2020 풍산자 라이트 확률과통계 답지 정답

(1)

확률과 통계

풍산자

필수 개념 연계 문항들로 빠르게 끝내는 단기 완성서

정답과 풀이

(2)

01

(6-1)!=5!=120

02

남학생 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (4-1)!=3! 남학생과 남학생 사이의 4개의 자리에 여학생 4명을 앉히 는 경우의 수는 4! 따라서 구하는 경우의 수는 3!_4!=6_24=144

03

가운데 작은 원에 색을 칠하는 경우의 수는 7이고, 나머 지 6등분한 칸에 칠하는 경우의 수는 (6-1)!=5! 따라서 구하는 경우의 수는 7_5!=7_120=840

04

구하는 경우의 수는 서로 다른 3명의 후보에서 중복을 허 용하여 5명을 택하는 중복순열의 수와 같으므로 £P°=3Þ`=243

05

천의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 1, 2, 3의 3개 Ú 네 자리 자연수의 개수 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리의 숫자를 택하는 경 우의 수는 0, 1, 2, 3의 4개에서 중복을 허용하여 3개 를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ¢P£=4Ü`=64 ∴ a=3_64=192 Û 네 자리 자연수 중 짝수의 개수 일의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 0, 2의 2개 백의 자리, 십의 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 0, 1, 2, 3의 4개에서 중복을 허용하여 2개를 택하는 중 복순열의 경우의 수와 같으므로 ¢Pª=4Û`=16 ∴ b=3_2_16=96 Ú, Û에 의하여 a+b=192+96=288

06

홀수 번째 자리에 A, A, E, U를 배열하는 경우의 수는 \ 4! 2! =12 짝수 번째 자리에 M, D, S를 배열하는 경우의 수는 3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 12_6=72

정

답

과

풀

이

p. 06

0

1

120

0

2

144

0

3

840

0

4

④

0

5

288

0

6

③

0

7

240

0

8

⑤

여러 가지 순열

07

6명이 원형으로 둘러앉는 경우의 수는 (6-1)!=5!=120 이때 원형으로 둘러앉는 1가지 경우에 대하여 정삼각형 모양의 탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 2 가지씩 존재한다. E D F C A B D C E B F A 따라서 구하는 경우의 수는 120_2=240 다른 풀이 6명의 학생을 일렬로 나열하는 순열의 수는 6!=720 이때 정삼각형 모양의 탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 같은 경우가 3가지씩 존재한다. 5 4 6 3 1 2 3 2 4 1 5 6 1 6 2 5 3 4 따라서 구하는 경우의 수는 720 3 =240 참고 (원순열의 수)_(서로 다른 기준 위치의 수) 를 이용하면 편리하다. (6-1)! (6-1)!_2 (6-1)!_3

08

A 지점에서 P 지점까지 가는 최단 경로의 수는 4! 2!_2! =6 P 지점에서 B 지점까지 가는 최단 경로의 수는 4! 3!_1! =4 따라서 구하는 경우의 수는 6_4=24 p. 08

0

1

⑴ 21 ⑵ 35

0

2

⑴ 7 ⑵ 45

0

3

①

0

4

36

0

5

⑤

0

6

②

0

7

⑴ 28 ⑵ 10

0

8

⑤

중복조합

01

⑴ £H°=£*°ÐÁC°=¦C°=¦Cª= 7_6 _{2_1 =21}

(3)

⑵ °H£=°*£ÐÁC£=¦C£= 7_6_5 _{3_2_1 =35}

02

⑴ ¢H¼=¢*¼ÐÁC¼=£C¼=1 ¤HÁ=¤*ÁÐÁCÁ=¤CÁ=6 이므로 ¢H¼+¤HÁ=7 ⑵ £H£=£*£ÐÁC£=°C£=°Cª=10 ¢H¢=¢*¢ÐÁC¢=¦C¢=¦C£=35 이므로 £H£+¢H¢=45

03

구하는 경우의 수는 서로 다른 4개에서 3개를 택하는 중 복조합의 수와 같으므로 ¢H£=¢*£ÐÁC£=¤C£= 6_5_4 _{3_2_1 =20}

04

구하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 7개를 택하는 중 복조합의 수와 같으므로 £H¦=£*¦ÐÁC¦=»C¦=»Cª= 9_8 _{2_1 =36}

05

(a+b+c+d)Þ`의 전개식에서 각 항은 4개의 문자 a, b, c, d 중에서 5개를 택하여 곱하면 된다. 따라서 구하는 항의 개수는 4개의 문자 a, b, c, d에서 5 개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¢H°=¢*°ÐÁC°=¥C°=¥C£= 8_7_6_{3_2_1 =56}

06

먼저 세 명의 학생에게 구슬을 각각 2개씩 나누어 주고, 남은 구슬 4개를 세 명의 학생에게 나누어 주면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택 하는 중복조합의 수와 같으므로 £H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª= 6_5_{2_1 =15}

07

⑴ 주어진 방정식에서 음이 아닌 해의 개수는 3개의 문자 x, y, z 중에서 6개를 택하는 중복조합의 수와 같다. 따라서 구하는 해의 개수는 £H¤=£*¤ÐÁC¤=¥C¤=¥Cª=28 ⑵ x=1+a, y=1+b, z=1+c로 놓으면 a, b, c는 모두 음이 아닌 정수이고, 주어진 방정식은 a+b+c=3 따라서 구하는 해의 개수는 방정식 a+b+c=3에서 a, b, c가 모두 음이 아닌 정수인 해의 개수와 같으므로 £H£=£*£ÐÁC£=°C£=°Cª=10

08

a, b, c가 음이 아닌 정수이므로 a+b+c=3 또는 a+b+c=4 또는 a+b+c=5 Ú 방정식 a+b+c=3을 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 Ú £H£=£*£ÐÁC£=°C£=°Cª= 5_4_{2_1 =10} Û 방정식 a+b+c=4를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 Ú £H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª= 6_5_{2_1 =15} Ü 방정식 a+b+c=5를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 Ú £H°=£*°ÐÁC°=¦C°=¦Cª= 7_6_{2_1 =21} Ú~Ü에 의하여 구하는 순서쌍의 개수는 10+15+21=46

0

1

48

0

2

60

0

3

48

0

4

64

0

5

①

0

6

③

0

7

19

0

8

505

0

9

80

10

11

34

12

4

13

②

14

③

15

④

16

⑤

17

36

18

③

19

③

20

⑤

21

③

22

32

23

④

실력

확인 문제

p. 10

0

1

A, B를 하나로 생각하여 서로 다른 5개의 용기를 원형의 실험 기구에 넣는 경우의 수는 (5-1)!=4!=24 A와 B의 위치를 서로 바꾸는 경우의 수는 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 24_2=48

0

2

6가지 색을 원형으로 배열하는 경우의 수는 5!=120 이때 원형으로 배열하는 1가지 경우에 대하여 다음 그림 과 같이 서로 같은 경우가 2가지씩 존재한다. 1 2 6 5 3 4 1 6 2 3 5 4 따라서 구하는 경우의 수는 120 2 =60

0

3

조건 ㈎에 의하여 여학생 2명이 한 조를 구성하고, 남학 생 4명이 2명씩 짝지어 한 조를 구성한다. 남학생 4명이 2명씩 짝지어 조를 구성하는 경우의 수는 ¢Cª_ªCª_ 1_{2! =}4_3_{2_1 _1_}1_{2 =3} 2명의 학생과 1개의 빈 자리를 한 조로 생각하면 세 개의 조가 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (3-1)!=2!=2 정답과 풀이

03

(02-32)풍산자특강(하)-확률-정답-OK.indd 3 2018-10-31 오후 4:29:52

(4)

같은 조의 학생끼리 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!_2!_2!=8 따라서 구하는 경우의 수는 3_2_8=48

0

4

구하는 경우의 수는 서로 다른 2개의 동아리에서 6개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ªP¤=2ß`=64

0

5

구하는 경우의 수는 4명의 학생 A, B, C, D에서 5명을 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ¢P°=4Þ`=1024

0

6

자연수가 5의 배수이기 위해서는 일의 자리 숫자가 5 또 는 0이어야 한다. 그런데 택할 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5이므로 조건에 알맞게 만든 네 자리 자연수의 일의 자리 숫자는 5뿐이다. 이때 나머지 세 자리에 들어갈 수 있는 숫자는 모두 5개씩 이다. 따라서 구하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 3개 를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 £P°=5Ü`=125

0

7

Ú 0을 한 개 포함하는 자연수 한 자리 자연수는 없다. 두 자리 자연수는 10, 20, y, 90의 9개 세 자리 자연수는 ☐0☐ 또는 ☐☐0의 꼴이므로 각 경 우에 대하여 서로 다른 9개의 숫자에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같다. 2_»Pª=162(개) ∴ a=9+2_9Û`=171 Û 0을 두 개 포함하는 자연수 한 자리 자연수 또는 두 자리 자연수는 없다. 세 자리 자연수는 100, 200, y, 900의 9개 ∴ b=9 Ú, Û에 의하여 ;bA;=:Á;9&;Á:=19

0

8

집합 X에서 Y로의 함수의 개수는 집합 Y의 원소 3, 4, 5, 6, 7의 5개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 a=°P¢=5Ý`=625 집합 X에서 Y로의 일대일함수의 개수는 집합 Y의 원소 3, 4, 5, 6, 7의 5개에서 4개를 택하는 순열의 수와 같으 므로 b=°P¢=120 ∴ a-b=505

0

9

A B Q R P S 위의 그림과 같이 네 지점 P, Q, R, S를 잡으면 A 지점 에서 B 지점까지 가는 최단 경로는 A`Ú P`Ú B, A`Ú Q`Ú B, A`_{Ú R`Ú B, A`Ú S`Ú B} Ú A`Ú P`Ú B로 가는 경우의 수: 1_ 5!_{4!_1! =5} Û A`Ú Q`Ú B로 가는 경우의 수: Û _{1!_4! _}5! _{3!_2! =50}5! Ü A`Ú R`Ú B로 가는 경우의 수: Û _{3!_1! _}4! _{1!_5! =24}6! Ý A`Ú S`Ú B로 가는 경우의 수: 1_1=1 Ú~Ý에 의하여 구하는 최단 경로의 수는 5+50+24+1=80

