8장. 운동량과 충돌

8장. 운동량과 충돌

8.1 선운동량

8.2 분석 모형: 고립계 (운동량) 8.3 분석 모형: 비고립계 (운동량) 8.4 일차원 충돌

8.5 이차원 충돌 8.6 질량 중심 8.7 입자계 운동

8.8 연결 주제: 로켓 추진

8.1 선운동량 Linear Momentum

12

0

21

 F 

F m

₁

a

₁

 m

₂

a

₂

 0

2

0

2 1

1

 

dt m d

dt

m d v v

) 0 (

)

(

_{1 1}



_{2 2}

 dt

m d dt

m

d v v

0 )

( m

₁

v

₁

 m

₂

v

₂

 dt

d

 일정



_{2 2}

1

1

v m v

m

두 입자 계

보존되는 양

뉴턴의 제3법칙

속도 v ^{로 움직이는 질량} m 인 입자나 물체의 선운동량(linear momentum)

v

p  m ^(벡터량) 단위: kg · m/s 뉴턴은 이 양을 운동의 양(quantity of motion)이라고 표현 운동을 멈추게 하기 어려운 정도

dt d dt

m d dt

m d

m v v p

a

F    

 ^{( )}

입자의 선운동량과 입자에 작용하는 힘 사이의 관계

dt F  dp

 (제2법칙의 일반화된 형태)

0 )

( m

₁

v

₁

 m

₂

v

₂

 dt

d ( p

₁

 p

₂

)  0

dt d

 일정



 p

₁

p

₂

p

_tot

f f

i

i 2 1 2

1

p p p

p   

전체 운동량이 보존되므로 각 성분별로도 보존된다.

fz fz

iz iz

fy fy

iy iy

fx fx

ix

ix

p p p p p p p p p p p

p

₁



₂



₁



_{2 1}



₂



₁



_{2 1}



₂



₁



₂

선운동량 보존 법칙

고립된 계에 있는 두 입자 혹은 더 많은 입자가 상호 작용할 때, 이들 계의 전체 운동량은 항상 일정하게 유지된다.

두 입자 계에서

8.2 분석 모형: 고립계 (운동량)

Analysis Model: Isolated System(Momentum)

지구의 운동 에너지를 실제로 무시할 수 있는가?

예제 8.1

지표면으로 정지 해있던 공이 떨어진다고 상상하자.

6.6절에서 지구와 낙하하는 공으로 구성된 계의 에너지를 생각할 때 지구 의 운동 에너지는 무시할 수 있다고 주장했다. 이 주장을 증명하라.

공이 어떤 거리 동안 떨어진 후의 지구와 공의 속력:

v v

_E

,

공의 운동 에너지에 대한 지구의 운동 에너지 비

2 2 1

2 1 2 2

E E

E E E

b b b b b

M v

K M v

K m v m v

 

   

 

v

b

v

E

m

b

운동량 보존 법칙에 의해

E E b b

0

m v  m v 

^{E b}

b E

m v

v   M

2

E E E

b b b

K M v

K m v

 

  

 

2 E b

b E

m M

m M

 

 

 

b E

m

 M

24 25

5.97 10 kg ~ 10 kg, ~ 1kg.

E b

M   m

25 25

~ 1kg 10 10 kg





활 쏘는 사람 예제 8.2

m

₁=60 kg의 궁수가 마찰이 없는 얼음 위에 서서

m

₁=0.50 kg의 화살을 수평 방 향으로 50m/s로 쏘았다. 화살을 쏜 후에 반대 방향으로 궁수가 얼마의 속도로 얼음 위에서 미끄러지는가?

만일 화살을 수평선상에서 각

θ

인 방향으로 쏘았다면 궁수의 반동 속도는 어떻게 될까?

2

0

2 1

1 _f

 m

_f



m v v

ˆ m/s 42 . 0

) ˆ m/s 50 kg (

60 kg 50 . 0

2 1 2 1

i

i v

v





 

 



 







_f

f

m

m

0

2

cos

2 1

1

v

_f

 m v

_f

  m



2

cos

1 2

1f

v

f

m v   m

x방향에서 운동량 보존을 고려하면

8.3 분석 모형: 비고립계 (운동량)

Analysis Model: Nonisolated System (Momentum

d

  dt p

F d p   F dt

f

i

t

f i

t

dt

  ^{p p}   ^p   ^F

f

i

t

t

dt

  

I F

충격량(Impulse)

I p 



충격량-운동량 정리

( ) 1

^f

i

t

avg t

dt dt

  t 

 

F F I   ( F dt )

