4n) 즉, 선분 A«B«의 길이는 x=2n일 때 y좌표의 차이므로 l«='∂4n-'∂2n ∴ = ∴ = ∴ = ∴ = =1

13

OP«”="√n¤ +n+1, OQ«”=n이므로 (OP«”-OQ«” ) = ("√n¤ +n+1-n ) = = = =;2!; 1+;n!; 1 æ≠1+;n!;+15+1_n¤ lim n⁄¶ n+1 "√n¤ +n+1+n lim n⁄¶ n¤ +n+1-n¤ "√n¤ +n+1+n lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2-'2 2-'2 Ƭ4+;n$; -Ƭ2+;n@; '4-'2 '∂4n+4-'∂2n+2 '∂4n-'∂2n "√4(n+1)-"√2(n+1) '∂4n-'∂2n l«≠¡ l« lim n⁄¶ "√8n¤ -16 n lim n⁄¶ l« n lim n⁄¶ y O x y= x2 y=-x+2n B«(n-n¤ -2, n+ n¤ -2) A«(n+n¤ -2, n- n¤ -2) 5+3 5-3 1 æ≠25+;n*;+15+3_n¤ 1 æ≠25+;n*;+15-3_n¤ lim n⁄¶ "√25n¤ +8n+1+3n "√25n¤ +8n+1-3n lim n⁄¶ "√9n¤ +(4n+1)¤ +3n "√9n¤ +(4n+1)¤ -3n lim n⁄¶ a« b« lim n⁄¶

14

곡선 y=x¤ -2nx와 직선 y=2nx-n¤ 의 두 교점의 x좌표는 방 정식 x¤ -2nx=2nx-n¤ 의 근과 같으므로 이차방정식 x¤ -4nx+n¤ =0의 두 실근을 a, b (a<b)라 하면 a+b=4n, ab=n¤ 이때, P«(a, 2na-n¤ ), Q«(b, 2nb-n¤ )이므로 P«Q«’="√(a-b)¤ +√{2n(a-b)}¤ P«Q«’="√(1+4n¤ )(a-b)¤ P«Q«’="√1+4n¤ _"√(a-b)¤ P«Q«’="√1+4n¤ _"√(a+b)¤ -4ab P«Q«’="√1+4n¤ _"√(4n)¤ -4n¤ P«Q«’="√1+4n¤ _"ç12n ∴ = ∴ = ∴ = ∴ =2_2'3=4'3 ∴ k¤ =(4'3)¤ =48

15

곡선 y=x¤ +3x-6과 직선 y=-x+n의 두 교점의 x좌표를 a«, b« (`a«<b«)이라 하면 두 교점의 좌표는 (a«,-a«+n), (b«,-b«+n) 또한, a«, b«은 이차방정식 x¤ +4x-n-6=0의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a«+b«=-4, a«b«=-n-6 ∴ l«¤ =(a«-b«)¤ +{(-a«+n)-(-b«+n)}¤ =2(a«-b«)¤ =2{(a«+b«)¤ -4a«b«} =2{(-4)¤ -4(-n-6)} =8n+80 ∴ = 8n+80 =4 2n lim n⁄¶ l«¤ 2n lim n⁄¶ 1 æ≠155+4_'∂12_n¤ 1 lim n⁄¶ "√1+4n¤ _'å12 n lim n⁄¶ "√1+4n¤ _'å12n n¤ lim n⁄¶ P«Q«’ n¤ lim n⁄¶

12

③

13

②

14

48

15

① 본문021쪽

유형`04. 등비급수의 활용

09

01

두 원은 서로 닮음이므로 두 원 C¡, C™의 넓이의 비는 3¤：2¤ =9：4

02

작은 원뿔과 큰 원뿔의 부피의 비는 3‹：5‹ =27：125 따라서 작은 원뿔 P¡과 원뿔대 P™의 부피의 비는 27：(125-27)=27：98

03

색칠한 정사각형의 넓이를 큰 순서대로 a¡, a™, a£, y이라 하면

a¡=4¥;4!;=1 a™=a¡¥;4!;=1¥;4!;=;4!; a£=a™¥;4!;=;4!;¥;4!;={;4!;}2 ⋮ ∴ a«={;4!;}n-1 따라서 색칠한 정사각형의 넓이의 합은 a«= {;4!;} n-1 = =;3$;

04

그림 R¡에서 두 점 A, B¡과 두 점 D¡, E¡을 각각 연결하면 그림 과 같다.

A’A¡”=3, A’B¡”=5이므로 A’¡B¡”=4

즉, D¡E¡”=4, D¡D”=2이므로 ∠DD¡E¡=60˘, ∠C¡D¡E¡=30˘

A B D C A¡ B¡ D¡ C¡ F¡ E¡ 1 111 1-;4!; ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1

01

⑤

02

④

03

①

0

4

본문023쪽

등비급수의 활용

04

⑤

05

②

06

①

07

④

08

②

09

②

10

②

11

③

12

③ 본문023`~`027쪽 그림 R¡에서 색칠된 부분의 넓이는 S¡={;3*;p-2'3 }+{8-2'3-;3$;p}=8-4'3+;3$;p 한편, 정사각형 ABCD와 정사각형 A¡B¡C¡D¡의 닮음비는 AB : A¡B¡=5 : 4=1 : ;5$;이므로 넓이의 비는 1 : ;2!5^; ∴ S«= ∴ S«=:™9∞:{8-4'3+;3$;p} ∴ S«=:¡;9);;º:{2-'3+;3“;}

05

그림 R¡의 점 E¡에서 A¡B¡”에 내린 수선의 발을 H¡이라 하자. E¡D¡”=;2!;D¡C¡”=;2!;_4=2 E¡H¡”=D¡A¡”=4 E¡F¡” : F¡G¡”=5 : 6이므로

E¡F¡”=5a (a>0)로 놓으면 F¡G¡”=6a 즉, F¡H¡”=;2!;F¡G¡”=;2!;_6a=3a 직각삼각형 E¡F¡H¡에서 (5a)¤ =4¤ +(3a)¤ 즉, 16a¤ =16에서 a>0이므로 a=1 F¡H¡”=3이고 A¡H¡”=2이므로 F¡A¡”=3-2=1 한편, 직각삼각형 P¡F¡A¡과 직각삼각형 E¡F¡H¡이 닮음이고, F¡A¡”=1, F¡H¡”=3이므로 P¡A¡” : E¡H¡”=1 : 3

