02 그림에서 - 2020 짱중요한유형 미적분 답지 정답

PB”=AB” sin h=2 sin h㉠㉠yy`㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 BC”=2 sin¤ h

∴ = =2

03

직각삼각형 ABC에서 CA”=a tan h

이때, △ABCª△HAC(AA닮음) 이므로 ∠CAH=h 삼각형 HAC에서

CH”=CA” sin h=a tan h sin h

∴ =

∴ = {a_ _ }=a

04

그림에서 원의 중심을 O라 하면

∠OAP=∠OPA= -h 이므로

OQ”=4, ∠OPQ=

이때, ∠OQP=h이므로

유형`08. 도형에서의 삼각함수의 극한

23

a¤ sec¤ h-2a sin h-sin¤ h=0 yy㉡

㉡의 양변에 cos¤ h를 곱하면

a¤ -2a sin h cos¤ h-sin¤ h cos¤ h=0 이때, a>0이므로 근의 공식에 의해

a=sin h cos¤ h+"√sin¤ hcos› h√+sin¤ hcos¤ h a=sin h cos¤ h+sin h cos h"√cos¤ h+1 따라서

S(h)=;2A; cos h

S(h)= (cos h+"√cos¤ h+1) 이므로

= [ (cos h+"√cos¤ h+1)]

=;2!; _ {cos¤ h(cos h+"√cos¤ h+1)}

=;2!;_1_{1¤ _(1+"√1¤ +1)}

08

직각삼각형 ABC에서 AB”=1, ∠CAB=h이므로 AC”=sec h, BC”=tan h

점 E에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라 하고 AD”=r라 하면 BD”=1-r

이때, 직선 CD가 ∠ACB를 이등분하므로 AD” : BD”=AC” : BC”

즉, r : 1-r=sec h : tan h (1-r)_sec h=r_tan h (tan h+sec h)r=sec h

∴ r= =

∴ S(h)=;2!;_{ }

∴ S(h)=;2!;_

한편, 직각삼각형 AEH에서

AE”=r= 이므로

EH”=

∴ T(h)=;2!;_1_tan h-;2!;_1_

∴ T(h)=;2!; sin h{sec h- } 1 1+sin h

sin h 1+sin h sin h

1+sin h 1 1+sin h

h (1+sin h)¤

1 1+sin h

1 1+sin h sec h

tan h+sec h

A B

D H h

r 1+'2

hlim⁄0+

sin h lim h

h⁄0+

sin h cos¤ h lim 2h

h⁄0+

S(h) lim h

h⁄0+

sin h cos¤ h 2

∴

= [;2!;_ _ _ ]

[

^;2!;_ ^_ ^_

]

=;2!;_1_;1!;_

=;2!;

09

삼각형 ABP에서 ∠APB=;2“;이므로 AP”=2 cos h

직각삼각형 AOH에서

AH”=OA” cos h=cos h, OH”=sin h 한편, 부채꼴 PAQ의 넓이를 M¡이라 하면 M¡=;2!;_AP”¤ _h

M¡=;2!;_(2 cos h)¤ _h M¡=2h cos¤ h

직각삼각형 AOH의 넓이를 M™라 하면 M™=;2!;_AH”_OH”

M™=;2!; cos h sin h 부채꼴 POB에서

∠POB=2∠PAB=2h이고, μPR : μ RB=3 : 7이므로

∠ROB=2h_;1¶0;=;5&;h

부채꼴 ROB의 넓이를 M£이라 하면 M£=;2!;_OB”¤ _;5&;h

M£=;2!;_1¤ _;5&;h M£=;1¶0;h 따라서

S¡-S™=M¡-M™-M£

S¡-S™=2h cos¤ h-;2!; cos h sin h-;1¶0;h 이므로

=2 _ cos¤ h-;2!; cos h -;1¶0;

=2-;2!;-;1¶0;=;5$;

