09 `y= 에서 - 2020 짱중요한유형 미적분 답지 정답

`y'= =e≈ (x-1) x¤

e≈ x-e≈

x¤

e≈

1 4e¤

1 2 p 4 1

2 p 4 1 2 p 4

p 4 1

1 2 p 4 p

p 2 1 c 1-0

e-1 이때, 접점의 좌표를 {t, }으로 놓으면 접선의 방정식은

y- = (x-t)㉠㉠yy`㉠

㉠이 원점을 지나므로

- =- ㉠㉠∴ t=2

t=2를 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은

`y= x

이 직선이 점 (a, e¤ )을 지나므로 e¤ = ¥a㉠㉠∴ a=4

10

곡선 y=g (x) 위의 점 (e¤ , 2)에서의 접선의 기울기는 ``g '(e¤ ) 이다.

이때,`` g (x)는 `f(x)의 역함수이므로 `f(2)=e¤

f (x)=(x-1)e≈에서 `f'(x)=e≈ +(x-1)e≈ =xe≈ 이므로 g '(e¤ )= =

11

y=ln 5x에서 y'= =;[!;이므로 곡선 y=ln 5x 위의 점 {;5!;, 0}에서의 접선의 기울기는 5이다.

따라서 접선의 방정식은 y=5 {x-;5!;}=5x-1 이므로 접선의 y절편은 -1이다.

12

y=ln(x-3)+1에서 y'= 이므로

곡선 y=ln(x-3)+1 위의 점 (4, 1)에서의 접선의 방정식은

y-1= (x-4)

즉, y=x-3이므로 a=1, b=-3

∴ a+b=-2

13

`y=3e≈ —⁄ 에서 y'=3e≈ —⁄

이때, 점 A의 좌표를 A(a, 3eå —⁄ )으로 놓으면 점 A에서의 접선 의 기울기는 3eå —⁄ 이다.

따라서 접선의 방정식은

`y-3eå —⁄ =3eå —⁄ (x-a) 이 직선이 원점을 지나므로

1 4-3

1 x-3 5

5x 1 2e¤

1 f '(2) e¤

4 e¤

¹⁵

22

④

23

②

본문068`~`070쪽

유형`12. 접선의 방정식

39

-3eå —⁄ =3eå —⁄ (-a)

∴ a=1

즉, 점 A의 좌표는 A(1, 3)이므로 OA”="√1¤ +3¤ ='∂10

14

`y=e≈ 에서 y'=e≈ 이므로 곡선 y=e≈ 위의 점 (1, e)에서의 접선 의 기울기는 e이다.

따라서 접선의 방정식은 y-e=e (x-1)

∴ y=ex

이 직선이 곡선 y=2'∂x-k에 접하므로 방정식 ex=2'∂x-k는 중근을 갖는다.

e¤ x¤ =4(x-k) e¤ x¤ -4x+4k=0

위의 이차방정식의 판별식을 D라 하면

=4-e¤ _4k=0 4e¤ k=4㉠㉠

∴ k=

15

`e¥ ln x=2y+1의 양변을 x에 대하여 미분하면 e¥ _ln x+e¥ _;[!;=2

=- yy㉠

㉠에 x=e, y=0을 대입하면

=- =;e!;

곡선 위의 점 (e, 0)에서의 접선의 방정식은 y-0=;e!;(x-e), 즉 y=;e!;x-1 따라서 a=;e!;, b=-1이므로 ab=;e!;_(-1)=-;e!;

16

점 P의 x좌표를 a라 하자.

두 곡선 y=ke≈ +1, y=x¤ -3x+4가 점 P에서 만나므로 keå +1=a¤ -3a+4 yy㉠

또, y=ke≈ +1에서 y'=ke≈ 이므로 점 P에서의 접선의 기울기는 keå이다.

y=x¤ -3x+4에서 y'=2x-3이므로 점 P에서의 접선의 기울 기는 2a-3이다.

이 두 접선이 서로 수직이므로 keå (2a-3)=-1 yy㉡

㉠에서 keå =a¤ -3a+3이므로 ㉡에 대입하면 (a¤ -3a+3)(2a-3)=-1

2a‹ -9a¤ +15a-8=0 (a-1)(2a¤ -7a+8)=0 a=1또는 2a¤ -7a+8=0

2a¤ -7a+8=0의 판별식을 D라 하면 D=(-7)¤ -4_2_8<0

이므로 허근을 갖는다.