_avg

 t

   t I F

작용하는 힘이 일정한 경우

8.4 일차원 충돌 Collisions in One Dimension

충돌한 후 서로 붙어서 함께 운동

◈완전 비탄성 충돌(Perfectly Inelastic Collisions)

f i

i

m m m

m

₁

v

₁



₂

v

₂

 (

₁



₂

) v

1 1 2 2

1 2

i i

f

m v m v

v m m

 



탄성 충돌(elastic collision) 비탄성 충돌(inelastic collision)

계의 운동 에너지 보존 계의 운동 에너지 비보존

운동량 보존 법칙에 의해

1 1_i 2 2_i

(

1 2

)

_f

m v  m v  m  m v

◈탄성 충돌(Elastic Collisions)

f f

i

i

m v m v m v

v

m

_{1 1}



_{2 2}



_{1 1}



_{2 2}

2 2 2 2

2 1 1 2 1

2 1 2 2 2

2 1 1 2 1

1

f f

i

i

m v m v m v

v

m   

운동량 보존 법칙에 의해

탄성 충돌 ⇒ 운동 에너지도 보존

) (

)

(

₁² ₁² _{2 2}² ₂²

1

v

i

v

f

m v

f

v

i

m   

) )(

( )

)(

(

_{1 1 1 1 2 2 2 2 2}

1

v

i

v

f

v

i

v

f

m v

f

v

i

v

f

v

i

m     

) (

)

(

_{1 1 2 2 2}

1

v

i

v

f

m v

f

v

i

m   

i f

f

i

v v v

v

₁



₁



₂



₂

i i

f

i i

f

m v m

m v m

m m

v m

m v m

v m m

m

m v m

2 2 1

1 2

1 2 1

1 2

2 2 1

2 1

2 1

2 1

1

2

2

 

 







 

 

 





 

 

 





 

 

 







 



) (

_{1 2}

2

1f

v

f

v

i

v

i

v    



 

















) (

_{1 2}

2 1

2 2 1

1 2

2 1

1

i i

f f

i i

f f

v v

v v

v m v

m v

m v

m

특별한 경우로서, m

₂

가 정지해 있던 경우( v _2i ^{=0 )}

i f

i

f

v

m m

v m m v

m

m

v m

₁

2 1

1 2

1 2 1

2 1

1

2 



 





 

 

 







 

A) m₁ = m₂인 경우,

v

_1f

 0 v

_2f

 v

_1i

B) m₁ >> m₂인 경우,

v

_1f

 v

_1i

v

_2f

 2 v

_1i

C) m₁ << m₂인 경우,

v

_1f

  v

_1i

v

_2f

 0

i i

f i

i

f

v

m m

m v m

m m

v m m v

m v m

m m

m

v m

₂

2 1

1 2

1 2 1

1 2

2 2 1

2 1

2 1

2 1

1

2

2  

 







 

 

 





 

 

 





 

 

 







 

완전 비탄성 충돌에서 운동 에너지 예제 8.5

충돌에서 처음 운동 에너지가 다른 에너지 형태로 변환되는 부분이 최대가 되는 경우 는 완전 비탄성 충돌이라고 한다. 이런 주장을 두 입자 일차원 충돌 문제에서 수학적 으로 증명하라.

충돌 전에 대한 충돌후의 운동 에너지 비

최대 에너지 변환에 대해

df du  / 0.

1 2

2 2

1 2

2 2 ( / )

m u m v dv du 0 df

du m u m v

   

 

 

1 2

dv 0

m u m v du

    



1 2 1 2

m u  m v  m u   m v 

운동량 보존 법칙에 의해

(1)

(2)

2 2

1 1

1 2

2 2

2 2

1 1

1 2

2 2

f i

K m u m v

f K m u m v

  

 



2 2

1 2

2 2

1 2

m u m v m u m v

  

 

식 (1)의 양변을 에 대해 미분하면

u 

1 2

0 dv

m m

du

  



1 2

m dv

du m

  



⁽³⁾

식 (3)을 식 (2)에 대입하면

2

1 2

2

m 0 m u m v

m

 

      

 

u  v 

 

(제외)

자동차 충돌 사고 예제 8.6

신호등 앞에 정지해 있던 질량 1,800 kg인 대형차를 뒤에서 질량 900 kg인 차가 들이받았다. 두 자동차는 엉겨붙어서 처음 움직이던 자동차와 같은 방향으로 움 직였다. 만일 소형차가 충돌 전에 20.0 m/s로 움직였다면, 충돌 후에 엉겨붙은 자동차들의 속도를 구하라

1

900kg,

2

1,800kg,

1_i

20.0m/s,

2_i

0,

_f 1_f 2_f

m  m  v  v  v  v  v

1 1_i 2

0 (

1 2

)