10

1, 2, 3의 순서가 정해져 있으므로 1, 2, 3을 모두 a로 생 각하여 a, a, a, 4, 4를 일렬로 배열한 후 첫 번째 a는 1, 두 번째 a는 2, 세 번째 a는 3으로 바꾸면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 5! 3!_2! =10

11

한걸음에 1단을 a회, 2단을 b회 오른다면 a+2b=8 (단, a, b는 음이 아닌 정수) Ú a=8, b=0일 때, 경우의 수는 1 Û a=6, b=1일 때, 1단 6개, 2단 1개를 일렬로 나열하 는 경우의 수이므로 Û _{6!_1! =7}7! Ü a=4, b=2일 때, 1단 4개, 2단 2개를 일렬로 나열하 는 경우의 수이므로 Û _{4!_2! =15}6! Ý a=2, b=3일 때, 1단 2개, 2단 3개를 일렬로 나열하 는 경우의 수이므로 ㈁ _{2!_3! =10}5! Þ a=0, b=4일 때, 경우의 수는 1 Ú ~ Þ에 의하여 구하는 경우의 수는 1+7+15+10+1=34

12

구하는 경우의 수는 서로 다른 두 우체통 A, B에서 3개 를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ªH£=¢C£=4

(5)

13

구하는 경우의 수는 서로 다른 3가지 종류의 볼펜에서 5 개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H°=¦C°=¦Cª= 7_6_{2_1 =21}

14

빨간색 공, 노란색 공, 파란색 공을 각각 1개씩 꺼내고, 나 머지 3개의 공을 꺼내면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 3개를 택 하는 중복조합의 수와 같으므로 £H£=°C£=°Cª= 5_4_{2_1 =10}

15

4명의 아이에게 사탕을 각각 1개씩 나누어 주고, 나머지 8개의 사탕을 4명의 아이에게 나누어 주면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 4개에서 8개를 택 하는 중복조합의 수와 같으므로 ¢H¥=ÁÁC¥=ÁÁC£= 11_10_9_{3_2_1 =165}

16

Ú 같은 종류의 주스 4병을 3명에게 남김없이 나누어 주 는 경우의 수는 £H¢=¤C¢=¤Cª= 6_5_{2_1 =15} Û 같은 종류의 생수 2병을 3명에게 남김없이 나누어 주 는 경우의 수는 £Hª=¢Cª= 4_3_{2_1 =6} Ü 우유 1병을 3명에게 나누어 주는 경우의 수는 £HÁ=£CÁ=3 Ú~Ü에 의하여 구하는 경우의 수는 15_6_3=270

17

Ú 사과를 0개 선택하는 경우 감, 배, 귤을 각각 1개씩 선택하고, 나머지 5개의 과일을 감, 배, 귤 중에서 선택하면 된다. 따라서 경우의 수는 £H°=¦C°=¦Cª= 7_6_{2_1 =21} Û 사과를 1개 선택하는 경우 감, 배, 귤을 각각 1개씩 선택하고, 나머지 4개의 과일을 감, 배, 귤 중에서 선택하면 된다. 따라서 경우의 수는 £H¢=¤C¢=¤Cª= 6_5_{2_1 =15} Ú, Û에 의하여 구하는 경우의 수는 21+15=36

18

주어진 부등식을 만족시키는 순서쌍 (|a|, |b|, |c|)의 개수는 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 °H£=¦C£=7_6_5_{3_2_1 =35} 이때 a, b, c는 각각 음의 값과 양의 값을 가지므로 |a|, |b|, |c|의 값이 하나로 결정되면 그 각각에 대하여 a, b, c의 값은 2가지씩 있다. 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 35_2_2_2=280

19

주어진 조건을 만족시키려면 집합 X의 원소 중 중복을 허용하여 4개에서 3개를 택하고 작은 수부터 차례대로 f(1), f(2), f(3)에 대응시키면 된다. 따라서 구하는 함수 f의 개수는 서로 다른 4개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¢H£=¤C£= 6_5_4_{3_2_1 =20}

20

사탕 5개를 1개 이상씩 세 묶음으로 나누는 경우는 1, 2, 2 또는 1, 1, 3 Ú 1, 2, 2인 경우 사탕을 나누어 주는 경우의 수는 £CÁ=3 이때 1명에게 초콜릿 5개를 주는 경우의 수는 1 Û 1, 1, 3인 경우 사탕을 나누어 주는 경우의 수는 £Cª=3 이때 2명에게 초콜릿 5개를 1개 이상씩 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 3개를 택하는 중복조 합의 수와 같으므로 ªH£=¢C£=4 Ú, Û에 의하여 구하는 경우의 수는 3_1+3_4=15

21

Ú z=0일 때, 방정식 x+y=6을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y의 순서쌍 (x, y)의 개수는 ªH¤=¦C¤=¦CÁ=7 Û z=1일 때, 방정식 x+y=4를 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y의 순서쌍 (x, y)의 개수는 ªH¢=°C¢=°CÁ=5 Ü z=2일 때, 방정식 x+y=2를 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y의 순서쌍 (x, y)의 개수는 ªHª=£Cª=£CÁ=3 Ý z=3일 때, 방정식 x+y=0을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y의 순서쌍 (x, y)의 개수는 (0, 0)의 1 Ú~Ý에 의하여 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 7+5+3+1=16

22

[1단계] 조건 ㈎를 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 £H¦=»C¦=»Cª= 9_8_{2_1 =36} [2단계] 조건 ㈏에서 2`_4º`=2`±Û`º`이므로 8의 배수가 될 수 없는 정답과 풀이

05

(6)

경우는 a+2b=0 또는 a+2b=1 또는 a+2b=2 따라서 조건 ㈏를 만족시키지 않는 음이 아닌 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)는 a+2b=0일 때, (0, 0)의 1개 a+2b=1일 때, (1, 0)의 1개 a+2b=2일 때, (0, 1), (2, 0)의 2개 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 36-(1+1+2)=32

23

주어진 조건을 만족시키는 자연수의 개수는 방정식 a+b+c+d=7을 만족시키는 0이 아닌 정수 a, b, c, d 의 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수와 같다. 이때 a¾1, b¾1, c¾1, d¾1이므로 a=1+a', b=1+b', c=1+c', d=1+d'으로 놓으면 (1+a')+(1+b')+(1+c')+(1+d')=7 ∴ a'+b'+c'+d'=3 (단, a', b', c', d'은 음이 아닌 정수) 따라서 구하는 자연수의 개수는 a', b', c', d'의 4개의 문 자에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¢H£=¤C£= 6_5_4_{3_2_1 =20} p. 14

0

1

120

0

2

④

0

3

16xÝ`-32xÜ`+24xÛ`-8x+1

0

4

④

0

5

①

0

6

2

0

7

30

이항정리

01

(a+b)Ú`â`의 전개식에서 aà`bÜ`의 계수는 Á¼C£= 10_9_8_{3_2_1 =120} 다른 풀이 (a+b)Ú`â`의 전개식의 일반항은 Á¼C¨ aÚ`â`Ñ¨`b¨` aÚ`â`Ñ¨`b¨`=aà`bÜ`에서 r=3 따라서 aà`bÜ`의 계수는 Á¼C£=120

02

(x+ay)à`의 전개식에서 xÝ`yÜ`항은 ¦C£ xÝ`(ay)Ü`=35aÜ`xÝ`yÜ` 이때 xÝ`yÜ`의 계수가 -280이므로 35aÜ`=-280, aÜ`=-8 ∴ a=-2 참고 지수의 확장 (실수)â`=1을 적용하면 (x+ay)à`의 전개식 의 일반항은 ¦C¨ xà`Ñ¨`(ay)¨`=¦C¨ a¨`xà`Ñ¨`y¨`

03

(2x-1)Ý` =¢C¼(2x)Ý`+¢CÁ(2x)Ü`(-1)+¢Cª(2x)Û`(-1)Û` = +¢C£2x(-1)Ü`+¢C¢_(-1)Ý` =16xÝ`-4_8xÜ`+6_4xÛ`-4_2x+1 =16xÝ`-32xÜ`+24xÛ`-8x+1

04

{x+ 1_{3x }}ß`의 전개식의 일반항은 ¤C¨ xß`Ñ¨`{ 1_{3x }}¨`=¤C¨ xß`Ñ¨`_ 1_3¨`x¨` ¤C¨ xß`Ñ¨`{ 1_{3x }}¨`= ¤C¨ 3¨` _ xß`Ñ¨`x¨` xß`Ñ¨` x¨` =xÛ`에서 6-r-r=2 ∴ r=2 따라서 xÛ`의 계수는 ¤Cª 3Û` =;9!;_ 6_52_1 =;3%; 참고 a가 0이 아닌 실수이고 m, n이 자연수일 때, aµ`` aÇ` =

à

am-n_(m>n) 1 (m=n) 1 an-m (m<n)

05

(x+2)Ç`의 전개식의 일반항은 ÇC¨ xÇ` Ñ¨`2¨` 이때 상수항인 경우는 r=n인 경우이므로 상수항은 ÇCÇ 2Ç`=2Ç` 2Ç`=16이므로 n=4 따라서 (x+2)Ý`의 전개식의 일반항은 ¢C¨ xÝ`Ñ¨`2¨` x의 계수는 4-r=1, 즉 r=3인 경우이므로 ¢C£_2Ü`=32

06

{x+;[A;}à`의 전개식의 일반항은 ¦C¨ xà`Ñ¨`{;[A;}¨`=a¨`_¦C¨ xà`Ñ¨`_x¨` xà`Ñ¨` x¨` =xÜ`에서 7-r-r=3 ∴ r=2 이때 xÜ`의 계수는 84이므로 aÛ`_¦Cª=84에서 21aÛ`=84, aÛ`=4 ∴ a=2 (∵ a>0)

07

(a+b+c)Þ`의 전개식에서 abÛ`cÛ`의 계수는 5! 1!_2!_2! =30 다른 풀이 {(a+b)+c}Þ`의 전개식에서 cÛ`을 포함하는 항은 °Cª(a+b)Ü`cÛ` 또, (a+b)Ü`의 전개식에서 bÛ`을 포함하는 항은 £Cª abÛ` 따라서 abÛ`cÛ`의 계수는 °Cª_£Cª= 5!_{3!_2! _}_{2!_1! =10_3=30}3!

