11주차 : 비점성, 비압축성 유체(2)
수공학 연구실
6.3 오일러 운동방정식의 적분과 베르누이 방정식
: 속도수두 (velocity head) : 압력수두 (pressure head)
z : 위치수두 (elevation head) H : 총수두 (total head)
• 비압축성 유체라 가정하고 적분하면,
(1차원 베르누이 방정식)
• 기본가정 1. 정상흐름
2. 비압축성유체
3. 비점성(마찰없음)
4. 한 유선을 따르는 흐름
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예제 6.4 노즐흐름에의 적용
• 노즐입구면적 = 0.1 m2
• 노즐출구면적 = 0.04 m2
• 노즐출구속도 = 10 m/sec가 될 때의
• 단면 1에서의 압력은?
• 단면 1과 2에 베르누이 방정식을 적용하면
• 연속방정식을 이용하면,
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6.3.2 베르누이 방정식의 일반형
• 속도포텐셜 함수와 힘포텐셜 함수를 도입하면,
• 오일러의 운동방정식에 적용하면,
비회전 흐름에 대한 베르누이 방정식의 일반형
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예제 6.7】 역학적 에너지 보존법칙을 이용한 베르누이 방정식의 유도
ABCD로 구성되는 검사체적이 dt시간 동안 A`B`C`D`검사체적으로 이동하였 다고 가정할 때 두 체적이 갖고 있는 총 에너지는 동일하다.
에너지 손실이 없다고 가정하면 A`B`CD부분의 에너지는 공통이므로
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Ⅰ부분의 역학적 에너지 = Ⅱ부분의 역학적 에너지
그런데,
또,
① ①
예제 6.7】 역학적 에너지 보존법칙을 이용한 베르누이 방정식의 유도
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6.3.3 동수경사선과 에너지경사선
그림 6.5 동수경사선과 에너지경사선
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6.4 베르누이 방정식의 응용
➀ 오리피스
➁ 피토관 : 유속측정 (점유속)
➂ 벤추리미터 (관흐름) : 유량측정장치
➃ 비정상 유출
➄ 베르누이 방정식의 확장
예) 펌프와 터빈 (에너지를 고려한 경우)
작은 오리피스 큰 오리피스
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6.4.1 정상류 흐름의 응용
1. 소오리피스로부터의 유출
(이론 유속)
그림 6.6 오리피스에 의한 유출
대기압
무시 (수조의 단면적이 오리피스의 단면적에 비해서 상당히 크기 때문)
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6.4.1 정상류 흐름의 응용
(유속계수 ⅹ이론유속)
실제 분류는 분류지름의 몇 배 되는 거리에서 최소 단면을 갖는데 이 최소 수축 단면을 축류 (vena contracta)라 부름
(수축계수)= (최소단면의 단면적) / (오리피스 단면적)
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【예제 6.8】 소오리피스
➀
그림 E6.8
1
2
3
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분류의 직경 d를 수두 H와 수조로부터 수축단면까지의 거리 y로 표시하여라.
단면 ➀에서의 속도
오리피스로부터 만큼 떨어진 곳에서의 분류의 속도
【예제 6.9】 소오리피스
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이 지점에서의 유량은
연속방정식으로 부터 ⇒
d에 대해서 풀면
【예제 6.9】 소오리피스
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6.4.1 정상류 흐름의 응용
2. 피토관(pitot tube)
(양변에 물의 단위중량 를 곱하면 압력을 나타내는 항으로 표시할 수 있음.)
동압력 정압력 위치압력
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6.4.1 정상류 흐름의 응용
그림에서 점 O와 S에 베르누이정리를 적용
⇒ 정체점에서의 압력 = 정압력 + 동압력 ⇒ 총 압력
• 총압력과 정압력을 구하고 이것으로부터 점유속을
측정하는 장치를 피토관(Pitot tube)라 한다.
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6.4.1 정상류 흐름의 응용
하천
h
∆h
① ② ① ②
∆h
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【예제 6.12】 피토관
관속에 유속은?
➀
⇒
⇒
…………
그림 E6.12
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【예제 6.12】 피토관
……….
➁식을 ➀에 대입
➁
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6.4.1 정상류 흐름의 응용 (벤추리미터)
• 베르누이방정식을 적용하면
• 실제유량
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6.4.2 비정상류에의 응용
탱크의 수면이 임의 높이로 감소 시간
그림 6.12 수조로부터의 비정상 유출
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6.4.2 비정상류에의 응용
➀ 줄어드는 유량
➁ 오리피스를 통해 유출하는 유량
➂
➁ = ➂
➃ 수면의 강하속도
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6.4.2 비정상류에의 응용
➃식을 적분하면
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6.5 확장형 베르누이 방정식
→ : 유체의 단위 무게당에 대해서 펌프가 해준 일
→ : 단위무게의 유체가 터빈에 작용한 일
• 펌프에 의한 동력
(동력 : ) ) , 의 차원⇒
• 펌프의 효율
→ 이론동력
→ 실제동력
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6.5 확장형 베르누이 방정식
• 펌프의 실제 소요동력
• 터빈에 의한 동력
• 터빈의 효율
• 터빈으로부터 출력되는 실제동력
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펌프를 구동하는데 필요한 마력을 계산하여라. (펌프의 효율은 80%)
그림 E6.16
(탱크와 수조의 단면이 관의 단면보다 휠씬 크기 때문)