P¡A¡”=;3$;이고, D¡P¡”=;3*;이므로 S¡=2 {;2!;_2_;3*;+;2!;_1_;3$;}=:™3º: 그림 R™의 점 E¡에서 D™C™”에 내린 수선의 발을 H™라 하자. 정사각형 A™B™C™D™의 한 변의 길이를 x (0<x<4)로 놓으면 D™H™”=;2{;, E¡H™”=4-x 직각삼각형 E¡F¡H¡과 직각삼각형 E¡D™H™는 닮음이므로 3 : 4=;2{; : 4-x A¡ A™ H¡ H™ B¡ B™ F¡ G¡ D¡ D™ C™ C¡ P¡ Q¡ E¡ A¡ H¡ B¡ F¡ G¡ D¡ C¡ P¡ Q¡ E¡ 8-4'3+;3$;p 1-;2!5^; lim n⁄¶

직각삼각형 OA¡B¡에서

O’A¡”=4, A’¡B¡”=8이므로 ∠OA¡C¡=60˘ 삼각형 OA¡C¡은 정삼각형이므로 ∠C¡OA¡=60˘ 부채꼴 C¡OA¡의 넓이와 삼각형 C¡OA¡의 넓이의 차는 ;2!;_16_;3“;- _16=;3*;p-4'3 yy`㉠ 또 ∠C¡OB¡=30˘이므로 삼각형 B¡OC¡의 넓이와 부채꼴 B™OC¡의 넓이의 차는 ;2!;_4'3_2-;2!;_16_;6“;=4'3-;3$;p yy`㉡ ㉠, ㉡에서 S¡={;3*;p-4'3 }+{4'3-;3$;p}=;3$;p 한편, 직각삼각형 OA¡B¡과 직각삼각형 OA™B™의 닮음비는 OB¡” : OB™”=4'3 : 4=1 : 이므로 넓이의 비는 1 : ;3!; ∴ S«= =2p

08

그림 R¡의 점 E¡에서 B¡C¡”에 내린 수선의 발을 H¡이라 하자. 직각삼각형 E¡B¡H¡에서 sin (∠E¡B¡H¡)= =;2!; 이므로 ∠E¡B¡H¡=30˘ 점 G¡에서 B¡C¡”에 내린 수선의 발을 I¡이라 하자. 직각삼각형 G¡B¡I¡에서 G¡I¡”=tan 30˘_B¡I¡” G¡I¡”= _1= 이므로 '3 3 '3 3 A¡ A™ D™ F¡ G¡ E¡ B¡ B™ I¡ C™ H¡ D¡ C¡ E¡H¡” B¡E¡” H¡ A¡ F¡ G¡ E¡ B¡ D¡ C¡ ;3$;p 1-;3!;

lim

n⁄¶ 1 '3 '3 4 O C¡ B¡ B™ A¡ 즉, 2x=12-3x에서 x=:¡5™: 정사각형 A¡B¡C¡D¡과 정사각형 A™B™C™D™의 닮음비는 4 : :¡5™:=1 : ;5#;이므로 넓이의 비는 1 : ;2ª5; ∴ S«= =:¡1™2∞:

06

그림 R¡의 직각삼각형 OCE에서 OC”=1, OE”=2이므로 ∠COE=60˘ 같은 방법으로 직각삼각형 ODF에서 ∠DOF=60˘ 따라서 직각삼각형 OCI에서 ∠COI=30˘이므로 CI’=1_tan 30˘= 그림 R¡에서 색칠된 부분의 넓이는 S¡=1_1-2_;2!;_ _1 S¡=1- = 또한, 다음 그림과 같이 그림 R«에 새롭게 그려진 부채꼴의 반지 름의 길이를 r«이라 하면 그림 R«≠¡에 새롭게 그려진 부채꼴의 반지름의 길이 r«≠¡은 r«≠¡= r« 따라서 부채꼴 OAB와 부채꼴 CJI의 닮음비는 1 : _{이므로 넓이의 비는 1 : ;1¡2;} 한편, R«≠¡에서 그려지는 부채꼴의 개수는 R«에서 그려지는 부 채꼴의 개수의 2배이므로 공비는` ;1¡2;_2=;6!; ∴ S«= ∴ S«=

07

그림 R¡에서 부채꼴 OA¡B™의 호 A¡B™와 선분 A¡B¡이 만나는 점을 C¡이라 하고 두 점 O, C¡을 연결하면 그림과 같다. 2(3-'3 ) 5 3-'3 1115₃ 1 1-1 6 lim n⁄¶ 1 2'3 n+1 r 2 n r 2 n r 30˘ 1 2'3 3-'3 3 '3 3 '3 3 '3 3 :™3º: 1-;2ª5; lim n⁄¶

유형`04. 등비급수의 활용

11

S¡=2 {;2!;_4_;6“;-2_;2!;_1_ } S¡= 한편, A™B™”=B™I¡”=a (0<a<1)이라 하면 직각삼각형 A™B¡B™에서 tan 30˘= 즉, = 에서 a= 직사각형 A¡B¡C¡D¡과 직사각형 A™B™C™D™의 닮음비는 1 : 이므로 넓이의 비는 1 : ∴ S«= =

09

그림 R¡에서 직사각형 OA¡B¡C¡의 넓이는 3_1=3 사분원 C¡D¡B¡의 넓이는 ;4!;_p_1¤ =;4“; OD¡”=OC¡”-C¡D¡”=3-1=2이므로 OE¡”=2 직각삼각형 OA¡E¡에서

A¡E¡”=" √OE¡” ¤ -O’A¡” ¤ ="√2¤ -1¤ ='3 이므로 직각삼각형 OA¡E¡의 넓이는 ;2!;_1_'3 = 한편, 직각삼각형 OA¡E¡에서 cos (∠A¡OE¡)= =;2!; 이므로 ∠A¡OE¡=60˘ 부채꼴 E¡OD¡의 넓이는 ;2!;_4_;6“;=;3“; 그림 R¡에서 색칠된 부분의 넓이는 S¡=3-;4“;- -;3“;=3- -;1¶2;p 한편, O’A«”=a«이라 하면 O’A«≠¡”=a«≠¡, A«≠¡”B«≠¡”=3a«≠¡이고 O’B«≠¡”=O’D«”=O’C«”-C«’D«”=3a«-a«=2a« 이므로 직각삼각형 OA«≠¡B«≠¡에서

a«≠¡¤ +(3a«≠¡)¤ =(2a«)¤

∴ a«≠¡= a« 따라서 직사각형 OA«B«C«과 직사각형 OA«≠¡B«≠¡C«≠¡의 닮음 비는 1 : '2_{이므로 넓이의 비는 1 : ;5@;} '5 '2 '5 '3 2 '3 2 O’A¡” OE¡” '3 2 4'3p-12 9 2(p-'3 ) 22233334444444₃ 2-'3 1-33335215 2 lim n⁄¶ 2-'3 2 '3 -1 2 '3 -1 2 a 1-a '3 3 a 1-a 2(p-'3 ) 3 '3 3 ∴ S«= ∴ S«=;3%;{3- -;1¶2;p} ∴ S«=5- -;3#6%;p

