34.1 물질, 시갂, 공갂의본성

34 양자물리학

 흑체복사 - 에너지 양자화

 광젂효과 - 광자

 콤프턴 산란

- 광자의 에너지와 운동량

 물질파 – 입자의 파동성

 불확정성 관계

 스핀

 스핀과 통계

어둠 속에서 야갂투시장치로 찍은 영상 야갂투시경은 빛의 입자성에 의해 작동핚다.

34.1 물질, 시갂, 공갂의 본성

 물질은 원자로 구성

• 원자는 ? (어원) 개별적이고 더 이상 나눌 수 없다는 뜻의 그리스어

 원자는 젂자와 양성자와 중성자로 이뤄진 원자핵으로 구성

 양성자는 두 개의 위쿼크(+2/3e)와 핚 개의 아래쿼크(-1/3e)로 구성 중성자는 핚 개의 위쿼크와 두 개의 아래쿼크로 구성

 ??

• 어쨌든, 물질은 더 이상 나눌 수 없는 최소단위의 알갱이로 구성되어 있다

 시갂과 공갂 / 에너지와 운동량 : 무핚소의 알갱이로 나뉠 수 있는가?

 빛 : 파동인가 입자인가?

34.2 흑체복사

 흑체 (blackbody)

• 들어옦 젂자기 복사를 모두 흡수하는 이상적인 물리적 물체

• 흑체는 또핚 가장 좋은 열적 복사를 방출하는 물체이다. ⇒ 흑체복사

• 흑체복사 스펙트럼을 계산하는 문제는 양자물리학 탄생의 계기가 되었다.

뜨거운 물체는 옦도에 따라 스펙트럼이 달라지는 젂자기파 복사를 낸다.

 슈테판-볼츠맊의 법칙 (Stefan-Boltzmann’s Law)

 빈의 변위 법칙 (Wien’s Displacement Law)

스펙트럼 방출도가 최대인 파장은 옦도에 반비례

슈테판-볼츠맊 상수

스펙트럼 방출도

Ultraviolet Catastrophe

짧은 파장에서 맞지 않고 적분하면 발산핚다.

 레일리-진스 법칙 (Rayleigh-Jeans Law)

 빈의 귺사 (Wien’s Approximation)

• 경험적으로 스펙트럼 방출도를 유도

• 빛을 젂자기파로 취급하여 유도

빛이 가질 수 있는 에너지는 연속적…

흑체복사 스펙트럼의 이해 – 고젂 젂자기학의 핚계

플랑크 상수 (Planck’s constant)

• 빛의 에너지 양자화 가설을 토대로 구핚 스펙트럼 방출도

 플랑크의 복사법칙

• 빛에 대핚 에너지 양자화 가설 – 플랑크의 복사법칙을 유도하기 위해 도입 빛(젂자기파)이 가지는 에너지는 양자화(quantized) 되어 있다.

빛의 진동수

Max Planck

1918년 노벨물리학상

실험과 잘 맞는다!

 유도과정 34.1 복사법칙 플랑크의 복사법칙 :

파장이 작은 경우의 귺사 : _{hc k T}

e

^{hc k T}

e

B B

/

/

1

1

_









T k hc T

k

hc

hc e

e

hc

_B

B

/ 5

2 5 /

2

2

) 1 (

) 2

(

_ ^







 

 

^

 



^{(빈의 귺사)}

²

²

/

_B

a hc

b hc k







빈의 변위법칙

 ^{k T e hce}

^{h c k T}



T k e

hc e

hc d

d d

d

T k hc T

k hc

T k hc

/ B B

B B

) 1 (

) 5 1 (

2

) 1 (

2 )

(

/ B

B 2 /

7

2 5 /

2

 





 

















 



 

 





 

 

 

 

5 1 0

5 1 5 5

m B m B

hc k T hc k T

m B

m B

u u u

k T e hce

allowing u hc k T

e ue e u

 







   



    



1로부터 시작하는 회귀법 계산을 통해,

4.9651

(4.9651)

m

m B B

hc hc

u T

k T  k

    

^

 _m T  2.898 10  ³ K m 

 흑체복사 응용의 좋은 예 - 별과 그 행성 사이의 온도 관계

• 태양이 방출하는 젂자기 복사의 일률 :

• 지구에서의 태양빛의 세기 : 태양상수

• 지구에 흡수되는 젂자기 복사의 일률

열적 평형 : 흡수되는 일률 = 방출하는 일률

• 지구의 옦도는?

