8. 운동량과 충돌

8.1 선운동량

8.2 분석 모형: 고립계 (운동량)

8.3 분석 모형: 비고립계 (운동량)

8.4 일차원 충돌

8.5 이차원 충돌

8.6 질량 중심

8.7 입자계 운동

8장. 운동량과 충돌

숭실대학교 일반물리 강의자료 최신대학물리학 5판, Serway & Jewett 북스힐

0

12 21

+ F

=

F

m

₁

a

₁

+ a

m

_{2 2}

=

0

0

2 2 1 1

+

=

dt

d

m

dt

d

m

v

v

( 1 1) + ( 2 2) = 0 dt m d dt m d v v

0

)

(

m

₁

v

₁

+

m

₂

v

₂

=

dt

d

일정

=

+

_{2 2} 1 1

v

m

v

m

두 입자 계

보존되는 양

뉴턴의 제3법칙

8.1 선운동량

Linear Momentum

속도

_v

로 움직이는 질량

_m

인 입자나 물체의 선운동량(linear momentum)

v

p

≡

m

(벡터량)

단위: kg · m/s

뉴턴은 이 양을

운동의 양(quantity of motion)

이라고 표현

운동을

멈추게 하기 어려운 정도

dt

d

dt

m

d

dt

d

m

m

a

v

v

p

F

=

=

=

=

∑

(

)

입자의 선운동량과 입자에 작용하는 힘 사이의 관계

dt

dp

F

=

∑

(제2법칙의 일반화된 형태)

0

)

(

m

₁

v

₁

+

m

₂

v

₂

=

dt

d

0

)

(

p

₁

+ p

₂

=

dt

d

일정

=

+

=

p

₁

p

₂

p

_tot f f i i 2 1 2 1

p

p

p

p

+

=

+

전체 운동량이 보존되므로 각 성분별로도 보존된다.

fz fz iz iz fy fy iy iy fx fx ix ix

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

₁

+

₂

=

₁

+

_{2 1}

+

₂

=

₁

+

_{2 1}

+

₂

=

₁

+

₂

선운동량 보존 법칙

고립된 계에 있는 두 입자 혹은 더 많은 입자가 상호 작용할

때, 이들 계의 전체 운동량은 항상 일정하게 유지된다.

두 입자 계에서

8.2 분석 모형: 고립계 (운동량)

지구의 운동 에너지를 실제로 무시할 수 있는가? 예제 8.1 지표면으로 정지 해있던 공이 떨어진다고 상상하자. 6.6절에서 지구와 낙하하는 공으로 구성된 계의 에너지를 생각할 때 지구 의 운동 에너지는 무시할 수 있다고 주장했다. 이 주장을 증명하라. 공이 어떤 거리 동안 떨어진 후의 지구와 공의 속력:

v v

_E

,

공의 운동 에너지에 대한 지구의 운동 에너지 비 2 2 1 2 2 1 2 E E E E E b b b b b

M v

K

M

v

K

m v

m

v





=

=

_

_





b v E v b m 운동량 보존 법칙에 의해

0

E E b b

m v

+

m v

=

E b b E

m

v

v

= −

M

2 E E E b b b

K

M

v

K

m

v





=

_

_





2 b E b E

m

M

m

M













b E

m

M

=

24 25

5.97 10 kg ~ 10 kg,

~ 1kg .

E b

M

=

×

m

25 25

1kg

~

10

10 kg

−

=

활 쏘는 사람 예제 8.2

m

₁=60 kg의 궁수가 마찰이 없는 얼음 위에 서서

m

₁=0.50 kg의 화살을 수평 방 향으로 50m/s로 쏘았다. 화살을 쏜 후에 반대 방향으로 궁수가 얼마의 속도로 얼음 위에서 미끄러지는가? 만일 화살을 수평선상에서 각

θ

인 방향으로 쏘았다면 궁수의 반동 속도는 어떻게 될까?

0

2 2 1 1 f

+

m

f

=

m

v

v

m/s

ˆ

42

.

0

)

m/s

ˆ

50

(

kg

60

kg

50

.