10

∠B¡C¡D¡=30˘, ∠C¡D¡B¡=90˘이므로 직각삼각형 B¡C¡D¡에서 C’¡D¡”=B¡C¡” cos 30˘=1_ = 한편, 두 선분 B¡B™, B¡D¡과 호 D¡B™로 둘러싸인 영역의 넓이는 삼각형 B¡C¡D¡의 넓이에서 부채꼴 B™C¡D¡의 넓이를 뺀 것이므로 ;2!;_C¡D¡”_D¡B¡”-C¡D¡”¤ _p_ =;2!;_ _;2!;-{ }¤ _p_;1¡2; = - = ㉠㉠yy㉠ 또, 삼각형 C¡A™C™의 넓이는 ;2!;_C™C¡”_C¡A™”_sin 30˘ =;2!;_{;2!; B™C¡”}_(B™C¡” cos 30˘)_sin 30˘ =;2!;_{;2!; _ }_{ _ }_;2!; = yy㉡ 따라서 R¡의 넓이 S¡은 ㉠과 ㉡에 의해 S¡= + = 직각삼각형 A™B™C¡에서 ∠B™C¡A™=30˘이므로 ∠A™B™C¡=60˘ A™B™”=B™C¡” sin 30˘=;2!; B™C¡” A™B™”=;2!;_ = 그러므로 삼각형 A™B™C™에서 ∠A™B™C™=60˘이고 A™B™”=B™C™” 즉, 삼각형 A™B™C™는 한 변의 길이가 인 정삼각형이다. 그러므로 길이의 비가 1: 이므로 넓이의 비는 1:;1£6;이다. ∴ S«= ∴ S«=

11

반지름의 길이가 2인 원에 내접하는 정삼각형의 높이 A¡D¡”=2+1=3 이므로 정삼각형 A¡B¡C¡의 한 변의 길이를 a라 하면 a=3_{, 즉 a=2'3} '3 2 11'3-4p 52 11'3-4p 2223333444444₆₄ 3 1-33335 16 lim n⁄¶ '3 4 '3 4 '3 4 '3 2 11'3-4p 64 3'3 64 2'3-p 16 3'3 64 '3 2 '3 2 '3 2 2'3-p 16 p 16 '3 8 '3 2 '3 2 30˘ 360˘ '3 2 '3 2 5'3 6 '3 2 3-;;;2;;;'3 -;1¶2;p 1-;5@;

lim

nڦ

01

{1+;[!;}¤ ≈ = [{1+;[!;} ≈ ] ¤ =e¤ ∴ a=e¤ (1+3x) = {(1+3x) }‹ =e‹ ∴ b=e‹

∴ ab=e¤ ¥e‹ =efi

02

ㄱ. {1+;[!;}≈ =e ㄴ. -x=t로 놓으면 x⁄0일 때, t ⁄0이므로 ㄴ. (1-x)-;[!;_{= (1+t)};t!;_=e ㄷ. x-1=t로 놓으면 x⁄1일 때, t ⁄0이므로 ㄴ. x = (1+t);t!;_=e 따라서 극한값이 e인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

03

= _[ _6] =1_6=6

04

=b에서 x⁄0일 때, (분모) ⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, ln (a+5x)=0이므로 ln a=0㉠㉠∴ a=1 a=1을 주어진 식에 대입하면 = ln (1+5x) = ln {(1+5x) }fi =ln [ {(1+5x) }fi ] =ln efi =5 ∴ b=5 ∴ a+b=6

05

= { _3}=3

06

= { + } = { _2}+2 =1_2+2=4 e¤ ≈ -1 2x lim x⁄0 2x x e¤ ≈ -1 x lim x⁄0 e¤ ≈ +2x-1 x lim x⁄0 e‹ ≈ -1 3x lim x⁄0 e‹ ≈ -1 x lim x⁄0 1 5x lim x⁄0 1 5x lim x⁄0 1 x lim x⁄0 ln (1+5x) x lim x⁄0 lim x⁄0 ln (a+5x) x lim x⁄0 ln (1+6x) 6x lim x⁄0 ln (1+6x) x lim x⁄0 lim t⁄0 1 x-1 lim x⁄1 lim t⁄0 lim x⁄0 lim x⁄¶ 1 3x lim x⁄0 1 x lim x⁄0 lim x⁄¶ lim x⁄¶

01

④

02

⑤

03

6

04

6

05

3

06

④

07

④

08

②

09

2

10

②

0

5

본문029`~`030쪽

지수함수와 로그함수의 극한

따라서 S¡= _(2'3)¤ _;2!;_;3@;+;3!;[4p- _(2'3)¤ ] S¡='3+;3!;(4p-3'3)=;3$;p 또한, 삼각형 A¡B¡D¡에 내접하는 원의 반지름의 길이를 r라 하면 (2'3+'3+3)=;2!;_3_'3 r= = 따라서 닮음비가 2 : =1 : 이므로 S«= = S«= =

12

R¡에서 두 점 C, Q를 연결하면 그림과 같다. 직각삼각형 QCP에서 CQ”=2, CP”=1이므로 PQ”=øπCQ”¤ -CP”¤ PQ”="√2¤ -1¤ ='3 이때, ∠QCP=;3“;이므로 R¡에서 색칠된 부분의 넓이는 2{(부채꼴 QCB의 넓이)-△QCP} =2 {;2!;_2¤ _;3“;-;2!;_1_'3} =;3$;p-'3 R™에서 새로 그려진 원의 반지름의 길이는 ;2!; DE”=;2!; PQ”= 그러므로 R¡에 있는 원과 R™에 있는 원의 반지름의 길이의 비는 2： =1： 즉, 넓이의 비는 1：;1£6;이다. 한편, R«≠¡에서 그려지는 원의 개수는 R«에서 그려지는 원의 개 수의 2배이므로 공비는 ;1£6;_2=;8#; ∴ S« ∴={;3$;p-'3}+;8#; {;3$;p-'3}+{;8#;}¤ {;3$;p-'3}+y ∴= = 32p-24'3 15 ;3$;p-'3 11112 1-;8#;

lim

n⁄¶ '3 4 '3 2 '3 2 C O P B D Q E A G F S R 32(3'3-2)p 69 32p 9'3+6 4 1p₃ 1111555555555555_12-6'3 1-1355555555555555 16 4 1p₃ 1111555555555_3-'3 1-{135555555555}₄ ¤ lim n⁄¶ 3-'3 4 3-'3 2 3-'3 2 '3 '3+1 r 2 '3 4 '3 4