∴ a=1 1 e(1_1-2) dy

e¥

x(e¥ ln x-2) dy

dy dx dy

dx 1 e¤

D 4

㉠에서 k=

이므로 a=1을 대입하면 k=;e!;

17

점 (e, -e)는 y=f(x) 위의 점이므로`` f(e)=-e g(x)=f(x) ln x›에서

g '(x)=f'(x) ln x› +f(x);[$; (∵ x>0)

따라서 y=g (x) 위의 점 (e, -4e)에서의 접선의 기울기는 g '(e)=f'(e) ln e› +f(e);e$;

g '(e)=4 f '(e)-4

이때, x=e에서 ``f(x)와 `g (x)의 두 접선이 수직이므로 f '(e)g '(e)=-1

y=f(x)위의 점 (e, -e)에서의 접선의 기울기를`

``f'(e)=a라 하면 a(4a-4)=-1 4a¤ -4a+1=0 (2a-1)¤ =0

∴ a=;2!;

∴ 100 f'(e)=100_;2!;=50

18

그림과 같이 기울기가 1인 직선 y=x+t에 대하여 주어진 조건 을 만족시키려면

곡선 ``y=ln(x-2)에 접하고 기울기가 1인 직선이 곡선 y=x¤ +k에 접해야 한다.

y=ln(x-2)에서 y'= 이므로

곡선 y=ln(x-2)에 접하고 기울기가 1인 직선의 방정식은 y=x-3

따라서 곡선 y=x¤ +k와 직선 y=x-3이 접해야 하므로 x¤ +k=x-3에서 x¤ -x+k+3=0

이차방정식 x¤ -x+k+3=0의 판별식을 D라 하면 D=1-4(k+3)=0에서

k=-;;¡4¡;;

19

`g(x)=6x-6, h(x)=2x‹ -2라 하면

h(x)의 x=1에서의 접선의 방정식이 y=g (x)이므로 f(x)는 삼차함수이다.

조건 ㈏에 x=1을 대입하면 0…f(1)…0이므로 f(1)=0

따라서 함수 ``f(x)는 점 (1, 0)을 지나고 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이므로

1 x-2

O x

y=f(x) x=2 y=x+t a¤ -3a+3

eå

f(x)=(x-1)(x¤ +ax+b)㉠㉠yy`㉠

로 놓을 수 있다.

조건 ㈎에서 ``f(0)=-3이므로 -b=-3㉠㉠∴ b=3 또한, 조건 ㈏에서 x>1일 때

… … 이므로

… …

{∵ = 2(x¤ +x+1)=6}

∴ =6

x<1일 때도 같은 방법으로 하면 =6이므로

= =f '(1)=6

㉠에서 f'(x)=x¤ +ax+b+(x-1)(2x+a)이므로 f '(1)=1+a+b=6㉠㉠∴ a+b=5

b=3이므로 a=2

∴`` f(x)=(x-1)(x¤ +2x+3)

∴`` f(3)=36

20

`곡선 y=g(x) 위의 점 (4p, 2p)에서의 접선의 기울기는 g'(4p)= 이고, f(x)=2x+sin x에서 f '(x)=2+cos x이므로

g'(4p)= = = =;3!;

∴ p+q=3+1=4

21

곡선 y=f(x)가 점 (2, 1)을 지나고, 이 점에서의 접선의 기울 기가 1이므로 `

f(2)=1, `f'(2)=1

f(2x)의 역함수가 ``g (x)이므로 ``g ( f(2x))=x㉠㉠yy`㉠

㉠의 양변에 x=1을 대입하면 g ( f(2))=1에서 g (1)=1㉠㉠

∴ a=g (1)=1

또 ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 g '( f(2x))¥ { f(2x)}'=1 g '( f(2x))¥ f'(2x)¥(2x)'=1

∴ 2g '( f(2x))f'(2x)=1 위의 식에 x=1을 대입하면 2 g '( f(2))f'(2)=1, 2 g '(1)¥1=1

g '(1)=;2!;㉠㉠

∴ b=g '(1)=;2!;

∴ 10(a+b)=10{1+;2!;}=15 [다른 풀이]

곡선 y=f(x)가 점 (2, 1)을 지나고, 이 점에서의 접선의 기울 기가 1이므로 ``f(2)=1, ``f '(2)=1

f(2x)=h(x)라 하면 `g (x)=h—⁄ (x)