0

2 1 2 1

i

i

v

v

−

=













−

=

−

=

_f f

m

m

0

cos

2 2 1 1

v

f

+

m

v

f

θ

=

m

θ

cos

2 1 2 1f

v

f

m

m

v

=

−

x방향에서 운동량 보존을 고려하면

d

dt

Σ =

F

p

d

p

= Σ

F

dt

f i t f i _t

dt

∆ =

p

p

−

p

=

∫

Σ

F

f i t t

dt

≡

∫

Σ

I

F

충격량(Impulse)

I

p

=

∆

충격량-운동량 정리

1

(

)

f i t avg _t

dt

dt

t

Σ

≡

Σ

∆

∫

F

F

I

= Σ

(

F

dt

)

_avg

∆

t

t

= Σ ∆

I

F

작용하는 힘이 일정한 경우

8.3 분석 모형: 비고립계 (운동량)

충돌한 후 서로 붙어서 함께 운동

◈완전 비탄성 충돌(Perfectly Inelastic Collisions)

f i i

m

m

m

m

₁

v

₁

+

₂

v

₂

=

(

₁

+

₂

)

v

1 1 2 2 1 2 i i f

m v

m v

v

m

m

+

=

+

탄성 충돌(elastic collision) 비탄성 충돌(inelastic collision) 계의 운동 에너지 보존 계의 운동 에너지 비보존 운동량 보존 법칙에 의해 1 1i 2 2i

(

1 2

)

f

m v

+

m v

=

m

+

m v

◈탄성 충돌(Elastic Collisions)

f f i i

m

v

m

v

m

v

v

m

_{1 1}

+

_{2 2}

=

_{1 1}

+

_{2 2} 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 f f i i

m

v

m

v

m

v

v

m

+

=

+

운동량 보존 법칙에 의해 탄성 충돌 ⇒ 운동 에너지도 보존

)

(

)

(

₁2 ₁2 _{2 2}2 ₂2 1

v

i

v

f

m

v

f

v

i

m

−

=

−

)

)(

(

)

)(

(

_{1 1 1 1 2 2 2 2 2} 1

v

i

v

f

v

i

v

f

m

v

f

v

i

v

f

v

i

m

−

+

=

−

+

)

(

)

(

_{1 1 2 2 2} 1

v

i

v

f

m

v

f

v

i

m

−

=

−

i f f i

v

v

v

v

₁

+

₁

=

₂

+

₂ i i f i i f

v

m

m

m

m

v

m

m

m

v

v

m

m

m

v

m

m

m

m

v

2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1

2

2













+

−

+













+

=













+

+













+

−

=

∴

)

(

_{1 2} 2 1f

v

f

v

i

v

i

v

−

=

−

−









−

−

=

−

+

=

+

)

(

_{1 2} 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 i i f f i i f f

v

v

v

v

v

m

v

m

v

m

v

m

특별한 경우로서,

m

₂

가 정지해 있던 경우(

_v

_2i

=0

)

i f i f

v

m

m

m

v

v

m

m

m

m

v

₁ 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1

2













+

=













+

−

=

A) m₁ = m₂인 경우,

v

1f

=

0

v

2f

=

v

1i B) m₁ >> m₂인 경우,

v

_1f

≅

v

_1i

v

_2f

≅

2

v

_1i C) m₁ << m₂인 경우,

_v

_1f

≅

−

_v

_1i

_v

_2f

≅

₀

i i f i i f

v

m

m

m

m

v

m

m

m

v

v

m

m

m

v

m

m

m

m

v

₂ 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1

2

2













+

−

+













+

=













+

+













+

−

=

자동차 충돌 사고 예제 8.6 신호등 앞에 정지해 있던 질량 1,800 kg인 대형차를 뒤에서 질량 900 kg인 차가 들이받았다. 두 자동차는 엉겨붙어서 처음 움직이던 자동차와 같은 방향으로 움 직였다. 만일 소형차가 충돌 전에 20.0 m/s로 움직였다면, 충돌 후에 엉겨붙은 자동차들의 속도를 구하라 1