∴ 50a=50_;5$;=40

h sin h

hlim⁄0+

h sin h

hlim⁄0+

2h cos¤ h-;2!; cos h sin h-;1¶0;h sin h

hlim⁄0+

S¡-S™

lim OH”

h⁄0+

1 1+0

1 sin h 1-cos h 1515+1111h h cos h

(1+sin h)‹

h sin h

hlim⁄0+

h sin h+1-cos h cos h

(1+sin h)‹

h sin h

hlim⁄0+

h [;2!;_111151]

(1+sin h)¤

;2!; sin h {sec h-1515152}1+sin h

hlim⁄0+

{S(h)}¤

lim T(h)

h⁄0+

`AC”=2AM”=20 sin

OB”= =10 sec h이므로 BC”=10 sec h-10

AB”=10 tan h

=;2!;_x_x_sin 2h-;2!;_4_x_sin 2h

=;2!;x¤ sin 2h-2x sin 2h

∴=2_2_2_2

∴=16

10 tan h+20 sin;2«;+10 sec h-10 lim h PH”=sin h, OH”=cos h

즉, f(h)=;2!; sin h cos h

한편, ∠OPQ=;2“;, OQ”=sec h이므로

∠OQP=;2“;-h, AQ”=sec h-1 즉, g(h)=;2!;(sec h-1)¤ {;2“;-h} HA”=1-cos h 직각삼각형 OAB에서 OA”=OB”이므로

∠OAB=∠OBA㉠㉠yy㉠ 이때 OB”//PH”이므로

∠OBA=∠HQA㉠㉠yy㉡

㉠, ㉡에서 ∠HAQ=∠HQA 2(1+cos h)¤

hlim⁄0+ cos‹ h(sec h+1) sin h

lim h

h⁄0+

2 tan¤ hÆ¬;2!;{;2“;-h}

h_sin h cos h(sec h+1)

hlim⁄0+

(sec h-1)Æ¬;2!;{;2“;-h}

h_;2!; sin h cos h

hlim⁄0+

"√g (h) h_f(h)

hlim⁄0+

유형`08. 도형에서의 삼각함수의 극한

25

¤OPÚ=p cos h,

PQÚ=OPÚ tan =p cos h tan 이므로

g(h)=;2!;_p cos h_p cos h tan g(h)= _cos¤ h tan

⁄, ¤에서

= _ _

=;9@;_1_;2#;=;3!;

따라서 k=;3!;이므로 60k=60_;3!;=20

15

BC”=1, ∠CBE=h이므로 직각삼각형 CBE에서 CE”=sin h

직각삼각형 CEF에서 ∠ECF=;2“;-;2Ω;이므로 CF”=CE”_cos (∠ECF)

CF”=CE”_cos {;2“;-;2Ω;}

CF”=sin h sin ;2Ω;

삼각형 CFG에서 ∠FCG=;2Ω;이므로 FG”=CF”_tan ;2Ω;

FG”=sin h sin ;2Ω; tan ;2Ω;

직각삼각형 CFG의 넓이 S(h)는 S(h)=;2!;_CF”_FG”

S(h)=;2!;_sin h sin ;2Ω;_sin h sin ;2Ω; tan ;2Ω;

S(h)=;2!; sin¤ h sin¤ ;2Ω;tan ;2Ω;

A 1 B

E F

G D C

h h

2 h

2 -p

2 h 2h

;2#;_153 1115555tan``152h3

h⁄0+lim 1

cos¤ h

hlim⁄0+

2 tan¤1h3 11119_`1h¤9

hlim⁄0+

2 tan¤1h3 1111111h_cos¤ h`tan`132h3

hlim⁄0+

p¤ tan¤1h3 11111111115p¤ 2h

h_13_cos¤ htan132 3

hlim⁄0+

f(h) h_g(h)

hlim⁄0+

2h 3 p¤

2h 3 2h

3 2h

∴

∴=

∴=;1¡6;

‡

^{ ^}²^_^ª ^º

°

∴=;1¡6;_1¤ _1¤ _1

∴=;1¡6;

