적분과 미분의 관계

1 lim x-2

x⁄2

0 x

x x

0 x

ln 9 x

ln 9

01

①

02

①

03

;2!;

04

③

15

본문085쪽

05

:)1 t f(t)dt=A라 하면 ``f(x)=e^x¤+A이므로 A=:)1 t f(t)dt=:)1 t(e^t¤+A)dt

A=:)1 te^t¤dt+:)1 At dt=:)1 te^t¤dt+A[;2!; t¤ ]1)

A=:)1 te^t¤dt+ ㉠㉠yy`㉠

:)1 te^t¤dt에서 t¤ =x로 놓으면 2t= 이고 t=0일 때 x=0, t=1일 때 x=1이므로 :)1 te^t¤dt=:)1 dx=[ ]1)=;2E;-;2!;

㉠에서 A=;2E;-;2!;+ 이므로

=;2!;(e-1)㉠㉠∴ A=e-1

06

:)/ ``f(t)dt=e≈ +ax+a의 양변에 x=0을 대입하면 0=1+a㉠㉠∴ a=-1

:)/ f(t)dt=e≈ +ax+a의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=e≈ +a=e≈ -1

∴ ``f(ln 2)=e^{ln 2}-1=1

07

:!/ f(t)dt=x¤ -a'x㉠㉠yy㉠

㉠에 x=1을 대입하면 0=1-a에서 a=1 또, ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면

f(x)=2x-∴ ``f(1)=2-;2!;=;2#;

08

^F(x)=:)/ f(t)dt이므로 F'(x)=f(x), F(0)=0 f(x)=x‹ -3x+a에서

f '(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1

따라서 F'(x)=f(x)는 x=-1 또는 x=1일 때 극값을 가진다.

한편, 함수 F(x)가 오직 하나의 극값을 가지려면

y=F(x)의 그래프의 개형이 다음 두 그래프 중 하나와 같아야 한다.

O 1

-1 x

O 1

-1 x

y=F(x) y=F(x)

1 2'åx A

A 2

e≈

2 e≈

dx dt A

05

④

06

①

07

②

08

②

09

④

10

①

11

12

13

⑤

본문085`~`086쪽

이때, F(x)가 오직 하나의 극값을 가지려면 f(-1)…0또는`` f(1)æ0이어야 하므로 f(-1)…0에서 a…-2,`` f(1)æ0에서 aæ2 따라서 양수 a의 최솟값은 2이다.

[다른 풀이]

F(x)=:)/ f(t)dt이므로 F'(x)=f(x), F(0)=0

F(x)가 오직 하나의 극값을 가지므로 F'(x), 즉`` f(x)의 부호 가 오직 한 번 변해야 한다.

따라서 삼차함수`` f(x)가 x축과 오직 한 번 만나거나 x축과 접해 야 한다.

f(x)=x‹ -3x+a에서 f'(x)=3x¤ -3=3(x-1)(x+1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1

즉, 부등식`` f(1)_f(-1)æ0이 성립해야 하므로 (-2+a)(2+a)æ0㉠㉠∴ a…-2 또는 aæ2 따라서 양수 a의 최솟값은 2이다.

09

조건 ㈏에서 cos x:)/ f(t) dt=-sin x:

;2“;

f(t) dt 양변을 x에 대하여 미분하면

-sin x:)/ f(t) dt+cos x¥f(x)

=-cos x:

;2“;

f(t) dt-sin x¥f(x) 등식의 양변에 x=;4“;를 대입하면

- :)^;4“;f(t) dt+ f`{;4“;}

=- :

;2“;

;4“;f(t) dt- f`{;4“;}

∴ '2 f`{;4“;}= :)^;4“;f(t) dt+ :

;4“;

;2“;f(t) dt

∴ '2 f`{;4“;}= :)^;2“; f(t) dt

∴ '2 f`{;4“;}= {∵ :)

;2“;f(t) dt=1}

∴ f`{;4“;}=;2!;

10

^f(x)= : f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)= f(x+1)

∴ ``f(x+1)= f '(x)㉠㉠yy`㉠

∴ p¤:)1 x f(x+1)dx=p¤ :)1 x f '(x)dx

∴ p¤:)1 x f(x+1)dx=2p:)1 x f '(x)dx

∴ p¤:)1 x f(x+1)dx=2p[[x f(x)]1)-:)1 f(x)dx]