_f

m v  m   m  m v

1

1

1 2

900kg

(20.0m/s) 6.67m/s 1800kg 900kg

f i

v m v

m m

  

 

운동량 보존 법칙에 의해

용수철이 개입된 두 물체의 충돌 예제 8.8

마찰이 없는 수평면에서 오른쪽으로 4.00 m/s의 속력으 로 움직이는 질량 m₁=1.60 kg인 물체 1이 왼쪽으로 2.50 m/s의 속력으로 움직이는 용수철이 달린 질량 m₂=2.10 kg인 물체 2와 충돌한다. 용수철 상수는 k=600 N/m이다.

(A) 충돌 후 두 물체의 속도를 구하라

1 2 1 2

m u  m v  m u   m v 

2 2 2 2

1 1 1 1

1 2 1 2

2

m u 

2

m v 

2

m u  

2

m v 

1

( )

2

( )

m u  u   m v   v

2 2 2 2

1

( )

2

( )

m u  u   m v   v

u    u  v  v

2 1 1 2 2

( m  m u )   ( m  m u )  2 m v

1 2 1 2

m u m v m u m v u v u v

    

       



1 2 1 2

2 2 2 2

m u m v m u m v m u m v m u m v

    

       



1 2 2

2 1

2 1 1

2 1

( ) 2

( ) 2

m m u m v

u m m

m m v m u

v m m

 

  

 

   

  

 



용수철 힘이 보존력이기 때문에 이 충돌은 탄성 충돌 운동량 보존

운동 에너지 보존

(1)

(2) 식 (2)를 (1)로 나누면

(3) 식 (1)과 (3)을 정리하면

연립해서 풀면

(1.6 2.1)(4) 2(2.1)( 2.5) 1.6 2.1 m/s

u     



(2.1 1.6)( 2.5) 2(1.6)(4) 1.6 2.1 m/s

v     

 3.38 m/s

 

3.12 m/s



(B) 충돌 도중 물체 1이 오른쪽으로 속도 3.00 m/s로 움직이는 순간 물체 2의 속도를 구하라.

(C) 그 순간 용수철이 압축된 거리를 구하라.

(1.60kg)(4.00m/s) (2.10kg)( 2.5) (1.60kg)(3.00m/s) 2.10kg

v     

운동량 보존으로 부터

1.74 m/s

 

1 2 1

2

m u m v m u

v m

  

1 2 1 2

 

m u  m v  m u   m v 

계에 대해 역학적 에너지 보존으로부터

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2

2

m u 

2

m v 

2

k 0 

2

m u  

2

m v 

2

kx

1.7m

x 

8.5 이차원 충돌 Collisions in Two Dimensions

2차원에서 충돌과 운동량 보존

충돌이 탄성충돌인 경우

m

₂

가 초기에 정지해있는 경우

fy fy

iy iy

fx fx

ix ix

v m v

m v

m v

m

v m v

m v

m v

m

2 2 1

1 2

2 1

1

2 2 1

1 2

2 1

1





















sin sin

0

cos cos

2 2 1

1

2 2 1

1 1

1

f f

f f

i

v m v

m

v m v

m v

m









2 2 2 2

2 1 1 2 1

2 1 1 2 1

1

f f

i

m v m v

v

m  

f f

i

i

m m m

m

₁

v

₁



₂

v

₂



₁

v

₁



₂

v

₂

m

₁ = m₂ 일 때

2

  

  

2 2 2

1 1i 1 1f 2 2f

m v  m v  m v

수식적 증명) 표적구가 정지해있고 m₁ = m₂이며, 탄성충돌인 경우

1 1i 1 1f 2 2f

m v  m v  m v

2 2 2 2

2 1 1 2 1

2 1 1 2 1

1

f f

i

m v m v

v

m  

1



1f



2 f

v v v

2 2 2

1i 1f 2 f

v  v  v

m v

1 1i

1 1 f

m v

2 2 f

m v

m v

1 1i 1 1 f

m v

2 2 f

m v





  

2

  

  

교차로에서의 충돌 예제 8.10

1500 kg의 승용차가 25.0 m/s의 속력으로 동쪽으로 달리다가 북쪽으로 20.0m/s의 속력으 로 달리는 2500kg의 밴과 교차로에서 충돌하였다. 충돌 후 잔해물의 방향과 속도

에 대한 크기를 구하라. 두 대의 자동차는 충돌 후에 서로 붙어 있다고 가정한다.