16

그림에서 삼각형 AOB의 넓이는

△AOB=;2!;r¤ sin h㉠㉠yy`㉠

한편, 내접원의 중심을 O', 삼각형 AOB의 내접원의 반지름의 길이를 a라 하면

△AOB=;2!;ra+;2!;ra+;2!;a_AB”㉠㉠yy`㉡

이때, ∠AOO'=∠O'OA= 이므로

AB”=2r sin 이것을 ㉡에 대입하면

△AOB=ar+;2!;a_2r sin

△OAB=ar+ar sin ㉠㉠ yy`㉢

㉠과 ㉢이 같으므로

;2!;r¤ sin h=ar+ar sin

∴ a=

따라서 l¡=rh, l™=2pa= 이므로

{

}

{

}

=1_p

17

주어진 원의 방정식은 x¤ +y¤ =1이므로 P(cos h, sin h)라 하 면 접선 PQ의 방정식은

x cos h+y sin h=1

∴ Q { , 0}

또한 A(0, 1)이므로 직선 AP의 방정식은 y= sin h-1x+1

cos h 1 cos h

p 1+sin ;2«;

sin h lim h

h⁄0

1 rh pr sin h 1+sin ;2«;

limh⁄0

l™

liml¡

h⁄0

pr sin h 1+sin ;2«;

;2!;r sin h 1+sin ;2«;

h 2 h 2

h 2 h

h 2

O O'

A B

r a tan ;2Ω;

;2Ω;

sin ;2Ω;

;2Ω;

sin h lim h

h⁄0+

sin¤ h sin¤ ;2Ω;tan ;2Ω;

lim 2hﬁ

h⁄0+

S(h) lim hﬁ

h⁄0+

∴ R { , 0}

;2!;r(AB”+BC”+CA”)=;2!; AC”_BC”

;2!;(2+2 cos h+2 sin h)r=;2!;_2 sin h_2 cos h

∴ r=

사각형 BEOD에서 ∠DOE=p-h이므로

l™= (p-h)

1+sin h+cos h cos h(p-h) h

sin h limh⁄0

h(1+sin h+cos h) sin h cos h(p-h) limh⁄0

2h 2 sin h cos h(p-h)

1+sin h+cos h limh⁄0

l¡

liml™

h⁄0

2 sin h cos h 1+sin h+cos h

;2!;_1215cos h lim h¤

sin h(1-sin h) (1-sin h)cos h cos¤ h-1+sin h (1-sin h)cos h 1 PH”=sin h, OH”=cos h

따라서 S(h), T(h)는

S(h)=;2!;_cos h_sin h=;2!; sin h cos h T(h)=;2!;_1_1_sin (p-h)=;2!; sin h

∴ = = cos h=1

[다른 풀이]

두 삼각형 OHP, OPA의 밑변을 각각 OH”, OA”로 생각하면 높 이는 모두 PH”이고, h⁄0+일 때 점 H는 점 B에 한없이 가까워

지므로 =1

21

PB”=sin h, BA”=1-cos h이므로

S(h)=;2!;_2 sin h_(1-cos h)=sin h_(1-cos h)

∴ = 이고, △OTB™△OPB이 므로

sin h(1-cos h)(1+cos h) h‹ (1+cos h) limh⁄0

sin h(1-cos h) lim h‹

3(1-cos¤ h) h¤ cos h

유형`08. 도형에서의 삼각함수의 극한

27

따라서 BP”=tan ,

PA”=BP”_tan h=tan _tan h 이므로

S=;2!;_BP”_PA”=;2!;_{tan }¤ _tan h

∴

∴=

∴=8

{ }

∴=8_1¤ _1=8

23

삼각형 PAO에 내접하는 원의 반지름의 길이를 r이라 하면

△OPA의 넓이는

;2!;_1_1_sin (p-h)

=;2!;_1_r+;2!;_1_r+;2!;_AP”_r 이므로

sin h=2r+r AP”

∴ r= ㉠㉠yy`㉠

한편, 삼각형 OPA는 이등변삼각형이 므로 점 O에서 AP”에 내린 수선의 발 을 H라 하면

AP”=2AH”=2_sin { - } AP=2 cos

이것을 ㉠에 대입하면 r=

∴ `f(h)=

∴ =

[

]