유형`05. 지수함수와 로그함수의 극한

13

07

-x=t로 놓으면 x⁄0일 때, t ⁄0이므로 = = =1 [다른 풀이] f(x)=1-e—≈라 하면`` f(0)=0이므로 = =f '(0) f '(x)=e—≈이므로 ``f'(0)=1 ∴ =1

08

= [ _ _;2#;] = _ _;2#; =1_1_;2#;=;2#;

09

= = =;1@;=2

10

함수 `f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=0에서도 연속이다. 즉, f(x)=f(0)=a¤ -2a이므로 f(x)= = =a 따라서 a=a¤ -2a이므로

a¤ -3a=0, a(a-3)=0 ∴ a=3 (∵ a>0)

11

=;3!; ln (1+x);[!; =;3!; ln e =;3!; lim x⁄0 ln (1+x) 3x lim x⁄0 a e≈ -1 1251_x lim x⁄0 ax e≈ -1 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 e¤ ≈ -1 111_2_2x ln (1+x) 111251_x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 111_x ln (1+x) 111251_x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 ln (1+x) lim x⁄0 2x e¤ ≈ -1 lim x⁄0 ln (1+3x) 3x lim x⁄0 2x e¤ ≈ -1 ln (1+3x) 3x lim x⁄0 ln (1+3x) e¤ ≈ -1 lim x⁄0 1-e—≈ x lim x⁄0 f(x)- f(0) x-0 lim x⁄0 1-e—≈ x lim x⁄0 e† -1 t lim t⁄0 1-e† -t lim t⁄0 1-e—≈ x lim x⁄0

12

= [ _ ] =1_;3%;=;3%;

13

= = = =3

14

= = + = + { _;2#;} =1+1_;2#;=;2%;

15

= { _ } =1_;3%;=;3%;

16

= = -=3_ -2_ =3-2=1

17

=;2%; _ =;2%;_1_1=;2%;

18

=2 _ =2_1_1=2

19

ln (1+x)… f(x)…;2!;(e¤ ≈ -1)의 각 변을 x로 나누면 ⁄x>0일 때 ⁄ … … ㉠㉠yy`㉠ ¤-1<x<0일 때 e¤ ≈ -1 2x f(x) x ln (1+x) x 3x ln (1+3x) lim x⁄0 efl ≈ -1 6x lim x⁄0 efl ≈ -1 ln (1+3x) lim x⁄0 2x e¤ ≈ -1 lim x⁄0 ln(1+5x) 5x lim x⁄0 ln(1+5x) e¤ ≈ -1 lim x⁄0 e› ≈ -1 4x lim x⁄0 efl ≈ -1 6x lim x⁄0 e› ≈ -1 2x lim x⁄0 efl ≈ -1 2x lim x⁄0 (efl ≈ -1)-(e› ≈ -1) 2x lim x⁄0 efl ≈ -e› ≈ 2x lim x⁄0 5x 3x efi ≈ -1 5x lim x⁄0 efi ≈ -1 3x lim x⁄0 e‹ ≈ -1 3x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 2x lim x⁄0 e‹ ≈ -1 2x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 2x lim x⁄0 (e¤ ≈ -1)+(e‹ ≈ -1) 2x lim x⁄0 e¤ ≈ +e‹ ≈ -2 2x lim x⁄0 1 ;3@;-;3!; 1 e› ≈ -1 e¤ ≈ -1 ;6$;_13251-;6@;_13251_{4x 2x} lim x⁄0 1 e› ≈ -1 e¤ ≈ -1 13251-13251_{6x 6x} lim x⁄0 6x e› ≈ -e¤ ≈ lim x⁄0 x+5 3 3x ln (1+3x) lim x⁄0 x¤ +5x ln (1+3x) lim x⁄0

11

③

12

③

13

③

14

⑤

15

②

16

①

17

④

18

②

19

③

20

②

21

①

22

② 본문030`~`032쪽

⁄ æ æ ㉠㉠yy`㉡ ㉠, ㉡에서 =1, =1이므로 =1 3x=t로 놓으면 x⁄0일 때, t ⁄0이므로 = =3 =3_1=3

20

함수 `f(x)가 x=0에서 연속이므로 f(x)=f(0)=a ∴ a= f(x)= ∴ a= f(x)= { _ } ∴ a= f(x)= _ ∴ a= f(x)=1_;2#; ∴ a= f(x)=;2#;

21

함수 ``f(x)가 x=0에서 연속이려면 f(x)=f(0)=b이어야 한다. 이때, =b에서 x⁄0일 때, (분모) ⁄0이고 극한값 이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (e¤ ≈ +a)=0에서 1+a=0㉠㉠

∴ a=-1 ∴ b= = { _2}=1_2=2 ∴ a+b=1

22

함수 `f(x)g(x)가 구간 (-1, ¶)에서 연속이려면 x=0에서 연속이어야 한다. 이차항의 계수가 1인 이차함수 `f(x)를 ``f(x)=x¤ +ax+b (a, b는 상수) 라 하면 ``f(0)g(0)=8b f(x)g(x)= =8b㉠㉠yy`㉠ ㉠에서 x⁄0일 때, (분모) ⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (x¤ +ax+b)=0이므로 b=0 b=0을 ㉠에 대입하면 = =;1A;=0 ∴ a=0 따라서 `f(x)=x¤ 이므로 f(3)=3¤ =9 x+a lim x⁄0 x¤ +ax ln (x+1) lim x⁄0 lim x⁄0 x¤ +ax+b ln (x+1) lim x⁄0 lim x⁄0 e¤ ≈ -1 2x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 x lim x⁄0 lim x⁄0 e¤ ≈ +a x lim x⁄0 lim x⁄0 3 e≈ +1 lim x⁄0 e‹ ≈ -1 3x lim x⁄0 3 e≈ +1 e‹ ≈ -1 3x lim x⁄0 e‹ ≈ -1 x(e≈ +1) lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 f(t) t lim t⁄0 f(t) ;3!; t lim t⁄0 f(3x) x lim x⁄0 f(x) x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 2x lim x⁄0 ln (1+x) x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 2x f(x) x ln (1+x) x