완전비탄성충돌이므로



 sin )

(

cos )

(

2 1

2 2

2 1

1 1

f i

f i

v m m

v m

v m m

v m









m/s kg

10 75

. 3

) m/s 0 . 25 )(

kg 1500 (

4







 ^p

^xi



 ^p

^xf

^{ ( 4000 kg ) v}

^f

^{cos }

  1 3 . 75  10

⁴

kg  m/s  (4000kg) v

_f

cos 

  ^{2 5 . 00  10}

⁴

^{kg  m/s  (4000kg) v}

_f

^{sin }

1



. 53

33 . 10 1

75 . 3

10 00

. tan 5

cos (4000kg)

sin (4000kg)

4 4



 

 





 



f f

v v

(2)식을 (1)식으로 나누면

m/s 6 . n53.1 15

(4000kg)si

m/s kg

10 00

.

5 

⁴

 



_

v

f

m/s kg

10 00

. 5 )

m/s 0

. 20 )(

kg 2500

(  

⁴



 ^p

^yi



 ^p

^yf

^{ ( 4000 kg ) v}

^f

^{sin }

질량 중심은 둘 이상의 입자로 이루어진 계를 하나의 입자로 다룰 수 있도록 해준다.

여러 개의 입자로 이루어진 3차원 계의 경우

8.6 질량 중심

The Center of Mass

2 1

2 2 1

1

CM

m m

x m x

x m



 

n

n n

m m

m m

x m x

m x

m x

x m















 





3 2

1

3 3 2

2 1

1 CM

 

 



i

i i i

i i

i i

CM

m x

M m

x m

x 1

두 입자로 이루어진 1차원 계의 경우





i

i i

x m M





i

i i

y M m

y 1

CM

^ 

i

i i

z M m

z 1



CM



i

i i

x M m

x 1

CM

k j

i

k j

i r

1 ˆ 1 ˆ

1 ˆ

ˆ ˆ

CM

ˆ





 ^{ }









i

i i i

i i i

i i

CM CM

CM

z M m

y M m

x M m

z y

x





i

i

m

i

M r

r 1

CM

질량의 분포가 연속적인 경우

ˆ ) ˆ

( r

_i

 x

_i

ˆ i  y

_i

j  z

_i

k

i i

i

m

M x

x

^CM

 ¹  

 ^{ } 



 

xdm

m M M x

x

_i

i m_i i

1 lim 1

CM 0



 ydm y M 1

CM

^z

^CM

^ _M ¹  ^zdm



 dm

M r

r 1

CM



 xdm x M 1

CM

질량(밀도)가 균일하고 대칭성을 갖고 있는 물체의 질량 중심은 기하학적 중심에 있다.

g가 위치에 무관하게 일정하다면, 중력 중심은 질량 중심과 일치한다.

물체에 작용하는 중력의 알짜 효과는 무게 중심(center of

gravity)이라 하는 한 점에 작용하는 단일 힘 Mg의 효과와 같다.

질량중심 찾기

세 입자의 질량 중심 예제 8.11

계는 그림과 같이 위치하는 세 입자로 이루어져 있다.

계의 질량 중심을 구하라.

m 75 . 4.0kg 0

m kg 0 . 3

2.0kg 1.0kg

1.0kg

) 0 )(

kg 0 . 2 ( ) m 0 . 2 )(

kg 0 . 1 ( ) m 0 . 1 )(

kg 0 . 1 (

1

3 2

1

3 3 2

2 1

1 CM

 









 







 

 _M  ^{m x m x} _m ^m _m ^x _m ^{m x}

x

i

i i

m 0 . 4.0kg 1

m kg 0 . 4

.0kg 4

) m 0 . 2 )(

kg 0 . 2 ( ) 0 )(

kg 0 . 1 ( ) 0 )(

kg 0 . 1 (

1

3 2

1

3 3 2

2 1

1 CM

 





 







 

 _M  ^{m y m y} _m ^m _m ^y _m ^{m y}

y

i

i i

m ˆ ) 0 . ˆ 1

75 . 0 ˆ (

CM

ˆ i j i j

r  x

_CM

 y

_CM

 

kg 3 kg,

1 ₃

2

1

 m  m 

m

막대의 질량 중심 예제 8.12

(A) 질량이 M이고, 길이가 L인 막대의 질량 중심은 양 끝 사이의 중간에 있음을 보여라.

단, 막대의 단위 길이당 질량이 균일하다고 가정한다.

연속적인 질량 분포의 경우이므로0

M L x

dx M M x

M xdm x

L L

2 2

1

1 ²

0 2 CM 0



   



  

(B단위 길이당 질량이 λ=αx ⁽α는 상수)로 변할 때, 질량 중심의 좌표를 구하라.