(7)

p. 16

0

1

⑴ 64 ⑵ 0

0

2

9

0

3

②

0

4

④

0

5

②

0

6

③

0

7

25

이항계수의 성질

01

이항정리를 이용하여 (1+x)Ç` 을 전개하면 (1+x)Ç`=ÇC¼+ÇCÁ x+ÇCÁ xÛ`+`y`+ÇCÇ xÇ` ……`㉠ ⑴ ㉠에 n=6, x=1을 대입하면 (1+1)ß`=¤C¼+¤CÁ+¤Cª+`y`+¤C¤=64 ⑵ ㉠에 n=7, x=-1을 대입하면 0=¦C¼-¦CÁ+¦Cª-`y`+¦C¤-¦C¦

02

_{ÇÐÁC¢+ÇÐÁC°=ÇC°이므로} ÇC¢=ÇC° 즉, _{ÇCÇÐ¢=ÇC°이므로} n-4=5 ∴ n=9

03

ªC¼+£CÁ+¢Cª+°C£+`y`+Á¼C¥ =£C¼+£CÁ+¢Cª+°C£+`y`+Á¼C¥ (∵ ªC¼=£C¼) =¢CÁ+¢Cª+°C£+`y`+Á¼C¥ =°Cª+°C£+`y`+Á¼C¥ ⋮ =Á¼C¦+Á¼C¥ =ÁÁC¥=ÁÁC£

04

£C£+¢C£+°C£+¤C£+`y`+Á¼C£ =¢C¢+¢C£+°C£+¤C£+`y`+Á¼C£ (∵ £C£=¢C¢) =°C¢+°C£+¤C£+`y`+Á¼C£ =¤C¢+¤C£+`y`+Á¼C£ ⋮ =Á¼C¢+Á¼C£=ÁÁC¢

05

ÇC¼+ÇCÁ+ÇCª+`y`+ÇCÇ=2Ç` 에서 ÇCÁ+ÇCª+ÇC£+`y`+ÇCÇ=2Ç`-1 이므로 주어진 부등식은 200<2Ç`-1<2000 ∴ 201<2Ç`<2001 ……`㉠ 이때 2à`=128, 2¡`=256, 2á`=512, 2Ú`â`=1024, 2Ú`Ú`=2048 이므로 ㉠을 만족시키는 자연수 n의 개수는 8, 9, 10의 3 이다.

06

_{ÇC¼+ÇCª+ÇC¢+`y`+ÇCÇ=2Ç` ÑÚ`이므로} 2Ç` ÑÚ`=128, 2Ç` ÑÚ`=2à` ∴ n=8

07

_{ÇC¼+ÇCÁ+ÇCª+ÇC£+`y`+ÇCÇ=2Ç` 이므로} ÇCÁ+ÇCª+ÇC£+`y`+ÇCÇ=2Ç`-1 n=1일 때, 2Ú`-1=1 n=2일 때, 2Û`-1=3 n=3일 때, 2Ü`-1=7 n=4일 때, 2Ý`-1=15 ⋮ 즉, n=2, 4, 6, y, 50일 때 2Ç`-1이 3의 배수가 되므로 ÇCÁ+ÇCª+ÇC£+`y`+ÇCÇ의 값이 3의 배수가 되도록 하 는 50 이하의 자연수 n의 개수는 25이다.

0

1

210

0

2

⑤

0

3

①

0

4

256

0

5

②

0

6

①

0

7

165

0

8

161

0

9

④

10

①

실력

확인 문제

p. 18

0

1

(1+x)Ú`â`의 전개식에서 xÝ`의 계수는 Á¼C¢= 10_9_8_7 _{4_3_2_1 =210}

0

2

{x+ 2x }¡`의 전개식의 일반항은 ¥C¨ x¡`Ñ¨`{;[@;}¨`=2¨`_¥C¨ x¡`Ñ¨`_x¨` x¡`Ñ¨` x¨` =xÝ`에서 8-r-r=4 ∴ r=2 따라서 xÝ`의 계수는 2Û`_¥Cª=4_28=112

0

3

_{(x+3)Ç` 의 전개식의 일반항은 ÇC¨ xÇ` Ñ¨` 3¨`} 이때 상수항인 경우는 r=n인 경우이므로 상수항은 ÇCÇ_3Ç`=81 ∴ n=4 따라서 _{(x+3)Ý`의 전개식의 일반항은 ¢C¨ xÝ`Ñ¨` 3¨`} x의 계수는 4-r=1, 즉 r=3인 경우이므로 ¢C£_3Ü`=4_27=108 다른 풀이 (x+3)Ç` 의 전개식에서 상수항은 3Ç` 이므로 3Ç`=81에서 n=4 (x+3)Ý`={(x+3)Û`}Û`=(xÛ`+6x+9)Û`에서 x항은 2_6x_9=108x이므로 x의 계수는 108이다.

0

4

(1+i)Ú`ß` =Á¤C¼+Á¤CÁ i+Á¤Cª iÛ`+Á¤C£ iÜ`+`y`+Á¤CÁ¤ iÚ`ß`

=Á¤C¼+Á¤CÁ i-Á¤Cª-Á¤C£ i+`y`+Á¤CÁ¤ =Á¤C¼-Á¤Cª+`y`-Á¤CÁ¢+Á¤CÁ¤ +(Á¤CÁ-Á¤C£+Á¤C°-`y`+Á¤CÁ£-Á¤CÁ°)i 이므로 Á¤C¼-Á¤Cª+Á¤C¢+Á¤C¤+`y`-Á¤CÁ¢+Á¤CÁ¤은 (1+i)Ú`ß`의 실수부분이다. 이때 (1+i)Û`=2i, (1+i)Ý`=(2i)Û`=-4, 정답과 풀이

07

(8)

(1+i)¡``=(-4)Û`=16, (1+i)Ú`ß`=16Û`=256 이므로 Á¤C¼-Á¤Cª+`y`-Á¤CÁ¢+Á¤CÁ¤=256

0

5

Á¼C¼-Á¼CÁ+Á¼Cª-Á¼C£+`y`-Á¼C»+Á¼CÁ¼=0 이므로 Á¼CÁ-Á¼Cª+Á¼C£-`y`+Á¼C» =Á¼C¼+Á¼CÁ¼ =1+1=2

0

6

(x-2)Ü`의 전개식의 일반항은 £C¨ xÜ`Ñ¨`(-2)¨` (2x+1)Ý`의 전개식의 일반항은 ¢C§(2x)Ý`Ñ§` 따라서 (x-2)Ü`(2x+1)Ý`의 전개식의 일반항은 £C¨ xÜ`Ñ¨`(-2)¨`¢C§(2x)Ý`Ñ§` =£C¨_¢C§_(-2)¨`_2Ý`Ñ§`_xà`Ñ¨`Ñ§` 이때 x의 계수는 7-r-s=1일 때이므로 r+s=6 이고, rÉ3, sÉ4이므로 r=2, s=4 또는 r=3, s=3 Ú r=2, s=4일 때, x의 계수는 £Cª_¢C¢_(-2)Û`_2â`=12 Û r=3, s=3일 때, x의 계수는 £C£_¢C£_(-2)Ü`_2=-64 Ú, Û에 의하여 x의 계수는 12-64=-52

0

7

k¾2일 때, (1+xÛ`)û`의 전개식에서 xÝ`의 계수는 ûCª이다. 이때 주어진 식의 전개식에서 xÝ`의 계수는 각 항의 전개 식에서의 xÝ`의 계수의 합과 같으므로 ªCª+£Cª+¢Cª+`y`+Á¼Cª =£C£+£Cª+¢Cª+`y`+Á¼Cª =¢C£+¢Cª+`y`+Á¼Cª ⋮ =Á¼C£+Á¼Cª =ÁÁC£= 11_10_9_{3_2_1 =165}

0

8

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 11 7 218 28 563570 5635 21287811 1 6 15 20 15 6 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 …… 위의 그림에서 1+5+15+35+70=126 따라서 A=35, B=126이므로 A+B=161 참고 파스칼의 삼각형에서 ⑴ 각 단계의 양 끝에 있는 수는 모두 1이다. ⇨ ÇC¼=1, ÇCÇ=1 ⑵ 각 단계의 수의 배열은 좌우 대칭이다. ⇨ ÇC¨=ÇCÇÐ¨ ⑶ 각 단계의 수는 그 윗 단계의 이웃하는 두 수의 합이다. ⇨ ÇC¨=ÇÐÁC¨ÐÁ+ÇÐÁC¨

0

9

(1+x)Ç`=ÇC¼+ÇCÁx+ÇCªxÛ`+`y`+ÇCÇxÇ` 이므로 이 식에 x=2, n=10을 대입하면 3Ú`â`=Á¼C¼+2_Á¼CÁ+2Û`_Á¼Cª+`y`+2Ú`â`_Á¼CÁ¼

10

(x+aÛ`)Ç`의 전개식에서 일반항은 ÇC¨ xÇ` Ñ¨`(aÛ`)¨`이므로 xÇ` ÑÚ`의 계수는 r=1일 때 ÇCÁ aÛ`=aÛ`n이다. (xÛ`-2a)(x+a)Ç`=xÛ`(x+a)Ç`-2a(x+a)Ç`이므로 xÇ` ÑÚ`의 계수는 (x+a)Ç`의 전개식에서 xÇ` ÑÜ`의 계수와 2a(x+a)Ç` 의 전개식에서 xÇ` ÑÚ`의 계수를 구하면 된다. (x+a)Ç`의 전개식에서 일반항은 ÇC¨ xÇ` Ñ¨`a¨`이므로 xÇ` ÑÜ`의 계수는 r=3일 때 ÇC£_aÜ`= n(n-1)(n-2) ₆ _aÜ` 2a(x+a)Ç` 의 전개식에서 xÇ` ÑÚ`의 계수는 2a_(ÇCÁ_a)=2aÛ`n 따라서 (xÛ`-2a)(x+a)Ç`의 전개식에서 xÇ` ÑÚ`의 계수는 n(n-1)(n-2) 6 _aÜ`-2aÛ`n 그러므로 aÛ`n= n(n-1)(n-2) 6 _aÜ`-2aÛ`n 이고, 이 식을 정리하면 18aÛ`n=n(n-1)(n-2)aÜ` 이때 n¾4이고 a는 자연수이므로 위 식의 양변을 aÛ`n으 로 나누어 a를 n에 관한 식으로 나타내면 18=(n-1)(n-2)a ∴ a= 18 ` (n-1)(n-2) ` 여기서 a는 자연수이므로 (n-1)(n-2)는 18의 약수이 어야 한다. 한편, n은 4 이상의 자연수이므로 (n-1)(n-2)¾6 따라서 18의 약수 중 (n-1)(n-2)의 값이 될 수 있는 수는 6, 9, 18이다. Ú (n-1)(n-2)=6일 때, nÛ`-3n+2=6, nÛ`-3n-4=0 (n+1)(n-4)=0 ∴ n=-1 또는 n=4 이때 n¾4이어야 하므로 n=4