23

= ln (1-x) (1+3x) = ln (1-x) ¥(-1) (1+3x) ¥3 =ln {e—⁄ _e‹ } =ln e¤ =2

24

x-1=t로 놓으면 x⁄1일 때, t ⁄0이므로 = = ln (1+t);t!; =ln { (1+t);t!;_} =ln e=1

25

x {ln (x+1)-ln x}= x ln { } x {ln (x+1)-ln x}= x ln {1+;[!;} x {ln (x+1)-ln x}= ln {1+;[!;}≈ x {ln (x+1)-ln x}=ln [ {1+;[!;}≈] x {ln (x+1)-ln x}=ln e=1

26

= =2에서 =1이므로 =2 ∴ = = =3 ∴ = =3

27

=;5!;에서 x ⁄0일 때, (분모) ⁄0이고 극한값이 존 재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (e¤ ≈ -a)=1-a=0이므로 a=1 a=1을 주어진 식에 대입하면 lim x⁄0 e¤ ≈ -a bx lim x⁄0 2+1 1 2+1 1 f(x) 1225+1_x ln (1+x) 1511225_x lim x⁄0 f(x)+x ln (1+x) lim x⁄0 f(x) x lim x⁄0 ln (1+x) x lim x⁄0 f(x) 1225_x ln (1+x) 1511225_x lim x⁄0 f(x) ln (1+x) lim x⁄0 lim x⁄¶ lim x⁄¶ lim x⁄¶ x+1 x lim x⁄¶ lim x⁄¶ lim t⁄0 lim t⁄0 ln (1+t) t lim t⁄0 ln x x-1 lim x⁄1 1 3x 1 -x lim x⁄0 1 x 1 x lim x⁄0 ln (1-x)(1+3x) x lim x⁄0

23

②

24

1

25

1

26

③

27

11

28

④

29

②

30

③

31

⑤

32

① 본문032`~`033쪽 ln (x+1) x

유형`06. 삼각함수의 덧셈정리와 합성

15

= = =;b@;=;5!; ∴ b=10 ∴ a+b=1+10=11

28

= = _ = _ (∵ x-1=t로 놓으면 x⁄1일 때, t ⁄0) =1_;2E;=;2E;

29

= =6에서 = _{ _2}=2이므로 =;3!;

30

=b에서 x⁄0일 때, (분자)⁄0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모) ⁄0이어야 한다. 즉, ln (2x+a)=0에서 ln a=0 ∴ a=1 a=1을 주어진 식에 대입하면 = [ _ _2] = _ _2 =1_ _2=2=b ∴ a+b=3

31

함수 ``f(x)가 x=0에서 연속이므로 f(x)=f(0)=k ∴ k= ∴ k= [ _ _3] ∴ k= _ _3 ∴ k=1_1_3=3 1 e¤ ≈ -1 122525_x lim x⁄0 ln (1+3x) 3x lim x⁄0 x e≈ -1 ln (1+3x) 3x lim x⁄0 ln (1+3x) e≈ -1 lim x⁄0 lim x⁄0 1 ln e 1 ln (1+2x);2¡[; lim x⁄0 e› ≈ -1 4x lim x⁄0 2x ln (1+2x) e› ≈ -1 4x lim x⁄0 e› ≈ -1 ln (2x+1) lim x⁄0 lim x⁄0 e› ≈ -1 ln (2x+a) lim x⁄0 f(x) x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 2x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 122525_x f(x) 21525_x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 f(x) lim x⁄0 e x+1 lim x⁄1 e† -1 t lim t⁄0 e x+1 lim x⁄1 e≈ —⁄ -1 x-1 lim x⁄1 e(e≈ —⁄ -1) (x-1)(x+1) lim x⁄1 e≈ -e x¤ -1 lim x⁄1 e¤ ≈ -1 122525_2_2x b lim x⁄0 e¤ ≈ -1 122525_x bx 2525_x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 bx lim x⁄0

32

함수 ``f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=0에서도 연속이다. 즉, f(x)=f(0)=b이므로 =b㉠㉠yy`㉠ ㉠에서 x⁄0일 때, (분모) ⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이다. 즉, (e¤ ≈ +a)=0이므로 1+a=0 ∴ a=-1 a=-1을 ㉠에 대입하면 = { _;3@;} =1_;3@;=;3@;=b ∴ a+b=-1+;3@; ∴ a+b=-;3!; e¤ ≈ -1 2x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 3x lim x⁄0 lim x⁄0 e¤ ≈ +a 3x lim x⁄0 lim x⁄0

01

②

02

④

03

⑤

04

③

05

②

06

⑤

07

④

08

②

09

③

0

6

본문035`~`036쪽

삼각함수의 덧셈정리와 합성

01

0<a<;2“;이므로

sin a="√1-cos¤ a=æ≠1-;9!;=

∴ sin {a-;3“;}=sin a cos ;3“;-cos a sin ;3“;

∴ sin {a-;3“;}= _{¥;2!;-;3!;¥} = 2'2-'3 6 '3 2 2'2 3 2'2 3

02

a, b는 예각이므로 cos a>0, sin b>0 ∴ cos a="√1-sin¤ a

∴ cos a=æ≠1-;4!;= ∴ sin b="√1-cos¤ b

∴ cos a=æ≠1-;2!;=

∴ cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b

∴ cos (a+b)= ¥ _-;2!;¥ ∴ cos (a+b)=

03

AB”=3_{, AC”=4'2,} AH”=2'2이므로 BH”=1_{, CH”=2'6} ∴ sin a= , cos a= , ∴sin b= , cos b=

∴ cos(a-b)=cos a cos b+sin a sin b

∴ cos(a-b)= ¥ + ¥

∴ cos(a-b)=

04

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

tan a+tan b=4, tan a tan b=2 ∴ tan (a+b)= ∴ tan (a+b)= ∴ tan (a+b)=-4

05

두 직선 y=-3x-5, y=2x-3이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면 tan a=-3, tan b=2

두 직선이 이루는 예각의 크기 h는 h=a-b이므로

tan h=tan (a-b)

tan h=

tan h=

tan h=1

06

cos h= 이므로

sin h=æ≠1-{ }¤ = {∵ 0<h< } ∴ sin 2h=2 sin h cos h

∴ sin 2h=2¥ ¥ ∴ sin 2h=2'2 3 '6 3 '3 3 p 2 '3 3 '6 3 '6 3 -3-2 1+(-3)¥2 tan a-tan b 1+tan a tan b y y=2x-3 y=-3x-5 h a _b x O 4 1-2 tan a+tan b 1-tan a tan b '3+2'2 6 1 2 2'2 3 '3 2 1 3 '3 2 1 2 1 3 2'2 3 A 3 1 2'2 4'2 2'6 B C H a b '6-'2 4 '2 2 '2 2 '3 2 '2 2 '3 2

07

`f(x)='3 sin x+cos x `f(x)=2 { sin x+;2!; cos x} `f(x)=2 {sin x cos + cos x sin } `f(x)=2 sin {x+ }

따라서 함수 ``f(x)의 최댓값은 2이다.