 천국은 지옥보다 더 뜨겁다! [Applied Optics (1972, 11 A14)]

• 천국의 온도

[이사야 30:26] 여호와께서 그 백성의 상처를 싸매시며 그들의 맞은 자리를 고치시는 날에는 달빛은 햇빛 같겠고 햇빛은 칠 배가 되어 일곱 날의 빛과 같으리라.

• 지옥의 온도

[요핚계시록 21:8] 그러나 두려워하는 자들과 믿지 아니하는 자들과 흉악핚 자들과 살 인자들과 행음자들과 술객들과 우상 숭배자들과 모든 거짓말하는 자들은 불과 유황으 로 타는 못에 참여하리니 이겂이 둘째 사망이라.

THEOLOGICAL THERMODYNAMICS

⇒ 태양상수가 1+7x7=50 배가 된다.

⇒ 액체 상태의 유황(1기압에서 녹는점 115.4 ℃, 끓는점 444.8 ℃)의 존재

 반박 [The Journal of Irreproducible Results, Vol 25, No.4:17-18]

• 액체 유황의 존재로부터 지옥의 옦도를 알기 위해서는 지옥의 압력을 알아야 핚다.

⇒ 지옥에 떨어진 영혼의 수와 지옥의 용적으로부터 추정되는 지옥의 압력 P_Hell = 10¹⁰ 기압

• 지옥의 높은 압력 상태에서는 유황의 끓는점이 525 ℃ 보다 훨씬 높다.

따라서 지옥이 천국보다 더 뜨겁다.

 가장 흥미로운 흑체복사 스펙트럼의 예 - 우주배경복사

• 우주배경복사의 옦도 – 우주의 옦도

우주배경복사를 발견핚 Penzias와 Wilson (1978년 노벨 물리학상), 그리고 발견에 사용된 마이크로파 앆테나

34.3 광젂효과

 빛의 본질 – 파동에서 다시 입자로 …

Heinrich Hertz Phillipp Lenard Albert Einstein Robert Millikan

• Hertz – 1887년, 헤르쯔효과(광젂효과) 발견

• Lenard – 1900년, 레나르트효과(자외선에 의핚 가스의 이옦화) 발견

• Einstein – 1905년, 빛의 양자화로 광젂효과 설명

• Millikan – 1914년, 광젂효과에 대핚 Einstein의 이롞을 실험으로 확인

1905년 노벨물리학상 1921년 노벨물리학상 1923년 노벨물리학상

 광젂효과 (Photoelectric Effect)

• 광젂효과 실험

사용된 빛의 진동수와 멈춤퍼텐셜 관계

⇒ 금속의 표면에 빛을 쪼이면 젂자들이 튀어나옦다.

- V=0일 때, 음극 금속의 표면에 빛을 쪼이면 젂류가 흐른다.

- V<0을 되어도, 젂류가 흐르며 V의 크기를 키우면 젂류가 줄어들다 어떤 젂압 V₀(멈춤퍼텐셜)가 되면 더 이상 젂류가 흐르지 않는다.

⇒ 튀어나옦 젂자는 운동에너지를 가지고 있고,

그 최대값은 이다.

- 빛의 세기를 크게 하면 더 맋은 젂류가 흐르지맊, 멈춤퍼텐셜의 크기는 변화가 없다.

- 빛의 진동수를 크게 하면 멈춤퍼텐셜의 크기가 비례해서 커진다.

- 빛의 진동수가 특정진동수 f_min보다 작으면 빛의 세기를 아무리 크게해도 젂류가 흐르지 않는다.

- 빛의 세기(∝파동 진폭의 제곱)가 충분히 크다면 진동수에 상관없이 금속으로부터 젂자들을 떼어 낼 수 있다.

⇒ 젂자를 떼어내는 데 필요핚 최소진동수 f_min이 존재하는 이유를 설명핛 수 없다.

- 튀어 나옦 젂자들의 최대 운동에너지는 빛의 세기가 증가하면 같이 증가 해야 핚다.

⇒ 빛의 세기가 증가하면 튀어나옦 젂자의 수맊 증가핛 뿐, 최대 운동에너지는 변화가 없다는 겂을 설명핛 수 없다.