∴ p¤:)1 x f(x+1)dx=2p [ f(1)-:)1 f(x)dx]

y=f(x)의 그래프가 연속이고, 원점에 대하여 대칭이므로 f(0)=0이고`` f(-1)=-f(1)=-1

2 p 2

p p 2

x+1

p 2

'2 2 '2

이때, x=t+1로 놓으면 1= 이고, x=0일 때 t=-1, x=1일 때 t=0이므로

:)1 f(x)dx=:_0! f(t+1)dt

:)1 f(x)dx=:_0! f '(t)dt= :_0! f'(t)dt (∵ ㉠) :)1 f(x)dx= { f(0)-f(-1)}=

∴ p¤:)1 x f(x+1)dx=2p{1- }=2(p-2)

11

^F(x)=:)/ t f(x-t)dt (xæ0)에서 x-t=y로 놓으면 -1= 이고, t=0일 때 y=x, t=x일 때 y=0이므로

F(x)=:?0 (x-y)f(y)(-1)dy=:)/ (x-y)f(y)dy F(x)=x:)/ f(y)dy-:)/ y f(y)dy

양변을 x에 대하여 미분하면

F'(x)=:)/ f(y)dy+x f(x)-x f(x)=:)/ f(y)dy 위의 식에 x=a를 대입하면

F'(a)=:)a f(y)dy=:)a dy F'(a)=[ln |1+y|]a)=ln (a+1) ln (a+1)=ln 10이므로 a=9

12

^F(x)=:)/ f(t) dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x)=f(x)

F(g(x))=;2!;F(x)의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(g(x))¥g`'(x)=;2!;F'(x)

즉, `f(g(x))¥g`'(x)=;2!; f(x)이므로

`f(g(2))¥g`'(2)=;2!; f(2)=;2!;¥8=4 yy`㉠

한편, f(x)=3x¤ -6x+8이므로 F(x)=:)/ f(t) dt

F(x)=:)/ (3t¤ -6t+8) dt F(x)=[t‹ -3t¤ +8t]/) F(x)=x‹ -3x¤ +8x

∴ F(g(2))=;2!;F(2)=;2!;(8-12+16)=6 g(2)=k라 하면 F(k)=6이므로

k‹ -3k¤ +8k=6 (k-1)(k¤ -2k+6)=0

∴ k=1

즉, g(2)=1을 ㉠에 대입하면 f(1)¥g`'(2)=4

1 1+y dy dt

2 p

2 p 2

dt dx

유형`15. 적분과 미분의 관계

55

∴ g`'(2)= =;5$;=p

∴ 30p=30¥;5$;=24

13

`f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면

[ :!^x+1f(t)dt]

= [ {F(x+1)-F(1)}]

= [(x¤ +1)_ ]

= (x¤ +1)_

=(0+1)_F'(1)=1_f(1)

=f(1)=3

f(x)=a cos(px¤ )에서 f(1)=a cos p=-a=3 이므로 a=-3이고 `f(x)=-3 cos(px¤ )

∴ f(a)=f(-3)=-3 cos(9p)

=-3_(-1)=3

14

: f(t)dt=a라 하면 f(x)=sin x+ 이므로 a=: f(t)dt

a=: {sin t+ }dt a=[-cos t+ ]

a=-cos ;2“;+;2A;-(-cos 0)=;2A;+1

∴ a=2

따라서 f(x)=sin x+ 이므로

: f(x) dx=: {sin x+ } dx=[-cos x+ x]

=-cos p+2-(-cos 0)=4

15

^f(x)=pe≈:A/ cos(pt)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=pe≈:A/ cos(pt)dt+pe≈ cos px=f(x)+pe≈ cos px f(0)=;2!;이므로 양변에 x=0을 대입하면

f '(0)=f(0)+p=p+;2!;

p 0

2 p 2

p 0 p

2 p

;2“;

at p a p

;2“;

a p

;2“;

F(x+1)-F(1) lim x

x⁄0

limx⁄0

F(x+1)-F(1) lim x

x⁄0

x¤ +1 lim x

x⁄0

x¤ +1 lim x

x⁄0

4 f(1)

14

15

⑤

16

⑤

17

④

18

19

②

본문087쪽

16

:)0 f(t)dt=0이므로 주어진 식에 x=0을 대입하면 cos 0-a_0¤ +a=0 ∴ a=-1

:)/ f(t)dt=cos 2x+x¤ -1의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=-2 sin 2x+2x

∴ f(p)=-2 sin 2p+2p=2p

17

:)/ f(t)dt=e≈ +x-1의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=e≈ +1

따라서 ``f(2x)=e¤ ≈ +1이므로

:)1 f(2x)dx=:)1 (e¤ ≈ +1)dx=[;2!; e¤ ≈ +x]1) :)1 f(2x)dx={;2!; e¤ +1}-{;2!;+0}

:)1 f(2x)dx=;2!;(e¤ +1)