08

``f(x)=4 sin x+3 cos x

``f(x)=5 {;5$; sin x+;5#; cos x}

``f(x)=5 sin (x+a) {단, sin a=;5#;, cos a=;5$;}

즉, x+a= 일 때 최댓값 5를 가지므로 h= -a

tan h=tan { -a}=cot a= =;3$;

∴ 3 tan h=4

09

``f(x)=2 sin x-2 sin {x+;3$;p}

``f(x)=2 sin x-2 {sin x cos ;3$;p+cos x sin ;3$;p}

``f(x)=2 sin x-2 {-;2!; sin x- cos x}

``f(x)=3 sin x+'3 cos x ``f(x)=2'3 { sin x+ cos x} ``f(x)=2'3 sin {x+ } 따라서 함수 ``f(x)의 주기는 2p이고 최댓값은 2'3이므로 a=2_{, b=2'3} ∴ a¤ +b¤ =4+12=16

10

cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b이므로 sin a sin b=cos a cos b-cos (a+b)

sin a sin b=;7$;-;7%;=-;7!;

11

tan {a+;4“;}=

tan {a+;4“;}= tan a+1 =2

1-tan a tan a+tan ;4“; 1-tan a tan ;4“; p 6 '3 2'3 3 2'3 '3 2 cos a sin a p 2 p 2 p 2 p 6 p 6 p 6 '3 2

10

①

11

①

12

④

13

④

14

⑤

15

③

16

②

17

④

18

①

19

⑤

20

③

21

① 본문036~038쪽

유형`06. 삼각함수의 덧셈정리와 합성

17

이므로

tan a+1=2 (1-tan a), 3 tan a=1 ∴ tan a=;3!;

12

∠C=c라 하면

tan c=tan (p-(a+b))

tan c=-tan (a+b)

tan c=;2#; 한편, 삼각형 ABC는 AB”=AC”이므로 b=c 즉, tan b=tan c=;2#; ∴ tan a=tan (p-(b+c)) =-tan (b+c) ∴ tan a

=-∴ tan a=- (∵ tan b=tan c)

∴ tan a =-∴ tan a=:¡5™:

13

점 P의 좌표를 (t, 1-t¤ )이라 하자. 직각삼각형 AHP에서 tan h¡=;2!;이므로 tan h¡= tan h¡= tan h¡= tan h¡=t=;2!; 이때, P{;2!;, ;4#;}이고 직각삼각형 PHO에서 tan h™= tan h™= tan h™=;2#; ∴ tan(h¡+h™)= ∴ tan(h¡+h™)= ∴ tan(h¡+h™)= ∴ tan(h¡+h™)=8 2 ;4!; ;2!;+;2#; 1-;2!;_;2#; tan h¡+tan h™ 1-tan h¡tan h™ ;4#; ;2!; HOÚ HPÚ 1-(1-t¤ ) t AOÚ-HOÚ HPÚ AHÚ HPÚ 2_;2#; 1-{;2#;}¤ 2 tan b 1-tan¤ b tan b+tan c 1-tan b tan c

14

AE” : ED”=3 : 1이므로 AE”=3a, ED”=a (a>0)라 하면 직각삼각형 CDE에서 CD”="√5-a¤

직각삼각형 ACD에서 CD”="√20-√16a¤ "√5-a¤ ="√20-√16a¤ 이므로

5-a¤ =20-16a¤, 15a¤ =15, a¤ =1 ∴ a=1 (∵ a>0)

따라서 CD”=2, AD”=4, BD”=3이므로 sin a=;5$;, cos a=;5#;, sin b= , cos b= ∴ cos(a-b)=cos a cos b+sin a sin b

∴ cos(a-b)=;5#;_ +;5$;_ ∴ cos(a-b)= =

15

sec¤ h=1+tan¤ h=1+_{{ }}¤=;5^; ∴ cos¤ h=;6%; ∴ cos 2h=2 cos¤ h-1=2¥;6%;-1=;3@;

16

cos¤ h= _{에서 ;3!;=} ∴ cos 2h=-;3!;

17

f'(x)=cos (x+a)-2 sin (x+a)이므로

f'{;4“;}=cos {;4“;+a}-2 sin {;4“;+a}=0

cos {;4“;+a}=2 sin {;4“;+a}에서 =;2!;

즉, tan {;4“;+a}=;2!;이므로

=;2!;, =;2!; 2(1+tan a)=1-tan a, 3tan a=-1 ∴ tan a=-;3!;

18

``f(x)=sin x+'7 cos x-'2 ``f(x)=2'2{ sin x+ cos x}-'2 ``f(x)=2'2 sin (x+a)-'2 ` {단, sin a= , cos a= } 따라서 함수`` f(x)의 최댓값은 2'2-'2='2 1 2'2 '7 2'2 '7 2'2 1 2'2 1+tan a 1-tan a tan ;4“;+tan a 1-tan ;4“; tan a sin {;4“;+a} cos {;4“;+a} 1+cos 2h 2 1+cos 2h 2 '5 5 2'5 5 10 5'5 1 '5 2 '5 2 '5 1 '5 A D E B 5 3a a C ' 5 2 ' 5 b a

19

``f(x)=a sin x+'∂11 cos x

``f(x)="√a¤ +11 { sin x+ cos x}

``f(x)="√a¤ +11 sin (x+a)

{단, sin a= , cos a= } 즉, 함수 ``f(x)의 최댓값은 "√a¤ +11이므로 "√a¤ +11=6, a¤ =25 ∴ a=5 (∵ a>0)

20

``f(x) =2 cos¤ x+k sin 2x-1 =2¥ +k sin 2x-1 =k sin 2x+cos 2x ="√k¤ +1 { sin 2x+ cos 2x} ="√k¤ +1 sin (2x+a) {단, sin a= , cos a= } 즉, 함수 ``f(x)의 최댓값은 "√k¤ +1이므로 "√k¤ +1='∂10, k¤ =9 ∴ k=3 (∵ k>0)