이때, h(1)=f(2)=1이므로 a=g (1)=h—⁄ (1)=1 1

2+1 1

2+cos 2p 1

f '(2p) 1 f '(2p)

f(x)-f(1) lim x-1

x⁄1

f(x) limx-1

x⁄1

f(x) lim x-1

⁄1-f(x) lim x-1

x⁄1+

limx⁄1

2x‹ -2 lim x-1

x⁄1+

2x‹ -2 lim x-1

x⁄1+

f(x) lim x-1

x⁄1+

6x-6 lim x-1

x⁄1+

2x‹ -2 x-1 f(x)

x-1 6x-6

x-1

h'(x)=2 f '(2x)에서 h'(1)=2 f '(2)=2_1=2

∴ b=g '(1)= =;2!;

∴ 10(a+b)=10{1+;2!;}=15

22

^y=3≈에서 y'=3≈ ln 3이므로 곡선 y=3≈ 위의 점 P(k, 3˚ )에서 의 접선의 방정식은

y-3˚ =3˚ ln 3(x-k) 위 식에 y=0을 대입하면 -3˚ =3˚ ln 3(x-k)

∴

x=k-∴ A{k- , 0}

한편, y=a≈ —⁄ 에서 y'=a≈ —⁄ ln a이므로 곡선 y=a≈ —⁄ 위의 점 P(k, a˚ —⁄ )에서의 접선의 방정식은

y-a˚ —⁄ =a˚ —⁄ ln a(x-k) 위 식에 y=0을 대입하면 -a˚ —⁄ =a˚ —⁄ ln a(x-k)

∴

x=k-∴ B{k- , 0}

이때, AH”=2BH”이므로

{k- }-k=2[{k- }-k]

= , ln a=2 ln 3

∴ a=3¤ =9

23

삼각형 OAP의 넓이가 최대가 되려면 점 P와 직선 y=x 사이의 거리가 최대이어야 한다. 즉, 점 P에서의 접선은 직선 y=x와 평 행이어야 하므로 접선의 기울기는 1이다.

f (x)=ax(x-2)¤에서

f '(x)=a(x-2)¤ +ax¥2(x-2)

=a(x-2)(3x-2)

점 P의 x좌표가 ;2!;이므로 점 P에서의 접선의 기울기는 f '{;2!;}=a_{-;2#;}_{-;2!;}=;4#;a=1

∴ a=;3$;

24

y=x(ln x+1)에서

y '=ln x+1+x_;[!;=ln x+2 2

ln a 1 ln 3

1 ln a 1

ln 3 1 ln a

1 ln a

1 ln 3

1 h'(1)

24

②

25

26

①

27

①

28

29

30

④

31

④

본문070`~`071쪽

유형`12. 접선의 방정식

41

접점의 좌표를 (a, a(ln a+1))이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 3이므로

ln a+2=3, ln a=1

∴ a=e

즉, 접점의 좌표는 (e, 2e)이므로 접선의 방정식은 y-2e=3(x-e) ∴ y=3x-e

따라서 구하는 직선의 y절편은 -e이다.

25

곡선 y=2xe≈ +e—≈ 가 점 (0, a)를 지나므로 a=0+e‚㉠㉠∴ a=1

y '=2e≈ +2xe≈ -e—≈이므로 x=0에서의 접선의 기울기는 b=2e‚ -e‚ =2-1=1

∴ a+b=2

26

^{f (x)=e≈}에서 f'(x)=e≈ 이므로 점 (ln 2, 2)에서의 접선의 기 울기는 f'(ln 2)=e^{ln 2}=2

따라서 접선의 방정식은 y-2=2(x-ln 2)

∴ y=2x-2 ln 2+2 yy`㉠

한편,` g (x)=ln x+a에서 g '(x)=;[!;

이때, 직선 ㉠이 g (x)와 접하는 접점을 (t, ln t+a)라 하면 g '(t)=2

;t!;=2㉠㉠∴ t=;2!;

따라서 곡선 g (x)=ln x+a 위의 점 {;2!;, ln ;2!;+a}에서의 접선의 방정식은

y-{ln ;2!;+a}=2{x-;2!;}

∴ y=2x-1+ln ;2!;+a yy`㉡

㉠, ㉡이 서로 일치하므로 -2 ln 2+2=-1+ln ;2!;+a

∴ a=3-ln 2

27

y=sin x에서 y'=cos x이므로 점 (t, sin t)에서의 접선의 기 울기는 cos t이다.