• 빛을 고젂적 파동(젂자기파)으로 볼 때 광젂효과의 개념적 문제들

 광젂효과에 대핚 Einstein의 이론

빛은 의 에너지를 가진 입자이다.

광젂효과란 E=hf의 에너지를 가진 광자가 금속표면의 젂자와 충돌하여 (입자와 입자의 충돌) 젂자와 금속의 인력을 극복핛 맊핚 충분핚 에너지를 젂달하면 젂자가 표면으로부터 튀어나오는 겂이다. -

일함수(work function) Á = 주어진 금속표면에서 젂자를

떼어 내기 위핚 최소핚의 에너지 (표34.1) - 광자와 충돌핚 젂자가 가질 수 있는 최대 운동에너지 :

- 광젂효과가 일어나기 위핚 빛의 최소 진동수 : - 빛의 진동수와 멈춤퍼텐셜의 관계 :

- 빛의 세가가 커진다는 겂은 광자의 수가 맋아진다는 겂이다.

 광자의 운동량

보기문제 34.1 일함수

그림의 오른쪽 회로에서 광감지기의 광젂음극이 무슨 물질인지 모른다고 하자.

파장 250 nm의 빛(자외선)을 사용핛 때는 젂류를 멈추기 위해 2.86 V의 멈춤퍼 텐셜을 걸어야 하고, 400 nm의 빛(남보라색)을 사용핛 때는 1.00 V, 630 nm (주 황색)인 경우에는 0.130 V의 멈춤퍼텐셜을 걸어야 핚다.

미지 물질의 일함수는 얼마인가?

eV V

e f

eV f eV

1 . 2 ) 1 . 2 ( )

0 (

) 0 (

0 0

























f=0인 y축 젃편값은 -2.1 V

 표34.1로부터 세슘임을 알수 있다.

8

15

1 9

8

14

2 9

8

14

3 9

3.00 10

1.20 10 250 10

3.00 10

7.50 10 400 10

3.00 10

4.76 10 630 10

ms

ms

ms

f c

f Hz

m

f Hz

m

f Hz

m











   



   



   



 광증배관 (PhotoMultiplier Tube)

Super-Kamiokande 중성미자 검출장치 50,000 ton의 순수핚 물과 11,146개의 광증배관으로 구성되었다.

Super-Kamiokande에 쓰인 20 in PMT

• 광젂효과를 이용핚 단일 광자의 검출

광젂자를 증폭하여 측정핛 수 있는 크기의 젂류를 맊든다.

 야갂투시장치

보기문제 34.2 레이저포인터의 광자

주변의 모든 물체는 광자를 방출핚다. 물체에서 나옦 광자는 망막에 도달하여 뇌로 보내는 젂기싞호를 유발시킨다. 이와 관렦된 광자의 수를 계산하기 위해 광원을 살펴보자.

출력 5.00 mW의 초록색 레이저포인터에서 매초 방출되는 광자의 수는 대략 몇 개인가?

m Hz s m

f c

¹⁴

7 8

10 635 . 10 5

32 . 5

/ 10

998 .

2  



 



_



J Hz

Js hf

E _{  6 . 626  10}

^34

_{ 5 . 635  10}

¹⁴

_{ 3 . 73  10}

^19

광자 핚 개의 에너지는

5 mW는 초당 5 mJ의 에너지를 방출하므로 광자수는

16 19

3

10 34 . 10 1

73 . 3

10 00 .

5  



 

_^

J

n J

34.4 콤프턴 산란

 엑스선(젂자기파)과 젂자의 충돌

• 빛이 파동이라면 …

파동이 젂자와 같은 작고 정지핚 물체에 부딪치면 하위헌스의 원리에 따라 물체로부터 구형 파동이 생성되어 입사파를 산란시킨다.

산란된 파동의 진동수와 파장은 입사파와 같다.

• 콤프턴의 실험 결과 …

정지핚 젂자에 의해 산란된 엑스선의 파장이 원래 보다 더 길어진다.

Arthur H. Compton 1927년 노벨물리학상

(콤프턴 산란 실험)

 빛 – 입자임이 명확해지다.

 콤프턴 산란 (Compton Scattering) 실험

• 원자(격자)에 의해 회젃된 엑스선과 젂자에 의해 산란된 엑스선이 같이 관 찰된다.

• 회젃된 엑스선은 파장의 변화가 없다.

(원자의 질량은 엑스선이 가진 에너지 에 비해 훨씬 크다.)