18

:!/ f(t)dt=100-xf(x)에 x=1을 대입하면 :!1 f(t)dt=100-f(1)=0 ∴ f(1)=100

:!/ f(t)dt=100-xf(x)의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=-f(x)-xf '(x), 2f(x)=-xf'(x)

=- (∵ f(x)>0, x>0)

∴ ln f(x)=-2 ln x+C (단, C는 적분상수) ln f(1)=-2 ln 1+C에서 C=ln 100 즉, ln f(x)=-2 ln x+ln 100에서 ln f(x)=ln ∴ f(x)=

∴ f(2)= =25

19

함수 f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면 :!/ f(t)dt

= :!/ f(t)dt

= _ :!/ f(t)dt

=;2!;_

=;2!;F'(1)=;2!; f(1)

f(x)=ln x+cos px이므로 f(1)=-1

∴ 1 :!/ f(t)dt=;2!; f(1)=-;2!;

x¤ -1 limx⁄1

F(x)-F(1) lim x-1

x⁄1

1 limx-1

x⁄1

1 lim x+1

x⁄1

1 (x+1)(x-1) limx⁄1

1 x¤ -1 limx⁄1

100 4

100 x¤

2 x f '(x)

f(x)

01

곡선 y=e-e≈ 과 x축이 만나는 점의 x좌표는 e-e≈ =0에서

e≈ =e

∴ x=1

따라서 구하는 넓이는 :)1 (e-e≈ )dx

=[ex-e≈ ]1)=1

02

구하는 넓이를 S라 하면 S=:)1 x"√1-x¤ dx

이때, "√1-x¤ =t로 놓으면 1-x¤ =t¤ 에서 -2x=2t

∴ x=-t

x=0이면 t=1, x=1이면 t=0이므로 구하는 넓이 S는 S=:)1 x"√1-x¤ dx

S=:!0 t(-t)dt S=:)1 t¤ dt S=[ t‹ ]1) S=;3!;

03

곡선 y=x cos x와 x축이 만나는 점의 x좌표는 x cos x=0에서 x=0 또는 cos x=0

∴ x=0 또는 x= 또는 x=;2#;p {∵ 0…x…;2#;p}

이때, 구간[0, ]에서

x cos xæ0, 구간[;2“;, ;2#;p]에서 x cos x…0이므로 구하는 넓이는 :)^;2;“x cos x dx+:

2;“

;2#;p`

(-x cos x)dx

=[x sin x]^;2;“) -:)^;2;“sin x dx-[x sin x]^;2#;p

;2;“

2;“

;2#; p

sin x dx

= +[cos x]^;2;“) +2p-[cos x]^;2#;p

;2;“

=;2%;p-1 p 2

O x

2p 3

2 p

y=x cos x p

2 p 2 1

3 dt dx dt dx

O 1

e-1

x y=e-e≈

01

③

02

④

03

④

04

②

05

④

06

⑤

16

본문089쪽

넓이 04

구하는 넓이를 S라 하면

S=:)2 ('∂ax -'∂bx )dx=:)2 {(ax)^;2!;-(bx )^;2!;}dx S=[ (ax)^;2#;- (bx)^;2#;]2)

S=[;3@;x'∂ax -;3@;x'∂bx]2)

S=;3$;'∂2a -;3$;'∂2b = ('ßa -'ßb ) ('ßa -'ßb )=;3*;에서 'ßa -'ßb ='ß2

05

sin x=sin 2x에서 sin x=2 sin x cos x sin x(2 cos x-1)=0

∴ sin x=0 또는 cos x=;2!;

∴ x=0 또는 x= 또는 x=p (∵ 0…x…p) 따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S=:)^;3;“(sin 2x-sin x)dx+:

;3;“» (sin x-sin 2x)dx S=[-;2!; cos 2x+cos x]^;3;“) +[-cos x+;2!; cos 2x]»

;3;“

S=;4!;+;4(;

S=;2%;

06

f (x)=ln x로 놓으면 f '(x)=;[!;