900kg, 1,800kg, 20.0m/s,

2 1i 2i

0,

f 1f 2f

m

=

m

=

v

=

v

=

v

=

v

=

v

1 1i 2 0 ( 1 2) f m v + m ⋅ = m + m v 1 1 1 2 900kg (20.0m/s) 6.67m/s 1800kg 900kg f i m v v m m = = = + + 운동량 보존 법칙에 의해

용수철이 개입된 두 물체의 충돌 예제 8.8 마찰이 없는 수평면에서 오른쪽으로 4.00 m/s의 속력으 로 움직이는 질량 m₁=1.60 kg인 물체 1이 왼쪽으로 2.50 m/s의 속력으로 움직이는 용수철이 달린 질량 m₂=2.10 kg인 물체 2와 충돌한다. 용수철 상수는 k=600 N/m이다. (A) 충돌 후 두 물체의 속도를 구하라 1 2 1 2 m u + m v = m u′+ m v′ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 m u + 2 m v = 2 m u′ + 2 m v′ 1( ) 2( ) m u −u′ = m v′−v 2 2 2 2 1( ) 2( ) m u −u′ = m v′ −v u +u′ = +v′ v 2 1 1 2 2 (m + m u) ′ = (m − m u) + 2m v 1 2 1 2 m u m v m u m v u v u v ′+ ′ = +   ′ ′− = − +  1 2 1 2 2 2 2 2 m u m v m u m v m u m v m u m v ′+ ′ = +   _{′− ′ = − +}  1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 ( ) 2 ( ) 2 m m u m v u m m m m v m u v m m − +  ′ =  ₊   _{− +}  ′ =  +  용수철 힘이 보존력이기 때문에 이 충돌은 탄성 충돌 운동량 보존 운동 에너지 량 보존 (1) (2) 식 (2)를 (1)로 나누면 (3) 식 (1)과 (3)을 정리하면 연립해서 풀면 (1.6 2.1)(4) 2(2.1)( 2.5) m/s 1.6 2.1 u′ = − + − + (2.1 1.6)( 2.5) 2(1.6)(4) m/s 1.6 2.1 v′ = − − + + 3.38 m/s = − 3.12 m/s =

. (B) 충돌 도중 물체 1이 오른쪽으로 속도 3.00 m/s로 움직이는 순간 물체 2의 속도를 구하라. (C) 그 순간 용수철이 압축된 거리를 구하라. (1.60kg)(4.00m/s) (2.10kg)( 2.5) (1.60kg)(3.00m/s) 2.10kg v′ = + − − 운동량 보존으로 부터 1.74 m/s = − 1 2 1 2 m u m v m u v m ′ + − ′ = 1 2 1 2 m u +m v = m u′+ m v′ 계에 대해 역학적 에너지 보존으로부터 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 m u + 2 m v + 2 k0 = 2 m u′ + 2 m v′ 2 kx 1.7m x =