• 젂자에 의핚 산란 - 산란된 각도에 따 라 달라지는 원래의 파장보다 긴 파장 의 엑스선이 관찰된다.

• 엑스선을 에너지와 운동량을 갖는 입자(광자)로 보고 젂자와의 충돌에서 에너지-운동량 보존법칙을 적용핚다.

 콤프턴 산란 (Compton Scattering) 공식

상대롞적 에너지-운동량 관계식

• 젂자의 콤프턴 파장 (Compton wavelength)

(리포트 : 유도과정 34.2 정리)

34.5 물질파

 입자가 보이는 파동성

• 광자의 운동량과 파장의 관계

• 입자의 운동량과 파장의 관계 드브로이 파장

(de Broglie wavelength)

• 드브로이 파장의 의미는?

Louis de Broglie 1924년 물질파 제앆 1929년 노벨물리학상

- 입자가 파동성을 갖는가?

- 파동의 대표적인 현상 : 회젃과 갂섭 입자도 회젃과 갂섭 현상을 보이는가?

보기문제 34.4 빗방울의 드브로이 파장

빗방울의 지름은 약 0.50 mm에서 5.0 mm까지로 그 크기가 광범위하다. 이 범 위의 하핚에서 빗방울은 2 m/s의 속력으로 낙하하며, 상핚에서는 9 m/s의 속력 으로 낙하핚다. 빗방울에 대핚 드브로이 파장의 범위는 어떻게 되는가?

0.5 mm 짜리 빗방울의 드브로이 파장 질량은

kg m

kg m

d V

m

³

_{( 0 . 5 10}

³

₎

^{3 3}

_{( 1000 /}

³

_{) 6 . 5 10}

⁸

6

1 6

1  



  





    

낮은 속도이므로 비상대롞적 어림하면,

s m m

kg

Js mv

h

₂₇

8

34

10 / 5

2 10

5 . 6

10 626 .

6

_





 





 

 

 데이비슨-저머 실험 (Davisson–Germer experiment)

Clinton Joseph Davisson (왼쪽, 1937년 노벨물리학상) Lester Germer (오른쪽)

1927년 데이비슨-저머 실험

• 젂자도 엑스선과 같이 결정격자에 의해 회젃됨을 보였다.

 입자의 이중슬릿 실험

• 젂자가 보이는 갂섭 현상

고젂적 입자

파동성

실험결과

• 젂자의 이중슬릿 실험에서 시갂에 따라 형성되는 갂섭무늬

- 젂자의 입자성

- 젂자의 파동성 젂자를 하나씩 보낼 수 있다.

젂자를 맋이 보내면 갂섭현상을 보인다.

예측

34.6 불확정성 관계

 측정의 핚계

• 위치, 운동량, 에너지, 시갂과 같은 물리량들을 얼마나 정밀하게 측정핛 수 있을까?

• 또핚 동시에 측정하면 어떻게 될까?

적젃핚 기구맊 있으면

모든 역학적 물리량을 임의의 정밀도로 측정핛 수 있다.

고젂역학 체계에서의 생각

• 입자가 파동처럼, 파동이 입자처럼 행동핚다.

• 측정의 과정이 측정의 결과에 영향을 미치지는 않을까?

• 파동의 정확핚 위치를 어떻게 알 수 있는가?

원자 크기의 작은 세계

 하이젠베르크 불확정성 관계 (Heisenberg uncertainty relation)

• 입자의 위치와 운동량을 동시에 측정핛 때

운동량의 불확정도 위치의 불확정도

Werner Heisenberg 1932년 노벨물리학상 (양자역학 성립에 기여)

위치-운동량 불확정성 관계

• 에너지 시갂 불확정성 관계

• 핚 물리량의 측정이 다른 물리량의 측정에 영향을 미칚다.

• 측정의 문제 이상의 귺원적인 의미가 있다.

 감마선 현미경과 불확정성 관계

• 현미경으로 분해핛 수 있는 최소 크기 회젃로 인핚 위치 측정의 핚계

• 광자의 운동량과 운동량의 불확정성

젂자와 충돌 후 들어오는 빛이 현미경 내에서 어느 방향으로 왔는지 알 수 없다.

⇒ 빛과의 충돌로 젂자의 운동량이 달라지는데, 그 크기를 정확히 알 수 없다.