따라서 접선의 방정식은 y-sin t=cos t(x-t)

이 접선이 x축과 만나는 점의 좌표가 (f(t), 0)이므로 `y=0을 대입하면

x=- +t=f(t)

∴ f(t)=t-tan t

∴ = = {1- }

∴ =1-1=0

28

y¤ =ln (2-x¤ )+xy+20의 양변을 x에 대하여 미분하면 2y ;dD[};= +y+x ;dD[};

(2y-x) ;dD[};=-2x+2y-x¤ y 2-x¤

-2x 2-x¤

tan t lim t

t⁄0

t-tan t lim t

t⁄0

f(t) lim t

t⁄0

sin t cos t

∴ ;dD[};= (단, x-2y+0) 따라서 점 (1, 5)에서의 접선의 기울기는

= =;3!;

이므로 접선의 방정식은 y-5=;3!; (x-1)

∴ y=;3!;x+:¡3¢:

이 직선의 x절편은 -14이고, y절편은 :¡3¢:이므로

-;bA;=- =3

29

^x=t‹에서 ;dDt {:=3t¤

y=at¤ +1에서 ;dDt }:=2at ∴ ;dD[};= = t=1일 때 접선의 기울기가 ;2!;이므로

:™3Å:=;2!; ∴ a=;4#;

t=1일 때 x=1, y=;4&;이므로 접점의 좌표는 {1, ;4&;}

따라서 접선의 방정식은

y-;4&;=;2!; (x-1) ∴ y=;2!;x+;4%;

이 직선의 x절편은 -;2%;, y절편은 ;4%;이므로 삼각형의 넓이 S는 S=;2!;¥;2%;¥;4%;=;1@6%;

∴ 16S=25

30

``f(x)=ln x+4, g (x)=e≈ —› 이라 하면 y=f(x)와 y=g(x) 는 서로 역함수 관계이고 두 함수는 y=x에 대하여 대칭이다.

이때, 직선 y=-x+k와 y=x가 수직이므로 직선 y=-x+k 와 두 함수 y=f(x)와 y=g (x)가 만나는 두 점 사이의 거리가 최대가 되기 위해서는 직선 y=-x+k와 y=f(x), y=g (x) 가 만나는 점에서 접선의 기울기가 1이어야 한다.

f '(x)=;[!;=1㉠㉠∴ x=1 g '(x)=e≈ —› =1㉠㉠∴ x=4

따라서 두 점 (1, 4), (4, 1)을 지나는 직선의 방정식은 y=-x+5이므로 구하는 k의 값은 5이다.

31

삼각형 APB의 넓이가 최대가 되기 위해서는 점 P와 직선 AB 사이의 거리가 최대가 되어야 한다. 즉, 접선은 직선 AB와 평행 이어야 하므로 접선의 기울기는 -;2!;이다.

y=sin x+1에서 y'=cos x이므로 점 P(a, b)에서의 접선의 기울기는

cos a=-;2!;

0<a…p이므로 a=;3@;p

2a 3t 2at

3t¤

-14 :¡3¢:

-3 -9 2¥1-2¥5+1¤ ¥5 (2-1¤ )(1-2¥5)

2x-2y+x¤ y (2-x¤ )(x-2y)

01

``f(x)=e—≈ (x-1)에서 f '(x)=-e—≈ (x-1)+e—≈

=e—≈ (2-x)

f '(x)=0에서 x=2 (∵ e—≈ >0)

함수`` f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 f(x)는 x=2에서 극대이고 극댓값은 f(2)=

02

``f(x)=ln x-;[@;-x에서

f '(x)= + -1=

f '(x)=0에서 -x¤ +x+2=0 (x-2)(x+1)=0㉠㉠

∴ x=-1 또는 x=2 x>0이므로 x=2

x>0에서 함수 ``f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 f(x)는 x=2에서 극대이고 극댓값은 f(2)=ln 2-3

∴ a+m=2+ln 2-3=ln 2-1

03

``f(x)=cos 2x-2 cos x에서 f '(x)=-2 sin 2x+2 sin x f '(x)=-4 sin x cos x+2 sin x f '(x)=2 sin x(-2 cos x+1) f '(x)=0에서

sin x=0또는 cos x=;2!;

∴ x=p 또는 x= 또는 x=;3%;p (∵ 0<x<2p)

0<x<2p에서 함수 ``f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음 과 같다.

p 3

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