우석대학교 에너지전기공학과

미적분학

강의 (24)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

3-1. 구분구적법  원의 면적: 그림에서 원에 내접하는 다각형면적의 합은 다각형이 많을 수록 원의 면적에 근접.  다각형면적의 합을 𝑠_𝑛 , 다각형 밑변의 합을 𝑙_𝑛이라 하면, _{𝑠𝑛 = ∆𝑂𝐴𝐵 × 𝑛 =} 1 2 ∙ 𝐴𝐵 ∙ ℎ ∙ 𝑛 = 1 2ℎ(𝑛 ∙ 𝐴𝐵) 𝑙_𝑛 = 𝑛 ∙ 𝐴𝐵  여기서, 𝑛 → ∞ 이면, _{𝑙𝑛 → 2𝜋𝑟 & ℎ → 𝑟} ∴ lim 𝑛→∞𝑠𝑛 = lim𝑛→∞ 1 2ℎ ∙ 𝑙𝑛 = 1 2𝑟 ∙ 2𝜋𝑟 = 𝜋𝑟 2 _{= 𝑠}  구분구적법  주어진 도형을 충분히 작은 𝑛 개의 도형으로 세분화하여 그 도형에 근사 시키고,  세분된 기본 도형들의 면적을 합한 근사값의 극한을 취하여 면적 또는 체적을 구하는 방법 3-2. 정적분의 정의  함수 𝑓 𝑥 가 구간 [𝑎, 𝑏] 에서 𝑥 축과 이루는 도형의 면적을 함수 𝑓 𝑥 의 𝑎 에서

b

까지의 정적분 이라 함.  lim 𝑛→∞𝑠𝑛 = lim𝑛→∞ ∆𝑥 · 𝑓(𝑥𝑘) 𝑛 𝑘=1 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑜 𝑟 𝐴 𝐵 ℎ 𝒔_𝟏 𝒔_𝟐 𝒔_𝒏 <지난 시간 강의복습> 𝑠_𝑛 = 1 2ℎ ∙ 𝑙𝑛 0 𝑥 𝑥 𝑥 … 𝑥 𝑓 𝑥 𝑏 𝑎

3 4. 정적분의 계산 4-1. 정적분의 기본 정리 (1) _{𝑓 𝑥}𝑎 𝑎 𝑑𝑥 = 0 (예시) _3𝑥11 2 + 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 ₁1 = 1 + 1 − 1 + 1 = 0 (2) _{𝑓 𝑥}𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = − 𝑓 𝑥 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 (예시) _3𝑥2 2 _{+ 2𝑥} 1 𝑑𝑥 = 𝑥 3 _{+ 𝑥}2 12 = 23 + 22 − 13 + 12 = 10 3𝑥1 2 _{+ 2𝑥} 2 𝑑𝑥 = 𝑥 3 _{+ 𝑥}2 2 1 _{= 1}3 _{+ 1}2 _{− 2}3 _{+ 2}2 _{= −10} 4-2. 정적분의 기본 공식 (1) _𝑘𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑘 𝑏 − 𝑎 , 𝑘 = 상수 (2) _{𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥)}𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 (3) _{𝑓 𝑥}𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑐 𝑎 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑏 𝑐 𝑑𝑥 4. 정적분의 계산

예시) 다음의 정적분을 구하라 (1) _(2𝑥2 2 _{+ 3𝑥 + 1)} 1 𝑑𝑥 − 2𝑥 2 _{+ 𝑥 + 1} 2 1 𝑑𝑥 = 2𝑥 2 1 𝑑𝑥 = [𝑥 2_] 1 2 _{= 2}2 _{− 1}2 _{= 3} (2) _𝑥2 1 𝑑𝑥 + 𝑥 3 2 𝑑𝑥 = 𝑥 3 1 𝑑𝑥 = 𝑥2 2 1 3 = 32 2 − 1 2 = 4 (3) _{𝑥 − 1}2 0 𝑑𝑥  𝑥 − 1 = − 𝑥 − 1 , (0 ≤ 𝑥 ≤ 1) 𝑥 − 1 , (1 ≤ 𝑥 ≤ 2)  𝑥 − 1₀2 𝑑𝑥 = − (𝑥 − 1)₀1 𝑑𝑥 + (𝑥 − 1)₁2 𝑑𝑥 = −𝑥2 2 + 𝑥 ₀ 1 + 𝑥2 2 − 𝑥 ₁ 2 = −1 2 + 1 + 4 2− 2 − 1 2− 1 = 1 −1 0 ₁ 2 1 𝑦 = − 𝑥 − 1 𝑦 = 𝑥 − 1

5 (4) 2𝜋 _{𝑠𝑖𝑛 𝑥} 0 𝑑𝑥  𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 , (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋) −𝑠𝑖𝑛 𝑥 , (𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋)  ₀2𝜋 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥₀𝜋 𝑑𝑥 − _𝜋2𝜋 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥

= − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ₀𝜋 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 _𝜋2𝜋 = − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 0 + 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = − −1 − 1 + 1 + 1 = 2 + 2 = 4 4. 정적분의 계산  𝑠𝑖𝑛 𝜃 주기: 2𝜋  크기: −1 ≤ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ≤ 1  𝑐𝑜𝑠 𝜃 주기: 2𝜋  크기: −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ≤ 1 0 𝑦 = 1 𝑥 𝑦 𝑝(𝑥, 𝑦) 𝜽 𝑦 = −1

∙

𝑥 = −1 𝑥 = 1 0 0 𝜋 2𝜋 1 −1 𝜋 2 3𝜋 2 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜃 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