(9)

Û (n-1)(n-2)=9일 때, nÛ`-3n+2=9, nÛ`-3n-7=0 ∴ n=3Ñ'¶37₂ 이때 자연수 n의 값은 존재하지 않는다. Ü (n-1)(n-2)=18일 때, nÛ`-3n+2=18, nÛ`-3n-16=0 ∴ n=3Ñ'¶73₂ 이때 자연수 n의 값은 존재하지 않는다. Ú~Ü에 의하여 n=4 따라서 f(n)=n(n-1)(n-2) ₆ , g(n)=(n-1)(n-2), k=4이므로 f(4)+g(4)=4_3_2₆ +3_2 f(4)+g(4)=4+6=10 p. 20

0

1

;1Á5;

0

2

;5@;

0

3

;1¦5;

0

4

①

0

5

②

0

6

4

0

7

7개

확률의 뜻

01

자동차 30000대 중 한국에서 생산된 자동차는 2000대이 므로 구하는 확률은 ;3ª0¼0¼0¼0;=;1Á5;

02

5명을 일렬로 세우는 경우의 수는 5! A, B가 이웃하여 서는 경우의 수는 A, B를 한 사람으로 생각하여 4명을 일렬로 세우는 경우의 수는 4!이고, A, B 가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!이므로 4!_2! 따라서 구하는 확률은 4!_2! 5! =;5@;

03

10개 중 2개의 과일을 고르는 경우의 수는 Á¼Cª=45 사과 7개 중 2개를 고르는 경우의 수는 ¦Cª=21 따라서 구하는 확률은 ;4@5!;=;1¦5;

04

5번째 시행에서 시행을 멈추려면 4번째 시행까지 짝수가 적힌 공이 2번, 홀수가 적힌 공이 2번 나온 다음 5번째에 짝수가 적힌 공이 나와야 한다. 7개의 공 중에서 4개를 꺼내는 경우의 수는 ¦C¢=35 짝수, 홀수가 적힌 공을 각각 2개씩 꺼내는 경우의 수는 £Cª_¢Cª=18 따라서 4번째 시행까지 짝수, 홀수가 적힌 공이 각각 2번 씩 나올 확률은 ;3!5*; 이때 5번째 시행에서 짝수가 적힌 공을 꺼낼 확률이 ;3!;이 므로 구하는 확률은 ;3!5*;_;3!;=;3¤5; 참고 4번의 시행까지 짝수, 홀수가 적힌 공이 각각 2개씩 나오 면 되므로 4번의 시행에서 나오는 숫자의 순서는 생각하 지 않아도 된다.

05

모든 경우에 해당하는 영역은 한 변 O 1 2 2 의 길이가 2인 정사각형의 내부이므 로 그 영역의 넓이는 2_2=4 OPÓ¾1인 영역은 오른쪽 그림의 색 칠한 부분이므로 그 영역의 넓이는 4-p 따라서 구하는 확률은 4-p₄

06

흰 공의 개수를 x라고 하면 ®Cª ¤Cª =;5@;, ;2!;x(x-1) 15 =;5@; xÛ`-x-12=0, (x-4)(x+3)=0 ∴ x=4 (∵ 2ÉxÉ6) 따라서 흰 공의 개수는 4이다.

07

15개의 공 중에서 2개를 꺼낼 때 5번에 1번 꼴로 2개 모 두 빨간 공이었으므로 2개 모두 빨간 공을 꺼낼 확률은 _;5!; 이다. 빨간 공의 개수를 x라고 하면 15개에서 2개를 꺼낼 때 2개 모두 빨간 공일 확률은 _{Á°Cª 이므로}®Cª ®Cª Á°Cª =;5!;, ;2!;x(x-1) 105 =;5!; xÛ`-x-42=0, (x-7)(x+6)=0 ∴ x=7 (∵ 2ÉxÉ15) 따라서 주머니 속에 빨간 공은 7개 들어 있다고 할 수 있 다. 정답과 풀이

09

(10)

p. 22

0

1

⑤

0

2

;6!;

0

3

0.3

0

4

;1¦5;

0

5

;2!8#;

0

6

②

0

7

;1!0)2@4#;

0

8

19

확률의 활용

01

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) P(A'B)=;9&;-;9@;=;9%;

02

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이므로 P(A;B)=P(A)+P(B)-P(A'B) P(A;B)=;2!;+;3!;-;3@;=;6!;

03

두 사건 A, B가 모두 일어날 확률은 P(A;B)이고 P(A)=0.7, P(B)=0.5, P(A'B)=0.9이므로 P(A;B) =P(A)+P(B)-P(A'B) =0.7+0.5-0.9=0.3

04

2명 모두 남학생인 사건을 A, 2명 모두 여학생인 사건을 B라고 하면 P(A)=_{Á¼Cª =;3!;, P(B)=}¤Cª _{Á¼Cª =;1ª5;}¢Cª 그런데 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(B) P(A'B)=;3!;+;1ª5;=;1¦5;

05

2개 모두 흰 공이 나오는 사건을 A, 2개 모두 빨간 공이 나오는 사건을 B라고 하면 P(A)=£Cª_{¥Cª =;2£8;, P(B)=}°Cª_{¥Cª =;1°4;} 그런데 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(B) P(A'B)=;2£8;+;1°4;=;2!8#;

06

A` , B가 서로 배반사건이면 P(A` ;B)=0이므로 P(A` 'B)=P(A )+P(B) P(A` 'B)=1-P(A)+P(B) P(A` 'B)={1-;5#;}+;1£0;=;5@;+;1£0;=;1¦0; ∴ P(A;B )=P((A` 'B) )=1-P(A` 'B) ∴ P(A;B )=1-_{;1¦0;=;1£0;}

다른 풀이

두 사건 A` , B가 서로 배반이므로 U A B A` ;B=a ∴ B,A

P(A)=2P(B)=;5#;에서 P(A)=_{;5#;, P(B)=;1£0;이므로} P(A;B )=P(A)-P(B) P(A;B )=;5#;-;1£0;=;1£0;

07

‘적어도 1발이 명중할 사건’의 여사건은 ‘탄환이 1발도 명 중하지 않는 사건’이다. 탄환이 1발도 명중하지 않을 확률은 {;4!;}Þ` 따라서 구하는 확률은 여사건의 확률에 의하여 1-{;4!;}Þ`=;1!0)2@4#;

08

방정식 x+y+z=10을 만족시키는 음이 아닌 정수인 해 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 £HÁ¼=ÁªCÁ¼=ÁªCª= 12_11_{2_1 =66} (x-y)(y-z)(z-x)+0의 여사건은 (x-y)(y-z)(z-x)=0이고 (x-y)(y-z)(z-x)=0이 성립하려면 x=y 또는 y=z 또는 x=z 이어야 한다. 이때 x=y를 만족시키는 순서쌍 (x, y, z)는 (0, 0, 10), (1, 1, 8), …, (5, 5, 0)의 6개 y=z 또는 x=z를 만족시키는 순서쌍 (x, y, z)도 각각 6개이므로 (x-y)(y-z)(z-x)=0이 성립할 확률은 6+6+6 66 =;6!6*;=;1£1; 따라서 구하는 확률은 여사건의 확률에 의하여 1-_{;1£1;=;1¥1;} ∴ p+q=19

0

1

②

0

2

④

0

3

16

0

4

6개

0

5

④

0

6

⑤

0

7

;3!;

0

8

11

0

9

②

10

④

11

⑤

12

⑤

실력

확인 문제

p. 24

0

1

A, B, C, D, E 5명을 일렬로 세우는 경우의 수는 5!=120 A, B를 양 끝에 세우는 경우의 수는 2!=2, 가운데 세 명 을 세우는 경우의 수는 3!=6이므로 A, B를 양 끝에 세 우고 가운데 나머지 세 명을 세우는 경우의 수는 2_6=12

(11)

따라서 구하는 확률은 ;1Á2ª0;=;1Á0;

0

2

변 BC를 지름으로 하는 반원을 그 A B D C P 릴 때, 점 P가 반원 밖에 있으면 예각삼각형이므로 색칠한 부분의 넓이는 1-_{;2!;p_{;2!;}Û`=1-;8Ò;} 따라서 구하는 확률은 1-;8Ò; 1 =1-;8Ò;

0

3

주머니에서 2개의 공을 꺼내는 경우의 수는 ¤Cª=15 꺼낸 2개의 공이 모든 흰 공인 경우의 수는 ªCª=1 따라서 구하는 확률은 ;1Á5;이므로 p=15, q=1 ∴ p+q=16

0

4

흰 공의 개수를 n이라고 하면 주머니에서 2개의 공을 꺼 낼 때, 모두 흰 공일 확률은 ÇCª Á¼Cª 2개 모두 흰 공일 통계적 확률이 ;3!;이므로 ÇCª Á¼Cª =;3!;, ;2!;n(n-1) 45 =;3!; n(n-1)=30, nÛ`-n-30=0 (n-6)(n+5)=0 ∴ n=6 (∵ 2ÉnÉ10) 따라서 주머니 속에 흰 공이 6개 들어 있다고 할 수 있다.