2차원에서 충돌과 운동량 보존

충돌이 탄성충돌인 경우

m

₂

가 초기에 정지해있는 경우

fy fy iy iy fx fx ix ix

v

m

v

m

v

m

v

m

v

m

v

m

v

m

v

m

2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1

+

=

+

+

=

+

φ

θ

φ

θ

sin

sin

0

cos

cos

2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 f f f f i

v

m

v

m

v

m

v

m

v

m

−

=

+

=

2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 f f i

m

v

m

v

v

m

=

+

f f i i

m

m

m

m

₁

v

₁

+

₂

v

₂

=

₁

v

₁

+

₂

v

₂ m₁ = m₂ 일 때 2 2 2 1 1i 1 1f 2 2 f

m v

=

m v

+

m v

2

π

θ φ

∴ + =

8.5 이차원 충돌

Collisions in Two Dimensions

표적 구 가 정지해있고 m₁ = m₂ 일 때 충돌이 탄성충돌인 경우 1 1i 1 1f 2 2 f

m

v

=

m

v

+

m

v

2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 f f i

m

v

m

v

v

m

=

+

1

=

1f

+

2 f

v

v

v

2 2 2 1i 1f 2 f

v

=

v

+

v

1 1i

m v

1 1 f

m v

2 2 f

m v

1 1i

m v

1 1 f

m v

2 2 f

m v

θ

φ

θ φ

+

2

π

θ φ

∴ + =

교차로에서의 충돌 예제 8.10 1500 kg의 승용차가 25.0 m/s의 속력으로 동쪽으로 달리다가 북쪽으로 20.0m/s의 속력으 로 달리는 2500kg의 밴과 교차로에서 충돌하였다. 충돌 후 잔해물의 방향과 속도 에 대한 크기를 구하라. 두 대의 자동차는 충돌 후에 서로 붙어 있다고 가정한다. 완전비탄성충돌이므로

θ

θ

sin

)

(

cos

)

(

2 1 2 2 2 1 1 1 f i f i

v

m

m

v

m

v

m

m

v

m

+

=

+

=

m/s

kg

10

75

.

3

)

m/s

0

.

25

)(

kg

1500

(

4

⋅

×

=

=

∑

p

xi

∑

p

_xf

=

(

4000

kg

)

v

_f

cos

θ

( )

1

3

.

75

×

10

4

kg

⋅

m/s

=

(4000kg)

v

_f

cos

θ

( )

2

5

.

00

×

10

4

kg

⋅

m/s

=

(4000kg)

v

_f

sin

θ



1

.

53

33

.

1

10

75

.

3

10

00

.

5

tan

cos

(4000kg)

sin

(4000kg)

4 4

=

=

×

×

=

=

θ

θ

θ

θ

f f

v

v

(2)식을 (1)식으로 나누면

m/s

6

.

15

n53.1

(4000kg)si

m/s

kg

10

00

.

5

×

4

⋅

₌

=

_ f

v

m/s

kg

10

00

.

5

)

m/s

0

.

20

)(

kg

2500

(

=

×

4

⋅

=

∑

p

yi

∑

p

_yf

=

(

4000

kg

)

v

_f

sin

θ

질량 중심은 둘 이상의 입자로 이루어진 계를 하나의 입자로 다룰

수 있도록 해준다.

여러 개의 입자로 이루어진 3차원 계의 경우 2 1 2 2 1 1 CM

m

m

x

m

x

m

x

+

+

≡

n n n

m

m

m

m

x

m

x

m

x

m

x

m

x

+

+

+

+

+

+

+

+

≡





3 2 1 3 3 2 2 1 1 CM

∑

∑

∑

=

=

i i i i i i i i CM

m

x

M

m

x

m

x

1

두 입자로 이루어진 1차원 계의 경우

∑

=

i i i

x

m

M

∑

=

i i i

y

m

M

y

_CM

1

=

∑

i i i

z

m

M

z

_CM

1

∑

=

i i i

x

m

M

x

_CM

1

k

j

i

k

j

i

r

ˆ

1

ˆ

1

ˆ

1

ˆ

ˆ

ˆ

CM

∑

∑

∑

+

+

=

+

+

=

i i i i i i i i i CM CM CM

z

m

M

y

m

M

x

m

M

z

y

x

∑

≡

i i i

m

M

r

r

_CM

1

질량의 분포가 연속적인 경우

)

ˆ

ˆ

ˆ

(

r

_i

≡

x

_i

i

+

y

_i

j

+

z

_i

k

i i i

m

x

M

x

_CM

≈

1

∑

∆

∫

∑

∆

=

=

→ ∆

_M

x

m

_M

xdm

x

_i i i m_i

1

1

lim

0 CM

∫

=

ydm

M

y

_CM

1

=

∫

zdm

M

z

_CM

1

∫

=

dm

M

r

r

_CM

1

∫

=

xdm

M

x

_CM

1

대칭성을 갖고 있는 물체의 질량 중심은 대칭축

과 대칭면 위에 놓인다.

g가 위치에 무관하게 일정하다면, 중력 중심은 질량 중심과

일치한다.