점 (e, 1)에서의 접선의 기울기는 f'(e)=;e!;이므로 접선의 방정식은

y-1=;e!;(x-e) y=;e!;x, 즉 x=ey y=ln x에서 x=e ¥

따라서 구하는 넓이는

:)1 (e¥ -ey)dy=[e¥ - y¤ ]1) :)1 (e¥ -ey)dy=e-2

2 e 2

O x 1

1 e

y=ln x y= e x1 p

O 1

-1

x p y=sin x

y=sin 2x 2 p

3 p 4'2

4'2 3 2 3b 2

07

④

08

④

09

③

10

③

11

③

12

③

13

①

14

③

15

②

16

①

17

①

18

②

19

⁹⁶

20

①

본문090`~`092쪽

유형`16. 넓이

57 07

^f(x)=: (x¤ -1)dx=;3!;x‹ -x+C (단, C는 적분상수)

f (0)=0이므로 `C=0

∴ f(x)=;3!;x‹ -x

∴ f(x)=;3!;x(x-'3 )(x+'3 )

따라서 곡선 `y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓 이는

: |;3!;x‹ -x|dx=2: {-;3!;x‹ +x} dx : |;3!;x‹ -x|dx=2[-;1¡2;x› +;2!;x¤ ] : |;3!;x‹ -x|dx=2 {-;1ª2;+;2#;}

: |;3!;x‹ -x|dx=-;2#;+3=;2#;

08

주어진 조건에 의하여

;2!;:)1 {(-x› +x)-(x› -x‹ )} dx

=:)1 {(-x› +x)-(ax-ax¤ )} dx㉠㉠yy`㉠

좌변과 우변을 각각 계산하면 :)1 {(-x› +x)-(x› -x‹ )} dx

=:)1 (-2x› +x‹ +x)dx

=[-;5@;xﬁ +;4!;x› +;2!;x¤ ]1)

=-;5@;+;4!;+;2!;=;2¶0;

:)1 {(-x› +x)-(ax-ax¤ )} dx

=:)1 (-x› +x-ax+ax¤ )dx

=[-;5!;xﬁ +;2!;x¤ - x¤ + x‹]1)

=-;5!;+;2!;- +

=- +;1£0;

이것을 ㉠에 대입하면

;2!;¥;2¶0;=- +;1£0;

- =-;8!;

∴ a=;4#;

09

:) cos 2xdx=2_ _a= a

:) cos 2xdx=[ sin 2x]) `= sin =;4!;

이므로 a=;4!;

∴ a=;4!;_ = 3 2p 6 p p 6

p 6 1 2

1 12

p 12

p 6 p

p 12

a 6

a 6 a 6

a 3 a 2

0 '3

-'3

0 x

y=f(x)

' 3 ' 3

-10

곡선 y=|sin 2x|+1과 x축 및 두 직선 x= , x= 로 둘러싸인 부분은 그림과 같다.

따라서 구하는 넓이는 4:

;4“;

;2“;(sin 2x+1)dx=4[-;2!; cos 2x+x]

;4“;

;2“;

;4“;

;2“;(sin 2x-1)dx=4[{;2!;+ }- ]=p+2

11

그림에서 함수 y=e≈ 의 그래프와 x축, y축 및 직선 x=1로 둘러싸인 영역의 넓이를 S라 하면

S=:)1 e≈ dx S=[e≈ ]1)=e-1

넓이 S는 y=ax에 의하여 이등분되므로 이등분된 영역 중 직선 y=ax의

아래 부분의 넓이는

;2!;_1_a=;2!; (e-1) ∴ a=e-1

12

두 곡선이 만나는 점의 x좌표는 xe≈ =e≈에서 (x-1)e≈ =0

∴ x=1

따라서 A, B의 넓이는 a=:)1 (e≈ -xe≈ )dx a=:)1 (1-x)e≈ dx a=[(1-x)e≈ ]1)+:)1 e≈ dx a=(-1)+e-1

a=e-2

b=:!2 (xe≈ -e≈ )dx b=:!2 (x-1)e≈ dx b=[(x-1)e≈ ]2!-:!2 e≈ dx b=e¤ -(e¤ -e)

b=e

∴ b-a=e-(e-2)=2

13

A의 넓이와 B의 넓이가 같으므로 두 직선 y=-2x+a와 x=1 및 x축, y축으로 둘러싸인 영역의 넓이와 곡선 y=e^2x과 직선 x=1및 x축, y축으로 둘러싸인 영역의 넓이가 같다.

두 직선 y=-2x+a와 x=1 및 x축, y축으로 둘러싸인 영역의 넓이는

O 1

1 2 x

y=e≈

y=xe≈

A B y

O 1

1 x

y=e≈

x=1 y=ax p

4 p 2 y

O 1

x y=|sin 2x|+1

x=4

p x=4 5p

5p 4 p 4

:)1 (-2x+a)dx=[-x¤ +ax]1)

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