0

5

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 일어나는 경우의 수는 6_6=36 f(x)=xÛ`-7x+10=(x-2)(x-5)에서 f(1)>0, f(2)=0, f(3)<0, f(4)<0, f(5)=0, f(6)>0 따라서 f(a)f(b)<0을 만족시키는 순서쌍은 (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 6), (4, 1), (4, 6), (6, 3), (6, 4) 의 8개이므로 구하는 확률은 ;3¥6;=;9@;

0

6

4P(B)=1에서 P(B)=;4!; 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 P(A'B) =P(A)+P(B)=4P(B) ∴ P(A)=3P(B)=3_;4!;=;4#;

0

7

두 사건 A, B가 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)에서 ;2!;=;6!;+P(B) ∴ P(B)=;2!;-;6!;=;3!;

0

8

갑과 을이 각각 주머니 A, B에서 두 장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 ¢Cª_¢Cª=6_6=36 갑과 을이 꺼낸 두 장의 카드에 적힌 숫자가 모두 같을 경 우의 수는 ¢Cª=6 갑이 1, 4가 적힌 카드, 을이 2, 3이 적힌 카드를 꺼내는 경우 또는 갑이 2, 3이 적힌 카드, 을이 1, 4가 적힌 카드 를 꺼내는 경우의 수는 2 따라서 갑과 을이 꺼낸 두 장의 카드에 적힌 숫자의 합이 같을 확률은 6+2 36 =;9@; 즉, p=9, q=2이므로 p+q=11

0

9

주어진 6장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 6! 3!_2! =60 양 끝 모두 A가 적힌 카드가 나열되는 경우의 수는 양 끝 에 A를 고정시켜 놓고 그 사이에 A, B, B, C를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 4! 2! =12 따라서 구하는 확률은 ;6!0@;=;5!;

10

P(A;B)=k`(k는 상수)라고 하면 P(A;B` )=P(A` ;B)=;6!;이므로 P(A)=P(A;B` )+P(A;B)=_;6!;+k P(B)=P(A` ;B)+P(A;B)=_;6!;+k 이때 P(A'B)=;3@;이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 ;3@;={;6!;+k}+{;6!;+k}-k ∴ k=;3!;

11

주머니에서 임의의 2개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수 정답과 풀이

11

(02-32)풍산자특강(하)-확률-정답-OK.indd 11 2018-11-01 오전 9:45:34

(12)

는 ¦Cª=21 꺼낸 2개의 공이 모두 검은 공인 경우의 수는 ¢Cª=6 흰 공을 적어도 1개 이상 꺼내는 사건을 A라고 하면 검은 공만 2개 꺼내는 사건은 A` 이므로 P(A)=1-P(A` )=1-_;2¤1;=;7%; 다른 풀이 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수 는 ¦Cª=21 흰 공을 적어도 1개 이상 꺼내는 경우는 흰 공 1개, 검은 공 1개를 꺼내거나 흰 공 2개를 꺼내는 경우이므로 그 경 우의 수는 £CÁ_¢CÁ+£Cª=3_4+3=15 따라서 구하는 확률은 ;2!1%;=;7%;

12

선택한 카드 중에 같은 숫자가 적혀 있는 카드가 2장인 사 건을 A, 3장인 사건을 B라고 하면 두 사건 A, B는 배반 사건이다. Ú 같은 숫자가 적혀 있는 카드가 2장인 경우 2장의 카드에 적힐 숫자 1개를 택하는 경우의 수는 ¢CÁ 각각에 대하여 이 숫자가 적힌 카드 3장 중 2장의 카 드를 택하는 경우의 수는 £Cª 이 각각에 대하여 나머지 다른 숫자가 적힌 카드를 택 하는 경우의 수는 9 따라서 사건 A가 일어날 확률은 ¢CÁ_£Cª_9 ÁªC£ =;5@5&; Û 같은 숫자가 적혀 있는 카드가 3장인 경우 3장의 카드에 적힐 숫자 1개를 택하는 경우의 수는 ¢CÁ 각각에 대하여 이 숫자가 적힌 카드 3장 중 3장의 카 드를 택하는 경우의 수는 £C£ 따라서 사건 B가 일어날 확률은 ¢CÁ_£C£ ÁªC£ =;5Á5; Ú, Û에 의하여 구하는 확률은 P(A'B)=P(A)+P(B)=;5@5&;+;5Á5;=;5@5*; 다른 풀이 3장의 카드가 모두 다른 숫자일 경우는 처음 카드는 12장 중 1장, 두 번째 카드는 9장 중 1장, 세 번째 카드는 6장 중 1장을 뽑으면 되고 순서를 고려하지 않으므로 그 확률은 ÁªCÁ_»CÁ_¤CÁ_ 1_3! ÁªC£ = 12_9_6__3!1 220 =;5@5&; 따라서 3장의 카드가 모두 다른 숫자만 아니면 적어도 2 장 이상은 같은 숫자이므로 구하는 확률은 1-;5@5&;=;5@5*; p. 26

0

1

①

0

2

④

0

3

;4!;

0

4

③

0

5

;6!;

0

6

;9&;

0

7

45

조건부확률

01

P(B|A)=P(A;B)_P(A) 이므로

P(A;B)=P(B|A)P(A)=;6%;_;5@;=;3!;

02

P(A;B)=;3!;, P(A` ;B)=;4!;이므로 P(B)=P(A;B)+P(A` ;B) P(B)=;3!;+;4!;=;1¦2; ∴ P(A|B)=P(A;B)_P(B) =;3!; ;1¦2;=;7$;

03

1차 시험에 합격하는 사건을 A, 2차 시험에 합격하는 사 건을 B라고 하면 P(A)=;5!;, P(A;B)=;2Á0; ∴ P(B|A)=P(A;B)_P(A) =;2Á0;

;5!;=;4!;

04

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 6의 눈이 한 번도 나오지 않는 사건을 A, 나온 두 눈의 수의 합이 4의 배수인 사건 을 B라고 하면 구하는 확률은 P(B|A)이다. 6의 눈이 한 번도 나오지 않는 확률은 P(A)=;6%;_;6%;=;3@6%; 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 a, b라고 할 때, 사건 A;B를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 5), (4, 4), (5, 3) 이므로 P(A;B)=;3¤6; 따라서 구하는 확률은 P(B|A)=P(A;B)_P(A) =;3¤6;

;3@6%;=;2¤5;

05

첫 번째에 흰 공이 나오는 사건을 A, 두 번째에 흰 공이 나오는 사건을 B라고 하면 P(A)=;9$;, P(B|A)=;8#; 따라서 2개 모두 흰 공이 나올 사건의 확률은 P(A;B)=P(A)P(B|A)=;9$;_;8#;=;6!;

(13)

06

이 고등학교 학생 중에서 임의로 선택한 1명이 지역 A를 희망한 학생인 사건을 A, 지역 B를 희망한 학생인 사건 을 B라고 하면

P(A)=_{;5!0*0);, P(A;B)=;5!0$0);} 따라서 구하는 확률은

P(B|A)=P(A;B)_P(A) =;5!0$0); ;5!0*0);=;9&; 다른 풀이 임의로 선택한 한 명이 지역 A를 선택한 학생인 경우의 수는 180이고, 지역 A와 지역 B를 모두 선택한 학생인 경우의 수는 140이므로 구하는 확률은 ;1!8$0);=;9&;

07

휴대 전화를 놓고 오는 사건을 E라고 하면 P(E)=;5!;+;5$;_;5!;+;5$;_;5$;_;5!;=;1¤2Á5; 서점에 휴대 전화를 놓고 오는 사건을 A라고 하면 P(A;E)는 세 곳을 들렸을 때 서점에 놓고 왔을 확률이 므로 ;5$;_;5$;_;5!;=;1Á2¤5; 따라서 구하는 확률은

P(A|E)=P(A;E)_P(E) =;1Á2¤5; ;1¤2Á5;=;6!1^; 따라서 p=61, q=16이므로 p-q=45 p. 28

0

1

①

0

2

④

0

3

종속

0

4

③

0

5

①

0

6

;1Á0£2°4;

0

7

38

사건의 독립과 종속

01

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)에서 ;9!;=;3@;_P(B) ∴ P(B)=;9!;_;2#;=;6!;

02

P(B)=1-P(B )=1-_;3!;=;3@; P(A|B)=P(A;B)_P(B) =;2!;에서 P(A;B)=;2!;P(B)=;2!;_;3@;=;3!; 이때 두 사건 A, B는 서로 독립이므로 P(A)P(B)=P(A;B)=;3!;

03

회장에 여학생이 선출될 확률은 P(A)=;7$; 총무에 남학생이 선출될 확률은 P(B)=P(A;B)+P(A` ;B) P(B)=;7$;_;6#;+;7#;_;6@;=;7#; ∴ P(A)P(B)=;7$;_;7#;=;4!9@; 이때 P(A;B)=_{;7$;_;6#;=;7@;이므로} P(A;B)+P(A)P(B) 따라서 두 사건 A와 B는 서로 종속이다.

04

갑이 이기려면 첫 번째에 갑이 흰 공을 꺼내거나 첫 번째, 두 번째에 갑과 을이 각각 검은 공을 꺼내고 세 번째에 갑 이 흰 공을 꺼내야 한다. Ú 첫 번째에 갑이 흰 공을 꺼낼 확률은 Ú ;5@; Û 첫 번째에 갑이 검은 공, 두 번째에 을이 검은 공, 세 번째에 갑이 흰 공을 꺼낼 확률은 Ú ;5#;_;4@;_;3@;=;5!; Ú, Û에 의하여 구하는 확률은 ;5@;+;5!;=;5#;

05

한 개의 주사위를 던졌을 때 4의 눈이 나올 확률은 _;6!;이 고, 한 개의 주사위를 3번 던지는 시행은 독립시행이다. 따라서 구하는 확률은 £CÁ_{{;6!;}{;6%;}Û`=3_ 25}_6Ü`=_;7@2%;

06

각 사람이 어느 층에 내리는가는 같은 정도로 기대되므로 한 사람이 각 층에서 내릴 확률은 ;4!;이다. 따라서 6명 중 3명이 3층에서 내릴 확률은 ¤C£_{{;4!;}Ü`{;4#;}Ü`=;1Á0£2°4;}

07

Ú 3의 배수가 2개 나올 확률은 Ú ¢Cª{;3!;}Û`{;3@;}Û`=;2¥7; Û 3의 배수가 3개 나올 확률은 Ú ¢C£{;3!;}Ü`{;3@;}Ú`=;8¥1; Ü 3의 배수가 4개 나올 확률은 Ú {;3!;}Ý`=;8Á1; Ú~Ü에 의하여 3의 배수가 2개 이상 나올 확률은 정답과 풀이

13

(14)

;2¥7;+;8¥1;+;8Á1;=;2!7!; 따라서 p=27, q=11이므로 p+q=38 다른 풀이 3의 배수가 0개, 1개 나올 확률은 각각 {;3@;}Ý`=;8!1^;, ¢CÁ{;3!;}Ú`{;3@;}Ü`=;8#1@; 따라서 구하는 확률은 1-{;8!1^;+;8#1@;}=;2!7!; 참고 a+0일 때, aâ`=1로 정한다.