물체에 작용하는 중력의 알짜 효과는 무게 중심(center of

gravity)이라 하는 한 점에 작용하는 단일 힘 Mg의 효과와 같다.

세 입자의 질량 중심 예제 8.11 계는 그림과 같이 위치하는 세 입자로 이루어져 있다. 계의 질량 중심을 구하라. m 75 . 0 4.0kg m kg 0 . 3 2.0kg 1.0kg 1.0kg ) 0 )( kg 0 . 2 ( ) m 0 . 2 )( kg 0 . 1 ( ) m 0 . 1 )( kg 0 . 1 ( 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 CM = ⋅ = + + + + = + + + + = =

∑

m m m x m x m x m x m M x i i i m 0 . 1 4.0kg m kg 0 . 4 .0kg 4 ) m 0 . 2 )( kg 0 . 2 ( ) 0 )( kg 0 . 1 ( ) 0 )( kg 0 . 1 ( 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 CM = ⋅ = + + = + + + + = =

∑

m m m y m y m y m y m M y i i i

m

)

ˆ

0

.

1

ˆ

75

.

0

(

ˆ

ˆ

CM

i

j

i

j

r

=

x

_CM

+

y

_CM

=

+

kg 3 kg, 1 ₃ 2 1 = m = m = m

질량 M의 입자계의 질량 중심

입자계의 전체 선운동량

∑

∑

=

=

=

i i i i i i CM CM

m

M

dt

d

m

M

dt

d

v

r

r

v

1

1

CM i i i i i tot

p

m

v

M

v

P

=

∑

=

∑

=

∑

∑

=

=

=

i i i i i i CM CM

m

M

dt

d

m

M

dt

d

a

v

v

a

1

1

∑

=

∑

=

i i i i i CM

m

M

a

a

F

질량 중심의 속도

∑

=

i i i

m

M

r

r

_CM

1

입자계의 가속도

i i i

m

a

=

F

계의 한 입자에 작용하는 힘 CM ext

Ma

F

=

∑

알짜 외력을 받아 운동하는 전체 질량 M인 계의 질량 중심의 궤적은 같은 힘을 받는 질량 M인 입자 한 개의 궤적과 동일하다.

계에 작용하는 알짜 외력이 0이면

0

=

=

dt

d

M

M

a

_CM

v

CM

상수

P

v

F

=

⇒

=

=

∑

_ext

0

M

CM tot 입자계에 작용하는 알짜 외력이 없다면 입자계의 전체 선운동량은 보존된다. ext i i i i i

m

a

=

F

=

F

int

+

F

∑

=

∑

=

i i i i i CM

m

M

a

a

F

계의 내부로부터 작용하는 힘 뉴턴의 제3법칙에 의해 내력은 쌍으로 서로 상쇄됨 계의 외부로부터 작용하는 힘

∑

∑

∑

=

+

i ext i i i i i

F

F

F

int

0

∑

=

F

_ext

로켓의 폭발 예제 8.13 로켓이 수직으로 발사되어 고도 1000m, 속력 300 m/s에 도달했을 때 같은 질량을 갖는 세 조각으로 폭발하였다. 폭발 후에 한 조각이 450 m/s의 속력으로 위쪽으로 움직이고, 다른 한 조각은 폭발후 동쪽으로 240 m/s의 속력으로 움직인다면, 폭발 직후 세 번째 조각의 속도를 구하라. (폭발 직후 또는 중력 무시) 폭발 전의 운동량

)

m/s

ˆ

300

(

j

v

P

_i

=

M

_i

=

M

f f

M

M

M

v

j

i

P

3

)

m/s

ˆ

450

(

3

)

m/s

ˆ

240

(

3

+

+

=

)

m/s

ˆ

450

(

3

)

m/s

ˆ

240

(

3

3

m/s)

ˆ

300

(

j

M

v

M

i

M

j

M

=

_f

+

+

m/s

)

ˆ

450

ˆ

240

(

i

j

v

=

−

+

∴

_f 폭발 후의 운동량 운동량 보존 법칙에 의해