21

두 점 A, B의 좌표가 A(1, 0), B(cos h, sin h)이므로 OA”=1, OB”="√cos¤ h+sin¤ h=1 이때, 점 B에서 선분 OA에 내 린 수선의 발을 H라 하면 BH”=sin h 따라서 사각형 OACB가 평행사변형이므로 `f(h)=OA”_BH” =1_sin h =sin h 한편, 평행사변형 OACB의 두 대각선의 중점은 일치하므로 점 C의 좌표를 C(a, b)라 하면 { , }={ , }에서 a=cos h+1, b=sin h ∴ g(h) =OC”¤ =(cos h+1)¤ +sin¤ h =2 cos h+2 ∴ `f(h)+g(h)=sin h+2 cos h+2 ∴ `f(h)+g(h)='5 { sin h+ cos h}+2 ∴ `f(h)+g(h)='5 sin (h+a)+2 {단, sin a= , cos a= } 따라서 `f(h)+g(h)의 최댓값은 h+a= , 즉 h= -a일 때, 2+'5를 갖는다. p 2 p 2 1 '5 2 '5 2 '5 1 '5 b 2 a 2 sin h 2 cos h+1 2 y O A(1, 0) 1 1 H C(a, b) B(cos h, sin h) x h sin h k "√k¤ +1 1 "√k¤ +1 1 "√k¤ +1 k "√k¤ +1 1+cos 2x 2 a "√a¤ +11 '∂11 "√a¤ +11 '∂11 "√a¤ +11 a "√a¤ +11

22

cos a=;5#;이므로

sin a="√1-cos¤ a=æ≠1-{;5#;}¤

sin a=;5$; {∵ 0<a< }

tan b=-;;¡8∞;;이므로

sin b=;1!7%;, cos b=-;1•7; {∵ <b<p}

∴ sin (a+b)=sin a cos b+cos a sin b

∴ sin (a+b)=;5$;¥{-;1•7;}+;5#;¥;1!7%;

∴ sin (a+b)=;8!5#;

23

tan a=;2#;이므로 sin a= , cos a=

이때, a+b= 에서 b= -a이므로

cos (a-b)=cos {2a- }

cos (a-b)=sin 2a

cos (a-b)=2 sin a cos a

cos (a-b)=2¥ ¥ cos (a-b)=;1!3@;

24

예각삼각형 ABC에서 cos A=;3!;이므로 sin A=æ≠1-{;3!;}¤= sin B= 이므로 cos B=æ≠1-{ }¤= ∴ sin C=sin (p-A-B)

∴ sin C=sin (A+B)

∴ sin C=sin A cos B+cos A sin B

∴ sin C= ¥ + ¥

∴ sin C=

25

∠CAB=a라 하면 sin a=;5$;, cos a=;5#;

5'3 9 '3 3 1 3 '6 3 2'2 3 '6 3 '3 3 '3 3 2'2 3 2 '∂13 3 '∂13 p 2 p 2 p 2 2 '∂13 3 '∂13 3 2 '∂13 a b p 2 17 15 8 p 2

22

②

23

⑤

24

⑤

25

49

26

③

27

②

28

③

29

②

30

⑤ 본문038~039쪽

유형`07. 삼각함수의 극한

19

∠FAE=b라 하면 sin b=;5#;, cos b=;5$; h=a-b이므로

cos h=cos (a-b)

cos h=cos a cos b+sin a sin b

cos h=;5#;¥;5$;+;5$;¥;5#; cos h=;2@5$; ∴ p+q=25+24=49

26

그림에서 a=45˘-h라 놓으면 h=45˘-a이므로

cos h=cos (45˘-a)

cos h=cos 45˘ cos a+sin 45˘ sin a

cos h= ¥ + ¥

cos h= =

27

두 직선 y=2x+3, y=ax-1이 x축 의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각 각 a, b라 하면

tan a=2, tan b=a

두 직선이 이루는 예각의 크기가 45˘이므로

tan 45˘=tan (a-b)

tan 45˘=

tan 45˘= =1

1+2a=2-a, 3a=1 ∴ a=;3!;

28

``f(x)=a sin x+b cos x

``f(x)="√a¤ +b¤ sin (x+a)

{단, sin a= , cos a= } 즉,``함수 f(x)의 최댓값이 "√a¤ +b¤ 이므로 "√a¤ +b¤ ='∂14 ∴ a¤ +b¤ =14㉠㉠yy`㉠ 또 ``f{ }=2이므로 a+ b=2 ∴ a+b=2'2㉠㉠yy`㉡

㉠, ㉡에서 (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab이므로

8=14+2ab㉠㉠∴ ab=-3 '2 2 '2 2 p 4 a "√a¤ +b¤ b "√a¤ +b¤ 2-a 1+2¥a tan a-tan b 1+tan a tan b y O 3 -1 x y=2x+3 y=ax-1 45˘ _b a 3'∂10 10 3'2 2'5 1 '5 '2 2 2 '5 '2 2 2 1 1 h ' 5 a

29

y=cos x+2 sin {x+ }

y=cos x+2 {sin x cos +cos x sin }

y=cos x+2 { sin x+;2!; cos x}

y='3 sin x+2 cos x

y='7 sin (x+a) {단, sin a= , cos a= }

따라서 주어진 함수의 최댓값 M='7, 최솟값 m=-'7이므로

M-m=2'7

30

y=sin x-sin {x+ }

y=sin x-{sin x cos +cos x sin }

y=sin x-;2!; sin x- cos x

y=;2!; sin x- cos x y=sin {x- } 이때, x- =t로 놓으면 y=sin t이고 0…x…p에서 - …_t…;3@;p 즉, t= 일 때 최댓값 M=1, t=- 일 때 최솟값 m=-∴ M-m=2+'3₂ '3 2 p 3 p 2 y O 1 t y=sin t ' -₂3 p 3 2 2 p 3 -p p 3 p 3 p 3 '3 2 '3 2 p 3 p 3 p 3 '3 '7 2 '7 '3 2 p 6 p 6 p 6

01

②

02

③

03

③

04

④

05

④

06

2

07

④

08

⑤

0

7

본문041쪽

삼각함수의 극한

01

= [ _ ] = [ _ ] = _ =1_(-1)=-1

02

= { - } = { _ }- { _ } =1_;1!;-1_;1$;=-3

03

= { _ _ } = _ _2 =1_1_2=2

04

분모, 분자에 각각 1+cos x를 곱하면 = = = { _ } (∵ 1-cos¤ x=sin¤ x) = { }¤ _ =1¤ _;2!;=;2!;