0

1

⑤

0

2

0.4

0

3

;3Á5;

0

4

⑤

0

5

③

0

6

43

0

7

⑤

0

8

0.232

0

9

18

10

⑤

11

④

12

③

13

①

14

④

15

;5%0!;

16

;4!;

17

①

18

25

19

②

실력

확인 문제

p. 30

0

1

P(A)=P(A;B)+P(A;B )이므로 P(A;B)=P(A)-P(A;B ) P(A;B)=;1!6#;-;4!;=;1»6; ∴ P(B|A)=P(A;B)_P(A) =;1»6;

;1!6#;=;1»3;

0

2

조건 ㈏에서

P(A){1-P(B|A)}=P(A)[1-P(A;B)_{P(A) ]} P(A){1-P(B|A)}=P(A)-P(A;B) P(A){1-P(B|A)}=0.2 yy`㉠ 이때 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이므로 0.6=0.2+P(B) (∵ ㉠) ∴ P(B)=0.6-0.2=0.4

0

3

갑이 당첨 제비를 뽑는 사건을 A, 을이 당첨 제비를 뽑는 사건을 B라고 하면 P(A)=;1£5;=;5!;, P(B|A)=;1ª4;=;7!; 따라서 갑, 을 모두 당첨 제비를 뽑을 확률은 P(A;B)=P(A)P(B|A) P(A;B)=;5!;_;7!;=;3Á5;

0

4

임의로 선택한 한 개의 공이 검은 공인 사건을 A, 공에 적 혀 있는 수가 짝수인 사건을 B라고 하면 P(A)=;1»4;, P(A;B)=;1¢4; ∴ P(B|A)=P(A;B)_P(A) =;1¢4;

;1»4;=;9$; 다른 풀이 한 개의 검은 공을 선택하는 경우의 수는 9이고,이 중 짝 수가 적힌 경우의 수는 4이므로 구하는 확률은 ;9$;이다.

0

5

체험 학습 A를 선택한 학생은 남학생 90명과 여학생 70 명이므로 체험 학습 B를 선택한 학생 중 남학생의 수를 x, 여학생의 수를 y라 하고 표로 나타내면 다음과 같다. 남학생 여학생 합계 체험 학습 A 90 70 160 체험 학습 B x y x+y 합계 90+x 70+y 360 이때 160+(x+y)=360에서 x+y=200 yy`㉠ 이 학교의 학생 중 임의로 뽑은 1명의 학생이 체험 학습 B를 선택한 학생일 때,이 학생이 남학생일 확률이 2_{5 이므} 로 체험 학습 B를 선택하는 사건을 B, 남학생일 사건을 M이라고 하면 P(M|B)= n(M;B) n(B) = xx+y =;5@;

5x=2x+2y ∴ 3x=2y yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=80, y=120 따라서 이 학교의 여학생 수는 70+y=70+120=190

0

6

2m¾n인 사건을 A, 꺼낸 흰 공의 개수가 2인 사건을 B 라고 하자. 이때 m+n=3이고 2m¾n을 만족시키는 m, n의 순서쌍 (m, n)은 (1, 2), (2, 1), (3, 0) Ú m=1, n=2일 확률은 ÚÚ £CÁ_¢Cª_¦C£ =;3!5*; Û m=2, n=1일 확률은 ÚÚ £Cª_¢CÁ_¦C£ =;3!5@; Ü m=3, n=0일 확률은 ÚÚ £C£_{¦C£ =;3Á5;} Ú~Ü에 의하여 P(A)=_{;3!5*;+;3!5@;+;3Á5;=;3#5!;} 이때 사건 A;B는 m=2, n=1일 때이므로

(15)

P(A;B)=;3!5@;

∴ P(B|A)=P(A;B)_P(A) =;3!5@; ;3#5!;=;3!1@; 따라서 p=31, q=12이므로 p+q=43 다른 풀이 주머니에서 3개의 공을 꺼낼 때 2m¾n인 경우의 수는 £CÁ_¢Cª+£Cª_¢CÁ+£C£=18+12+1=31 이고, 이 중 흰 공의 개수가 2인 경우의 수는 12이므로 구 하는 확률은 ;3!1@;이다.

0

7

이 고등학교의 전체 학생 중 임의로 선택한 한 학생이 여 학생인 사건을 A, 생활복 도입에 찬성한 학생인 사건을 B라고 하면 P(A)=0.4, P(B)=0.8, P(B )=0.2, P(A |B)=0.7 이때 P(A` ;B)=P(B)P(A |B)=0.8_0.7=0.56 이므로 P(A;B)=P(B)-P(A` ;B)=0.8-0.56=0.24 따라서 구하는 확률은

P(B|A)=P(A;B) _P(A) = 0.24_{0.4 =;5#;} 다른 풀이 이 고등학교의 전체 학생 중 임의 S A B a b c 로 선택한 한 학생이 여학생인 사건을 A, 생활복 도입에 찬성 한 학생인 사건을 B라고 할 때, P(A;B )=a, P(A;B)=b, P(A` ;B)=c라고 하면 a+b=0.4, b+c=0.8 P(A |B)=0.7이므로 c 0.8 =0.7 ∴ c=0.8_0.7=0.56 b=0.8-c이므로 b=0.8-0.56=0.24 따라서 구하는 확률은 P(B|A)= b_{a+b =}0.24_{0.4 =;5#;}

0

8

맑은 다음 날부터 3일간 모두 같은 날씨가 되는 경우는 다 음과 같다. Ú 맑음 Ú 맑음 Ú 맑음 Ú 맑음일 확률은 Ú (0.6)Ü`=0.216 Û 맑음 Ú 흐림 Ú 흐림 Ú 흐림일 확률은 Ú (0.3)_(0.2)Û`=0.012 Ü 맑음 Ú 비 Ú 비 Ú 비일 확률은 Ú 0_(0.2)Û`=0 Ý 맑음 Ú 눈 Ú 눈 Ú 눈일 확률은 Ú 0.1_(0.2)Û`=0.004 Ú~Ý에 의하여 구하는 확률은 0.216+0.012+0.004=0.232

0

9

A가 꺼낸 사탕이 딸기 맛 사탕일 사건을 E, B가 꺼낸 사 탕이 포도 맛 사탕일 사건을 F라고 하면 P(E)=_{;1¤5;=;5@;, P(F|E)=;1»4;} 이므로 p=P(E;F) p=P(E)P(F|E)=;5@;_;1»4;=;3»5; ∴ 70p=70_;3»5;=18

10

P(S)=;1¦0¼0;=;1¦0;, P(S )=;1£0¼0;=;1£0;, P(L)=;1¤0¼0;=;5#;, P(L )=;1¢0¼0;=;5@; ㄱ. P(S;L)=;1¢0ª0;=;5@0!; P(S)P(L)=_{;1¦0;_;5#;=;5@0!;} ∴ P(S;L)=P(S)P(L) 따라서 S와 L은 서로 독립이다. ㄴ. P(S;L )=;1ª0¥0;=;2¦5; P(S)P(L )=;1¦0;_;5@;=;2¦5; ∴ P(S;L )=P(S)P(L ) 따라서 S와 L``은 서로 독립이다. ㄷ. P(S` ;L )=;1Á0ª0;=;2£5; P(S )P(L )=_{;1£0;_;5@;=;2£5;} ∴ P(S` ;L )=P(S )P(L ) 따라서 S``과 L``은 서로 독립이다. 이상에서 서로 독립인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

11

남학생의 수를 n이라고 하면 여학생의 수는 320-n이므로 수학동아리에 가입한 남학생의 수와 여학생의 수는 각각 0.6n, 160-0.5n 따라서 수학동아리에 가입한 학생 수는 0.6n+(160-0.5n)=0.1n+160 pÁ=_{0.1n+160 , pª=}0.6n 160-0.5n_{0.1n+160 이고 pÁ=2pª이므로} 0.6n 0.1n+160 =2(160-0.5n) 0.1n+160 0.6n=320-n, 1.6n=320 ∴ n=200 따라서 이 학교의 남학생의 수는 200이다. 정답과 풀이

15

(02-32)풍산자특강(하)-확률-정답-OK.indd 15 2018-11-01 오전 9:47:45

(16)

12

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)이고 P(A;B)=P(A)P(B)=;3@;P(B)이므로 P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) P(A'B)=P(A)+P(B)-;3@;P(B) P(A'B)=_{;3@;+;3!;P(B)} 즉, ;6%;=;3@;+;3!;P(B)이므로 ;3!;P(B)=;6!; ∴ P(B)=;2!;

13

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) 따라서 P(A|B)=P(A)=;3!;이므로 P(A )=1-P(A)=1-;3!;=;3@;

14

첫 번째 꺼낸 제품이 불량품이 나오는 사건을 A, 두 번째 꺼낸 제품이 불량품이 나오는 사건을 B라고 하면 P(A)=;1£0;, P(B|A)=;9@; 확률의 곱셈정리에 의하여 P(A;B) =P(A)P(B|A) =_{;1£0;_;9@;=;1Á5;}

15

P(r)=Á¼¼C¨{;2!;}¨`{;2!;}Ú`â`â`Ñ¨`=Á¼¼C¨{;2!;}Ú`â`â`이므로 P(50) P(51)= Á¼¼C°¼{;2!;}Ú`â`â` Á¼¼C°Á_{{;2!;}Ú`â`â`}= 100! 50!_50! 100! 51!_49! =;5%0!;