2 2

2 CM

L L

M M

x L  



 



 

M dx L

M x xdx

M x dx

M x M xdm

x

^{L L L}

3 1

1

1

³

0 2 0

CM 0



 

   



    

2

2

0 0

xdx L dx

dm

M    

^L

  

^L

  

L L

x

_CM

L

_{2 3}²

3

2 /

3 

 



L M dx

dm     /

(제외)

전체 질량 M인 입자계의 질량 중심

입자계의 전체 선운동량

8.7 입자계 운동 Motion of a System of Particles



 ^





i

i i i

i

i CM

CM

m

M dt

m d M

dt

d r r v

v 1 1

CM i

i i i

i

tot

p m v M v

P     



 ^





i

i i i

i

i CM

CM

m

M dt

m d M

dt

d v v a

a 1 1

 ^ 



i i

i i

i

CM

m

M a a F

질량 중심의 속도





i

i

m

i

M r

r 1

CM

입자계의 가속도

i i

m

i

a  F

계의 한 입자에 작용하는 힘

CM

ext

Ma

F 



알짜 외력을 받아 운동하는 전체 질량 M인 계의 질량 중심의 궤적은 같은 힘을 받는 질량 M인 입자 한 개의 궤적과 동일하다.

계에 작용하는 알짜 외력이 0이면

 0

 dt

M d

M

_CM

v

^CM

a

P 상수

v

F    



ext

0 M

^{CM tot}

입자계에 작용하는 알짜 외력이 없다면 입자계의 전체 선운동량은 보존된다.

ext i i

i i

m

i

a  F  F

^int

 F

 ^ 



i i

i i

i

CM

m

M a a F

계의 내부로부터 작용하는 힘

뉴턴의 제3법칙에 의해 내력은 쌍으로 서로 상쇄됨

계의 외부로부터 작용하는 힘





 ^{ }

i

ext i i

i i

i

F F

F

^int

0



 F

_ext

로켓의 폭발 예제 8.13

로켓이 수직으로 발사되어 고도 1000m, 속력 300 m/s에 도달했을 때 같은 질량을 갖는 세 조각으로 폭발하였다. 폭발 직후에 한 조각이 450 m/s의 속력으로 위쪽으로 움직이고, 다른 한 조각은 동쪽으로 240 m/s의 속력으로 움직인다면, 폭발 직후 세 번째 조각의 속 도를 구하라. (폭발 직후 순간이므로 중력은 고려하지 않아도 됨)

폭발 전의 운동량

) ˆ m/s 300 ( j v

P

_i

 M

_i

 M

f f

M M

M i j v

P ( 450 ˆ m/s ) 3

) 3 ˆ m/s 240

3 (  



) ˆ m/s 450 3 (

) ˆ m/s 240 3 (

m/s) 3 300 ˆ

( j M v M i M j

M 

_f

 

m/s ˆ )

ˆ 450 240

( i j

v   



_f

폭발 후의 운동량

운동량 보존 법칙에 의해

0

@ t  @ t   t

i v  v ˆ

i v  ( v   v ) ˆ iˆ

) ( v  v

_e

e

:

v

로켓에 대한 연료의 분사 속력

8.8 연결 주제: 로켓 추진

Context Connection: Rocket Propulsion

우주 공간 또는 관성계 에서의 추진을 고려하자.

) (

) (

)

( M   m v  M v   v   m v  v

_e

m v

v

M  

_e



운동량 보존 법칙에 의해

M v

v

M   

_e







_i^f

^{ }

e M^M_i^f v

v

M

v dM

dv  





 



 





f i e

i

f

M

v M v

v ln

) 0 (  







 m M M

로켓의 추진력 :

dt v dM dt

M dv  

_e

우주 공간에서의 로켓 예제 8.14

우주공간에서 로켓이 지구에 대해 3.0×10³m/s의 속력으로 날고 있다. 엔진을 켜서 로켓 의 운동과 반대 방향으로 로켓에 대해 5.0×10³m/s의 상대 속력으로 연료를 분사한다.

(A) 로켓의 질량이 점화하기 전 질량의 반이 되었을 때, 지구에 대한 로켓의 속력은 얼마 인가?

m/s 10

5 . 6

5 . ln 0 m/s) 10

(5.0 m/s

10 0

. 3

ln

3

3 3





 

 



 







 





 



 



i i f

i e

i f

M M M

v M v

v

(B) 로켓이 50 kg/s의 비율로 연료를 연소하면 로켓에 가해지는 추진력은 얼마인가?

N 10 2.5

s) m/s)(50kg/

10 0

. 5 (

5

3









 dt

v

_e

dM

추진력