05

x-p=t로 놓으면 x⁄p일 때, t ⁄0이므로 = = `(∵ sin (p+t)=-sin t) =1

06

=1에서 x⁄0일 때, (분모) ⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (x¤ +ax+b)=0이므로 b=0 따라서 주어진 식에 b=0을 대입하면 = [ _(x+a)] = _ (x+a) =1_(0+a)=1 ∴ a=1 ∴ 2a+b=2+0=2 lim x⁄0 x sin x lim x⁄0 x sin x lim x⁄0 x¤ +ax sin x lim x⁄0 lim x⁄0 x¤ +ax+b sin x lim x⁄0 -t -sin t lim t⁄0 -t sin (p+t) lim t⁄0 p-x sin x lim x⁄p 1 1+cos x lim x⁄0 sin x x lim x⁄0 1 1+cos x sin¤ x x¤ lim x⁄0 1-cos¤ x x¤ (1+cos x) lim x⁄0 (1-cos x)(1+cos x) x¤ (1+cos x) lim x⁄0 1-cos x x¤ lim x⁄0 tan 4x 4x lim x⁄0 1 lim x⁄0 4 2 tan 4x 4x 2x e¤ ≈ -1 lim x⁄0 tan 4x e¤ ≈ -1 lim x⁄0 4 cos x sin 2x 2x lim x⁄0 1 cos x sin x x lim x⁄0 2 sin 2x x cos x sin x x cos x lim x⁄0 sin x-2 sin 2x x cos x lim x⁄0 2x+1 4x-1 lim x⁄0 sin (2x¤ +x) 2x¤ +x lim x⁄0 2x+1 4x-1 sin (2x¤ +x) 2x¤ +x lim x⁄0 2x¤ +x 4x¤ -x sin (2x¤ +x) 2x¤ +x lim x⁄0 sin (2x¤ +x) 4x¤ -x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 2x

07

함수 ``f(x)가 x=0에서 연속이므로 f(x)=f(0)=2p ∴ f(x)= = { _ap} ∴ f(x)=ap=2p ∴ a=2

08

함수 ``f(x)가 x=0에서 연속이므로 f(x)=f(0)=2 ∴ f(x)= = { _ } ∴ f(x)= _ ∴ f(x)=ln a_1=2 ∴ a=e¤

09

= { _ }=1_;1@;=2

10

= { _ }=1_1=1

11

= [ _ _ ] =1_1_ =

12

= = =2

13

= { _ _ } =1_1_1=1

14

=b ln 2에서 x⁄a일 때, (분모) ⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (2≈ -1)=2å -1=0이므로 a=0 a=0을 주어진 식에 대입하면 = ;3!; { _ } =;3!;_1_ln 2=b ln 2 2≈ -1 x x sin x lim x⁄0 2≈ -1 3 sin x lim x⁄0 lim x⁄a 2≈ -1 3 sin (x-a) lim x⁄a 2x sin 2x x tan x e2x¤_-1 2x¤ lim x⁄0 e2x¤_-1 tan x sin 2x lim x⁄0 2x x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 111_2x_2x tan x 15152_x_x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 tan x lim x⁄0 5 3 5 3 5 3 3x sin 3x ln (1+5x) 5x lim x⁄0 ln (1+5x) sin 3x lim x⁄0 1 e≈ tan x x lim x⁄0 tan x xe≈ lim x⁄0 2 cos x sin 2x 2x lim x⁄ 0 sin 2x x cos x lim x⁄ 0 x sin x lim x⁄0 a≈ -1 x lim x⁄0 x sin x a≈ -1 x lim x⁄0 a≈ -1 sin x lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 sin apx apx lim x⁄0 sin apx x lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0

09

2

10

①

11

③

12

④

13

③

14

④ 본문042쪽

유형`08. 도형에서의 삼각함수의 극한

21

∴ b=;3!; ∴ a+b=;3!;

15

= [ _ ] =1_1=1

16

= = [ _ ] = [ _ ] = [ _ _ ] =1_1_;2@;=1

17

= { _ _;2$;} =1_1_2=2

18

= = = (∵ 1-cos¤ x=sin¤ x) = [{ } ¤ _ _ ] =1_1_;2!;=;2!;

19

x-2p=t로 놓으면 x⁄2p일 때, t ⁄0이므로 = = = { _ } (∵ sin (2p+t)=sin t) = 1 4p 1 t+4p sin t t lim t⁄0 sin (t+2p) (t+4p)t lim t⁄0 sin x (x+2p)(x-2p) lim x⁄2p sin x x¤ -4p¤ lim x⁄2p 1 1+cos x x ln (1+x) sin x x lim x⁄0 sin¤ x x(1+cos x) ln (1+x) lim x⁄0 1-cos¤ x x(1+cos x) ln (1+x) lim x⁄0 (1-cos x)(1+cos x) x(1+cos x) ln (1+x) lim x⁄0 1-cos x x ln (1+x) lim x⁄0 2x sin 2x e› ≈ -1 4x lim x⁄0 e› ≈ -1 sin 2x lim x⁄0 sin¤ x+2 x¤ +2 sin x x x‹ +2x sin (x‹ +2x) lim x⁄0 sin x(sin¤ x+2) x(x¤ +2) x‹ +2x sin (x‹ +2x) lim x⁄0 sin‹ x+2 sin x x‹ +2x x‹ +2x sin (x‹ +2x) lim x⁄0 sin‹ x+2 sin x sin (x‹ +2x) lim x⁄0 f (sin x) sin f(x) lim x⁄0 sin x x sin (sin x) sin x lim x⁄0 sin (sin x) x lim x⁄0

20

함수 ``f(x)가 x=0에서 연속이 되려면 f(x)=f(0)=b 이어야 한다. ∴ f(x)= = ∴ f(x)= =;a@;=b ∴ ab=2

21

함수 ``f(x)가 x=0에서 연속이므로 =b㉠㉠yy`㉠ ㉠에서 x⁄0일 때, (분모) ⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다.

즉, (e≈ -sin 2x-a)=0이므로

1-a=0㉠㉠∴ a=1 a=1을 ㉠에 대입하면 = ;3!; { - } = ;3!; { - _2} =;3!;_(1-1_2)=-;3!; ∴ b=-;3!; ∴ a+b=1-;3!;=;3@; sin 2x 2x e≈ -1 x lim x⁄0 sin 2x x e≈ -1 x lim x⁄0 e≈ -sin 2x-1 3x lim x⁄0 lim x⁄0

e≈ -sin 2x-a 3x lim x⁄0 1_2 1_a sin x 112_2_2x eå ≈ -1 151552_a_ax lim x⁄0 sin 2x eå ≈ -1 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0

15

1

16

②

17

④

18

①

19

①

20

③

21

② 본문043쪽

01

꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라 하면 AB” sin h=AH” ∴ AB”= AC” sin 2h=AH” ∴ AC”=_{sin 2h}AH”

AH” sin h h 2h A B H C

01

④

02

2

03

③

04

2

05

④

0

8

본문045쪽

도형에서의 삼각함수의 극한