16

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) ∴ P(A;B )+P(A` ;B) ∴ =P(A'B)-P(A;B) ∴ =P(A)+P(B)-2P(A;B) ∴ =P(A)+P(B)-2P(A)P(B) ∴ =;6!;+P(B)-2_;6!;P(B) ∴ =;3@;P(B)+;6!; 즉, ;3@;P(B)+;6!;=;3!;이므로 ;3@;P(B)=;6!; ∴ P(B)=;4!; 다른 풀이 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 A, B 도 서로 독립이고, 두 사건 A , B도 서로 독립이다. 이때 P(B)=k`(k는 상수)로 놓으면

P(A;B )+P(A` ;B)=P(A)P(B )+P(A )P(B) ;3!;=;6!;(1-k)+;6%;k, ;3@;k=;6!;, k=;4!; ∴ P(B)=;4!;

17

한 개의 동전을 5번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 a, 뒷 면이 나오는 횟수를 b라고 하면 a+b=5, ab=6 Ú a=2, b=3일 때 Ú °Cª{;2!;}Û`{;2!;}Ü`=;1°6; Û a=3, b=2일 때 Ú °C£{;2!;}Ü`{;2!;}Û`=;1°6; Ú, Û에 의하여 구하는 확률은 ;1°6;+;1°6;=;8%;

18

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나온 두 눈 의 수의 곱이 홀수인 경우는 두 눈의 수가 모두 홀수인 경 우이므로 그 확률은 ;2!;_;2!;=;4!; 두 눈의 수의 곱이 짝수일 확률은 1-;4!;=;4#; 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던지는 시행을 8회 반 복한 후의 점 P의 좌표를 (a, b)라고 하면 a+b=8이므 로 원 (x-8)Û`+yÛ`=4의 내부에 있는 점 P의 좌표는 (8, 0), (7, 1)의 두 가지이다. Ú P(8, 0)일 확률은 {;4!;}¡` Û P(7, 1)일 확률은 ¥C¦{;4!;}à`{;4#;}Ú`=24_{;4!;}¡` Ú, Û에 의하여 점 P가 원 (x-8)Û`+yÛ`=4의 내부에 있 을 확률은 {;4!;}¡`+24_{;4!;}¡`= 25 _2Ú`ß` ∴ p=25

19

첫 번째 던져서 나오는 주사위의 눈의 수를 a라고 하면 f(a)=0이 되는 사건을 A라 하고, 두 번째 던져서 나오 는 주사위의 눈의 수를 b라고 할 때 f(b)=0이 되는 사건 을 B라고 하자. 이차방정식 f(x)=0의 해는 x=3 또는 x=4이므로 P(A)=;6@;= ;3!; , P(B)=;6@;= ;3!; 이다. 구하는 확률 P(A'B)는

(17)

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 이고, 두 사건 A와 B는 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)=_{;3!;_;3!;= ;9!;} 이다. 그러므로 P(A'B)=_{;3!;+;3!;-;9!;= ;9%;} 이다. 따라서 m=;3!;, n=;9!;, k=;9%;이므로 m_n_k=;3!;_;9!;_;9%;=24%3; p. 34

0

1

4

0

2

③

0

3

①

0

4

①

0

5

④

0

6

평균: :ª5¥:, 표준편차: 3'¶14₅

확률분포

01

확률의 총합이 1이므로 ;4#;+p+q=1 ∴ p+q=;4!; yy`㉠ E(X)=;5#;이므로 0_;4#;+2_p+4_q=;5#; ∴ 2p+4q=;5#; yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면p=;5!;, q=;2Á0; ∴ ;qP;= ;5!; ;2Á0;=4

02

확률질량함수의 성질에 의하여 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+`y`+P(X=8) =a+2a+3a+`y`+8a=1 즉, 36a=1이므로 a=;3Á6; 따라서 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)=;3Á6;x`(x=1, 2, 3, y, 8) 이므로 P(X=4)=_{;3Á6;_4=;9!;}

03

V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`이므로 E(XÛ`)=V(X)+{E(X)}Û`=16+100=116

04

확률의 총합은 1이므로 ;8#;+;8#;+a+;8!;=1 ∴ a=;8!; E(X)=1_;8#;+2_;8#;+3_;8!;+4_;8!;=:Á8¤:=2 E(XÛ`)=1Û`__{;8#;+2Û`_;8#;+3Û`_;8!;+4Û`_;8!;=:¢8¼:=5} 이때 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`이므로 V(X)=5-2Û`=1 ∴ r(X)="ÃV(X)=1

05

V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서 E(XÛ`)=V(X)+{E(X)}Û`=5+2Û`=9 ∴ E((X-1)Û`) =E(XÛ`-2X+1) =E(XÛ`)-2E(X)+1 =9-2_2+1=6 다른 풀이 E(X-1)=E(X)-1=2-1=1 V(X-1)=V(X)=5 이때 V(X-1)=E((X-1)Û`)-{E(X-1)}Û`이므로 E((X-1)Û`) =V(X-1)+{E(X-1)}Û` =5+1Û`=6

06

E(X)=0__{;5!;+1_;5@;+2_;5@;=;5^;} V(X)=0Û`__{;5!;+1Û`_;5@;+2Û`_;5@;-{;5^;}Û`=;2!5$;} ∴ r(X)= '¶14₅ 따라서 확률변수 3X+2의 평균과 표준편차는 E(3X+2)=3E(X)+2=3_;5^;+2=:ª5¥: r(3X+2)=3r(X)=3_ '¶14_{5 =}3'¶14₅ p. 36

0

1

①

0

2

32

0

3

99

0

4

⑤

0

5

404

0

6

⑤

0

7

1

이항분포

01

E(X)=np=1, V(X)=np(1-p)=;1»0; 이므로 1-p=;1»0; ∴ p=;1Á0; p=;1Á0; 을 np=1에 대입하면 n=10 ∴ P(X<2)=P(X=0)+P(X=1) ∴ P(X<2)=Á¼C¼{;1»0;}Ú`â`+Á¼CÁ{;1Á0;}Ú`{;1»0;}á` ∴ P(X<2)=;1!0(;{;1»0;}á` 정답과 풀이

17

(18)

02

확률변수 X가 이항분포 B(200, p)를 따르므로 E(X)=200p=40 ∴ p=;5!; ∴ V(X)=200p(1-p) ∴ V(X)=200_;5!;_;5$;=32

03

확률변수 X가 이항분포 B{n, ;10;}를 따르므로 E(X)=n__;10;=10 yy ㉠ V(X)=n_;10;_{1-;10;}=3Û` yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, n=100 ∴ n-a=99

04

확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르므로 E(X)=np, V(X)=np(1-p) E(2X-5)=2E(X)-5이므로 2np-5=175 ∴ np=90 yy ㉠ V(2X-5)=4V(X)이므로 4np(1-p)=12Û` 4_90(1-p)=144, 1-p=_;5@; ∴ p=;5#; p=;5#; 을 ㉠에 대입하면 n=150

05

확률변수 X가 이항분포 B(25, p)를 따르므로 P(X=2)=48P(X=1)에서 ª°Cª pÛ`(1-p)Û`Ü`=48ª°CÁ p(1-p)Û`Ý` 25_24 2 _pÛ`(1-p)Û`Ü`=48_25_p(1-p)Û`Ý` p=4(1-p) ∴ p=;5$; 즉, 확률변수 X가 이항분포 B{25, ;5$;}를 따르므로 E(X)=25__;5$;=20 V(X)=25__{;5$;_;5!;=4} 이때 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`이므로 E(XÛ`) =V(X)+{E(X)}Û` =4+20Û`=404

06

사건 A가 일어나려면 m은 1 또는 2가 되어야 하므로 P(A)=;6@;=;3!; 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{15, ;3!;}을 따르므로 E(X)=15_;3!;=5

07

한 개의 주사위를 n번 던질 때 1 또는 2의 눈이 나오는 확 률은 ;6@;=;3!; 따라서 큰수의 법칙에 의하여 n이 커짐에 따라 확률 P_{{| X}_{n -;3!;|＜0.1}의 값은 1에 가까워진다.}

0

1

a=;8#;, b=;8#;, c=;8!;

0

2

47

0

3

;1!2!;

0

4

28

0

5

11

0

6

④

0

7

;\8!;

0

8

⑤

0

9

평균: 50점, 표준편차: 10점

10

①

11

⑤

12

16

13

20

14

④

15

18

16

3

17

④

18

30

19

③

실력

확인 문제

p. 38

0

1

확률변수 X가 취할 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고 P(X=1)=£CÁ{;2!;}Ú`{;2!;}Û`=;8#;, P(X=2)=£Cª_{{;2!;}Û`{;2!;}Ú`=;8#;,} P(X=3)=£C£{;2!;}Ü`=;8!; 따라서 X의 확률분포는 다음 표와 같다. X 0 1 2 3 합계 P(X=x) ;8!; ;8#; ;8#; ;8!; 1 ∴ a=;8#;, b=;8#;, c=;8!;

0

2

확률변수 X가 취할 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고 흰 공 2 개와 검은 공 1개를 동시에 꺼내야 하므로 P(X=2)=£Cª_¢CÁ_¦C£ =;3!5@; 따라서 p=35, q=12이므로 p+q=47

0

3

확률질량함수의 성질에 의하여 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) +P(X=4) =_{;1Á2;+a+;1Á2;+a+;1Á2;=1} 즉, 2a=;4#;이므로 a=;8#; 따라서 확률변수 X의 확률질량함수는 P(X=x)=

à

112 `(x=0, 2, 4) ` 38 (x=1, 3)

(19)

∴ P(1ÉXÉ4) =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) =;8#;+;1Á2;+;8#;+;1Á2;=;1!2!; 다른 풀이 P(1ÉXÉ4)=1-P(X=0)=1-;1Á2;=;1!2!;