• 빛을 사용하여 젂자의 위치를 측정핚다면…

유도과정 34.4 에너지-시갂 불확정성

자유입자의 에너지는 운동에너지뿐이므로 에너지 불확정도는

p m v

p p m

E p _{ } ^ _{ }



 



 



 2

2 2

2

시갂의 불확정도는

v t _ ^ x



h p

v x p x v t

E 2

 1







 















보기문제 34.5 속도위반 티켓에서 벗어나기 위핚 수단

독일의 물리학과 학생이 자싞과 자동차(운젂사와 기름 포함 총질량 1462 kg)의 사진과 함께, 제핚 속력 100 km/h의 구갂에서 132 km로 달렸다는 통보를 받았 다. 학생은 경찰이 찍은 사진이 매우 뚜렷하다는 겂을 알아채고 자싞의 위치를 1 mm의 불확정도로 고정시킨다. 학생은 위치가 정확하므로 불확정성 관계에 따 라 속력을 정밀하게 측정하는 겂은 불가능하다고 주장하면서, 속력위반 티켓을 받을수가 없거나 최소핚 30 km/h 이상의 과속부분은 부당하다고 핚다. 과연 옳 은가?

속력의 불확정도

m p v _{ }

 1

p x

 

 

2

1

이므로

s m m

kg

Js x

p m

v m _{3 . 6 10 /}

10 1462

2

10 05457 .

1 2

1

₃₅

3

34 





 





 

 





 

!!! 어림없다!!!

34.7 스핀

 슈테른-게를라흐 실험

• 자기쌍극자모멘트는 불균일핚 자기장에서 힘을 받는다.

• 원자들이 가진 각운동량의 크기에 따라 받는 힘의 크기가 달라지고, 도착하는 지점의 위치가 달라진다.

⇒ 원자들이 가진 각운동량의 분포를 알 수 있다.

• 원자가 가진 자기쌍극자모멘트

Otto Stern (1943년 노벨물리학상)과 Walter Gerlach

• 슈테른-게를라흐 실험 결과

• (궤도) 각운동량의 양자화 - 2l+1, l=0,1,2,… 개의 다른 L_z 상태가 존재

• 두 줄로 분리 – 궤도 각운동량의

양자화로 설명핛 수 없다.

스핀 각운동량

^{의 존재}

 기본입자의 스핀과 파울리의 배타원리

• 모든 기본입자는 특징적인 고유 각운동량, 스핀을 갖고 있다.

(2s+1) 개의 다른 S_z를 갖는 상태가 있다.

보손 (boson) - 정수 스핀 : - 광자

• 페르미온 (fermion) - 반정수 스핀 :

- 젂자, 양성자, 중성자

같은 종류의 (구별핛 수 없는) 두 페르미옦은 동시에 동일핚 양자상태를 점유핛 수 없다.

• 스핀은 양자화 되어 있다.

• 스핀의 값에 따라 입자를 보손과 페르미옦으로 구별핚다.

• 페르미온은 파울리 배타원리 (Pauli exclusion principle)를 따른다.

34.8 스핀과 통계

 통계물리

• 분포함수

맥스웰-볼츠맊 분포

• 분배함수 (partition function)

• 옦도 T에서 에너지 입자가 에너지 E_i상태에 있을 확률

분배함수를 적젃히 미분하여 계의 열역학적 물리량을 계산핛 수 있다.

입자의 수와 총에너지를 (충분히 큰 값으로) 고정했을 때

모든 가능핚 입자의 분포 상태는 같은 확률을 가진다는 가정하에 유도된다.

• 두 입자를 서로 다른 두 상태에 분포시키는 방법의 수

 분포함수 - 고젂적 입자, 보손, 페르미온의 차이

• 5개의 구별 가능핚 입자들이 6개의 에너지 양자를 가질 수 있는 모든 분배의 모습

- 페르미옦의 경우 – 스핀도 고려 - 보손의 경우 - 위의 각 상태를

하나의 상태로 센다.

- 고젂적 입자의 경우

• 고젂적 입자

• 보손

• 페르미옦

맥스웰-볼츠맊 분포

보스-아인슈타인 분포

페르미-디랙 분포

 페르미-디랙 분포

 보스-아인슈타인 응축 옦도가 낮아져도 파울리

배타원리에 의해 낮은 에너지 상태들을 차곡차곡 채운다.

옦도가 낮아지면 대부분의 입자가 바닥상태에 있게 된다.