∴ =

24

삼각형 ABC는 AC”=BC”인 이등변삼각형이고, 삼각형 ACD 도 AC”=AD”인 이등변삼각형이다. 삼각형 ABC와 삼각형 ACD의 내접원의 중심을 각각 O¡, O™, 반지름의 길이를 r¡, r™

라 하고 점 C에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 M, 점 A에서 선분 CD에 내린 수선의 발을 N이라 하자.

p 16

p 4 {1+cos ;2«;}¤ sin¤ h

lim h¤

h⁄0+

psin¤ h h¤ _4 {1+cos ;2«;}¤

hlim⁄0+

f (h) lim h¤

h⁄0+

psin¤ h {2+2 cos ;2«;}¤ sin h

2+2 cos ;2«;

h 2

h 2 p

2 ^A

1 O

1 2 H

p -2h sin h

2+AP”

h tan h

hlim⁄0+

;2«;

tan ;2«;

hlim⁄0+

h‹

;2!;_{tan ;2«;}¤ _tan h

hlim⁄0+

h‹

lim S

h⁄0+

h 2 h 2 h 2

점 O¡은 삼각형 ABC의 내접원의 중심이므로

∠MBO¡=∠O¡BC=;2!;∠ABC=

한편, △ABC가 이등변삼각형이므로 ∠ACD=2h이고, 점 O™는 삼각형 ACD의 내접원의 중심이므로

∠ACO™=∠O™CN=;2!;∠ACD=h

이때, AM”=BM”=4이므로 삼각형 BO¡M에서 r¡=O¡M”=BM” tan =4 tan

또 삼각형 BCM에서

BC”= = =AC”이므로

삼각형 ACN에서 CN”=AC” cos 2h CN”= _cos 2h=

삼각형 CNO™에서 r™=O™N”=CN” tan h=

∴ =

∴ =2 cos 2h=2

cos h

hlim⁄0+

tan h

1125_cos 2hh tan ;2Ω;

;2!;_111_cos h

;2Ω;

hlim⁄0+

4 tan h cos 2h 4tan ;2«; cos h

hlim⁄0+

r™

lim r¡

h⁄0+

4 tan h cos 2h cos h 4 cos 2h

cos h 4

cos h 4 cos h BM”

cos h

h 2 h

B C N

O¡ O™

D 2

h h

01

``f(x)=(3x-2)e≈ 에서

``f'(x)=3e≈ +(3x-2)e≈

=(3x+1)e≈

∴ `f'(1)=(3+1)e=4e

02

f (x)=e‹ ≈ +x‹ -4x에서 f '(x)=3e‹ ≈ +3x¤ -4

∴ `f'(0)=3e‚ +0-4=3-4=-1

03

f(x)=ln (x¤ +6x-5)에서

f '(x)= =

∴ `f'(1)=;2*;=4

04

f (x)=x¤ `ln (3x-2)에서 f '(x)=2x`ln (3x-2)+x¤ _

∴ = [ _3]

∴ =3 f '(1)

∴ =3 (2 ln 1+1_3)

∴ =3(0+3)

05

^{f '(x)=} ^이므로

f '(2)=

∴ =2 ln 5

06

f(x)=sin 3x-cos 2x에서 f '(x)=3 cos 3x+2 sin 2x

∴ f'(0)=3+0=3

07

f(x)=sin‹ x cos x에서

f '(x)=3 sin¤ x cos¤ x+sin‹ x (-sin x) f '(x)=3 sin¤ x cos¤ x-sin› x

∴ f'{ }=3_{ }

¤_{ }

¤-{ }

›

∴ f'{ }=;4#;-;4!;

∴ f'{ }=;2!;

1 '2 1

'2 1

'2 p

4 1 f '(2)

1 2 ln 5

1 x ln 5

f(1+3h)-f(1) lim 3h

h⁄0

f(1+3h)-f(1) lim h

h⁄0

3 3x-2 2x+6 x¤ +6x-5 (x¤ +6x-5)'

x¤ +6x-5

01

④

02

②

03

⁴

04

③

05

③

06

③

07

;2!;

08

②

09

본문053쪽

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