0

4

[1단계] E(X) =P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3) = +4P(X=4)+5P(X=5) =4 E(Y) =P(Y=1)+2P(Y=2)+3P(Y=3) +4P(Y=4)+5P(Y=5) =a [2단계] 이때 P(Y=1)=_{;2!;P(X=1)+;1Á0;} P(Y=2)=;2!;P(X=2)+;1Á0; ⋮ P(Y=5)=_{;2!;P(X=5)+;1Á0;} 이므로 E(Y) =;2!;_{P(X=1)+2P(X=2)+`y`+5P(X=5)} = +;1Á0;(1+2+`y`+5) =;2!;E(X)+;1Á0;_15 =;2!;_4+;2#;=;2&; 따라서 a=;2&;이므로 8a=8_;2&;=28 다른 풀이 「수학Ⅰ」 을 학습한 학생은 아래와 같이 풀 수 있다. E(X)=;K5+!kP(X=k)=4 E(Y)=;K5+!kP(Y=k)=;K5+!k[;2!;P(X=k)+;1Á0;] E(Y)=;2!;;K5+!kP(X=k)+;1Á0;;K5+!k E(Y)=;2!;_4+;1Á0;_ 5_6_{2 =;2&;} 따라서 a=;2&;이므로 8a=8_;2&;=28

0

5

E(X)=(-5)_;5!;+0_;5!;+5_;5#; E(X)=-1+0+3=2 ∴ E(4X+3)=4E(X)+3=4_2+3=11

0

6

①, ②, ③, ⑤ 분산 V(X)를 뜻한다. ④ V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`이므로 E(XÛ`) =V(X)+{E(X)}Û` =V(X)+m 이때 m+0이면 E(XÛ`)+V(X)이다. 참고 「수학Ⅰ」 에서 배운 합의 기호 Á를 이용하면 분산 V(X) 를 다음과 같이 나타낼 수 있다. V(X)=E((X-m)Û`)+;In+!(xÔ-mÛ`)pÔ V(X)=;In+!xÔÛ`pÔ-mÛ`=E(XÛ`)-{E(X)}Û`

0

7

확률의 총합은 1이므로 a+b+c=1 yy ㉠ E(X)=1이므로 0_a+1_b+2_c=1 ∴ b+2c=1 yy ㉡ V(X)=_{;4!;이므로} 0Û`_a+1Û`_b+2Û`_c-1Û`=;4!; ∴ b+4c=_;4%; yy ㉢㉡, ㉢을 연립하여 풀면 b=;4#;, c=;8!; 이를 ㉠에 대입하면 a=;8!; ∴ P(X=0)=a=;8!;

0

8

확률변수 X가 취하는 값은 1, 2, 3, y, 99이고 확률변수 Y, Z가 취하는 값은 2, 4, 6, y, 198이다. 따라서 세 확률변수 X, Y, Z에 대하여 Y=Z=2X이므로 V(Y)=V(Z)=V(2X)=4V(X) ∴ V(X)<V(Y)=V(Z)

0

9

확률변수 X의 평균을 E(X), 표준편차를 r(X)라고 하면 E(X)=m, r(X)=r`(r>0) 확률변수 T=10{ X-m_{r }+50에 대하여} E(T)=E{10{ X-m_r }+50} E(T)=E{ 10_{r X-}10m_{r +50}} E(T)= 10_{r E(X)-}10m_{r +50} E(T)= 10m_{r -}10m_{r +50=50} 정답과 풀이

19

(20)

r(T)=r{10{ X-m_r }+50} r(T)=r{ 10_{r X-}10m_{r +50}} r(T)=| 10_{r |r(X)} r(T)= 10_{r _r=10} 따라서 T점수의 평균은 50점, 표준편차는 10점이다.

10

주사위를 던져 2 이하의 눈이 나와 주머니에 무게가 1인 추를 넣을 확률은 ;3!;이고, 3 이상의 눈이 나와 주머니에 무게가 2인 추를 넣을 확률은 ;3@;이다. Ú X=3인 사건은 주머니에 무게가 2인 추 3개가 들어 있는 경우이므로 Ú P(X=3)={;3@;}Ü`= ;2¥7; Û X=4인 사건은 세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 4이고 네 번째 시행에서 무게가 2인 추를 넣는 경우와 세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 5인 경우로 나 눌 수 있다. 그러므로 Ú P(X=4)=£Cª_{{;3!;}Û`{;3@;}Ú`_;3@;+£CÁ{;3!;}Ú`{;3@;}Û`} Ú P(X=4)= ;2¢7; +£CÁ{;3!;}Ú`{;3@;}Û` Ü X=5인 사건은 네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 4이고 다섯 번째 시행에서 무게가 2인 추를 넣는 경우 와 네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 5인 경우로 나눌 수 있다. 그러므로 Ú P(X=5)=¢C¢{;3!;}Ý`{;3@;}â`_;3@;+¢C£{;3!;}Ü`{;3@;}Ú` Ú P(X=4)=¢C¢{;3!;}Ý`{;3@;}â`_;3@;+ ;8¥1; 따라서 a=;2¥7;, b=;2¢7;, c=;8¥1;이므로 ab c = ;2¥7;_;2¢7; ;8¥1; =;9$;

11

[1단계] Y=10X-2.21이라고 하자. 확률변수 Y의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. Y -1 0 1 합계 P(Y=y) a b ;3@; 1 확률의 총합이 1이므로 a+b+;3@;=1 ∴ a+b=;3!; 또, E(Y)=10E(X)-2.21=0.5이므로 -1_a+0_b+1_;3@;=-a+;3@;=;2!; 따라서 a= ;6!; , b= ;6!; 이고 V(Y)=;1¦2;이다. [2단계] 한편, Y=10X-2.21이므로 V(Y)=10Û` V(X)= 100 _V(X)이다. 따라서 V(X)= 1 100 _;1¦2;이다. [3단계] 따라서 p=;6!;, q=;6!;, r=100이므로 pqr=;6!;_;6!;_100=:ª9°:

12

이항분포 B{100, ;5!;}을 따르는 확률변수 X의 표준편차는 r(X)=®É100_;5!;_;5$;=4 ∴ r(4X+1)=4r(X)=4_4=16

13

V(X)=n_;3!;_;3@;=;9@; n이므로 V(3X)=3Û` V(X)=9_;9@; n 즉, 2n=40이므로 n=20

14

한 개의 주사위를 던질 때 6의 약수의 눈이 나올 확률은 ;3@; 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{6, ;3@;}를 따르므로 P(X=2)=¤Cª{;3@;}Û`{;3!;}Ý`=20_3Þ` P(X=3)=¤C£_{{;3@;}Ü`{;3!;}Ü`=}160 3ß` ∴ P(X=3)_{P(X=2) =} 160 3ß` 20 3Þ` ∴ P(X=3)_P(X=2)=;3*; 따라서 p=3, q=8이므로 p+q=11

15

[1단계] 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르므로 E(X)=np 이때 E(3X)=18에서 3E(X)=3np=18 ∴ E(X)=np=6 yy ㉠ E(3XÛ`)=120에서 3E(XÛ`)=120 ∴ E(XÛ`)=40 yy ㉡

(21)

V(X)=np(1-p)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`이므로 ㉠, ㉡을 대입하면 6(1-p)=40-6Û`=4, 1-p=;3@; ∴ p=;3!; [2단계] p=;3!; 을 ㉠에 대입하면 n=18

16

한 모둠에서 A지역 학생만 두 명 선택될 확률은 £Cª °Cª =;1£0; 모둠이 10개가 있으므로 확률변수 X는 이항분포 B_{{10, ;1£0;}을 따른다.} ∴ E(X)=10_;1£0;=3

17

확률변수 X가 이항분포 B(9, p)를 따르므로 E(X)=9p, V(X)=9p(1-p) {E(X)}Û`=V(X)이므로 81pÛ`=9p(1-p), 90pÛ`-9p=0 9p(10p-1)=0 ∴ p=;1Á0; (∵ 0<p<1)

18

[1단계] 한 상자에 들어 있는 50개의 제품을 모두 검사할 때 나오 는 불량품의 개수를 확률변수 X라 하고, 불량품이 나올 확률을 p라고 하면 확률변수 X는 이항분포 B(50, p)를 따른다. [2단계] 확률변수 X가 이항분포 B(50, p)를 따르므로 E(X)=m=50p V(X)=50p(1-p)=_{;2$5*; 에서} p(1-p)=;2$5*;_;5Á0;=;2@5$;_;2Á5; ∴ p=;2@5$; 또는 p=;2Á5; 이때 m=50p이고 m은 5 이하의 자연수이므로 50pÉ5, pÉ;1Á0; ∴ p=;2Á5; ∴ m=50_;2Á5;=2 [3단계] 주어진 조건에서 사후 관리 비용의 기댓값은 E(aX)=aE(X)=2a 즉, 2a=60000이어야 하므로 a=30000 ∴ ;1000;=30

19

한 개의 주사위를 n번 던질 때 4의 약수의 눈이 나올 확 률은 3 6 =12 n이 한없이 커지면 확률 P{| X_{n -p|<0.1}의 값이 1에} 가까워지므로 큰수의 법칙에 의하여 p=;2!; p. 42

0

1

;4!;

0

2

②

0

3

;3@;

0

4

③

0

5

4

0

6

4

0

7

47

연속확률분포

01

함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=5로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로 ;2!;_k_2+k_(5-2)=1 4k=1 ∴ k=;4!;

02

ㄱ. 함수 y=f(x)의 그래프는 오 O 1 1 -1 y y=f(x) x 른쪽 그림과 같다. Ú f(x)¾0을 만족시킨다. Û 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=-1, x=1로 둘러싸인 부분의 넓이는 Û 2_1-;2!;_2_1=1 따라서 f(x)=|x|는 확률밀도함수이다. ㄴ. 함수 y=f(x)의 그래프는 O 1 1 -1 -1 y y=f(x) x 오른쪽 그림과 같다. 이때 -1ÉxÉ0에서 f(x)<0이므로 f(x)=x는 확률밀도함수가 아니다. ㄷ. 함수 y=f(x)의 그래프는 오 O 1 1 -1 y y=f(x) x 1 2 른쪽 그림과 같다. Ú f(x)¾0을 만족시킨다. Û 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=-1로 둘 러싸인 부분의 넓이는 Û ;2!;_2_1=1 따라서 f(x)=-;2!;x+;2!;은 확률밀도함수이다. 정답과 풀이